Le cours
Résumé en cinq points
- La frontière de l'étude est choisie selon la question posée et doit être justifiée. Le milieu extérieur n'est décrit que par ses éléments influents.
- Matière, énergie et information traversent la frontière. Une puissance est le produit d'un effort par un flux.
- Un signal est logique, analogique ou numérique. Numériser, c'est échantillonner puis quantifier sur bits.
- Le bdd donne la composition du système, l'ibd les flux entre ses constituants. Leur syntaxe est fournie, on les lit et on les complète.
- Un capteur convertit un mesurande en signal. On le caractérise par ses grandeurs d'entrée et de sortie, la nature de son signal et le support de l'information.
Pourquoi ce chapitre
Avant de modéliser, il faut décider de ce qu'on modélise. Ce chapitre fournit les outils de cette décision et le vocabulaire qui l'accompagne :
- tracer une frontière autour d'une partie du système ;
- dresser la liste de ce qui agit sur elle depuis l'extérieur ;
- identifier la nature de ce qui la traverse.
Le même geste est repris sans cesse en PCSI : en mécanique pour isoler un solide avant d'appliquer le principe fondamental de la statique, en physique pour définir un système thermodynamique ouvert ou fermé, en chimie pour définir un système physico-chimique.
La seconde partie du chapitre apprend à lire les diagrammes de blocs SysML qui décrivent l'architecture d'un système, présents en tête de presque tous les sujets de concours, et à caractériser les capteurs, par lesquels passe toute information sur l'état du système.
1Isoler un système
1.1Frontière de l'étude
Définition 1.1Frontière de l'étude
La frontière de l'étude sépare les éléments que l'on étudie, qui forment le système isolé, de tout ce qui est à l'extérieur, le milieu extérieur.
C'est une limite choisie, pas un objet. Un système thermodynamique est lui aussi délimité par une surface fermée, réelle ou fictive, choisie pour les besoins de l'étude.
Le programme demande de justifier l'isolement : la frontière dépend de la question posée.
Exemple 1.2Vélo à assistance électrique
- Pour évaluer l'autonomie, on isole la batterie, le contrôleur et le moteur. Le cycliste et la route sont extérieurs.
- Pour vérifier que l'assistance respecte la limite réglementaire de vitesse, on isole l'ensemble du vélo et de son cycliste en mouvement, puisque c'est leur vitesse qui est en jeu.
- Pour choisir le moteur, on isole le moteur seul. La roue, la chaîne et le cycliste deviennent une charge extérieure qui impose un couple résistant.
Critères de choix :
- la frontière englobe ce dont on veut prévoir le comportement ;
- elle passe là où les échanges avec l'extérieur sont connus ou faciles à modéliser : un axe, un câble, un contact.
1.2Milieu extérieur et éléments influents
Le milieu extérieur rassemble tout ce qui interagit avec le système isolé. On n'en retient que les éléments influents, dont l'action modifie le comportement ou les performances étudiées. Une liste de contrôle utile distingue :
- les utilisateurs ;
- la matière d'œuvre ;
- les autres systèmes : source d'énergie, réseau, systèmes voisins ;
- l'environnement physique : température, relief, vent, pluie ;
- les normes.
Exemple 1.3Éléments influents pour le vélo
- le cycliste, qui pédale et commande ;
- la route, par sa pente et son adhérence ;
- l'air, par la résistance aérodynamique ;
- le chargeur et le réseau électrique pendant la recharge ;
- la réglementation, qui limite l'assistance ;
- la température extérieure, car la capacité utile d'une batterie diminue par temps froid.
Le diagramme de contexte SysML place le système au centre et les éléments du milieu extérieur autour. Sa syntaxe n'est pas exigible, sa structure est fournie : on le lit ou on le complète.
Propriété 1.4Lien avec l'automatique
Un élément extérieur influent qui agit sur la grandeur à piloter sans être commandé devient une perturbation dans le modèle du système asservi. La pente de la route est une perturbation pour un asservissement de vitesse.
1.3Pièges
Attention
- Oublier une action extérieure qui n'a pas d'origine visible : la pesanteur, la pression atmosphérique.
- Placer à l'extérieur un élément dont on cherche à prévoir le comportement.
- Changer de frontière en cours de raisonnement. Une action intérieure pour un isolement est extérieure pour un autre, et mélanger les deux fausse les bilans.
2Flux traversant la frontière
2.1Trois natures de flux
Le système échange avec son milieu extérieur des flux, c'est-à-dire des quantités qui traversent la frontière par unité de temps :
- flux de matière : objets, fluides, produits, personnes ;
- flux d'énergie : sous forme électrique, mécanique, hydraulique, pneumatique, thermique ou chimique ;
- flux d'information : consignes, mesures, messages, comptes rendus.
