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PSI · SII · semaine 16

Réglage des correcteurs proportionnel, intégral et à avance de phase

Démarche de réglage d'un correcteur proportionnel, proportionnel intégral et à avance de phase, avec compensation de pôles, réglage des marges de stabilité, de l'amortissement, de la rapidité et de la bande passante.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Stabilité, précision et rapidité sont les trois critères du cahier des charges. Stabilité par les pôles de la FTBF et les marges de la FTBO, précision par la classe et le gain, rapidité par le temps de réponse à 5 %5\,\% et la bande passante.
  2. Régler un correcteur, c'est traduire le cahier des charges en contraintes sur la FTBO, choisir une structure, calculer ses paramètres, puis tout revérifier.
  3. Le correcteur proportionnel déplace la courbe de gain sans toucher à la phase. Il arbitre entre précision, rapidité et stabilité sans rien gagner sur les trois à la fois.
  4. Le correcteur proportionnel intégral ajoute une classe et annule l'écart statique, au prix d'un retard de phase à tenir loin de la pulsation de coupure, ou de la compensation du pôle dominant.
  5. Le correcteur à avance de phase apporte au plus φm\varphi_m, avec sin⁡φm=a−1a+1\sin\varphi_m = \dfrac{a-1}{a+1}, à ωm=1Ta\omega_m = \dfrac{1}{T\sqrt{a}}. Il améliore la marge de phase, donc permet plus de rapidité, sans changer la précision.
Pourquoi ce chapitre

Un asservissement réel sort rarement conforme au cahier des charges du premier coup. Il est trop lent, pas assez précis, ou il oscille.

  • Le correcteur est le seul élément que l'ingénieur choisit librement, puisque le moteur, la charge et le capteur sont imposés par ailleurs.
  • Ce chapitre apprend à choisir sa forme et à régler ses paramètres pour atteindre des performances chiffrées.
  • C'est l'aboutissement de toute l'automatique de MPSI.

Aux concours, presque chaque sujet de MP option sciences de l'ingénieur contient une partie « vérifier les performances puis proposer un réglage du correcteur », avec un diagramme de Bode à lire et des marges à calculer.

1Critères du cahier des charges d'un système asservi

On considère un système asservi à retour unitaire, de fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(p)=C(p) H(p)\mathrm{FTBO}(p) = C(p)\,H(p), où C(p)C(p) est le correcteur et H(p)H(p) le reste de la chaîne directe. La fonction de transfert en boucle fermée vaut FTBF(p)=FTBO(p)1+FTBO(p).\mathrm{FTBF}(p) = \frac{\mathrm{FTBO}(p)}{1 + \mathrm{FTBO}(p)}. Si le retour n'est pas unitaire, on s'y ramène en déplaçant le capteur, ou on raisonne sur la fonction de transfert en boucle ouverte complète, chaîne directe multipliée par chaîne de retour.

1.1Stabilité, pôles et marges de stabilité

Définition 1.1Stabilité

Un système est stable si, pour toute entrée bornée, sa sortie reste bornée. Pour un système linéaire continu et invariant, cela équivaut à ce que tous les pôles de sa fonction de transfert aient une partie réelle strictement négative. Pour un asservissement, ce sont les pôles de la FTBF qui comptent.

Les marges se lisent sur le diagramme de Bode de la FTBO, pour une FTBO elle-même stable, cas de tous les exercices du programme.

Définition 1.2Marges de stabilité

  • La pulsation de coupure à 0 dB, notée ω0 dB\omega_{0\,\mathrm{dB}} ou ωc\omega_c, est telle que le gain de la FTBO vaut 00 dB. La marge de phase est Mφ=180∘+φ(ωc)M_\varphi = 180^\circ + \varphi(\omega_c).
  • La pulsation ω−180\omega_{-180} est telle que la phase vaut −180∘-180^\circ. La marge de gain est MG=−GdB(ω−180)M_G = -G_{\mathrm{dB}}(\omega_{-180}).

Le système bouclé est stable si ces deux marges sont positives. Plus elles sont grandes, plus le système est loin de l'instabilité, et plus il est robuste aux variations de paramètres. Valeurs usuelles d'un cahier des charges : une marge de phase d'au moins 45∘45^\circ et une marge de gain d'au moins 1010 dB environ.

L'amortissement et le dépassement relatif font aussi partie du critère de stabilité au sens du programme.

Propriété 1.3Dépassement d'un deuxième ordre

Hypothèses

  • le système est du deuxième ordre ;
  • ξ<1\xi < 1.

Alors le dépassement relatif vaut D1=exp⁡(−π ξ1−ξ2).D_1 = \exp\left(-\frac{\pi\,\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}}\right).

Remarque

Une règle approchée relie marge de phase et amortissement : MφM_\varphi en degrés ≈100 ξ\approx 100\,\xi pour ξ\xi inférieur à 0,70{,}7 environ.

1.2Précision, écart statique et erreur de traînage

L'écart est ε(t)\varepsilon(t) = consigne moins sortie, pour un retour unitaire. On le calcule en régime permanent par le théorème de la valeur finale.

