Le cours

Résumé en cinq points

Un mouvement n'existe que relativement à un référentiel. Distances et durées sont absolues en mécanique classique, ce qui cesse d'être vrai aux grandes vitesses.
En cartésiennes la base est fixe, en cylindriques et en sphériques elle est locale et dépend du temps, ce qui impose de dériver aussi les vecteurs de base.
En cylindriques, $\vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot\theta\,\vec e_\theta + \dot z\,\vec e_z$ et $\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\vec e_r + (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\vec e_\theta + \ddot z\,\vec e_z$ .
Une accélération constante donne une trajectoire parabolique, obtenue par deux intégrations puis élimination du temps.
Dans le repère de Frenet, $\vec a = \dfrac{\dd v}{\dd t}\,\vec T + \dfrac{v^2}{R_c}\,\vec N$ . Norme de la vitesse pour la composante tangentielle, courbure pour la composante normale, toujours dirigée vers l'intérieur.

Pourquoi ce chapitre

C'est un chapitre d'outils. Il ne contient presque aucune loi physique, mais tout ce qui suit en dépend. Une erreur de projection ou un vecteur de base mal dérivé fausse un problème de mécanique entier.

L'objectif est double :

installer trois systèmes de coordonnées et savoir choisir le bon, car un problème bien paramétré est souvent à moitié résolu ;
acquérir le réflexe de dériver des vecteurs dont la direction change au cours du temps, difficulté nouvelle par rapport au lycée.

Les deux mouvements de référence du chapitre, accélération constante et mouvement circulaire, reviendront dans tous les chapitres de mécanique et dans celui sur les particules chargées.

1Espace, temps, référentiel

1.1Le cadre classique

En mécanique classique, on postule l'existence d'un temps universel, le même pour tous les observateurs, et d'un espace euclidien à trois dimensions. La distance entre deux points et la durée entre deux événements ont la même valeur pour tous les observateurs : ce sont des grandeurs absolues.

AttentionLimites du cadre classique

La description classique est prise en défaut quand les vitesses approchent celle de la lumière. Deux situations sont à savoir citer :

les muons produits dans la haute atmosphère atteignent le sol en nombre bien supérieur à ce que prévoit un calcul classique, parce que leur durée de vie mesurée depuis le sol est dilatée ;
les horloges des satellites du système de positionnement par satellites dérivent de quelques dizaines de microsecondes par jour par rapport aux horloges au sol. Il faut corriger cet écart relativiste pour obtenir une position au mètre près.

1.2Référentiel

Définition 1.1Référentiel

Un référentiel est un solide de référence auquel on associe un repère d'espace et une horloge.

Décrire un mouvement sans préciser le référentiel n'a aucun sens. Le mouvement est relatif.

Exemple 1.2Relativité du mouvement

Un passager assis dans un train est immobile dans le référentiel du train et animé d'un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel du quai.
La valve d'une roue de vélo décrit un cercle dans le référentiel du vélo et une cycloïde dans celui de la route.

Référentiels usuels :

le référentiel terrestre, lié au sol du laboratoire ;
le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, avec des axes pointant vers des étoiles lointaines ;
le référentiel héliocentrique, lié au centre du Soleil, avec des axes pointant vers des étoiles lointaines.

2Cinématique du point

2.1Définitions

Définition 2.1Position, vitesse, accélération

Soit $O$ un point fixe du référentiel.

Le vecteur position est $\vect{OM}$ .
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps dans ce référentiel : $\vec v = \dfrac{\dd \vect{OM}}{\dd t}$ .
Le vecteur accélération est $\vec a = \dfrac{\dd \vec v}{\dd t}$ .

Définition 2.2Déplacement élémentaire

Le déplacement élémentaire $\dd\vect{OM}$ est la variation du vecteur position pendant $\dd t$ , et $\vec v = \dfrac{\dd \vect{OM}}{\dd t}$ . Il se lit directement sur un schéma géométrique, sans calcul.

AttentionDérivation et référentiel

Une dérivation dépend du référentiel. Un même vecteur peut avoir une dérivée nulle dans un référentiel et non nulle dans un autre.

2.2Coordonnées cartésiennes

La base $(\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z)$ est fixe, orthonormée directe. Ces trois vecteurs ne dépendent ni du temps ni du point : c'est ce qui rend le système commode.

Propriété 2.3Expressions en cartésiennes

Le point notant la dérivation par rapport au temps : $\vect{OM} = x\,\vec e_x + y\,\vec e_y + z\,\vec e_z$ $\dd\vect{OM} = \dd x\,\vec e_x + \dd y\,\vec e_y + \dd z\,\vec e_z$ $\vec v = \dot x\,\vec e_x + \dot y\,\vec e_y + \dot z\,\vec e_z$ $\vec a = \ddot x\,\vec e_x + \ddot y\,\vec e_y + \ddot z\,\vec e_z$

Ce système convient aux mouvements rectilignes et aux mouvements à accélération constante.