Définition 2.1Matière d'œuvre
La matière d'œuvre est l'élément sur lequel le système agit et auquel il apporte une valeur ajoutée.
Pour le vélo, c'est l'ensemble cycliste et vélo, qu'il faut déplacer. Pour une station de traitement d'eau, c'est l'eau. Pour un serveur informatique, c'est l'information. Repérer la matière d'œuvre donne le fil conducteur des flux principaux.
2.2Flux d'énergie, grandeurs effort et flux
Un flux d'énergie se caractérise par une puissance. Dans chaque domaine, elle s'écrit comme le produit d'une grandeur d'effort et d'une grandeur de flux :
- électrique, tension et intensité : ;
- mécanique en translation, force et vitesse : ;
- mécanique en rotation, couple et vitesse angulaire : ;
- hydraulique ou pneumatique, pression et débit volumique : ;
- thermique : température et flux d'entropie.
La physique de PCSI utilise déjà ces produits : puissance électrique reçue par un dipôle, puissance d'une force. Les sciences industrielles les rangent dans un cadre commun, qui sert en deuxième année en modélisation multiphysique.
Exemple 2.2Ordres de grandeur pour le vélo
- batterie de et quelques centaines de wattheures ;
- moteur de nominal ;
- cycliste développant de l'ordre de à en effort soutenu.
Ces valeurs servent à vérifier la cohérence d'un résultat : une puissance de moteur calculée de plusieurs kilowatts pour ce vélo signale une erreur.
2.3Flux d'information, nature et codage
Définition 2.3Signal
L'information est portée par un signal, grandeur physique qui varie pour transmettre un message.
On distingue trois natures :
- signal logique, ou tout ou rien, à deux états, 0 ou 1 : un frein actionné ou non ;
- signal analogique, pouvant prendre continûment toute valeur d'un intervalle : la tension d'une poignée d'accélérateur proportionnelle à son angle ;
- signal numérique, suite de nombres codés en binaire sur un nombre fini de bits, disponibles à des instants discrets : la vitesse transmise sur un bus de communication entre le contrôleur et l'afficheur.
Définition 2.4Numérisation et quantum
Numériser un signal analogique suppose :
- d'échantillonner : prélever une valeur à intervalles de temps réguliers ;
- de quantifier : arrondir chaque valeur à l'un des niveaux possibles sur bits.
Le quantum est la plus petite variation de tension que le système peut distinguer. Pour une plage totale donnée, (selon la convention, on trouve aussi ).
Exemple 2.5Convertisseur de 12 bits
Sur une plage de à , il y a niveaux, et
Codages :
- le binaire naturel associe à chaque bit un poids, puissance de 2 : par exemple 1011 pour onze ;
- le code Gray, ou binaire réfléchi, est construit pour que deux valeurs consécutives ne diffèrent que d'un bit ;
- l'hexadécimal, en base 16, sert à écrire de façon compacte des mots binaires : un chiffre pour quatre bits.
Le code Gray est utilisé par les codeurs absolus, pour qu'une lecture faite pendant une transition ne donne jamais une valeur éloignée de la vraie.
Le support de l'information est le vecteur physique qui la transporte : courant ou tension dans un fil, lumière dans une fibre ou un faisceau infrarouge, onde radio, pression pneumatique.
3Architecture fonctionnelle et structurelle, diagrammes de blocs
3.1Rappel
L'architecture fonctionnelle dit ce que fait chaque partie, sous forme de fonctions reliées par des flux. L'architecture structurelle, ou organique, dit de quoi le système est fait. Le chapitre précédent a montré comment associer les unes aux autres par les chaînes d'information et de puissance. Le langage SysML en donne deux représentations normalisées, que le programme demande de lire ou de compléter avec les éléments syntaxiques fournis.
3.2Diagramme de définition de blocs
Définition 3.1Diagramme de définition de blocs
Le diagramme de définition de blocs (bdd) montre la décomposition hiérarchique : qui contient quoi.
- Chaque constituant est un bloc nommé.
- Un losange plein côté conteneur signale une composition : le constituant est indispensable au tout et n'existe pas sans lui.
- Un losange vide signale une agrégation : le constituant peut exister indépendamment du tout (partage). Un constituant optionnel s'exprime par la multiplicité 0..1, par exemple un éclairage amovible.
- Une multiplicité indique le nombre d'exemplaires : deux freins, deux pédales.
- Des compartiments précisent des sous-constituants ou des valeurs caractéristiques : tension nominale, capacité, masse.
Pour le vélo, on trouve sous le bloc système un cadre, deux roues, une transmission par chaîne, un moteur dans le moyeu arrière, un contrôleur, une batterie, des capteurs, une console d'affichage. Le bdd ne montre ni les flux ni le fonctionnement.