Théorème 1.4Théorème de la valeur finale

Hypothèses

  • la limite temporelle de ε(t)\varepsilon(t) existe, ce qui suppose le système stable.

Alors lim⁡t→+∞ε(t)=lim⁡p→0p ε(p).\lim_{t \to +\infty} \varepsilon(t) = \lim_{p \to 0} p\,\varepsilon(p).

Définition 1.5Classe de la FTBO

Une FTBO de gain statique KK et de classe α\alpha s'écrit FTBO(p)=K N(p)pα D(p),N(0)=D(0)=1.\mathrm{FTBO}(p) = \frac{K\,N(p)}{p^{\alpha}\,D(p)}, \quad N(0) = D(0) = 1.

On obtient le tableau à connaître.

  • Consigne en échelon d'amplitude E0E_0 : en classe 0, écart statique E0/(1+K)E_0 / (1 + K) ; en classe 1 ou plus, écart statique nul.
  • Consigne en rampe de pente aa : en classe 0, écart infini ; en classe 1, erreur de traînage a/Ka / K ; en classe 2 ou plus, erreur de traînage nulle.

À retenir

Lien entre classe de la FTBO et écart statique : chaque intégrateur dans la boucle annule l'écart pour un type d'entrée de plus.

Pour une perturbation en échelon, le résultat dépend de l'endroit où sont placés les intégrateurs. L'écart dû à la perturbation est nul si la boucle contient au moins un intégrateur en amont du point d'entrée de la perturbation, c'est-à-dire entre le comparateur et ce point.

Attention

Un intégrateur situé après la perturbation, par exemple l'intégration naturelle entre vitesse et position d'un moteur, n'annule pas l'effet d'un couple résistant constant.

1.3Rapidité, temps de réponse et bande passante

Le temps de réponse à 5 % est la durée au bout de laquelle la sortie reste dans une bande de plus ou moins 5 %5\,\% autour de sa valeur finale.

  • Pour un premier ordre, t5%=3τt_{5\%} = 3\tau.
  • Pour un deuxième ordre, le temps de réponse réduit ω0t5%\omega_0 t_{5\%} est minimal pour ξ≈0,69\xi \approx 0{,}69, où il vaut environ 33, avec alors un dépassement d'environ 5 %5\,\%.
  • Pour ξ=1\xi = 1, ω0t5%≈4,75\omega_0 t_{5\%} \approx 4{,}75.

Définition 1.6Bande passante

La bande passante est l'intervalle de pulsations où le gain de la FTBF reste proche de sa valeur basse fréquence, à 33 dB près.

Une grande bande passante va avec un système rapide. Pour la FTBO, on retient qu'augmenter la pulsation de coupure ωc\omega_c rend en général le système bouclé plus rapide.

1.4Le dilemme stabilité-précision

  • Augmenter le gain de la FTBO améliore la précision d'un système de classe 0 et la rapidité, mais diminue les marges, donc la stabilité.
  • Ajouter un intégrateur améliore la précision mais retire 90∘90^\circ de phase partout, ce qui peut rendre le système instable.

Toute la correction consiste à gérer ce dilemme, en modifiant la FTBO là où il faut et pas ailleurs.

2Démarche de réglage d'un correcteur

2.1Principe de la correction

Le correcteur est placé dans la chaîne directe, juste après le comparateur. Il reçoit l'écart et élabore la commande du préactionneur. Le programme demande de proposer une démarche de réglage, c'est-à-dire d'enchaîner les étapes suivantes.

MéthodeDémarche de réglage d'un correcteur

  1. Traduire le cahier des charges en contraintes sur la FTBO : marge de phase, pulsation de coupure, classe.
  2. Tracer ou lire le diagramme de Bode de la FTBO non corrigée et repérer quelles exigences ne sont pas respectées.
  3. Choisir la structure du correcteur qui agit sur le défaut constaté.
  4. Calculer ses paramètres.
  5. Vérifier toutes les exigences sur le système corrigé, y compris celles qui étaient satisfaites avant correction.

2.2Réglage de marges

Régler la marge de phase revient à placer la pulsation de coupure à l'endroit où la phase de la FTBO vaut −180∘+Mφ-180^\circ + M_\varphi visée.

MéthodeRégler une marge de phase avec un correcteur proportionnel

  1. Chercher la pulsation voulue sur la courbe de phase, qui ne dépend pas du gain.
  2. Choisir le gain qui ramène la courbe de gain à 00 dB à cette pulsation.
  3. Vérifier ensuite la marge de gain.

2.3Compensation de pôles

Compenser un pôle consiste à placer un zéro du correcteur exactement sur un pôle de la chaîne, en général le pôle dominant, celui de plus grande constante de temps. Le produit C(p)H(p)C(p)H(p) perd alors ce pôle lent, et la boucle fermée devient plus simple et plus rapide.

Exemple 2.1Compensation avec un PI

Avec H(p)=K1+τpH(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p} et un correcteur proportionnel intégral de constante Ti=τT_i = \tau, la FTBO devient un intégrateur pur, et la boucle fermée un premier ordre de constante de temps réglable par le gain.