2.3Coordonnées cylindriques

Définition 2.4Coordonnées cylindriques

On repère $M$ par :

$r$ , distance de $M$ à l'axe $Oz$ ;
$\theta$ , angle entre $\vec e_x$ et la projection de $\vect{OM}$ dans le plan $Oxy$ ;
$z$ , la cote.

La base locale $(\vec e_r, \vec e_\theta, \vec e_z)$ est orthonormée directe. Les vecteurs $\vec e_r$ et $\vec e_\theta$ dépendent de $\theta$ , donc du temps si le point tourne.

Propriété 2.5Position et déplacement élémentaire

$\vect{OM} = r\,\vec e_r + z\,\vec e_z$ $\theta$ n'apparaît pas explicitement : il est caché dans la direction de $\vec e_r$ . Le déplacement élémentaire s'obtient géométriquement en faisant varier séparément chaque coordonnée : $\dd\vect{OM} = \dd r\,\vec e_r + r\,\dd\theta\,\vec e_\theta + \dd z\,\vec e_z$ Le facteur $r$ devant $\dd\theta$ vient de ce qu'un déplacement à $r$ fixé sur un arc d'angle $\dd\theta$ a pour longueur $r\,\dd\theta$ .

Propriété 2.6Dérivées des vecteurs de base

$\frac{\dd \vec e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vec e_\theta \quad\text{et}\quad \frac{\dd \vec e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vec e_r$

Contrôle géométrique : quand $\theta$ augmente, $\vec e_r$ tourne vers $\vec e_\theta$ , et $\vec e_\theta$ tourne vers l'opposé de $\vec e_r$ .

Propriété 2.7Vitesse et accélération en cylindriques

$\vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot\theta\,\vec e_\theta + \dot z\,\vec e_z$ L'accélération s'obtient en dérivant la vitesse sans oublier les vecteurs de base : $\begin{aligned} \vec a ={}& (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\vec e_r \\ &+ (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\vec e_\theta \\ &+ \ddot z\,\vec e_z \end{aligned}$

Le terme $-r\dot\theta^2$ est le terme centripète, présent dès qu'il y a rotation. Le terme $2\dot r\dot\theta$ apparaît quand la rotation et la variation du rayon coexistent.

Ce système convient aux mouvements de rotation, aux trajectoires circulaires et aux problèmes de force centrale.

2.4Coordonnées polaires planes

C'est le cas particulier $z = 0$ des coordonnées cylindriques.

À retenir

$\vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot\theta\,\vec e_\theta$ et $\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\vec e_r + (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\vec e_\theta$ .

2.5Coordonnées sphériques

Définition 2.8Coordonnées sphériques

On repère $M$ par :

$r$ , distance à l'origine ;
$\theta$ , angle entre $Oz$ et $\vect{OM}$ , appelé colatitude ;
$\varphi$ , angle entre $\vec e_x$ et la projection de $\vect{OM}$ dans le plan $Oxy$ .

La base locale est $(\vec e_r, \vec e_\theta, \vec e_\varphi)$ .

Propriété 2.9Position et déplacement élémentaire

$\vect{OM} = r\,\vec e_r$ Le déplacement élémentaire se construit géométriquement : $\begin{aligned} \dd\vect{OM} ={}& \dd r\,\vec e_r + r\,\dd\theta\,\vec e_\theta \\ &+ r\sin\theta\,\dd\varphi\,\vec e_\varphi \end{aligned}$ Le facteur $r\sin\theta$ vient de ce que le cercle décrit à $\theta$ fixé a pour rayon $r\sin\theta$ et non $r$ .

Le programme demande seulement de savoir construire ce déplacement élémentaire et le trièdre local. Les expressions de la vitesse et de l'accélération en sphériques ne sont exigibles ni en cartésiennes ni en cylindriques : elles sont fournies si besoin.

2.6Degrés de liberté et choix du système

Définition 2.10Degrés de liberté

Le nombre de degrés de liberté est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour repérer le point.

Un point libre dans l'espace en a trois.
Un point astreint à rester sur une surface en a deux.
Un point astreint à rester sur une courbe en a un.

Exemple 2.11Degrés de liberté

Une bille dans une gouttière a un degré de liberté. Un point sur une sphère en a deux, la latitude et la longitude.