3.3Diagramme de bloc interne
Définition 3.2Diagramme de bloc interne
Le diagramme de bloc interne (ibd) montre ce qui circule entre les constituants.
- Chaque bloc y possède des ports, points par lesquels il échange de la matière, de l'énergie ou de l'information.
- Des connecteurs relient les ports et portent la nature du flux.
- Un port de flux peut être entrant, sortant ou bidirectionnel.
Exemple 3.3Lecture de l'ibd du vélo
- La batterie envoie de l'énergie électrique au contrôleur.
- Le contrôleur, selon les informations du capteur de pédalage, du capteur de vitesse et des leviers de frein, module l'énergie envoyée au moteur.
- Le moteur fournit un couple à la roue arrière, qui s'ajoute au couple transmis par la chaîne depuis les pédales.
- La roue propulse le vélo par contact avec la route.
- Le contrôleur envoie des informations à la console, qui les communique au cycliste.
Le bdd et l'ibd portent les mêmes blocs. Le premier les organise, le second les relie.
Attention
Une erreur courante consiste à chercher des flux dans un bdd ou une hiérarchie dans un ibd.
Un usage fréquent colore les flux : énergie en rouge, matière en noir, information en bleu ou vert. Ce n'est pas une règle de la norme, mais une aide à la lecture.
3.4Prolongements en PSI
Le programme PCSI-PSI place en deuxième année deux compétences qui s'appuient sur ces diagrammes :
- caractériser un constituant de la chaîne de puissance (préactionneurs, actionneurs, transmetteurs) par ses caractéristiques, sa réversibilité et ses domaines d'application ;
- proposer une architecture fonctionnelle et organique, sous forme d'association de blocs, en allouant des composants aux exigences et en décrivant leurs interfaces.
On se contente en première année de lire et de compléter.
4Capteurs
4.1Fonction
Un capteur réalise la fonction acquérir. Il transforme une grandeur physique, le mesurande, en un signal exploitable par la chaîne d'information, en général électrique. La relation entre la sortie et le mesurande s'établit par étalonnage.
Une chaîne de mesure complète comprend :
- l'élément sensible ;
- un conditionneur qui amplifie, filtre ou convertit ;
- parfois un transmetteur.
Un détecteur est un capteur tout ou rien, qui signale seulement le franchissement d'un seuil.
4.2Grandeurs d'entrée et de sortie, nature du signal
Le programme demande de caractériser un capteur par la nature de ses grandeurs d'entrée et de sortie, la nature du signal et son support.
Exemple 4.1Capteurs à connaître
- Interrupteur de fin de course. Entrée : contact mécanique. Sortie : logique.
- Détecteur à effet Hall devant un aimant. Entrée : champ magnétique. Un aimant est fixé au rayon et passe devant le capteur : sortie, une impulsion logique par tour de roue. La vitesse se déduit de la fréquence des impulsions et du périmètre de la roue.
- Détecteur inductif. Entrée : présence d'une pièce métallique proche. Sortie : logique.
- Potentiomètre. Entrée : position angulaire ou linéaire. Sortie : tension analogique proportionnelle.
- Génératrice tachymétrique. Entrée : vitesse de rotation. Sortie : tension analogique proportionnelle.
- Codeur incrémental. Entrée : rotation. Sortie : deux trains d'impulsions logiques décalés (voies en quadrature), que l'on compte.
- Codeur absolu. Entrée : position angulaire. Sortie : mot numérique, en général en code Gray.
- Jauge de déformation. Entrée : déformation d'une pièce. Sortie : variation relative de résistance , avec pour une jauge métallique, mesurée par un pont de Wheatstone. Un capteur de couple de pédalier peut reposer sur ce principe.
- Thermistance. Entrée : température. Sortie : résistance, dont la variation avec la température n'est pas linéaire.
4.3Codeurs, un point souvent interrogé
Un codeur incrémental est un capteur relatif : il compte les impulsions depuis une référence. Il faut donc, à la mise sous tension, une prise d'origine : déplacement jusqu'à un détecteur de référence.
Propriété 4.2Résolution d'un codeur
- Codeur incrémental à fentes et deux voies en quadrature : on compte fronts par tour, et l'ordre d'apparition des fronts sur les deux voies donne le sens de rotation.
- Codeur absolu à pistes : il donne directement la position, avec une résolution de , sans initialisation mais avec un disque plus complexe.
Exemple 4.3Codeur incrémental de 1 000 fentes
4.4Qualités métrologiques
Le vocabulaire suivant sert à comparer des capteurs et est mobilisé en activité expérimentale :
- étendue de mesure : plage des valeurs mesurables ;
- sensibilité : pente de la caractéristique sortie-entrée ;
- linéarité : écart de la caractéristique à une droite ;
- résolution : plus petite variation détectable ;
- fidélité : dispersion de mesures répétées ;
- justesse : écart de la moyenne des mesures à la valeur vraie.