Attention

La compensation n'est exacte que si τ\tau est bien connu. Si τ\tau varie, un pôle lent réapparaît dans la boucle fermée, avec une petite amplitude mais une grande constante de temps, ce qui peut allonger le temps de réponse à 5 %5\,\%.

2.4Réglage de l'amortissement, de la rapidité et de la bande passante

  • Quand la boucle fermée est un deuxième ordre, on règle directement ξ\xi et ω0\omega_0 par identification avec la forme canonique.
  • Quand elle est d'ordre plus élevé, on règle la marge de phase, qui fixe l'amortissement équivalent, et la pulsation de coupure de la FTBO, qui fixe la rapidité et la bande passante.

Exemple 2.2Traduction d'un cahier des charges

Le cahier « dépassement inférieur à 5 %5\,\%, temps de réponse inférieur à 0,20{,}2 s, écart statique nul » se traduit en ξ⩾0,69\xi \geqslant 0{,}69, ω0⩾15  rad.s−1\omega_0 \geqslant 15\ \unite{rad.s^{-1}} environ et classe au moins égale à 11.

3Correcteur proportionnel

3.1Définition et effets

Définition 3.1Correcteur proportionnel

Le correcteur proportionnel est C(p)=KpC(p) = K_p. Il multiplie le gain de la FTBO sans changer sa phase. Sur le diagramme de Bode, la courbe de gain monte ou descend de 20log⁡Kp20\log K_p, la courbe de phase ne bouge pas.

Effets quand KpK_p augmente :

  • précision améliorée pour un système de classe 0, puisque l'écart statique E0/(1+K)E_0/(1+K) diminue, sans jamais devenir nul ;
  • rapidité améliorée, car la pulsation de coupure augmente ;
  • stabilité dégradée, car la pulsation de coupure se rapproche de la zone où la phase approche −180∘-180^\circ, et la marge de phase diminue.

3.2Exemple de réglage

On asservit en position un moteur modélisé par H(p)=Kp(1+τp)H(p) = \dfrac{K}{p(1 + \tau p)}, avec un correcteur proportionnel et un retour unitaire.

Exemple 3.2Asservissement de position d'un moteur

La FTBF vaut FTBF(p)=KpKτp2+p+KpK,\mathrm{FTBF}(p) = \frac{K_p K}{\tau p^2 + p + K_p K}, soit un deuxième ordre de gain statique 11, de pulsation propre et de coefficient d'amortissement ω0=KpKτ,ξ=12KpKτ.\omega_0 = \sqrt{\frac{K_p K}{\tau}}, \qquad \xi = \frac{1}{2\sqrt{K_p K \tau}}.

La classe 1 donne un écart statique nul en réponse à un échelon, quel que soit KpK_p, et une erreur de traînage 1/(KpK)1/(K_p K) pour une rampe unitaire.

Pour un dépassement d'au plus 5 %5\,\%, on impose ξ⩾0,69\xi \geqslant 0{,}69, donc KpKτ⩽0,52K_p K \tau \leqslant 0{,}52 environ. Si τ=0,1\tau = 0{,}1 s, cela donne KpK⩽5,2  s−1K_p K \leqslant 5{,}2\ \unite{s^{-1}}, et ω0⩽7,2  rad.s−1\omega_0 \leqslant 7{,}2\ \unite{rad.s^{-1}}, soit t5%⩾0,4t_{5\%} \geqslant 0{,}4 s environ.

On ne peut pas à la fois réduire l'erreur de traînage et le temps de réponse sans dégrader l'amortissement. Il faut un autre correcteur.

4Correcteur proportionnel intégral

4.1Définition

Définition 4.1Correcteur proportionnel intégral

Le correcteur proportionnel intégral (PI) est C(p)=Kp 1+TipTip=Kp+KpTip,C(p) = K_p\,\frac{1 + T_i p}{T_i p} = K_p + \frac{K_p}{T_i p}, somme d'une action proportionnelle et d'une action intégrale. Il ajoute un intégrateur, donc une classe à la FTBO, et un zéro de pulsation 1/Ti1/T_i.

Diagramme de Bode du correcteur :

  • aux basses pulsations, devant 1/Ti1/T_i, il se comporte comme un intégrateur, pente de −20-20 dB par décade et phase −90∘-90^\circ ;
  • aux hautes pulsations, il se comporte comme un gain KpK_p et sa phase tend vers 00 ;
  • à la pulsation 10/Ti10/T_i, le retard de phase n'est plus que d'environ 6∘6^\circ.

4.2Effets et réglage

Effet principal, la précision. La classe augmente de 1, l'écart statique pour un échelon de consigne devient nul, et l'écart dû à une perturbation en échelon aussi, puisque l'intégrateur est placé en amont du point d'entrée de la perturbation. Effet secondaire indésirable : un retard de phase aux basses pulsations, qui peut réduire la marge de phase s'il atteint la pulsation de coupure.

