La fiche de cours
Résumé en cinq points
- En description eulérienne, on décrit le fluide par des champs intensifs en chaque point fixe : P, T, ρ, u, h, s et vitesse. L'écoulement est stationnaire si ces champs ne dépendent pas du temps en un point fixe, même si les particules accélèrent.
- Une ligne de courant est tangente en chaque point à la vitesse. En régime stationnaire, elle coïncide avec une trajectoire. Aucun fluide ne traverse la paroi latérale d'un tube de courant, et une conduite imperméable en est un.
- Le débit massique vaut Dm = ∬ ρ v · n dS, soit ρ v S pour des grandeurs uniformes sur une section droite. En régime stationnaire, il se conserve le long d'un tube de courant : ρ₁ v₁ S₁ = ρ₂ v₂ S₂.
- Le débit volumique vaut Dv = v S. Il ne se conserve que si la masse volumique est la même partout, cas des liquides, et alors v₁ S₁ = v₂ S₂. Pour un gaz dont T ou P varie, seul le débit massique est conservé.
- Le nombre de Reynolds Re = ρ V L / η = V L / ν compare inertie et viscosité. Petit, l'écoulement est laminaire. Grand, il est turbulent. Dans une conduite, la transition se situe vers 2 000, et les écoulements usuels d'eau et d'air sont turbulents.
Pourquoi ce chapitre
Jusqu'ici, la thermodynamique portait sur des systèmes fermés et souvent immobiles, comme un gaz dans un cylindre. Or turbines, compresseurs, échangeurs et tuyères sont traversés en permanence par un fluide. Pour les étudier, il faut d'abord décrire un fluide qui bouge. Ce chapitre en fournit le vocabulaire : grandeurs eulériennes, régime stationnaire, tubes de courant, débits. Il prépare les bilans d'énergie et d'entropie en écoulement. Aux concours, on attend d'écrire un débit massique, de justifier sa conservation, de savoir quand le débit volumique se conserve aussi, et d'estimer un nombre de Reynolds pour conclure sur le régime.
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Méthodes et exercices
Exercices classiques corrigés
Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.
Conservation des débits 3
Exercice 1. Rétrécissement d'une canalisation d'eau ★
Application du cours · 10 min
De l'eau circule dans une conduite de diamètre D₁ = 4,0 cm, à la vitesse débitante v₁ = 1,5 m/s.
La conduite se raccorde à un tube de diamètre D₂ = 2,0 cm.
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Calculer les débits volumique et massique.
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Calculer la vitesse dans le tube étroit, en justifiant la méthode.
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Technique Conservation du débit volumique pour un liquide.
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- S₁ = π D₁²/4 ≈ 1,26 × 10⁻³ m². Donc Dv = v₁ S₁ ≈ 1,9 × 10⁻³ m³/s, soit 1,9 L/s. Avec ρ = 1,0 × 10³ kg/m³, Dm ≈ 1,9 kg/s.
- Le régime est stationnaire et l'eau est quasi incompressible. Son volume massique est donc le même partout et Dv est conservé.
- v₂ = v₁ (D₁/D₂)² = 1,5 × 4 = 6,0 m/s.
piège : Prendre le rapport des diamètres au lieu de son carré, et trouver 3,0 m/s.
Exercice 2. Réservoir qui se remplit ★
Application du cours · 10 min
Un réservoir cylindrique de section S = 0,50 m² reçoit 2,0 L/s d'eau.
Il en perd 1,5 L/s par un tuyau situé au fond.
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Le débit se conserve-t-il entre l'entrée et la sortie ?
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À quelle vitesse monte le niveau ?
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- Non. Le régime n'est pas stationnaire, la masse contenue augmente.
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Exercice 6. Vidange quasi stationnaire ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min
Un réservoir d'eau de section S = 1,0 m² se vide par un orifice de section s = 2,0 cm².
À l'instant considéré, le jet sort à la vitesse v = 3,0 m/s, uniforme sur l'orifice.
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Calculer la vitesse de descente de la surface libre.
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Justifier qu'on puisse traiter l'écoulement comme quasi stationnaire.
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- La masse contenue varie, mais l'eau est incompressible. …
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Expression du débit massique 1
Exercice 3. Section inclinée dans un canal ★
Application du cours · 10 min
Un canal rectangulaire a une largeur de 2,0 m et une hauteur d'eau de 0,50 m.
L'eau s'écoule horizontalement à la vitesse uniforme v = 0,80 m/s.