Les notions d'incertitude-type vues en physique s'appliquent directement aux mesures issues des capteurs.
Méthodes
MéthodeRéflexes du chapitre
- Commencer par la question posée, puis tracer la frontière et la justifier en une phrase.
- Parcourir la liste de contrôle du milieu extérieur et ne garder que les éléments influents.
- Pour chaque échange, donner sa nature, et pour un flux d'énergie nommer l'effort et le flux.
- Lire un bdd de haut en bas pour la hiérarchie, un ibd en suivant les flux depuis la source d'énergie puis depuis chaque capteur.
- Caractériser tout capteur par quatre éléments : mesurande, grandeur de sortie, nature du signal, support.
Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle
- Isoler un système pour une question donnée et justifier la frontière choisie.
- Lister les éléments influents du milieu extérieur et compléter un diagramme de contexte.
- Donner la nature des flux traversant la frontière, et les grandeurs effort et flux d'un flux d'énergie.
- Définir signal logique, analogique et numérique, et calculer le quantum d'un convertisseur.
- Expliquer l'intérêt du code Gray.
- Lire un bdd et un ibd et décrire le cheminement de l'énergie et de l'information.
- Caractériser un capteur donné par son mesurande, sa sortie, la nature de son signal et son support.
- Calculer la résolution d'un codeur incrémental et expliquer la nécessité d'une prise d'origine.
Méthodes et exercices
Les résultats à connaître
Pas de théorème ici, mais des définitions opératoires, quelques relations de calcul et des règles de lecture.
- Frontière de l'étude. C'est une limite choisie selon la question posée, qui sépare le système isolé du milieu extérieur. Exigible, avec justification du choix.
- Action intérieure ou extérieure. Une action est extérieure si elle s'exerce entre un élément isolé et un élément du milieu extérieur. Son statut dépend donc de l'isolement. Exigible.
- Éléments influents du milieu extérieur. Ce sont ceux dont l'action modifie la performance étudiée. Exigible.
- Trois natures de flux (matière, énergie, information) et matière d'œuvre. Exigible.
- Puissance égale au produit d'un effort par un flux : P = u i, P = F v, P = C ω (ω en rad/s), P = p q. Ce sont des relations de physique, utilisées sans démonstration. Le couple effort et flux est formalisé au quatrième semestre (compétence B1).
- Signal logique, analogique ou numérique. Exigible.
- Sur n bits, on code 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1. Un chiffre hexadécimal code 4 bits. Exigible.
- Quantum d'un convertisseur de n bits sur une plage de largeur E : q = E / 2ⁿ. Exigible. Certains sujets prennent E / (2ⁿ − 1). L'écart est négligeable dès que n dépasse 8, il suffit d'annoncer sa convention.
- Code Gray : deux valeurs consécutives ne diffèrent que d'un bit, y compris de la dernière à la première. Propriété exigible. La conversion est à savoir refaire, souvent guidée.
- Codeur incrémental à N fentes et deux voies en quadrature : 4N fronts par tour, résolution 360° / (4N), sens donné par l'ordre des fronts. Exigible avec justification. Il impose une prise d'origine.
- Codeur absolu à n pistes : résolution 360° / 2ⁿ sur un tour, sans prise d'origine. Exigible.
- Jauge de déformation : ΔR / R = K ε en petites déformations, avec K voisin de 2 pour une jauge métallique. Relation fournie par les sujets, à savoir exploiter.
- Diagramme de définition de blocs (composition, agrégation, multiplicité) et diagramme de bloc interne (ports, connecteurs, nature des flux). À lire ou à compléter, syntaxe non exigible.
- Caractérisation d'un capteur par quatre éléments : mesurande, grandeur de sortie, nature du signal, support. Exigible.
- Hors de ce chapitre : la syntaxe SysML, le critère d'échantillonnage de Shannon (vu plus tard en physique), la proposition d'une architecture (compétence F1, deuxième année) et la caractérisation des préactionneurs et actionneurs (troisième semestre).
Clés de démonstration
Aucune preuve mathématique n'est exigible. Six justifications reviennent pourtant en khôlle.
Quantum. Les 2ⁿ codes partagent la plage E en 2ⁿ intervalles égaux, de largeur q = E / 2ⁿ. Deux tensions du même intervalle donnent le même code, donc la plus petite variation distinguée à coup sûr est de l'ordre de q. L'astuce : raisonner sur les intervalles et non sur les bornes, pour ne pas hésiter entre 2ⁿ et 2ⁿ − 1.