MéthodeChoisir le système de coordonnées

On adopte le système dans lequel le maximum de coordonnées restent constantes.

Trajectoire rectiligne : cartésiennes, avec l'axe le long du mouvement.
Trajectoire circulaire : polaires, avec le centre du cercle à l'origine, alors $r$ est constant.
Mouvement sur une sphère : sphériques, alors $r$ est constant.

3Mouvements de référence

3.1Mouvement à vecteur accélération constant

Propriété 3.1Équations horaires

Hypothèse : $\vec a$ est un vecteur constant.

Alors, par intégrations successives, $\vec v(t) = \vec a\,t + \vec v_0,$ puis $\vect{OM}(t) = \tfrac{1}{2}\vec a\,t^2 + \vec v_0\,t + \vect{OM}_0.$

Le mouvement est plan, dans le plan contenant $\vect{OM}_0$ et engendré par $\vec v_0$ et $\vec a$ . La trajectoire est une parabole si $\vec v_0$ n'est pas colinéaire à $\vec a$ , une droite sinon.

Exemple 3.2Trajectoire dans le champ de pesanteur

On prend $Ox$ horizontal dans le plan du mouvement, $Oy$ vertical ascendant, $\vec a = -g\,\vec e_y$ , et une vitesse initiale de norme $v_0$ faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, depuis l'origine. Alors $\begin{aligned} x(t) &= v_0\cos\alpha\; t \\ y(t) &= -\tfrac{1}{2}g t^2 + v_0\sin\alpha\; t \end{aligned}$ On élimine $t$ en écrivant $t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$ , ce qui donne $y(x) = -\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} + x\tan\alpha.$ C'est l'équation d'une parabole.

MéthodeObtenir l'équation de la trajectoire

Écrire les équations horaires.
Exprimer $t$ à partir de la coordonnée dont la loi est affine.
Reporter dans l'autre coordonnée.

Éliminer le temps pour obtenir l'équation de la trajectoire est une capacité exigible.

3.2Mouvement circulaire

On travaille en coordonnées polaires, centre du cercle à l'origine, $r = R$ constant. Alors $\dot r = \ddot r = 0$ .

Propriété 3.3Vitesse et accélération du mouvement circulaire

$\vec v = R\dot\theta\,\vec e_\theta, \qquad \vec a = -R\dot\theta^2\,\vec e_r + R\ddot\theta\,\vec e_\theta$ On pose $\omega = \dot\theta$ , la vitesse angulaire, en $\unite{rad.s^{-1}}$ .

Cas uniforme, $\omega$ constant :

la vitesse a pour norme constante $v = R\omega$ , toujours tangente au cercle ;
l'accélération se réduit au terme centripète, de norme $R\omega^2 = \dfrac{v^2}{R}$ , dirigée vers le centre.

AttentionNorme constante

Une vitesse de norme constante n'implique pas une accélération nulle : seule la direction change et cela suffit à créer une accélération.

Cas non uniforme, $\omega$ variable : l'accélération possède en plus une composante orthoradiale $R\ddot\theta$ , qui traduit la variation de la norme de la vitesse.

Exemple 3.4Ordres de grandeur

Un point de l'équateur terrestre décrit un cercle de $6\,400 \unite{km}$ de rayon en $24 \unite{h}$ . Sa vitesse vaut environ $465 \unite{m.s^{-1}}$ et son accélération centripète environ $3{,}4 \times 10^{-2} \unite{m.s^{-2}}$ , soit $0{,}3\,\%$ de $g$ .
Une centrifugeuse de laboratoire à $10\,000$ tours par minute, à $10 \unite{cm}$ de l'axe, impose une accélération de l'ordre de $10^5 \unite{m.s^{-2}}$ , soit $10^4\,g$ .

3.3Repère de Frenet

Définition 3.5Repère de Frenet

Pour une trajectoire plane connue, on définit en chaque point une base locale liée à la courbe.

Le vecteur $\vec T$ est unitaire et tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement.
Le vecteur $\vec N$ est unitaire, orthogonal à $\vec T$ et dirigé vers le centre de courbure, donc vers l'intérieur du virage.

On note $s$ l'abscisse curviligne, mesurée le long de la trajectoire, et $v = \dfrac{\dd s}{\dd t}$ la vitesse algébrique.

Propriété 3.6Vitesse et accélération dans le repère de Frenet

$\vec v = v\,\vec T, \qquad \vec a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vec T + \frac{v^2}{R_c}\,\vec N$ où $R_c$ est le rayon de courbure, rayon du cercle qui épouse le mieux la trajectoire au point considéré.

