Stabilité des systèmes linéaires

Résumé en cinq points

1Fonction de transfert d'un système linéaire continu et invariant

1.1Système entrée-sortie linéaire, continu, invariant

Un système reçoit un signal d'entrée $e(t)$ et fournit un signal de sortie $s(t)$, par exemple deux tensions d'un circuit.

Dans les cas du programme (circuits à résistances, condensateurs, bobines et sources commandées linéaires, oscillateurs mécaniques), ces trois propriétés se traduisent par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

$$\begin{aligned} &a_n \frac{\dd^n s}{\dd t^n} + \dots + a_0 s \\ &= b_m \frac{\dd^m e}{\dd t^m} + \dots + b_0 e. \end{aligned}$$

Les coefficients $a_k$ et $b_k$ sont des constantes réelles.

1.2Fonction de transfert opérationnelle $H(p)$

On associe à l'équation différentielle une écriture symbolique : on remplace chaque dérivation $\dfrac{\dd}{\dd t}$ par une multiplication par la variable $p$. La dérivée $k$-ième devient $p^k$. L'équation s'écrit alors $D(p)\,s = N(p)\,e$, avec $$\begin{aligned} D(p) &= a_n p^n + \dots + a_1 p + a_0, \\ N(p) &= b_m p^m + \dots + b_1 p + b_0. \end{aligned}$$

Le dénominateur $D(p)$ porte toute l'information sur le régime libre du système, donc sur sa stabilité. Le numérateur décrit la manière dont l'entrée attaque le système.

1.3Transposer $H(p)$ dans le domaine temporel

C'est le chemin inverse : à chaque $p^k$ multipliant $s$ ou $e$, on associe la dérivée $k$-ième de $s$ ou de $e$. On obtient l'équation différentielle qui relie entrée et sortie.

1.4Transposer $H(p)$ dans le domaine fréquentiel

Pour une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$, on travaille en notation complexe : dériver revient à multiplier par $\ii\omega$.

1.5Rappels de première année : filtrage et décomposition harmonique

Ces capacités sont révisées sans ajout.

• Un signal périodique de fréquence $f$ se décompose en une somme de sinusoïdes de fréquences $f$, $2f$, $3f$, etc. (fondamental et harmoniques), plus une composante continue (valeur moyenne).
• Par linéarité, la sortie d'un système stable en régime établi est la somme des réponses à chaque composante. Chaque harmonique de pulsation $\omega$ est multiplié en amplitude par le gain $\abs{H(\ii\omega)}$ et déphasé de l'argument de $H(\ii\omega)$.
• Le diagramme de Bode trace le gain en décibels, $20\log\abs{H(\ii\omega)}$, et la phase en fonction de $\log\omega$.
• Un passe-bas d'ordre 1 a une asymptote de pente $-20 \unite{dB}$ par décade en haute fréquence. Un passe-bas d'ordre 2 a une pente de $-40 \unite{dB}$ par décade.

2Stabilité

2.1Définition

Après une perturbation, un système stable revient à son état de repos. On rencontre aussi la définition « à toute entrée bornée correspond une sortie bornée », qui conduit au même critère dans les cas usuels. On retient la version par le régime libre, celle que le programme met en avant.

2.2Lien avec les racines du dénominateur

On cherche des solutions de l'équation homogène de la forme $\e^{rt}$. En reportant, on trouve que $r$ doit être racine de l'équation caractéristique $a_n r^n + \dots + a_1 r + a_0 = 0$. C'est exactement $D(r) = 0$ : les racines de l'équation caractéristique sont les racines du dénominateur de $H(p)$, appelées pôles.

Chaque racine $r = \sigma + \ii\Omega$ fournit un terme en $\e^{\sigma t}$ multiplié éventuellement par une oscillation de pulsation $\Omega$.

• Si $\sigma < 0$, le terme décroît exponentiellement.
• Si $\sigma > 0$, il croît exponentiellement : c'est une divergence.
• Si $\sigma = 0$, il reste constant ou oscille sans s'amortir.

Le travail du chapitre consiste à le traduire, aux ordres 1 et 2, en une simple lecture de signes.

2.3Système d'ordre 1

Équation homogène : $a_1 \dfrac{\dd s}{\dd t} + a_0 s = 0$, avec $a_1 \neq 0$. L'unique racine est $r = -\dfrac{a_0}{a_1}$. Le régime libre vaut $$s(t) = s(0)\,\e^{-a_0 t/a_1}.$$

Discussion des trois cas :

• $\dfrac{a_0}{a_1} > 0$ : décroissance exponentielle de constante de temps $\tau = \dfrac{a_1}{a_0}$. Stable.
• $\dfrac{a_0}{a_1} < 0$ : croissance exponentielle. Instable.
• $a_0 = 0$ : la solution libre est constante, elle ne revient pas à zéro. Le système est à la limite de stabilité, on le classe parmi les non stables.