Code Gray. On obtient le code à n + 1 bits par réflexion : la liste à n bits, puis la même liste à l'envers, avec le préfixe 0 en haut et 1 en bas. Dans chaque moitié, deux mots consécutifs diffèrent d'un bit par récurrence. À la jonction, on a le même mot avec deux préfixes différents. L'astuce, c'est la réflexion, qui rend aussi le code cyclique.
Les 4N fronts. Chaque voie donne N fronts montants et N descendants par tour. Décalées d'un quart de période, les deux voies donnent 4N fronts distincts, espacés d'un quart de pas. Pour le sens, on lit la voie B au front montant de la voie A : 0 dans un sens, 1 dans l'autre. L'astuce : tracer les deux chronogrammes l'un sous l'autre.
Puissance hydraulique. Pour un vérin de section S, F = p S et v = q / S, donc F v = p q. La section règle le compromis entre effort et vitesse, pas la puissance.
Actions intérieures. Par le principe des actions réciproques, deux éléments isolés ensemble exercent l'un sur l'autre des actions opposées, qui se compensent dans le bilan des actions mécaniques (résultante et moment). Dans un bilan de puissance, en revanche, la puissance des inter-efforts n'est pas nulle en général. Elle l'est pour une liaison parfaite ou sans mouvement relatif (notion de deuxième année). L'astuce : pour chaque action, se demander si ses deux protagonistes sont du même côté de la frontière.
Pont de Wheatstone en quart de pont. Quatre résistances R, dont une jauge qui devient R + ΔR, alimentées sous E. La tension de déséquilibre vaut V = E ΔR / (2 (2R + ΔR)), soit environ E ΔR / (4R). L'astuce : le pont retranche la tension de repos, on ne mesure que la variation.
Exemples et contre-exemples à connaître
- La pesanteur est une action extérieure sans objet visible au contact. C'est l'oubli le plus fréquent.
- Le câble d'un ascenseur est intérieur si l'on isole cabine, câble et contrepoids, extérieur si l'on isole la cabine seule. Même objet, deux statuts.
- Pour une imprimante, la matière d'œuvre est la feuille. Le document entre comme flux d'information.
- Un signal à modulation de largeur d'impulsion n'a que deux niveaux, mais le rapport cyclique qu'il porte varie continûment. Forme du signal et information portée sont distinctes.
- Dans une fibre optique, la nature est numérique et le support est la lumière. Nature et support sont deux cases distinctes.
- Un détecteur inductif répond « présent ou absent », un capteur à ultrasons donne une distance. Le premier seul est tout ou rien.
- En binaire naturel, passer de 0111 à 1000 change quatre bits. Une lecture pendant la transition peut donner 1111, soit 15 au lieu de 7 ou 8. C'est la raison d'être du code Gray.
- Après une coupure d'alimentation, un codeur incrémental ignore sa position, un codeur absolu la connaît.
- La sortie d'une thermistance est une résistance. Il faut un conditionneur, par exemple un diviseur de tension, pour obtenir un signal.
Techniques du chapitre
Technique 1, tracer la frontière à partir de la question. Grue de chantier : pour le basculement, on isole la grue et sa charge, le sol, le vent et la pesanteur sont extérieurs. Pour choisir le moteur de levage, on isole le moteur seul, et la charge devient un couple résistant.
Technique 2, parcourir la liste de contrôle du milieu extérieur. Portique de lavage automobile : l'utilisateur, le véhicule (matière d'œuvre), les réseaux d'eau et d'électricité, l'égout, la température (risque de gel), la réglementation sur les rejets.
Technique 3, nommer l'effort et le flux, puis calculer. Un moteur fournit 1,5 kW à 1 450 tr/min. On a ω = 1 450 × 2π / 60 ≈ 152 rad/s, donc C = P / ω ≈ 9,9 N·m.
Technique 4, ramener le quantum au mesurande. Capteur de 0 à 10 bar délivrant 0 à 10 V vers un convertisseur 8 bits de 0 à 10 V. Le quantum vaut 10 / 256 ≈ 39 mV, soit environ 39 mbar.
Technique 5, passer du binaire à l'hexadécimal. Le mot 1011 0110 se découpe en 1011, soit B, et 0110, soit 6. Il s'écrit B6, soit 11 × 16 + 6 = 182.
Technique 6, lire un ibd en deux passes. Volet roulant. Depuis la source d'énergie : secteur, relais de la carte, moteur tubulaire, axe d'enroulement, tablier. Depuis chaque capteur : bouton mural vers la carte, fin de course vers la carte.
Technique 7, remplir les quatre cases d'un capteur. Flotteur dans une cuve. Mesurande : le niveau d'eau. Sortie : contact ouvert ou fermé. Signal : logique. Support : tension électrique.