Lectures à retenir :

la composante tangentielle traduit la variation de la norme de la vitesse, elle est nulle si le mouvement est uniforme ;
la composante normale traduit le changement de direction, elle est nulle si la trajectoire est rectiligne, et elle est toujours dirigée vers l'intérieur de la courbure ;
le vecteur accélération pointe donc toujours du côté concave de la trajectoire.

MéthodeAnalyse qualitative sur une trajectoire

Sur une trajectoire dessinée avec des positions successives :

Situer la vitesse par la tangente.
L'écartement croissant ou décroissant des positions donne le signe de la composante tangentielle.
La courbure donne la direction de la composante normale.

4Capacité expérimentale

Exploitation d'un enregistrement vidéo. On filme un mouvement avec une fréquence d'images connue, puis on pointe la position du mobile image par image avec un logiciel de pointage, après avoir défini une échelle à l'aide d'un objet de dimension connue dans le plan du mouvement.

On construit ensuite la vitesse par différences finies : la vitesse à l'instant $t_k$ est approchée par le rapport de la variation de position entre $t_{k-1}$ et $t_{k+1}$ sur la durée correspondante. La différence centrée est nettement plus précise qu'une différence à droite. On recommence sur la vitesse pour obtenir l'accélération.

AttentionPoints de vigilance

Le plan du mouvement doit être parallèle au capteur, sinon l'échelle varie.
La dérivation numérique amplifie le bruit de pointage, donc l'accélération obtenue est toujours plus bruitée que la vitesse. Il peut être nécessaire de lisser ou d'augmenter la fréquence d'échantillonnage.
Une fréquence d'images trop faible devant la rapidité du mouvement donne un flou et un sous-échantillonnage.

Méthodes

MéthodeMener un problème de cinématique

Annoncer le référentiel avant de parler de vitesse ou d'accélération.
Choisir le système de coordonnées en cherchant à rendre constantes le plus de coordonnées possible, puis faire un schéma propre avec la base locale dessinée au point $M$ .
Ne jamais dériver une expression vectorielle sans se demander si les vecteurs de base dépendent du temps.
Pour un déplacement élémentaire dans un système à base locale, raisonner géométriquement en faisant varier une coordonnée à la fois, plutôt que de dériver.
Pour une équation de trajectoire, éliminer le temps entre les équations horaires.
Contrôler l'homogénéité et les cas limites.

MéthodeContrôler par les cas limites

Faire $\dot\theta = 0$ dans les formules cylindriques doit redonner un mouvement radial.
Faire $\dot r = 0$ doit redonner le mouvement circulaire.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Citer une situation où la description classique de l'espace ou du temps est prise en défaut.
Construire géométriquement le déplacement élémentaire en cartésiennes, en cylindriques et en sphériques, et dessiner le trièdre local.
Établir les dérivées de $\vec e_r$ et $\vec e_\theta$ , puis en déduire vitesse et accélération en coordonnées cylindriques.
Traiter un mouvement à accélération constante, établir les équations horaires puis l'équation de la trajectoire.
Donner vitesse et accélération pour un mouvement circulaire uniforme puis non uniforme, en coordonnées polaires.
Écrire l'accélération dans le repère de Frenet et interpréter chacune de ses deux composantes.
Situer qualitativement les vecteurs vitesse et accélération sur une trajectoire plane donnée par des positions successives.
Décrire le protocole d'exploitation d'un enregistrement vidéo pour obtenir vitesse et accélération, et ses limites.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Cadre classique. Temps universel, espace euclidien, distances et durées absolues. Ce sont des postulats. Il faut savoir citer une situation où ils sont pris en défaut.
Vitesse et accélération. v = dOM/dt et a = dv/dt, dérivées calculées dans un référentiel donné. Ce sont des définitions exigibles.
Cartésiennes. Position, déplacement élémentaire, vitesse, accélération, base fixe. Exigible avec établissement.
Cylindriques. dOM = dr e_r + r dθ e_θ + dz e_z, de_r/dt = θ̇ e_θ, de_θ/dt = − θ̇ e_r, puis v et a. Exigible avec démonstration. La vitesse doit aussi pouvoir se lire géométriquement sur dOM.
Polaires planes. Cas z = 0 des cylindriques. Exigible.
Sphériques. dOM = dr e_r + r dθ e_θ + r sin θ dφ e_φ, et le trièdre local. Construction géométrique exigible. La vitesse et l'accélération en sphériques ne sont pas exigibles, elles sont fournies si besoin.
Degrés de liberté. Nombre de paramètres indépendants qui repèrent le point. Il faut savoir les identifier et choisir le système de coordonnées en conséquence.
Accélération constante. v = a t + v₀ et OM = ½ a t² + v₀ t + OM₀. Le mouvement est plan, la trajectoire est parabolique si v₀ n'est pas colinéaire à a. Exigible avec démonstration, équation cartésienne de la trajectoire comprise.
Mouvement circulaire de rayon R. v = R θ̇ e_θ et a = − R θ̇² e_r + R θ̈ e_θ, cas uniforme et non uniforme. Exigible.
Repère de Frenet, trajectoire plane. v = v T et a = (dv/dt) T + (v²/R_c) N, avec N vers le centre de courbure. Relation exigible et à exploiter. Sa démonstration générale n'est pas au programme, on la justifie sur le cas circulaire.
Résultat utile, non listé au programme mais redémontrable en une ligne à partir de Frenet : ‖v ∧ a‖ = v³/R_c.
Hors programme dans ce chapitre, à signaler si un énoncé les utilise : lois de composition des vitesses et des accélérations entre référentiels, accélération en sphériques, repère de Frenet pour une courbe gauche.

