La fiche de cours
Résumé en cinq points
- Un premier ordre K / (1 + τp) répond à un échelon E₀ par K·E₀·(1 − e−t/τ) : tangente oblique à l'origine, 63 % en τ, t₅% ≈ 3τ, aucun dépassement.
- Un deuxième ordre K / (1 + 2ξp/ω₀ + p²/ω₀²) démarre toujours à tangente horizontale. ξ > 1 donne un régime apériodique, ξ = 1 le régime critique, 0 < ξ < 1 un régime pseudo-périodique oscillant.
- Le premier dépassement exp(−πξ/√(1 − ξ²)) ne dépend que de ξ. Le temps de réponse réduit t₅%·ω₀ se lit sur un abaque et est minimal, environ 3, pour ξ ≈ 0,7, avec 5 % de dépassement.
- Impulsion et rampe se déduisent de l'échelon par dérivation et intégration. Sous rampe avec K = 1, l'erreur de traînage vaut aτ ou 2ξa/ω₀. Sous sinus, le régime permanent garde la pulsation et modifie amplitude et phase.
- Identifier un modèle consiste à lire K sur le régime final, choisir l'ordre grâce à la tangente à l'origine et au dépassement, puis lire τ, ou ξ et ω₀, sur la courbe et valider par superposition.
Pourquoi ce chapitre
Presque tous les systèmes étudiés en sciences industrielles, un moteur, un vérin, un asservissement de position, se comportent comme un premier ou un deuxième ordre, au moins en première approximation. Savoir lire leur réponse temporelle permet de répondre à la question centrale du cahier des charges : le système est-il assez rapide, assez précis, assez peu oscillant ? Aux concours, on demande sans cesse de tracer l'allure d'une réponse, de calculer un temps de réponse à 5 % ou un dépassement, ou au contraire de remonter d'une courbe mesurée aux paramètres d'un modèle. Ce chapitre fournit les formules, les ordres de grandeur et les réflexes graphiques qui serviront dans tous les chapitres d'asservissement de l'année et de la deuxième année.
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Méthodes et exercices
Exercices classiques corrigés
Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.
Lecture des paramètres 1
Exercice 1. Lire les paramètres d'un deuxième ordre ★
Application du cours · 15 min · Khôlle
Un système a pour fonction de transfert H(p) = 8/(4 + 2p + 0,5p²).
-
Donner K, ω₀ et ξ.
-
Préciser le régime.
-
Calculer le premier dépassement et l'instant du premier pic sous échelon.
Voir l'indice
Technique normalisation, puis formules du pseudo-périodique.
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- On divise par 4 : H(p) = 2/(1 + 0,5p + 0,125p²). Donc K = 2.
- 1/ω₀² = 0,125 donne ω₀² = 8, soit ω₀ ≈ 2,83 rad/s.
- 2ξ/ω₀ = 0,5 donne ξ = 0,25·ω₀ ≈ 0,707.
- 0 < ξ < 1 : régime pseudo-périodique.
- ξ² = 0,5, donc πξ/√(1 − ξ²) = π, et D₁ = e−π ≈ 4,3 %.
- ωp = ω₀·√0,5 = 2 rad/s, d'où t₁ = π/2 ≈ 1,57 s.
piège : Lire 1/ω₀² = 0,5 sur la forme non normalisée, ce qui fausse ω₀ et ξ.
Identification 3
Exercice 2. Identifier un four par un premier ordre ★
Application du cours · 15 min · Khôlle
On applique à la commande d'un four un échelon de 0 à 10 V.
La température passe de 20 °C à 80 °C.
Elle vaut 58 °C à t = 120 s.
La tangente à l'origine coupe l'asymptote à t = 125 s.
La température reste à moins de 3 °C de 80 °C à partir de t = 360 s.
Proposer un modèle et le valider.
Voir le début du corrigé
- K = Δs/Δe = 60/10 = 6 °C/V. On travaille sur les variations, pas sur 80/10.
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Exercice 4. Identifier l'altitude d'un drone ★★
Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP
Un drone reçoit une consigne d'altitude en échelon de 0 à 2 m.
L'altitude se stabilise à 2 m.
Elle passe par un maximum de 2,5 m à t = 1,2 s.
-
Identifier un modèle d'ordre 2.
-
Prévoir les deux extrema suivants.
-
Estimer t₅%.
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- K = 2/2 = 1 et D₁ = 0,5/2 = 0,25.
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Exercice 8. Approximation du pôle dominant ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP
Une chaîne de chauffage a pour fonction de transfert H(p) = 1/((1 + 2p)(1 + 0,1p)).
-
Calculer ω₀ et ξ et préciser le régime.
-
Proposer un modèle d'ordre 1 et estimer t₅%.