Exercices classiques corrigés
Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.
Exercice 1
Classiques de khôlle et concours · Khôlle
Un robot tondeuse travaille dans un jardin délimité par un fil périphérique enterré. On étudie (a) l'autonomie, (b) le respect de la zone de tonte, (c) l'arrêt de la lame si l'on soulève le robot. Proposer pour chaque question une frontière et les éléments extérieurs influents.
Technique la frontière dépend de la question.
Voir le corrigé
- (a) On isole batterie, moteurs et électronique. L'herbe impose un couple résistant sur la lame, la pente et le sol un effort sur les roues, la température agit sur la batterie.
- (b) On isole le robot entier, puisque sa position compte. Le fil émet un champ magnétique détecté par le robot. Le sol et les obstacles agissent aussi.
- (c) On isole la lame, son moteur, le capteur de soulèvement et le calculateur. L'utilisateur et la pesanteur sont extérieurs.
piège : Garder une seule frontière pour les trois questions, ou oublier la pente pour l'autonomie.
Exercice 2
Classiques de khôlle et concours · Khôlle
Une machine à café à capsules porte 40 mL d'eau de 20 °C à 90 °C avec une résistance de 1 400 W. Lister les flux traversant la frontière de la machine, donner la matière d'œuvre, estimer la durée minimale de chauffe.
Technique trois natures de flux, puis bilan d'énergie.
Voir le corrigé
- La matière d'œuvre est l'eau, transformée en café.
- Matière : l'eau froide et la capsule pleine entrent, le café sort. La capsule usagée reste dans un bac intérieur jusqu'à ce qu'on le vide.
- Énergie : l'énergie électrique entre (effort tension, flux intensité). L'énergie thermique sort avec le café et par les parois.
- Information : le choix de l'utilisateur entre, les voyants sortent.
- Énergie à fournir : 0,040 × 4 180 × 70 ≈ 11 700 J, d'où une durée minimale de 11 700 / 1 400 ≈ 8,4 s sans pertes.
piège : Prendre la capsule pour la matière d'œuvre, ou oublier la chaleur emportée par le café.
Exercice 3
Classiques de khôlle et concours · Khôlle
Le vérin de bras d'une pelle mécanique a un piston de 80 mm de diamètre. Il reçoit de l'huile à 150 bar avec un débit de 30 L/min. Calculer la puissance hydraulique, l'effort et la vitesse de tige, puis vérifier la cohérence.
Technique effort et flux dans deux domaines.
Voir le corrigé
- En SI : p = 1,5 × 10⁷ Pa et q = 5 × 10⁻⁴ m³/s.
- P = p q = 7 500 W.
- S = π × 0,04² ≈ 5,03 × 10⁻³ m², donc F = p S ≈ 75 kN.
- v = q / S ≈ 0,10 m/s.
- F v ≈ 75 000 × 0,0995 ≈ 7 500 W. Les deux domaines donnent la même puissance.
piège : Laisser les bars et les litres par minute dans le calcul.
Exercice 4
Classiques de khôlle et concours · Khôlle
Écrire 13 en binaire naturel, en hexadécimal et en code Gray. Relire le mot Gray 1011. Expliquer pourquoi un codeur absolu utilise ce code.
Technique conversion par le « ou exclusif ».
Voir le corrigé
- 13 = 8 + 4 + 1 s'écrit 1101, soit D en hexadécimal.
- Gray : ou exclusif bit à bit du mot et du mot décalé d'un rang à droite. 1101 et 0110 donnent 1011.
- Relecture de 1011 : on garde le premier bit, 1. Chaque bit binaire suivant est le ou exclusif du bit binaire précédent et du bit Gray courant : 1 et 0 donnent 1, 1 et 1 donnent 0, 0 et 1 donnent 1. On retrouve 1101, soit 13.
- Entre deux positions voisines du disque, un seul bit change. Une lecture pendant la transition donne l'une des deux positions voisines, jamais une valeur éloignée.
piège : Décaler vers la gauche, ou relire avec les bits Gray au lieu des bits binaires déjà obtenus.
Exercice 5
Classiques de khôlle et concours · Khôlle
Un ascenseur comporte un interrupteur de fin de course en haut de gaine, un codeur incrémental sur l'arbre moteur, un capteur de pesage à jauges de déformation et une barrière infrarouge entre les portes. Caractériser chacun.
Technique les quatre cases.
Voir le corrigé
- Fin de course. Mesurande : position de la cabine, par contact mécanique. Sortie : un contact. Signal logique. Support : tension électrique.
- Codeur. Mesurande : rotation du moteur, image de la position de la cabine. Sortie : deux trains d'impulsions. Signal logique, exploité par comptage. Support : tension électrique.