Clés de démonstration

Dérivées de e_r et e_θ. On écrit e_r = cos θ e_x + sin θ e_y et e_θ = − sin θ e_x + cos θ e_y. On dérive les composantes par rapport au temps en composant par θ(t), ce qui fait apparaître le facteur θ̇. L'astuce est de passer par la base cartésienne, qui est fixe, puis de reconnaître e_θ et − e_r.

Vitesse en cylindriques. On dérive OM = r e_r + z e_z comme un produit. On obtient ṙ e_r + r de_r/dt + ż e_z, et le terme du milieu vaut r θ̇ e_θ. Le contrôle géométrique consiste à diviser dOM par dt, et les deux méthodes doivent coïncider.

Accélération en cylindriques. On dérive v = ṙ e_r + r θ̇ e_θ + ż e_z terme à terme. On obtient six termes, cinq dans le plan plus z̈ e_z, dont deux égaux à ṙ θ̇ e_θ. L'astuce est de dériver le produit r θ̇ comme un produit, ce qui donne ṙ θ̇ + r θ̈, puis de regrouper.

Accélération constante. On intègre deux fois le vecteur a, et chaque constante vectorielle est fixée par une condition initiale. OM − OM₀ est combinaison linéaire de v₀ et de a, donc M reste dans le plan passant par M₀ et dirigé par ces deux vecteurs. L'équation de la trajectoire s'obtient en tirant t de la coordonnée affine en t, ce qui suppose v₀ cos α ≠ 0.

Frenet sur le cercle. Pour θ̇ > 0, T = e_θ, N = − e_r et la vitesse algébrique vaut R θ̇. La formule polaire se réécrit alors a = (dv/dt) T + (v²/R) N. L'astuce est d'identifier terme à terme, en retenant que R_c = R pour un cercle.

Déplacement élémentaire en sphériques. On fait varier une coordonnée à la fois. dr donne dr e_r, dθ fait parcourir un méridien de rayon r, et dφ fait parcourir un parallèle de rayon r sin θ. L'astuce est de dessiner le cercle décrit à θ fixé et d'en mesurer le rayon.

Exemples et contre-exemples à connaître

Mouvement circulaire uniforme. Vitesse de norme constante, accélération non nulle et centripète. C'est le contre-exemple à « vitesse constante donc accélération nulle ».
Rectiligne uniforme décrit en polaires. r et θ varient, r̈ ≠ 0, et pourtant a = 0. Il montre que r̈ n'est pas l'accélération radiale.
Tir vertical. L'accélération est constante mais la trajectoire est une droite, car v₀ est colinéaire à a. C'est le contre-exemple à « accélération constante donc parabole ».
Point de contact d'une roue qui roule sans glisser. Vitesse nulle, accélération non nulle. Une vitesse instantanément nulle n'implique pas une accélération nulle.
Sommet d'une trajectoire parabolique. Vitesse et accélération y sont orthogonales. L'accélération est purement normale et donne le rayon de courbure v₀² cos² α/g.
Anneau sur une tige en rotation uniforme. Le terme 2 ṙ θ̇ apparaît. Il est nul aux instants où ṙ = 0, et il n'est identiquement nul que si r est constant.
Hélice circulaire. En cylindriques, r et ż sont constants, l'accélération est − R ω² e_r. La trajectoire n'est pas plane, donc le Frenet du programme ne s'applique pas.
Point de la surface terrestre. Son accélération dans le référentiel géocentrique est dirigée vers l'axe de rotation, pas vers le centre de la Terre, sauf à l'équateur.