MéthodeRéglage par les marges

  1. Choisir 1/Ti1/T_i nettement inférieur à la pulsation de coupure, typiquement une décade en dessous, pour que le correcteur ne retire que quelques degrés de phase à ωc\omega_c.
  2. Régler ensuite KpK_p comme un correcteur proportionnel, en tenant compte de ces quelques degrés.

MéthodeRéglage par compensation de pôle

  1. Choisir TiT_i égal à la constante de temps du pôle dominant.
  2. Choisir KpK_p pour la rapidité ou la marge voulue.

Le programme demande de mettre en œuvre le réglage des correcteurs proportionnel et proportionnel intégral, calcul complet à la clé, et de proposer une démarche de réglage pour le correcteur à avance de phase.

5Correcteur à avance de phase

5.1Définition

Définition 5.1Correcteur à avance de phase

Le correcteur à avance de phase est C(p)=Kc 1+aTp1+Tp,a>1.C(p) = K_c\,\frac{1 + aTp}{1 + Tp}, \quad a > 1. Le zéro, de pulsation 1/(aT)1/(aT), est plus bas que le pôle, de pulsation 1/T1/T. Entre les deux, le correcteur apporte une phase positive.

Propriété 5.2Phase maximale

La phase apportée est maximale à la pulsation ωm=1Ta,\omega_m = \frac{1}{T\sqrt{a}}, moyenne géométrique des pulsations du zéro et du pôle. Elle vaut alors φm\varphi_m, avec sin⁡φm=a−1a+1.\sin\varphi_m = \frac{a - 1}{a + 1}. Le gain du terme 1+aTp1+Tp\dfrac{1 + aTp}{1 + Tp} vaut a\sqrt{a} à cette pulsation, soit 10log⁡a10\log a en décibels.

Exemple 5.3

a=10a = 10 donne φm≈55∘\varphi_m \approx 55^\circ et un gain de 1010 dB à ωm\omega_m.

5.2Effets et réglage

Effet principal, la stabilité. Il relève la phase autour de la pulsation de coupure, donc la marge de phase, ce qui permet d'augmenter le gain, et donc la rapidité, sans perdre en amortissement. Il ne modifie pas la classe, donc ne change pas la précision statique.

Attention

Il amplifie les hautes fréquences d'un facteur aa, donc le bruit de mesure.

MéthodeDémarche de réglage d'une avance de phase

  1. Calculer la phase manquante à la pulsation de coupure visée, pour obtenir la marge de phase voulue, et prendre une petite marge de sécurité de quelques degrés.
  2. En déduire aa par sin⁡φm=a−1a+1\sin\varphi_m = \dfrac{a-1}{a+1}.
  3. Placer ωm\omega_m à la pulsation de coupure visée, ce qui donne T=1ωmaT = \dfrac{1}{\omega_m\sqrt{a}}.
  4. Choisir KcK_c pour que le gain de la FTBO corrigée vaille 00 dB à ωm\omega_m, en tenant compte des 10log⁡a10\log a décibels ajoutés.
  5. Vérifier marge de gain, dépassement et temps de réponse, par calcul ou par simulation.

Méthodes

MéthodeChoisir le correcteur

  1. Classer chaque exigence non respectée en stabilité, précision ou rapidité.
  2. Précision insuffisante : correcteur proportionnel intégral. Stabilité insuffisante à rapidité donnée : avance de phase. Simple ajustement de compromis : proportionnel.

MéthodeRéflexes de lecture et de calcul

  1. Tracer les diagrammes asymptotiques avant de calculer. La lecture graphique donne l'ordre de grandeur, le calcul le confirme.
  2. Pour trouver ωc\omega_c à marge de phase imposée, chercher d'abord sur la phase, qui ne dépend pas du gain, puis régler le gain.
  3. Pour une perturbation, placer l'intégrateur par rapport au point d'entrée de la perturbation avant de conclure sur l'écart.
  4. Après tout réglage, revérifier les autres exigences. Un correcteur qui corrige la précision peut détruire la marge de phase.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

  1. Lire sur un diagramme de Bode la pulsation de coupure, les marges de phase et de gain, et conclure sur la stabilité.
  2. Calculer l'écart statique et l'erreur de traînage à partir de la classe et du gain de la FTBO, et l'écart dû à une perturbation en échelon selon la position des intégrateurs.
  3. Régler un correcteur proportionnel pour obtenir une marge de phase donnée, ou un amortissement donné sur une boucle fermée du deuxième ordre.
  4. Régler un correcteur proportionnel intégral par compensation du pôle dominant, puis par la règle d'une décade sous la pulsation de coupure, et comparer.
  5. Établir la pulsation ωm\omega_m et la phase maximale φm\varphi_m du correcteur à avance de phase, puis dérouler la démarche de réglage.
  6. Justifier pourquoi un intégrateur situé après une perturbation n'annule pas l'écart qu'elle crée.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le chapitre ne contient pas de théorème au sens mathématique. Les « résultats » sont des relations et des modèles, utilisés sous des hypothèses précises.