- Pesage. Mesurande : déformation d'un corps d'épreuve, image de la masse. Sortie : variation de résistance, convertie en tension par un pont. Signal analogique. Support : tension électrique.
- Barrière. Mesurande : présence d'un obstacle. Sortie : faisceau reçu ou non. Signal logique. Support : lumière infrarouge entre émetteur et récepteur, puis tension électrique.
piège : Déclarer le codeur « analogique » parce qu'il mesure une grandeur continue.
Exercice 6
Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PSI
Un capteur de température linéaire délivre 0 V à −20 °C et 5 V à 80 °C, vers un convertisseur 10 bits de 0 à 5 V. Calculer la sensibilité, la résolution en température, le code à 25 °C, puis le nombre de bits pour une résolution de 0,05 °C.
Technique quantum ramené au mesurande.
Voir le corrigé
- Sensibilité : 5 V pour 100 °C, soit 0,05 V/°C.
- Quantum : 5 / 1 024 ≈ 4,88 mV. Résolution : 4,88 / 50 ≈ 0,098 °C, environ 0,1 °C.
- À 25 °C, la tension vaut 45 × 0,05 = 2,25 V. Le code vaut 2,25 / 0,00488 ≈ 460,8, soit 460 par troncature ou 461 par arrondi selon le convertisseur. En hexadécimal, 461 s'écrit 1CD.
- Pour 0,05 °C, il faut q ≤ 2,5 mV, donc 2ⁿ ≥ 2 000, soit n = 11.
- Cette résolution ne garantit pas la justesse, qui dépend aussi de l'étalonnage.
piège : Confondre résolution et précision de la mesure.
Exercice 7
Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PSI
L'axe d'une machine de découpe est entraîné par une vis à billes de pas 5 mm, montée directement sur le moteur. Un codeur incrémental de 500 fentes à deux voies est monté sur l'arbre moteur. Course 600 mm, vitesse maximale 3 000 tr/min. Calculer les résolutions et les fréquences à traiter, puis discuter un codeur absolu 12 bits monotour.
Technique résolution d'un codeur et prise d'origine.
Voir le corrigé
- On compte 4 × 500 = 2 000 fronts par tour. Résolution angulaire : 0,18°. Résolution linéaire : 5 / 2 000 = 2,5 µm.
- À 50 tr/s, chaque voie délivre 25 kHz et le compteur traite 100 000 fronts par seconde.
- À la mise sous tension, le compteur ignore la position. Une prise d'origine sur un détecteur de référence est indispensable.
- Le codeur absolu monotour donne 5 / 4 096 ≈ 1,2 µm par pas. Mais la course représente 120 tours, qu'il ne distingue pas. Il faut un codeur multitours, ou une prise d'origine pour compter les tours.
piège : Oublier le facteur 4, ou croire qu'un codeur absolu monotour règle tout sur un axe à plusieurs tours.
Exercice 8
Classiques de khôlle et concours · Type écrit e3a
Un anémomètre à coupelles pilote le repli d'un store. Un détecteur à effet Hall délivre une impulsion par tour, et l'étalonnage (fictif) donne v = 2,4 f, avec v en m/s et f en Hz. Le repli se déclenche à 40 km/h. Comparer le comptage des impulsions pendant 1 s et la mesure de période avec une horloge de 10 kHz.
Technique information portée par la fréquence d'un signal logique.
Voir le corrigé
- Seuil : 40 / 3,6 ≈ 11,1 m/s, soit f ≈ 4,63 Hz et T ≈ 0,216 s.
- Par comptage sur 1 s, on obtient 4 ou 5 impulsions. La résolution vaut 1 Hz, soit 2,4 m/s ou environ 8,6 km/h. C'est trop grossier près du seuil.
- Par mesure de période, T est connue à 0,1 ms près, soit une erreur relative d'environ 5 × 10⁻⁴ et une résolution d'environ 0,005 m/s.
- La mesure de période répond aussi en une période au lieu d'une seconde. Par vent faible, la période devient très longue : au-delà d'une durée d'attente maximale, on considère le vent nul.
piège : Qualifier le signal d'analogique parce que la vitesse du vent l'est.
Exercice 9. Une direction assistée électrique est décrite en texte
Approfondissement · Type oral Centrale
- Bdd : le bloc « direction assistée » est composé (losanges pleins) d'une colonne avec barre de torsion, d'un capteur de couple, d'un calculateur, d'un moteur électrique, d'un réducteur à roue et vis, d'un boîtier pignon et crémaillère, et de deux biellettes (multiplicité 2).
- Ibd : les connecteurs relient la batterie du véhicule au calculateur, le calculateur au moteur, le moteur au réducteur, le réducteur à la colonne, la colonne au boîtier pignon et crémaillère, ce boîtier aux biellettes. Le capteur de couple et le bus du véhicule sont reliés au calculateur.