Techniques du chapitre

Compter les degrés de liberté avant de choisir. Mini-exercice : une bille dans un anneau vertical fixe de rayon R. Un seul degré de liberté, on prend les polaires centrées sur l'anneau. Alors OM = R e_r, v = R θ̇ e_θ, et tout s'écrit avec θ seul.

Dériver un vecteur tournant. Mini-exercice : θ(t) = β t². Alors de_r/dt = θ̇ e_θ = 2 β t e_θ et de_θ/dt = − 2 β t e_r. On n'oublie jamais le facteur θ̇.

Projeter un vecteur fixe sur la base locale. Mini-exercice : pendule, θ mesuré depuis la verticale descendante e_x. Le vecteur g e_x vaut g cos θ e_r − g sin θ e_θ. Contrôle : pour θ petit et positif, la composante orthoradiale ramène vers θ = 0.

Éliminer le temps. Mini-exercice : x = 2t et y = 3 + 4t − t², en unités SI. On tire t = x/2, d'où y = 3 + 2x − x²/4. C'est une parabole tournée vers le bas.

Lire un rayon de courbure. Mini-exercice : au sommet d'un tir, v = v₀ cos α et l'accélération g est normale. Donc R_c = v²/a_N = v₀² cos² α/g. Pour v₀ = 20 m/s et α = 45°, on trouve R_c ≈ 20 m.

Obtenir la composante tangentielle sans Frenet. On utilise a_T = a·v/‖v‖. Mini-exercice : au départ d'un tir, a·v = − g v₀ sin α, donc a_T = − g sin α. La norme de la vitesse commence par diminuer.

Garder les grandeurs algébriques. Mini-exercice : rotation horaire θ = − ω t avec ω > 0. Alors v = R θ̇ e_θ = − R ω e_θ. La formule reste juste, c'est le signe de θ̇ qui oriente la vitesse. On ne met pas de valeur absolue.

Dériver des données par différence centrée. Mini-exercice : x_k−1 = 12,0 cm, x_k+1 = 15,2 cm, images espacées de 0,02 s. v_k = 3,2 cm/0,04 s = 0,80 m/s.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Rectiligne uniforme en polaires

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un point se déplace à la vitesse constante v₀ sur la droite x = d, avec d > 0 et y = v₀ t. Exprimer r et θ̇, puis vérifier avec les formules polaires que l'accélération est nulle.

Technique Dérivation en polaires et quantité r² θ̇.

Voir le corrigé

r = √(d² + v₀² t²) et tan θ = v₀ t/d, d'où θ̇ = v₀ d/r², et r² θ̇ = v₀ d est constant.
ṙ = v₀² t/r = v₀ sin θ et r θ̇ = v₀ d/r = v₀ cos θ. La norme de la vitesse vaut bien v₀.
Radiale : r̈ = v₀ cos θ θ̇ = v₀² d²/r³, et r θ̇² = v₀² d²/r³. La différence est nulle.
Orthoradiale : 2 ṙ θ̇ + r θ̈ = (1/r) d(r² θ̇)/dt = 0.

piège : Croire que r̈ ≠ 0 implique une accélération radiale non nulle.

Exercice 2. Anneau sur une tige tournante

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une tige horizontale tourne autour d'un axe vertical à la vitesse angulaire ω constante. Un anneau glisse sur la tige avec r(t) = r₀ ch(ω t), loi admise ici. Calculer v, a et leurs normes.

Technique Formules polaires avec θ̇ = ω.

Voir le corrigé

ṙ = r₀ ω sh(ω t) et r̈ = r₀ ω² ch(ω t).
v = r₀ ω (sh(ω t) e_r + ch(ω t) e_θ), de norme r₀ ω √(ch(2 ω t)).
Radiale : r̈ − r ω² = 0. Orthoradiale : 2 ṙ ω = 2 r₀ ω² sh(ω t).
L'accélération est purement orthoradiale. Elle est nulle à t = 0 et croît ensuite. La tige doit exercer une force perpendiculaire à elle-même, cohérente avec l'absence de frottement.

piège : Oublier le terme 2 ṙ θ̇, ou affirmer que l'accélération est centripète « puisque ça tourne ».

Exercice 3. Portée et flèche

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un projectile est lancé depuis un sol horizontal à la vitesse v₀ sous l'angle α ∈ ]0, π/2[, sans frottement. Déterminer la flèche, la portée, et l'angle qui maximise la portée.

Technique Équations horaires puis équation de la trajectoire.

Voir le corrigé

La trajectoire est y = − g x²/(2 v₀² cos² α) + x tan α.
Flèche : v_y s'annule à t = v₀ sin α/g, d'où h = v₀² sin² α/(2g).
Portée : on résout y = 0 avec x ≠ 0, d'où x_P = 2 v₀² sin α cos α/g = v₀² sin(2α)/g.
Maximum pour sin(2α) = 1, soit α = 45°, et x_max = v₀²/g. Les angles α et 90° − α donnent la même portée.

piège : Réutiliser ces formules quand le point de chute n'est pas à la hauteur du lancer.