  • Stabilité. Un système linéaire continu invariant est stable si et seulement si tous les pôles de sa FTBF ont une partie réelle strictement négative. Exigible, admis.
  • Critère des marges. Si la FTBO est stable, le système bouclé est stable quand les marges de phase et de gain sont positives. Lecture sur Bode exigible, justification admise. Le critère de Nyquist est hors programme.
  • Théorème de la valeur finale. lim ε(t) quand t → +∞ = lim p ε(p) quand p → 0, à condition que la limite temporelle existe (système bouclé stable). Admis, emploi exigible.
  • Écart statique et erreur de traînage selon la classe α et le gain K de la FTBO, à retour unitaire. Exigible, à savoir retrouver.
  • Écart dû à une perturbation en échelon. Il est nul si un intégrateur se trouve entre le comparateur et le point d'entrée de la perturbation. Exigible, à savoir retrouver.
  • Premier ordre de constante τ : t₅% = 3τ, pulsation de coupure à − 3 dB égale à 1/τ. Exigible.
  • Deuxième ordre : D₁ = exp(− πξ / √(1 − ξ²)) pour ξ < 1, t₅% minimal pour ξ ≈ 0,69 avec ω₀ t₅% ≈ 3. Exigible, abaques fournis en général.
  • Relation approchée Mφ en degrés ≈ 100 ξ, pour ξ < 0,7 environ. Outil, établi sur la FTBO K/(p(1 + τp)).
  • Correcteur proportionnel : gain translaté de 20 log Kp, phase inchangée. Exigible.
  • Correcteur PI : classe augmentée de 1, retard de phase d'environ 5,7° à la pulsation 10/Ti. Exigible, réglage à mettre en œuvre.
  • Avance de phase : ωm = 1/(T√a), sin φm = (a − 1)/(a + 1), gain √a à ωm. Exigible, démarche de réglage à proposer.
  • Retard pur e− Tr p : gain 1, phase − ω Tr en radians. Exigible au titre des limites de validité d'un modèle.
  • Correcteurs PID et à retard de phase : hors programme. Un sujet peut les utiliser à condition de les définir dans l'énoncé.

Clés de démonstration

Aucune preuve formelle n'est exigible. En khôlle, on attend en revanche ces six justifications courtes.

Écart vis-à-vis de la consigne. À retour unitaire, ε(p) = E(p)/(1 + FTBO(p)). Pour un échelon, p ε(p) = E₀/(1 + FTBO(p)), qui tend vers E₀/(1 + K) en classe 0 et vers 0 dès la classe 1. Astuce : écrire la FTBO sous forme canonique K N(p)/(pα D(p)) avant de passer à la limite.

Écart dû à une perturbation. On prend la consigne nulle et on écrit la chaîne ε → C₁(p) → point d'entrée de P → C₂(p) → S. Alors S = − C₂ P/(1 + C₁C₂) et ε = − S. En échelon, si C₁ n'a pas d'intégrateur et que C₂ en a un, l'écart final vaut P₀/C₁(0). Si C₁ contient un intégrateur, il est nul. Astuce : seul le gain statique du tronçon amont compte, la mécanique en aval disparaît du résultat.

Phase maximale de l'avance de phase. tan φ = (a − 1)Tω/(1 + aT²ω²) = (a − 1)/(1/(Tω) + aTω). Le dénominateur est minimal quand aT²ω² = 1, par l'inégalité arithmético-géométrique. D'où ωm = 1/(T√a) et tan φm = (a − 1)/(2√a). Astuce : l'hypoténuse du triangle rectangle vaut √((a − 1)² + 4a) = a + 1, ce qui donne sin φm = (a − 1)/(a + 1).

Gain √a à ωm. On a |1 + j√a| / |1 + j/√a| = √(1 + a)/√(1 + 1/a) = √a. Astuce : ωm est le milieu du segment [1/(aT), 1/T] en échelle logarithmique, et la courbe de gain y passe à mi-hauteur entre 0 et 20 log a.

Retard du PI à 10/Ti. La phase vaut − 90° + arctan(10) = − arctan(1/10) ≈ − 0,1 rad ≈ − 5,7°. Astuce : arctan x + arctan(1/x) = 90° pour x > 0.

Compensation de pôle. Avec H = K/(1 + τp) et Ti = τ, la FTBO vaut K Kp/(τp) et la FTBF vaut 1/(1 + τp/(K Kp)). Astuce : un intégrateur pur bouclé à retour unitaire donne toujours un premier ordre de gain 1.

Exemples et contre-exemples à connaître

  1. FTBO K/(p(1 + τp)) avec correcteur P. La phase n'atteint jamais − 180°, donc la marge de gain est infinie. Pourtant le dépassement grandit avec K. Une marge de gain infinie ne garantit pas un bon amortissement.
  2. FTBO K/(1 + τp)³. La phase vaut − 180° à ω = √3/τ, où le module vaut K/8. Le bouclage est stable si et seulement si K < 8. C'est l'exemple type de marge de gain finie.
  3. FTBO K/p². La phase vaut − 180° à toutes les pulsations. En boucle fermée, les pôles sont imaginaires purs et la sortie oscille sans fin. Une avance de phase le stabilise.
  4. PI sur K/(p(1 + τp)). La phase de la FTBO vaut − 180° + arctan(Ti ω) − arctan(τω). Elle reste au-dessus de − 180° si et seulement si Ti > τ. Sinon, le système bouclé est instable.
  5. Perturbation en aval d'un intégrateur. Pour un couple résistant sur un moteur asservi en position, l'intégration vitesse-position n'annule pas l'écart. C'est le piège classique.
  6. PI compensant le pôle d'un premier ordre. La boucle fermée devient un premier ordre dont la rapidité se règle par un seul paramètre, Kp.
  7. Retard pur. Il ne change pas le gain mais retire ω Tr radians de phase, d'autant plus que ωc est élevée. Il limite la rapidité accessible.
  8. Avance de phase avec a grand. Le gain haute fréquence est multiplié par a, donc le bruit du capteur aussi. On dépasse rarement a = 10 à 15.

Techniques du chapitre

Technique 1 : traduire un dépassement en marge de phase. Mini-exercice : dépassement au plus 10 %. On a D₁ = 0,10 pour ξ ≈ 0,59, ce qui donne Mφ ≈ 60° par la règle approchée.

Technique 2 : chercher ωc sur la phase, puis régler le gain. Mini-exercice : FTBO Kp/(p(1 + 0,2p)) et Mφ = 45° visée. La phase vaut − 135° pour 0,2ω = 1, soit ωc = 5 rad/s. Ensuite Kp/(5√2) = 1, donc Kp ≈ 7,1.

Technique 3 : la règle de la décade pour le PI. Mini-exercice : ωc = 20 rad/s après réglage proportionnel. On prend Ti = 10/20 = 0,5 s. La marge baisse d'environ 6°, qu'on anticipe dans le réglage de Kp.

Technique 4 : compter les intégrateurs en amont de la perturbation. Mini-exercice : correcteur P, variateur puis moteur, perturbation en couple, intégration vitesse-position. Aucun intégrateur en amont, donc l'écart est non nul et vaut P₀ divisé par le gain statique du tronçon amont.

Technique 5 : de la phase manquante à a. Mini-exercice : il manque 40°. sin 40° ≈ 0,643, donc a = (1 + 0,643)/(1 − 0,643) ≈ 4,6.

Technique 6 : vérifier sur la courbe réelle. Mini-exercice : FTBO 10/(p(1 + 0,1p)). L'asymptote donne ωc = 10 rad/s. Le module réel y vaut 1/√2, et la vraie coupure est plus basse, vers 7,9 rad/s.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Marges d'un bras de robot

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

L'axe d'épaule d'un robot, asservi en position à retour unitaire, a pour FTBO 10/(p(1 + 0,1p)(1 + 0,01p)). Le cahier des charges impose Mφ ≥ 45°, MG ≥ 10 dB et une erreur de traînage au plus 0,06 rad pour une consigne en rampe de 0,5 rad/s. Conclure.

Technique lecture des marges puis de la précision.

Voir le corrigé
  1. Phase − 180° : arctan(0,1ω) + arctan(0,01ω) = 90°, soit 0,1ω × 0,01ω = 1, donc ω₋₁₈₀ ≈ 31,6 rad/s.
  2. Module à cette pulsation : 10/(31,6 × 3,32 × 1,05) ≈ 0,091. D'où MG ≈ 20,8 dB.
  3. Coupure : on résout |FTBO| = 1 et on trouve ωc ≈ 7,8 rad/s.
  4. Phase : − 90° − arctan(0,78) − arctan(0,078) ≈ − 132,5°, donc Mφ ≈ 47,5°.
  5. Classe 1, gain 10 s⁻¹ : erreur de traînage 0,5/10 = 0,05 rad.
  6. Les trois exigences sont satisfaites, avec peu de marge sur Mφ.

piège : Lire ωc = 10 rad/s sur l'asymptote. On trouverait alors une phase de − 140,7°, soit Mφ ≈ 39°. La marge serait sous-estimée d'environ 8°, et on conclurait à tort que l'exigence Mφ ≥ 45° n'est pas respectée.

Exercice 2. Réglage proportionnel d'un axe de table

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une table de machine a pour chaîne directe Kp × 4/(p(1 + 0,05p)), avec un retour unitaire. Régler Kp pour Mφ = 45°. En déduire l'amortissement et le dépassement de la boucle fermée.

Technique phase d'abord, gain ensuite, puis identification au deuxième ordre.

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  1. Phase − 135° : arctan(0,05ω) = 45°, donc ωc = 20 rad/s.
  2. Gain : 4Kp/(20√2) = 1, donc Kp ≈ 7,07.
  3. FTBF : 4Kp/(0,05p² + p + 4Kp), donc ξ = 1/(2√(4Kp × 0,05)) ≈ 0,42.
  4. D₁ = exp(− π × 0,42/0,91) ≈ 23 %.

piège : Croire que 45° de marge donne un dépassement faible. Pour viser 5 %, il faut environ 65°.

Exercice 3. Effet d'un retard de mesure

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On reprend l'exercice 2. Le capteur numérique introduit un retard de 10 ms. Calculer la nouvelle marge de phase, puis le Kp qui rétablit 45°.

