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PCSI · Maths · semaine 36

Espérance et variance

Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe, propriétés de linéarité, positivité et croissance, formule de transfert et cas de deux variables indépendantes. Variance, écart type, relation V(X) = E(X2) - E(X)2, valeurs pour les lois de Bernoulli et binomiale, puis covariance et variance d'une somme. Pour finir, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. L'espérance est linéaire sans aucune hypothèse d'indépendance, ce qui rend la méthode des indicatrices systématique.
  2. La formule de transfert donne E(f(X))\E(f(X)) sans passer par la loi de f(X)f(X).
  3. V(X)=E(X2)−E(X)2\V(X)=\E(X^2)-\E(X)^2, V(aX+b)=a2V(X)\V(aX+b)=a^2\V(X), et la variance d'une somme fait apparaître les covariances.
  4. Indépendantes entraîne décorrélées et E(XY)=E(X)E(Y)\E(XY)=\E(X)\E(Y), mais les réciproques sont fausses.
  5. Markov puis Bienaymé-Tchebychev donnent des bornes universelles sur les écarts et conduisent à la concentration de la moyenne empirique en v/(nε2)v/(n\varepsilon^2).
Pourquoi ce chapitre

Une loi de probabilité contient toute l'information, mais elle est encombrante. On veut deux nombres qui la résument :

  • un indicateur de position ;
  • un indicateur de dispersion.

L'espérance est la valeur moyenne, la variance mesure l'étalement autour de cette moyenne.

La linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance et permet de calculer des moyennes en décomposant une variable en somme d'indicatrices.

La variance n'est pas linéaire. L'indépendance, ou plus faiblement la décorrélation, la rend additive.

Le chapitre se termine sur les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Elles donnent un contrôle quantitatif des écarts à la moyenne et conduisent à une version non asymptotique de la loi faible des grands nombres. C'est elle qui justifie l'approche fréquentiste des probabilités.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul d'espérance et de variance 2

Exercice 1. Loi uniforme ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

XX suit la loi uniforme sur {1,…,n}\{1, \ldots, n\}.

Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

Application à un dé.

Voir l'indice

Technique transfert et sommes de référence.

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Résultat

E(X)=n+12E(X) = \frac{n+1}{2}, V(X)=n2−112V(X) = \frac{n^2-1}{12}, et pour un dé V(X)=3512V(X) = \frac{35}{12}.

  1. E(X)=1n∑k=1nkE(X) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k, donc E(X)=n+12‾\underline{E(X) = \frac{n+1}{2}} (propriété 1.12, loi uniforme).
  2. E(X2)=1n∑k=1nk2=(n+1)(2n+1)6‾\underline{E(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}} (transfert, théorème 1.14, formule de transfert).
  3. Donc (théorème 2.4, formule de Kœnig-Huygens) V(X)=(n+1)(2n+1)6−(n+1)24=(n+1)(4n+2−3n−3)12=n2−112.\begin{aligned} V(X) &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} \\ &= \frac{(n+1)(4n+2-3n-3)}{12} \\ &= \frac{n^2-1}{12}. \end{aligned}
  4. Pour un dé, n=6n = 6, donc V(X)=3512V(X) = \frac{35}{12}.

piège : Écrire E(X2)=E(X)2E(X^2) = E(X)^2, ce qui donnerait une variance nulle.

Exercice 2. Une espérance classique pour la binomiale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

XX suit la loi B(n,p)\mathcal{B}(n, p), avec 0<p≤10 < p \leq 1 et q=1−pq = 1 - p.

Calculer E(1X+1)E\left(\frac{1}{X + 1}\right).

Voir le début du corrigé
  1. E(1X+1)=∑k=0n(nk)pkqn−kk+1E\left(\frac{1}{X+1}\right) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{p^k q^{n-k}}{k+1} (transfert, théorème 1.14, formule de transfert).

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Sommes d'indicatrices 1

Exercice 3. Points fixes d'une permutation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit n≥2n \geq 2 et σ\sigma une permutation de {1,…,n}\{1, \ldots, n\} choisie uniformément.

NN est son nombre de points fixes.

Calculer E(N)E(N) et V(N)V(N).

Voir le début du corrigé
  1. Soit N=∑i=1nIiN = \sum_{i=1}^{n} I_i, où IiI_i vaut 11 si σ(i)=i\sigma(i) = i. …

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Loi du maximum 1

Exercice 4. Maximum de deux dés ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

On lance deux dés équilibrés indépendants, MM est le plus grand résultat.