-
Comparer à la valeur exacte.
Voir le début du corrigé
- Le dénominateur vaut 1 + 2,1p + 0,2p². …
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Régime sinusoïdal 2
Exercice 3. Moteur soumis à une tension sinusoïdale ★
Application du cours · 10 min · Khôlle
Un moteur est modélisé par H(p) = 2/(1 + 0,1p), de la tension en V vers la vitesse en rad/s.
On applique une tension sinusoïdale d'amplitude 1 V.
Décrire la vitesse en régime permanent pour ω = 10 rad/s, puis pour ω = 100 rad/s.
Voir le début du corrigé
- La vitesse est sinusoïdale, de même pulsation que la tension.
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Exercice 10. Ordre 2 en régime sinusoïdal ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Mines
Un capteur d'accélération est un ordre 2.
Gain : K = 1.
Pulsation propre : ω₀ = 10 rad/s.
Amortissement : ξ = 0,2.
L'entrée est sinusoïdale d'amplitude 1.
Donner amplitude et retard de la sortie en régime permanent pour ω = 1, 10 et 100 rad/s. Conclure sur l'usage du capteur.
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- u = 0,1 : dénominateur √(0,99² + 0,04²) ≈ 0,99. …
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Performances d'un ordre 2 1
Exercice 5. Régler l'amortisseur d'une suspension ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP
Un banc de suspension est modélisé par une masse, un ressort et un amortisseur visqueux.
Masse : m = 2 kg.
Raideur : k = 800 N/m.
L'équation est m·x'' + c·x' + k·x = F.
-
Écrire la fonction de transfert X(p)/F(p) sous forme canonique.
-
Calculer l'enfoncement final sous un échelon de 40 N.
-
Choisir c pour une réponse critique, puis pour ξ = 0,7, et comparer les temps de réponse.
Voir le début du corrigé
- H(p) = (1/k)/(1 + (c/k)p + (m/k)p²). …
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Rampe et traînage 1
Exercice 6. Erreur de traînage d'un axe de robot ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit e3a
L'axe d'un robot est modélisé par un deuxième ordre.
Gain : K = 1.
Pulsation propre : ω₀ = 40 rad/s.
Amortissement : ξ = 0,5.
La consigne de position est une rampe de pente 2 rad/s.
-
Tracer l'allure de la réponse et calculer l'erreur de traînage.
-
Le cahier des charges impose une erreur d'au plus 0,03 rad, à ξ fixé. Quelle valeur de ω₀ faut-il ?
-
Que se passe-t-il si le gain vaut 0,95 ?
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- Départ à tangente horizontale, ondulations amorties, puis asymptote de pente 2 rad/s.
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Allures des réponses 1
Exercice 7. Reconnaître une réponse ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle
On décrit quatre réponses.
(a) La sortie saute à 6 en 0, puis décroît vers 0.
(b) La sortie part de 0 avec une pente non nulle, change de signe, puis tend vers 0.
(c) La sortie part à tangente horizontale et tend vers 4 sans dépasser.
(d) La sortie part à tangente horizontale, puis suit une droite de pente 1 décalée de 0,5 s.
Pour chacune, dire l'entrée, l'ordre et ce qu'on peut chiffrer.
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- (a) Saut en 0 : impulsion sur un ordre 1. …
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Réglage d'un asservissement 1
Exercice 9. Réglage d'un asservissement de position ★★★
Approfondissement · 30 min · Type oral Centrale
On admet qu'un axe asservi a pour fonction de transfert H(p) = 1/(1 + p/Kc + 0,05p²/Kc).
Le gain réglable Kc est strictement positif, en s⁻¹.
Cahier des charges : t₅% d'au plus 0,3 s et dépassement d'au plus 10 %.
-
Exprimer ω₀ et ξ en fonction de Kc.
-
Trouver Kc pour une réponse critique, puis pour ξ = 0,7. Conclure.
-
Commenter le choix Kc = 50 s⁻¹.
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- ω₀ = √(Kc/0,05) et 2ξ/ω₀ = 1/Kc, d'où ξ = 1/(2√(0,05·Kc)).
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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de sciences industrielles de l'ingénieur (2021), compétence C2 « Mettre en œuvre une démarche de résolution analytique », point « Déterminer la réponse temporelle » du premier semestre. Elle couvre l'expression des réponses à un échelon des systèmes d'ordre 1 et 2, les allures des réponses à l'impulsion, à la rampe et au sinus en régime permanent, ainsi que l'identification d'un modèle de comportement à partir d'une courbe. La résolution des équations différentielles et les transformées de Laplace inverses ne sont pas exigibles. Les formules de réponse sont donc à connaître et à exploiter, pas à redémontrer.