Technique phase du retard pur.

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  1. À 20 rad/s, le retard retire 20 × 0,01 = 0,2 rad, soit 11,5°. On a donc Mφ ≈ 33,5°.
  2. On cherche ω tel que arctan(0,05ω) + 0,573ω = 45°, avec 0,573ω exprimé en degrés. On trouve ω ≈ 14,8 rad/s.
  3. Gain : 4Kp/(14,8 × √(1 + 0,55)) = 1, donc Kp ≈ 4,6.
  4. Le système est plus lent, et l'erreur de traînage augmente de 50 % environ.

piège : Soustraire ω Tr en radians à une phase exprimée en degrés.

Exercice 4. Tourelle de caméra soumise au vent

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Une tourelle est asservie en position. L'écart attaque un correcteur C(p), puis un variateur et un moteur qui produisent un couple A × commande, avec A = 0,5 N·m/V. Un couple de vent Cr s'y soustrait. La dynamique donne Ω = (Cm − Cr)/(f + Jp), avec f = 0,5 N·m·s/rad et J = 0,05 kg·m². Enfin θ = Ω/p, et le retour est unitaire. Calculer l'écart final sous Cr = 0,2 N·m, avec C = Kp puis avec un PI.

Technique superposition et position de l'intégrateur.

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  1. Consigne nulle : θ = (A Kp (− θ) − Cr)/(p(f + Jp)).
  2. D'où θ = − Cr/(p(f + Jp) + A Kp).
  3. Échelon : θ∞ = − 0,2/(0,5 Kp), donc ε∞ = 0,4/Kp rad. Il faut Kp ≥ 40 V/rad pour ε∞ ≤ 0,01 rad.
  4. Avec un PI, le même calcul donne θ = − Ti p Cr/(Ti p²(f + Jp) + A Kp(1 + Ti p)), qui tend vers 0.
  5. L'écart est donc nul, à condition que le bouclage soit stable, ce qui impose Ti > τ = J/f = 0,1 s (exemple 4).

piège : Conclure « classe 1, donc écart nul ». L'intégrateur de la FTBO est en aval de Cr.

Exercice 5. Régulation de débit d'une pompe

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

On a H(p) = 1/((1 + p)(1 + 0,1p)(1 + 0,01p)), un correcteur P et un retour unitaire. Régler Kp pour Mφ = 45°, puis calculer l'écart statique et la marge de gain. Le cahier des charges demande un écart d'au plus 2 %. Conclure.

Technique réglage proportionnel sur un troisième ordre.

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  1. Phase − 135° : arctan ω + arctan(0,1ω) + arctan(0,01ω) = 135°. On vérifie que ω = 10 rad/s convient (84,3° + 45° + 5,7°).
  2. |H(10j)| = 1/(10,05 × 1,414 × 1,005) ≈ 0,070, donc Kp ≈ 14,3.
  3. Écart pour un échelon : 1/(1 + 14,3) ≈ 6,5 %.
  4. Phase − 180° : la somme des trois tangentes égale leur produit, soit 1,11ω = 0,001ω³, donc ω ≈ 33,3 rad/s. Le module y vaut 14,3/122 ≈ 0,117, d'où MG ≈ 18,6 dB.
  5. Pour 2 %, il faudrait Kp ≈ 49. La marge de gain tomberait vers 8 dB, et la marge de phase bien sous 45°. Le correcteur P ne suffit pas, il faut un PI.

piège : Chercher ωc sur la courbe de gain avant de connaître Kp.

Exercice 6. PI par compensation ou par la décade

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Même pompe. Régler un PI pour Mφ = 45° de deux façons : Ti égal à la constante du pôle dominant, puis Ti = 10/ωc. Comparer.

Technique les deux réglages classiques du PI.

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  1. Compensation, Ti = 1 s. La FTBO devient Kp/(p(1 + 0,1p)(1 + 0,01p)).
  2. Il faut arctan(0,1ω) + arctan(0,01ω) = 45°, soit 0,001ω² + 0,11ω − 1 = 0, donc ωc ≈ 8,44 rad/s. Le gain donne Kp ≈ 11,1.
  3. Décade. On vise une phase de H égale à − 129,3°, pour absorber les 5,7° du PI. On trouve ωc ≈ 8,7 rad/s et |H| ≈ 0,086.
  4. Le PI a un module 1,005 Kp à ωc, donc Kp ≈ 11,6 et Ti ≈ 1,15 s.
  5. Les deux réglages coïncident presque, car le pôle dominant (1 rad/s) est déjà environ une décade sous ωc. L'écart statique est nul dans les deux cas.

piège : Oublier que l'intégrateur du PI retire 90° partout. La compensation ne « rend » que la phase du pôle compensé.

Exercice 7. Vitesse d'un convoyeur

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit e3a

On a H(p) = 2/(1 + 0,5p), un correcteur PI avec Ti = 0,5 s et un retour unitaire. Régler Kp pour t₅% = 0,1 s. Discuter l'effort de commande et la robustesse de la compensation.

Technique compensation de pôle.