Déterminer la loi de MM et son espérance.

Voir le début du corrigé
  1. (M≤k)(M \leq k) est l'intersection de deux événements indépendants de probabilité k6\frac{k}{6}, donc P(M≤k)=k236‾\underline{P(M \leq k) = \frac{k^2}{36}}.

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Sommes d'indicatrices 2

Exercice 5. Tirages sans remise ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Une urne contient nn boules dont rr rouges.

On tire successivement mm boules sans remise, avec 1≤m≤n1 \leq m \leq n.

XX est le nombre de rouges obtenues.

Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X) sans déterminer la loi de XX.

Voir le début du corrigé
  1. Soit IiI_i l'indicatrice de « la ii-ème boule tirée est rouge ». …

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Exercice 6. Nombre de valeurs distinctes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

On tire nn fois, avec remise et indépendamment, un entier uniforme dans {1,…,N}\{1, \ldots, N\}.

YY est le nombre d'entiers différents obtenus.

Calculer E(Y)E(Y).

Voir le début du corrigé
  1. Pour k∈{1,…,N}k \in \{1, \ldots, N\}, soit JkJ_k valant 11 si kk est sorti au moins une fois. …

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Inégalités probabilistes 2

Exercice 7. Inégalité de Cauchy-Schwarz probabiliste ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soient XX et YY réelles.

Montrer que E(XY)2≤E(X2) E(Y2).E(XY)^2 \leq E(X^2)\,E(Y^2).

En déduire que ∣Cov⁡(X,Y)∣≤σ(X) σ(Y).|\operatorname{Cov}(X, Y)| \leq \sigma(X)\,\sigma(Y).

Voir le début du corrigé
  1. Si E(X2)=0E(X^2) = 0, XX est nulle sur les issues de probabilité non nulle (propriété 1.6, cas d'égalité), donc XYXY aussi, E(XY)=0E(XY) = 0 et l'inégalité est vraie.

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Exercice 8. Taille d'un sondage ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit CCINP

On interroge nn personnes choisies indépendamment dans une population où une proportion inconnue pp vote oui.

FnF_n est la fréquence de oui observée.

Trouver nn pour que, quel que soit pp, P(∣Fn−p∣≥0,02)≤0,05.P(|F_n - p| \geq 0{,}02) \leq 0{,}05.

Voir le début du corrigé
  1. FnF_n est la moyenne de nn Bernoulli indépendantes de paramètre pp, donc E(Fn)=p‾\underline{E(F_n) = p} et V(Fn)=p(1−p)n‾\underline{V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}} (théorème 3.5, concentration de la moyenne).

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Approximation par polynômes 1

Exercice 9. Polynômes de Bernstein ★★★

Approfondissement · 60 min · Type écrit Mines ou Centrale

Soit ff continue sur [0,1][0, 1].

Pour xx dans [0,1][0, 1], on note SnS_n une variable de loi B(n,x)\mathcal{B}(n, x) et Bn(x)=E(f(Snn)).B_n(x) = E\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right).

Montrer que BnB_n est polynomiale et que le maximum de ∣Bn−f∣|B_n - f| sur [0,1][0, 1] tend vers 00.

Voir le début du corrigé
  1. Bn(x)=∑k=0n(nk)xk(1−x)n−kf(kn)‾\underline{B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} f\left(\frac{k}{n}\right)} (transfert, théorème 1.14, formule de transfert), polynôme en xx.

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Inégalités probabilistes 1

Exercice 10. Méthode du second moment ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral X ou ENS

Soit XX une variable positive avec E(X2)>0E(X^2) > 0.

Montrer que P(X>0)≥E(X)2E(X2).P(X > 0) \geq \frac{E(X)^2}{E(X^2)}.

Application, une permutation uniforme de {1,…,n}\{1, \ldots, n\}, avec n≥2n \geq 2, a au moins un point fixe avec probabilité au moins 12\frac{1}{2}.

Voir le début du corrigé
  1. XX est positive, donc X=X1X>0X = X \mathbb{1}_{X > 0} en tout point.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Probabilités », paragraphe B « Espérance et variance ». Elle suppose connus le paragraphe A : univers fini, variables aléatoires, lois usuelles et indépendance. Toutes les variables aléatoires sont définies sur un univers fini.