Sur la forme canonique $\dfrac{H_0}{1 + \tau p}$, la stabilité équivaut à $\tau > 0$. Un circuit RC passif ($\tau = RC > 0$) est donc toujours stable. Une constante de temps négative suppose un composant actif.

2.4Système d'ordre 2

Équation homogène : $a_2 \dfrac{\dd^2 s}{\dd t^2} + a_1 \dfrac{\dd s}{\dd t} + a_0 s = 0$, avec $a_2 \neq 0$.

Sur la forme canonique $\dfrac{H_0}{1 + \frac{p}{Q\omega_0} + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$, avec $\omega_0^2 > 0$, la stabilité équivaut à $Q > 0$. Le signe de $Q$ fixe celui du terme d'amortissement.

Rappel des régimes transitoires d'un système stable d'ordre 2, vus en première année :

• $Q < \dfrac{1}{2}$ : régime apériodique, deux racines réelles négatives.
• $Q = \dfrac{1}{2}$ : régime critique, racine double négative, retour le plus rapide sans oscillation.
• $Q > \dfrac{1}{2}$ : régime pseudo-périodique, oscillations amorties. Le nombre d'oscillations visibles est de l'ordre de $Q$.

Si $Q < 0$ et $\abs{Q} > \dfrac{1}{2}$, on observe des oscillations dont l'amplitude croît exponentiellement. Dans un circuit réel, cette croissance est arrêtée par une non-linéarité, comme la saturation d'un amplificateur. C'est le principe des oscillateurs, étudiés plus loin.

2.5Exemples classiques

2.6Le critère ne vaut pas tel quel à l'ordre 3 ou plus

À tout ordre, une moitié du critère reste vraie.

En PSI, on se limite aux ordres 1 et 2, ou à des systèmes d'ordre supérieur dont on sait factoriser le dénominateur.

2.7Pièges classiques

3Capacités numériques et expérimentales

Numérique : une méthode d'Euler en Python permet de tracer $s(t)$ et de voir la décroissance d'un système stable ou la divergence d'un système instable. Le pas doit rester petit devant la plus petite constante de temps, sinon la méthode crée elle-même une divergence artificielle.

Expérimental : un montage instable part en saturation ou oscille spontanément sans entrée. Un montage stable d'ordre 1 soumis à un échelon atteint 99 % de sa valeur finale en environ $5\tau$.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Établir l'équation différentielle d'un circuit RC ou RLC et en déduire $H(p)$ et $H(\ii\omega)$.
2. Partir d'une fonction de transfert donnée et écrire l'équation différentielle correspondante.
3. Énoncer la définition de la stabilité par le régime libre et la relier aux racines du dénominateur.
4. Démontrer le critère de stabilité d'un système d'ordre 2 avec la somme et le produit des racines.
5. Discuter la stabilité selon un paramètre, par exemple le signe d'une résistance équivalente, et trouver la limite de stabilité.
6. Donner un contre-exemple montrant que le critère des signes ne suffit pas à l'ordre 3.
7. Expliquer pourquoi $H(\ii\omega)$ n'a de sens physique que pour un système stable.

Les résultats à connaître

• Système linéaire continu invariant. Décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants réels, d'ordre n égal au plus haut ordre de dérivation de la sortie. Modèle exigible, valable pour des signaux assez petits.
• Fonction de transfert opérationnelle. H(p) = N(p)/D(p), obtenue en remplaçant chaque d/dt par p. Simple codage de l'équation différentielle, sans transformée de Laplace. Exigible.
• Passage au domaine temporel. Chaque pᵏ appliqué à s ou à e redevient une dérivée k-ième. Exigible dans les deux sens.
• Fonction de transfert harmonique. H(jω) s'obtient en remplaçant p par jω. Elle décrit le régime sinusoïdal établi, qui n'existe que pour un système stable. Exigible.
• Définition de la stabilité. Le régime libre, solution de l'équation homogène, tend vers zéro pour toutes conditions initiales. Définition exigible.
• Critère général. Stable si et seulement si toutes les racines de D ont une partie réelle strictement négative. Sert de justification, la capacité exigible porte sur les ordres 1 et 2.
• Critère d'ordre 1. a₁ ds/dt + a₀ s = … est stable si et seulement si a₁ et a₀ sont non nuls et de même signe. Forme canonique H₀/(1 + τp), stable si et seulement si τ > 0. Exigible avec démonstration.
• Critère d'ordre 2. a₂, a₁, a₀ non nuls et de même signe. Forme canonique avec ω_0² > 0, stable si et seulement si Q > 0. Exigible avec démonstration.
• Condition nécessaire à tout ordre. Un système stable a tous les coefficients de D non nuls et de même signe. Non suffisante dès l'ordre 3. À savoir illustrer par un contre-exemple.
• Critère de Routh-Hurwitz, et sa forme d'ordre 3 a₂ a₁ > a₃ a₀ pour des coefficients positifs. Hors programme, pour la culture.
• Filtrage d'un signal périodique par un système stable. Chaque harmonique est multiplié par |H(jω)| et déphasé de arg H(jω). Révisé de première année, sans ajout.