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  1. FTBO = 2Kp/(0,5p) = 4Kp/p. La FTBF est un premier ordre de constante 1/(4Kp).
  2. On veut 3/(4Kp) = 0,1, donc Kp = 7,5.
  3. À l'instant initial, la commande vaut Kp E₀. En régime permanent, elle vaut E₀/2. Le rapport vaut 15, d'où un risque de saturation du variateur, que le modèle linéaire ignore.
  4. Si la constante réelle vaut 0,6 s, le pôle n'est plus compensé. Un mode lent de faible amplitude apparaît et peut allonger t₅%.

piège : Croire la rapidité illimitée parce que le calcul le permet. La saturation borne Kp en pratique.

Exercice 8. PI sur un système déjà intégrateur

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Pour la tourelle de l'exercice 4, avec A/f = 0,5/0,5 = 1 rad/(V·s), le reste de la chaîne vaut H(p) = 1/(p(1 + 0,1p)). Avec un PI, la FTBO vaut Kp (1 + Ti p)/(Ti p²(1 + 0,1p)). On impose Ti = 10τ = 1 s. Choisir Kp pour que la marge de phase soit maximale.

Technique lire le PI comme une avance de phase.

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  1. Phase : − 180° + arctan(Ti ω) − arctan(0,1ω). Elle est au-dessus de − 180° seulement si Ti > 0,1 s, ce qui est le cas.
  2. Le rapport (1 + Ti p)/(1 + 0,1p) est une avance de phase avec aT = Ti et T = 0,1 s. Avec Ti = 1 s, on a a = 10.
  3. Sa phase est maximale, 54,9°, à ω = 1/√(Ti × 0,1) ≈ 3,16 rad/s. On y place ωc.
  4. Module : Kp √11/(10 √1,1) ≈ 0,316 Kp = 1, donc Kp ≈ 3,16. On obtient Mφ ≈ 55° et un écart nul face au vent.

piège : Appliquer la règle de la décade. Ici la phase part de − 180°, et le zéro doit au contraire remonter la phase à ωc.

Exercice 9. Avance de phase pour un axe de pointage

Approfondissement · Type oral Centrale

Une FTBO vaut Kc/(p(1 + 0,1p)). On veut une erreur de traînage au plus 0,01 pour une rampe unitaire, et Mφ ≥ 45°. Montrer qu'un P échoue, puis régler une avance de phase Kc (1 + aTp)/(1 + Tp).

Technique démarche de réglage de l'avance de phase.

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  1. Précision : Kc ≥ 100 s⁻¹. Avec Kc = 100, ωc ≈ 30,8 rad/s et Mφ ≈ 18°. Le P échoue.
  2. On vise ωc = 45 rad/s. La phase du système y vaut − 167,5°. Pour 45° de marge plus 5° de sécurité, il manque 37,5°.
  3. sin 37,5° ≈ 0,608, donc a ≈ 4,1 et √a ≈ 2,03.
  4. T = 1/(45 × 2,03) ≈ 0,011 s, et aT ≈ 0,045 s.
  5. À 45 rad/s, 1/(ω √(1 + 0,01ω²)) ≈ 1/207. Donc Kc ≈ 207/2,03 ≈ 102, ce qui respecte Kc ≥ 100.
  6. On obtient Mφ ≈ 50°. La phase reste au-dessus de − 180°, donc MG est infinie. Le gain haute fréquence vaut environ 420, à confronter au bruit du capteur.
  7. Avec ωc = 40 rad/s, on aurait trouvé Kc ≈ 84 et la précision serait perdue. Le choix de ωc s'itère.

piège : Oublier le gain √a du correcteur à ωm en réglant Kc.

Erreurs fréquentes

  1. Appliquer le théorème de la valeur finale sans avoir vérifié la stabilité. La limite obtenue ne veut alors rien dire.
  2. Conclure sur l'écart dû à une perturbation à partir de la seule classe de la FTBO, sans placer les intégrateurs par rapport au point d'entrée.
  3. Lire ωc ou les marges sur les asymptotes sans corriger. On fait vite 3 dB ou près de 10° d'erreur, soit toute la marge du cahier des charges.
  4. Régler un correcteur sans revérifier les autres exigences. Un PI mal placé détruit la marge de phase, une avance de phase peut saturer la commande ou amplifier le bruit.
  5. Mélanger degrés et radians, ou hertz et rad/s, surtout avec un retard pur ou pour placer 1/Ti.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de sciences industrielles de l'ingénieur de MPSI-MP (2021), compétence C « Résoudre ». Elle couvre les critères du cahier des charges d'un système asservi, stabilité, précision et rapidité, vus en première année et repris ici, puis la démarche de réglage d'un correcteur (C1, troisième semestre) : compensation de pôles, réglage des marges, de l'amortissement, de la rapidité et de la bande passante, appliquée aux correcteurs proportionnel, proportionnel intégral et à avance de phase. Elle couvre enfin la mise en œuvre du réglage des correcteurs proportionnel et proportionnel intégral (C2, quatrième semestre). Les critères de Routh et de Nyquist et les diagrammes de Black-Nichols et de Nyquist ne sont pas au programme.