Questions : situer la frontière, compléter la nature des flux, justifier l'entrée « vitesse du véhicule ».
Technique lecture croisée du bdd et de l'ibd.
Voir le corrigé
- Sont extérieurs le conducteur, qui applique un couple au volant, la batterie du véhicule, les autres calculateurs du véhicule qui émettent la vitesse sur le bus, les roues et le sol, qui résistent au braquage.
- Batterie vers calculateur : énergie électrique (tension, intensité). Calculateur vers moteur : énergie électrique modulée.
- Moteur vers réducteur, réducteur vers colonne, colonne vers boîtier pignon et crémaillère : énergie mécanique de rotation (couple, vitesse angulaire).
- Le pignon convertit la rotation en translation. Crémaillère vers biellettes : énergie mécanique de translation (force, vitesse).
- Capteur de couple vers calculateur : information analogique ou numérique selon le modèle. Bus vers calculateur : information numérique. Le capteur mesure souvent l'angle de torsion d'une barre de raideur connue, dont on déduit le couple.
- L'assistance doit être forte à l'arrêt, pour manœuvrer, et faible à grande vitesse, pour la stabilité. D'où l'entrée vitesse.
piège : Chercher les flux dans le bdd, placer la batterie du véhicule à l'intérieur de la frontière, ou qualifier de translation le flux qui sort de la colonne.
Exercice 10
Approfondissement · Type écrit Mines-Ponts
Un capteur d'effort utilise une jauge de 350 Ω, de facteur K = 2,0, de déformation maximale 500 µm/m, montée en quart de pont alimenté sous 5 V. La tension est convertie par un convertisseur 12 bits de 0 à 3,3 V. Dimensionner le conditionnement.
Technique chaîne de mesure complète.
Voir le corrigé
- ΔR / R = 2 × 5 × 10⁻⁴ = 10⁻³, donc ΔR = 0,35 Ω.
- Tension exacte : 5 × 0,35 / (2 × 700,35) ≈ 1,249 mV. Approchée : E ΔR / (4R) = 1,25 mV. L'erreur de linéarité vaut environ ΔR / (2R), soit 0,05 %.
- Le quantum vaut 3,3 / 4 096 ≈ 0,81 mV. Sans amplification, toute l'étendue tient en environ 1,5 quantum. Un amplificateur est indispensable.
- Il faut 1,25 mV × G ≤ 3,3 V, donc G ≤ 2 640. On prend G = 2 000, d'où 2,5 V en pleine échelle.
- La sensibilité du pont vaut E K / 4 = 2,5 V par unité de déformation. La résolution en déformation vaut 0,81 × 10⁻³ / (2 000 × 2,5) ≈ 1,6 × 10⁻⁷, soit 0,16 µm/m.
- La résistance de la jauge varie aussi avec la température. Une seconde jauge non déformée, placée dans le pont, compense cette dérive.
piège : Oublier le facteur 4 du pont, ou brancher la jauge directement sur le convertisseur.
Erreurs fréquentes
- Tracer une frontière sans dire à quelle question elle répond, ou en changer en cours de bilan. Toujours écrire « on isole … pour étudier … ».
- Confondre la nature du signal avec son support ou avec celle du mesurande. Une vitesse continue peut être portée par des impulsions logiques.
- Oublier le facteur 4 d'un codeur en quadrature, ou la prise d'origine d'un codeur incrémental.
- Donner un quantum en volts sans le ramener au mesurande, ou confondre résolution et justesse.
- Chercher des flux dans un bdd ou une hiérarchie dans un ibd. Le bdd dit « qui contient quoi », l'ibd dit « qui envoie quoi à qui ».
Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de sciences industrielles de l'ingénieur de PCSI-PSI (2021). Elle couvre la compétence A2 « Définir les frontières de l'analyse » (deuxième semestre) : isoler un système et justifier l'isolement, définir les éléments influents du milieu extérieur, identifier la nature des flux de matière, d'énergie et d'information traversant la frontière (définition, nature et codage). Elle couvre aussi les points de la compétence A3 qui s'y rattachent : la lecture des diagrammes de définition de blocs et de bloc interne, qui décrivent l'architecture fonctionnelle et structurelle, et la caractérisation d'un constituant de la chaîne d'information, le capteur, avec ses fonctions, la nature des grandeurs physiques d'entrée et de sortie, la nature du signal et le support de l'information (deuxième semestre). En PCSI, l'association des fonctions aux constituants est positionnée dès le premier semestre et a été présentée au chapitre précédent. Le programme PCSI-PSI prolonge ces notions en deuxième année par la caractérisation des constituants de la chaîne de puissance et par la compétence F1, proposer une architecture fonctionnelle et organique.