Exercice 4. Virage avec freinage

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une voiture aborde un virage circulaire de rayon R = 100 m à 30 m/s. Elle freine uniformément et sort 5,0 s plus tard à 20 m/s. Calculer les composantes de l'accélération à l'entrée et à la sortie, puis l'angle balayé.

Technique Repère de Frenet.

Voir le corrigé

a_T = dv/dt = (20 − 30)/5,0 = − 2,0 m/s², constante.
Entrée : a_N = 30²/100 = 9,0 m/s², norme √(81 + 4) ≈ 9,2 m/s².
Sortie : a_N = 4,0 m/s², norme √20 ≈ 4,5 m/s².
Distance parcourue : vitesse moyenne 25 m/s pendant 5,0 s, soit 125 m. Angle balayé 125/100 = 1,25 rad, environ 72°.
L'accélération pointe vers l'intérieur du virage et vers l'arrière.

piège : Additionner a_T et a_N au lieu de composer des vecteurs orthogonaux.

Exercice 5. Un point de la Terre en sphériques

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dans le référentiel géocentrique, la Terre, sphère de rayon R = 6,4 × 10³ km, tourne à Ω = 7,29 × 10⁻⁵ rad/s. Un point est à la latitude λ = 49°. Donner sa vitesse, son accélération, et les longueurs d'un degré de méridien et d'un degré de parallèle.

Technique Déplacement élémentaire en sphériques, avec θ = 90° − λ.

Voir le corrigé

Seul φ varie, φ̇ = Ω. dOM = R sin θ dφ e_φ, donc v = R cos λ Ω e_φ, soit environ 306 m/s.
Le point décrit uniformément un parallèle de rayon R cos λ. Son accélération vaut R cos λ Ω² ≈ 2,2 × 10⁻² m/s², dirigée vers l'axe.
Un degré de méridien : R × π/180 ≈ 112 km.
Un degré de parallèle : R cos λ × π/180 ≈ 73 km.

piège : Diriger l'accélération vers le centre de la Terre, ou écrire r dφ au lieu de r sin θ dφ.

Exercice 6. Cycloïde

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une roue de rayon R roule sans glisser sur un sol horizontal, son centre C avançant à la vitesse R ω. Un point M de la jante touche le sol à t = 0. Établir x(t) et y(t), puis v et a. Étudier le point de contact et le sommet.

Technique Décomposition OM = OC + CM, puis cartésiennes.

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OC = R ω t e_x + R e_y. La roue tourne dans le sens horaire, donc CM = − R sin(ω t) e_x − R cos(ω t) e_y.
x = R(ω t − sin ω t) et y = R(1 − cos ω t).
v = R ω (1 − cos ω t) e_x + R ω sin(ω t) e_y, de norme 2 R ω |sin(ω t/2)|.
a = R ω² (sin(ω t) e_x + cos(ω t) e_y) = − ω² CM. La norme vaut R ω², et a est dirigée vers C.
Au contact, v = 0 mais a = R ω² e_y. Au sommet, v = 2 R ω e_x et a = − R ω² e_y est normale, d'où R_c = 4 R² ω²/(R ω²) = 4 R.

piège : Prendre R_c = R au sommet parce que le point est sur un cercle. La trajectoire dans le référentiel du sol n'est pas ce cercle.

Exercice 7. Exploitation d'une chronophotographie

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une bille lâchée sans vitesse initiale est pointée toutes les 0,040 s. Positions de chute en mètres : 0, 0,0078, 0,0314, 0,0706, 0,1256. Estimer la vitesse à t = 0,080 s et l'accélération. Évaluer l'effet d'une erreur de pointage de 1 mm.

Technique Différences finies centrées.

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v(0,080) = (0,0706 − 0,0078)/0,080 ≈ 0,785 m/s.
v(0,040) = 0,0314/0,080 ≈ 0,393 m/s et v(0,120) = (0,1256 − 0,0314)/0,080 ≈ 1,18 m/s.
a ≈ (1,18 − 0,393)/0,080 ≈ 9,8 m/s².
Une erreur de 1 mm sur chaque position peut fausser v d'environ 2 × 0,001/0,080 = 0,025 m/s. Sur a, l'erreur peut atteindre environ 0,6 m/s² dans le pire cas.
Pour une loi en t², la différence centrée est exacte. L'écart vient donc uniquement du bruit.

piège : Utiliser une différence à droite, qui décale l'instant associé d'un demi-pas.