Clés de démonstration

Régime libre et pôles. On cherche des solutions exp(rt) de l'équation homogène. En reportant, r vérifie D(r) = 0. Un terme exp(rt) avec r = σ + jΩ a pour module exp(σt), donc il s'éteint si et seulement si σ < 0. L'astuce est de reconnaître dans l'équation caractéristique le dénominateur de H.

Ordre 1. L'unique racine vaut −a₀/a₁. Elle est strictement négative si et seulement si a₀ et a₁ sont non nuls et de même signe. L'astuce est de traiter à part le cas a₀ = 0, racine nulle, terme constant qui ne s'éteint pas.

Ordre 2, sens direct. Somme des racines −a₁/a₂ < 0 et produit a₀/a₂ > 0. Racines réelles, même signe par le produit, négatif par la somme. Racines conjuguées, partie réelle commune égale à la demi-somme, négative. L'astuce est d'utiliser les relations coefficients et racines sans calculer le discriminant.

Ordre 2, réciproque par contraposée. Produit négatif, une racine positive. Produit nul, racine nulle. Somme positive, au moins une partie réelle positive. Somme nulle avec produit positif, racines imaginaires pures, oscillation entretenue. L'astuce est de lister les cas où un coefficient change de signe ou s'annule.

Condition nécessaire à tout ordre. Si toutes les racines sont à partie réelle négative, D est, à un facteur près, produit de facteurs (p + a) avec a > 0 et de facteurs p² + 2αp + |r|² avec α > 0. Un produit de polynômes à coefficients strictement positifs a des coefficients strictement positifs. L'astuce est de grouper les racines conjuguées.

H(jω) et régime établi. Pour e = E cos ωt, la solution générale est la somme du régime libre et d'une solution particulière sinusoïdale d'amplitude complexe H(jω)E. Si le système est stable, le régime libre disparaît et il ne reste que la partie décrite par H(jω). L'astuce est de séparer solution homogène et solution particulière.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Circuit RC passif, H = 1/(1 + RCp). Toujours stable, la résistance dissipe.
2. RLC série passif, D = LCp² + RCp + 1. Stable dès que R > 0. Avec R = 0, oscillation non amortie, limite de stabilité.
3. Intégrateur pur, H = 1/(τp). Coefficient a₀ nul, non stable. Une entrée constante donne une rampe sans fin.
4. Pendule inversé, d²θ/dt² − (g/ℓ)θ = 0. Coefficients 1, 0, −g/ℓ, instable deux fois.
5. Oscillateur mécanique amorti, m, h, k positifs. Stable, analogue exact du RLC.
6. Résistance négative réalisée par un montage actif. Elle peut changer le signe du terme d'amortissement et rendre un RLC instable. Principe des oscillateurs.
7. D(p) = p³ + p² + 2p + 8 = (p + 2)(p² − p + 4). Coefficients tous positifs et pourtant instable. Le contre-exemple de l'ordre 3.
8. H(p) = (p − 1)/((p − 1)(p + 2)). La forme simplifiée 1/(p + 2) cache un pôle instable. Il faut raisonner sur l'équation différentielle complète.
9. H(p) = (p − 3)/(p² + 2p + 5). Numérateur à coefficients de signes opposés, système pourtant stable. Le numérateur ne compte pas.

Techniques du chapitre

Regrouper avant de lire les signes. Tous les termes en s à gauche, puis comparer. Mini-exercice : 2 ds/dt = 3s + e devient 2 ds/dt − 3s = e. Coefficients 2 et −3 de signes opposés, instable.

Passer de l'équation à H(p) et retour. Mini-exercice : 0,5 d²s/dt² + 2 ds/dt + 4s = 3 de/dt donne H(p) = 3p/(0,5p² + 2p + 4). Coefficients du dénominateur positifs, stable.

Identifier une forme canonique. Diviser par a₀. Mini-exercice : 10⁻⁶p² + 10⁻⁴p + 1. ω₀ = 10³ rad/s, 1/(Qω_0) = 10⁻⁴, Q = 10. Stable, très peu amorti.

Trouver la limite de stabilité. Annuler le coefficient qui dépend du paramètre. Mini-exercice : D(p) = p² + (3 − K)p + 2. Stable si et seulement si K < 3. À K = 3, oscillation à ω = √2 rad/s.

Factoriser à l'ordre 3. Chercher une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant. Mini-exercice : p³ + 3p² + 4p + 2, racine −1, quotient p² + 2p + 2 à coefficients positifs. Stable.

Vérifier la stabilité avant Bode. Mini-exercice : H(p) = 1/(1 − 0,01p). |H(jω)| = 1/√(1 + 10⁻⁴ω²) ressemble à un passe-bas. Mais le pôle vaut +100 s⁻¹, le système diverge, ce gain ne se mesure pas.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes