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PSI · SII · semaine 8

Solide indéformable et caractéristiques d'inertie

Solide indéformable, repère et équivalence solide-repère, volume et masse, centre d'inertie et matrice d'inertie d'un solide ou d'un ensemble de solides (les calculs intégraux ne donnent pas lieu à évaluation).

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un solide indéformable garde constante la distance entre deux quelconques de ses points. C'est un modèle, valable quand les déformations sont négligeables devant les déplacements étudiés.
  2. Un solide s'identifie à un repère qui lui est lié. Sa position se décrit par celle de ce repère, avec six paramètres au plus.
  3. La masse est additive et constante. Le centre d'inertie vérifie m OG→=∫OP→ dmm\,\overrightarrow{OG} = \int \overrightarrow{OP}\, dm, il appartient aux éléments de symétrie matérielle, et celui d'un ensemble est le barycentre des GiG_i pondérés par les mim_i.
  4. La matrice d'inertie, donnée en un point et dans une base, contient les moments AA, BB, CC et les produits DD, EE, FF. Elle est symétrique, et les symétries du solide annulent des produits et donnent les axes principaux.
  5. Le théorème de Huygens relie la matrice en GG à la matrice en un autre point par l'ajout de celle d'une masse mm placée en GG. Pour un ensemble, on additionne les matrices exprimées au même point et dans la même base.
Pourquoi ce chapitre

Avant d'écrire une équation de mouvement, on décrit l'objet étudié. Ce chapitre définit le solide indéformable, le repère qu'on lui attache et les grandeurs qui résument la répartition de sa matière : masse, centre d'inertie, matrice d'inertie. Ces grandeurs servent ensuite en cinétique et en dynamique. La quantité de mouvement fait intervenir la masse et la vitesse du centre d'inertie. Le moment cinétique fait intervenir la matrice d'inertie. Aux concours, on calcule rarement une intégrale. On justifie plutôt la forme d'une matrice par les symétries, on applique le théorème de Huygens, on assemble des solides et on exploite les données d'un logiciel de CAO.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PSI.

Classiques et HP réservés

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Modèle et paramétrage 1

Exercice 1. Portail battant ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Un portail battant comprend un pilier, un vantail en acier de 2 m de large, deux gonds et un bras motorisé à deux segments.

Le vantail fléchit d'environ 2 mm sous son poids, pour un débattement de 90°.

  1. Le modèle de solide indéformable convient-il pour calculer le couple moteur ?

  2. Proposer des classes d'équivalence et paramétrer la position du vantail.

Voir l'indice

Technique comparer la déformation au déplacement étudié.

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  1. L'extrémité du vantail parcourt environ π × 2 / 2 ≈ 3,1 m. Une flèche de 2 mm est négligeable : le modèle convient pour le couple.
  2. Il ne convient plus pour régler l'alignement de la serrure, où 2 mm comptent.
  3. Classes : pilier et gonds (bâti), vantail avec ses gonds femelles, chaque segment du bras.
  4. Repère lié au vantail (O, x1, y1, z0), axe des gonds vertical. Un seul paramètre : θ = (x0, x1) autour de z0.

piège : Déclarer le modèle valable « parce que l'acier est rigide », sans comparer à la performance étudiée.

Centre d'inertie 2

Exercice 2. Centre d'inertie d'un marteau ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Un manche homogène occupe l'axe xx de x=0x = 0 à x=0,30 mx = 0{,}30\ \mathrm{m}.

Masses :

mmanche=0,2 kgm_{\text{manche}} = 0{,}2\ \mathrm{kg}, mteˆte=0,5 kgm_{\text{tête}} = 0{,}5\ \mathrm{kg}

La tête, un bloc symétrique, a son centre en x=0,30 mx = 0{,}30\ \mathrm{m} sur l'axe.

  1. Situer le centre d'inertie du marteau.
Voir le début du corrigé
  1. Le manche est symétrique par rapport à son milieu : G_manche est en x = 0,15 m.

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Exercice 5. Volant percé et balourd ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Un disque d'acier d'axe (O, z) a les données suivantes.

R=0,10 mR = 0{,}10\ \mathrm{m}, e=0,01 me = 0{,}01\ \mathrm{m}, ρ=7 800 kg/m3\rho = 7\,800\ \mathrm{kg/m^3}

On le perce d'un trou traversant de rayon 0,02 m, centré à 0,05 m de l'axe, sur (O, x).

  1. Calculer les masses, la position de G et le moment IOz.
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  1. Disque plein : md = 7 800 × π × 0,01 × 0,01 ≈ 2,450 kg. …

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Forme de la matrice 1

Exercice 3. Lire les symétries ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Donner la forme de la matrice d'inertie au point et dans la base indiqués.