Exercice 8. Courbure d'une ellipse

Approfondissement · Type écrit Mines

Un point décrit x = A cos(ω t) et y = B sin(ω t), avec A > B > 0 et ω > 0 constants. Les demi-axes sont notés A et B pour ne pas les confondre avec le vecteur accélération a. Montrer que l'accélération pointe vers O. Calculer le rayon de courbure aux sommets. Où la norme de la vitesse est-elle extrémale ?

Technique Composante normale et produit a·v.

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En éliminant t, on obtient x²/A² + y²/B² = 1, une ellipse.
On dérive deux fois : a = − ω² OM, toujours dirigée vers le centre.
En (A, 0) : v = B ω e_y et a = − A ω² e_x, orthogonaux. Donc R_c = B² ω²/(A ω²) = B²/A.
En (0, B) : v = A ω et a_N = B ω², donc R_c = A²/B.
On a a·v = ω³ (A² − B²) sin(ω t) cos(ω t). Ce produit s'annule seulement aux quatre sommets. La norme de v y est extrémale, maximale en (0, ± B) et minimale en (± A, 0).

piège : Écrire R_c = A ou B par analogie avec le cercle.

Exercice 9. Domaine atteignable par un tir

Approfondissement · Type écrit Centrale

Depuis l'origine, on lance un projectile à la vitesse v₀ fixée, dans un plan vertical, sous l'angle α ∈ ]− π/2, π/2[ réglable. À quelle condition sur X > 0 et Y le point (X, Y) peut-il être atteint ?

Technique Équation du second degré en tan α et discriminant.

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On pose u = tan α et on utilise 1/cos² α = 1 + u². La trajectoire donne (g X²/(2 v₀²)) u² − X u + Y + g X²/(2 v₀²) = 0.
u est réel si le discriminant est positif : X² ≥ (2 g X²/v₀²)(Y + g X²/(2 v₀²)).
Après simplification par X² : Y ≤ v₀²/(2g) − g X²/(2 v₀²).
Cette frontière est une parabole, appelée parabole de sûreté. Avec Y = 0, on retrouve X ≤ v₀²/g, la portée maximale.
À l'intérieur du domaine, deux angles conviennent, un tir tendu et un tir en cloche. Sur la frontière, un seul angle convient.

piège : Chercher α directement au lieu de passer par tan α, ce qui mène à une équation trigonométrique inextricable.

Erreurs fréquentes

Dériver e_r ou e_θ comme des vecteurs constants. On perd les termes r θ̇ e_θ, − r θ̇² et 2 ṙ θ̇.
Oublier les facteurs géométriques. Il faut écrire r dθ, et non dθ, en polaires, et r sin θ dφ, et non r dφ, en sphériques. Un contrôle d'homogénéité détecte l'erreur.
Conclure à une accélération nulle parce que la norme de la vitesse est constante, ou orienter la composante normale vers l'extérieur du virage.
Appliquer les formules de portée hors de leurs hypothèses : sol non horizontal, lancer vertical, frottements. Il faut repartir des équations horaires.
Parler de vitesse sans référentiel. Ou confondre la dérivée de la vitesse algébrique, dv/dt, qui ne donne que la composante tangentielle a_T, avec la norme de l'accélération, qui vaut √((dv/dt)² + (v²/R_c)²).

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 2 « mouvements et interactions », partie 2.1 « Description et paramétrage du mouvement d'un point ». Elle couvre le repérage dans l'espace et dans le temps, les systèmes de coordonnées, et les mouvements de référence. Les causes du mouvement sont traitées au chapitre suivant.

Description et paramétrage du mouvement d'un point

Résumé en cinq points

1Espace, temps, référentiel

1.1Le cadre classique

1.2Référentiel

2Cinématique du point

2.1Définitions

2.2Coordonnées cartésiennes

2.3Coordonnées cylindriques

2.4Coordonnées polaires planes

2.5Coordonnées sphériques

2.6Degrés de liberté et choix du système

3Mouvements de référence

3.1Mouvement à vecteur accélération constant

3.2Mouvement circulaire

3.3Repère de Frenet

4Capacité expérimentale

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Rectiligne uniforme en polaires

Exercice 2. Anneau sur une tige tournante

Exercice 3. Portée et flèche

Exercice 4. Virage avec freinage

Exercice 5. Un point de la Terre en sphériques

Exercice 6. Cycloïde

Exercice 7. Exploitation d'une chronophotographie

Exercice 8. Courbure d'une ellipse

Exercice 9. Domaine atteignable par un tir

Erreurs fréquentes

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