Une grille plane occupe toute la section mouillée. Elle est inclinée, sa normale faisant l'angle α = 60° avec la vitesse.
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Calculer le débit volumique à travers une section droite.
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Calculer le débit à travers la grille et commenter.
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- La section droite vaut S₀ = 1,0 m². …
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Gaz et débit massique 2
Exercice 4. Air chauffé dans un tube ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min
De l'air, assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/mol, traverse un tube de diamètre 5,0 cm.
À l'entrée, la pression vaut P₁ = 1,00 bar.
La température d'entrée vaut T₁ = 300 K.
La vitesse d'entrée vaut v₁ = 4,0 m/s.
À la sortie, la pression vaut P₂ = 0,95 bar et la température T₂ = 900 K.
On prend R = 8,31 J/(mol·K).
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Calculer le débit massique.
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Calculer la vitesse de sortie.
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Le débit volumique est-il conservé ?
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- ρ₁ = 10⁵ × 0,029/(8,31 × 300) ≈ 1,16 kg/m³. …
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Exercice 5. Compresseur d'air ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min
Un compresseur aspire de l'air à 1,0 bar et 290 K, avec un débit volumique de 0,50 m³/s.
Il le refoule à 6,0 bar et 480 K.
L'air est un gaz parfait de masse molaire 29 g/mol.
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Calculer le débit massique et le débit volumique au refoulement.
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Quel diamètre doit avoir la conduite de refoulement pour que la vitesse y soit de 20 m/s ?
D'après un écrit de type CCINP.
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- Le régime est stationnaire et la machine n'a qu'une entrée et une sortie. …
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Vitesse débitante et Reynolds 4
Exercice 7. Vitesse débitante d'un profil laminaire ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min
Une huile de viscosité cinématique ν = 5,0 × 10⁻⁵ m²/s circule dans un tube de rayon R = 5,0 mm.
On admet qu'à la distance r de l'axe, la vitesse vaut v(r) = vmax (1 − r²/R²).
On donne vmax = 0,40 m/s.
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Calculer le débit volumique et la vitesse débitante.
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Calculer le nombre de Reynolds et vérifier la cohérence avec le profil admis.
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- La couronne a pour aire 2π r dr. …
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Exercice 8. Peut-on rester laminaire dans une conduite d'eau ? ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min
On veut transporter 0,50 L/s d'eau, de viscosité cinématique 1,0 × 10⁻⁶ m²/s.
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Exprimer Re en fonction du débit volumique et du diamètre.
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Quel diamètre faudrait-il pour un écoulement laminaire ?
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Conclure sur les installations usuelles.
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- V = 4 Dv/(π D²), donc Re = V D/ν = 4 Dv/(π D ν).
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Exercice 9. De l'aorte aux capillaires ★★★
Approfondissement · 25 min
Le cœur au repos débite 5,0 L/min de sang.
La masse volumique du sang vaut ρ = 1,06 × 10³ kg/m³.
Sa viscosité dynamique vaut η = 3,0 × 10⁻³ Pa·s.
L'aorte a un diamètre de 2,5 cm.
Un capillaire a un rayon de 4,0 µm, et le sang y circule à 0,50 mm/s.
On raisonne sur le débit moyen, en ignorant le caractère pulsé.
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Calculer la vitesse débitante dans l'aorte.
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Estimer le nombre de capillaires parcourus en parallèle.
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Comparer les nombres de Reynolds dans les deux vaisseaux.
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- Dv = 5,0 × 10⁻³/60 ≈ 8,3 × 10⁻⁵ m³/s. …
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Exercice 10. Maquette d'une gaine de ventilation ★★★
Approfondissement · 20 min
Une gaine d'air de diamètre 0,40 m est parcourue à 5,0 m/s.
L'air a une viscosité cinématique de 1,5 × 10⁻⁵ m²/s.
On étudie le régime sur une maquette quatre fois plus petite, parcourue par de l'eau de viscosité cinématique 1,0 × 10⁻⁶ m²/s.
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Calculer Re dans la gaine réelle.
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Quelle vitesse d'eau donne le même nombre de Reynolds dans la maquette ?
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Calculer le débit d'eau correspondant.
Type oral Centrale. L'idée de similitude dépasse un peu le programme, qui demande seulement de relier le régime à Re.
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- Re = 5,0 × 0,40/1,5 × 10⁻⁵ ≈ 1,3 × 10⁵. …
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Fiche rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PT (2021), partie « Thermodynamique », paragraphe « 1.4. Description d'un fluide en écoulement stationnaire dans une conduite ».