  1. Une équerre plate quelconque contenue dans le plan (O, x, y), O dans son plan.

  2. Une chape symétrique par rapport au seul plan (G, x, z).

  3. Une poulie de révolution d'axe (G, z).

  4. Un cube homogène en G, dans une base parallèle à ses arêtes.

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  1. Équerre : z = 0, donc D = E = 0 et C = A + B. …

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Huygens et assemblage 2

Exercice 4. Huygens et passage par G ★★

Classiques de khôlle et concours · 10 min · Niveau khôlle

Une tige homogène AB a les données suivantes.

m=1,2 kgm = 1{,}2\ \mathrm{kg}, L=0,8 mL = 0{,}8\ \mathrm{m}

Le moment autour d'un axe perpendiculaire passant par AA vaut mL2/3mL^2/3.

  1. Calculer le moment autour de l'axe parallèle passant par le point M situé à L/4 de A.
Voir le début du corrigé
  1. G est au milieu, donc GM = L/2 − L/4 = L/4.

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Exercice 6. Bras de robot assemblé ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Un bras tourne autour de l'axe vertical (O, z) de l'épaule.

Le segment est un parallélépipède homogène de 2 kg2\ \mathrm{kg}, de dimensions 0,5 m0{,}5\ \mathrm{m} selon xx et 0,05 m0{,}05\ \mathrm{m} selon yy, de centre en x=0,25 mx = 0{,}25\ \mathrm{m}.

Un moteur cylindrique d'axe zz, de 1,5 kg1{,}5\ \mathrm{kg} et de rayon 0,04 m0{,}04\ \mathrm{m}, est centré en x=0,5 mx = 0{,}5\ \mathrm{m}.

Une charge de 1 kg1\ \mathrm{kg}, assimilée à un point, est en x=0,55 mx = 0{,}55\ \mathrm{m}.

  1. Situer G et calculer IOz.

  2. Le moteur peut-il être traité comme un point ?

Voir le début du corrigé
  1. xG = (2 × 0,25 + 1,5 × 0,5 + 1 × 0,55) / 4,5 = 1,8 / 4,5 = 0,40 m.

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Changement de base et axes 2

Exercice 7. Bloc tournant autour d'un coin ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Un bloc homogène a ses arêtes selon x, y, z à partir d'un sommet O.

m=6 kgm = 6\ \mathrm{kg}, a=0,4 ma = 0{,}4\ \mathrm{m}, b=0,2 mb = 0{,}2\ \mathrm{m}, c=0,1 mc = 0{,}1\ \mathrm{m}

  1. Écrire la matrice d'inertie en O dans (x, y, z).

  2. En déduire le moment autour de la grande diagonale issue de O.

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  1. En G : AG = m(b² + c²)/12 = 0,025, BG = 0,085, CG = 0,1 kg·m², produits nuls.

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Exercice 8. Disque mal calé ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit Mines ou Centrale

Un disque mince de centre G est monté sur un arbre d'axe (G, z).

m=3 kgm = 3\ \mathrm{kg}, R=0,15 mR = 0{,}15\ \mathrm{m}

Son axe propre z1z_1 est incliné d'un petit angle α=1∘\alpha = 1^\circ par une rotation autour de xx.

On a donc :

y1=cos⁡α y+sin⁡α zy_1 = \cos\alpha\, y + \sin\alpha\, z, z1=−sin⁡α y+cos⁡α zz_1 = -\sin\alpha\, y + \cos\alpha\, z

  1. Exprimer la matrice du disque dans la base de l'arbre.

  2. Calculer le produit d'inertie D et commenter.

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  1. Dans (x, y1, z1), la matrice est diagonale : A = mR²/4, A, C = mR²/2.

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Exploitation CAO 1

Exercice 9. Données de CAO à corriger ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Mines ou Centrale

Un levier tourne autour de l'axe (O, x) du repère du modèle.

Le logiciel, laissé sur l'acier par défaut (7 800 kg/m37\,800\ \mathrm{kg/m^3}), affiche les valeurs suivantes.

m=1,56 kgm = 1{,}56\ \mathrm{kg}, GG de coordonnées (0, 0, 0,040 m)(0,\, 0,\, 0{,}040\ \mathrm{m})

En G, dans la base du modèle :

A=2,1×10−3A = 2{,}1 \times 10^{-3}, B=3,0×10−3B = 3{,}0 \times 10^{-3}, C=1,2×10−3 kg m2C = 1{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^2}

Les produits affichés sont nuls.

La pièce réelle est en aluminium (2 700 kg/m32\,700\ \mathrm{kg/m^3}).

  1. Corriger les données.

  2. Calculer le moment autour de l'axe de rotation.

  3. Contrôler la vraisemblance.

Voir le début du corrigé
  1. Rapport : 2 700 / 7 800 ≈ 0,346. …

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Fiche de cours rédigée à partir des programmes officiels de SII PCSI-PSI, MPSI-MP et PTSI-PT, compétence B2 « Proposer un modèle de connaissance et de comportement », capacité « Déterminer les caractéristiques d'un solide ou d'un ensemble de solides indéformables » (semestre 3). Les calculs intégraux des éléments d'inertie ne sont pas évalués.