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MPSI · SII · semaine 12

Réponse fréquentielle et diagramme de Bode

Réponse harmonique, gain et phase, diagrammes de Bode réels et asymptotiques des systèmes élémentaires, intégrateur, dérivateur, premier et deuxième ordre, résonance. Identification d'un modèle à partir d'une réponse fréquentielle.

Sommaire

La fiche de cours

Résumé en cinq points

  1. Un système linéaire stable soumis à un sinus de pulsation ω répond, en régime permanent, par un sinus de même pulsation. L'amplitude est multipliée par |H(jω)| et la phase est décalée de arg H(jω).
  2. Le diagramme de Bode trace 20 log |H(jω)| et arg H(jω) en fonction de ω en échelle logarithmique. Pour un produit de fonctions de transfert, gains en décibels et phases s'additionnent.
  3. Intégrateur : −20 dB par décade et −90°. Dérivateur : +20 dB par décade et +90°. Premier ordre : cassure en 1/τ, pente finale −20 dB par décade, −3 dB et −45° à la cassure.
  4. Deuxième ordre : cassure en ω0, pente finale −40 dB par décade, gain K/(2ξ) et phase −90° en ω0. Résonance si et seulement si ξ < 0,707, en ωr = ω0 √(1 − 2ξ²), légèrement avant ω0.
  5. Pour identifier un modèle, on lit la classe et l'ordre sur les pentes et les phases extrêmes, le gain statique sur le plateau, les cassures sur la phase, et l'amortissement sur le gain en ω0 ou sur la résonance.
Pourquoi ce chapitre

Jusqu'ici, on a regardé un système à travers sa réponse à un échelon. Ce chapitre l'excite avec un sinus et observe comment il transforme l'amplitude et la phase selon la fréquence. C'est la manière naturelle de caractériser un capteur, un moteur, une suspension ou un filtre.

Le diagramme de Bode résume ce comportement en deux courbes faciles à tracer à la main. Il sert ensuite pour la stabilité (marges de gain et de phase), pour la rapidité (bande passante) et pour le réglage des correcteurs.

Aux concours, on demande presque toujours de tracer un diagramme asymptotique, de lire un diagramme fourni ou d'identifier un modèle à partir de mesures. Ce sont des points rapides à gagner pour qui a les réflexes.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Réponse harmonique 1

Exercice 1. Sortie permanente d'un amplificateur de commande ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Un amplificateur est modélisé par la fonction de transfert

H(p) = 2/(1 + 0,05p).

On lui impose une tension e(t) = 3 sin(40t), en volts.

  1. Donner la tension de sortie en régime permanent.

  2. Au-delà de quelle pulsation l'amplitude de sortie est-elle inférieure à 3 V, moitié de l'amplitude statique 6 V ?

Voir l'indice

Technique évaluer H en jω à la pulsation de l'entrée.

Voir le corrigé offert
  1. Premier ordre de pôle −20, donc stable. La réponse harmonique s'applique.
  2. En ω = 40 rad/s, τω = 2, donc H(j40) = 2/(1 + 2j).
  3. Module 2/√5 ≈ 0,894. Amplitude de sortie : 3 × 0,894 ≈ 2,68 V.
  4. Argument −arctan 2 ≈ −63,4°, soit −1,11 rad. Donc s(t) ≈ 2,68 sin(40t − 1,11).
  5. Question 2 : 1/√(1 + τ²ω²) < 1/2 donne τ²ω² > 3, donc ω > √3/τ ≈ 34,6 rad/s.

piège : Oublier la stabilité, ou mettre une phase en degrés dans un sinus en radians.

Mesure et identification 2

Exercice 2. Identifier un premier ordre à l'oscilloscope ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un capteur est supposé du premier ordre.

On l'excite par un sinus d'amplitude 1 V et de période 20 ms.

La sortie a une amplitude de 0,5 V et un retard de 2,5 ms.

  1. Calculer la pulsation, le gain en dB et la phase.

  2. En déduire K et τ.

Voir le début du corrigé
  1. ω = 2π/0,020 ≈ 314 rad/s.

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Exercice 6. Identifier un deuxième ordre par son pic ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Un diagramme de gain mesuré présente un plateau à 14 dB.

Le gain passe par un maximum situé 8 dB au-dessus du plateau, en 18 rad/s.

La pente finale vaut −40 dB par décade.

Proposer un modèle.

Voir le début du corrigé
  1. Plateau et pente finale −40 : deuxième ordre de classe 0. …

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Tracé asymptotique 2

Exercice 3. Tracé asymptotique d'un produit ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On considère

H(p) = 100 (1 + 0,1p)/((1 + p)(1 + 0,01p)).

  1. Tracer le diagramme asymptotique de gain et de phase.

  2. Donner le gain réel en 1 rad/s.

Voir le début du corrigé
  1. Cassures : 1 rad/s (dénominateur), 10 rad/s (numérateur), 100 rad/s (dénominateur). …

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Exercice 4. Moteur d'axe en position ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

L'axe d'un robot, commandé en tension, a pour fonction de transfert en position

H(p) = 2/(p (1 + 0,05p)).

  1. Tracer le diagramme asymptotique.

  2. Donner gain et phase réels en 20 rad/s.

  3. Trouver la pulsation où le gain réel vaut 0 dB, et la phase en ce point.

Voir le début du corrigé
  1. Classe 1 : en basses pulsations, gain 6 − 20 log ω, qui coupe 0 dB en 2 rad/s. …

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Deuxième ordre et résonance 2

Exercice 5. Suspension d'un quart de véhicule ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Une suspension est modélisée par

H(p) = 1/(1 + (c/k) p + (m/k) p²).

Données :

m = 400 kg, k = 40 000 N/m, c = 3 000 N·s/m.

  1. Calculer ω0 et ξ.

  2. Dire s'il y a résonance, et donner ωr et Q en dB.

  3. Quelle valeur de c supprime la résonance ?

Voir le début du corrigé
  1. 1/ω_0² = m/k, donc ω0 = 10 rad/s.

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Exercice 7. Deuxième ordre très amorti ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit e3a

Un vérin hydraulique chargé a pour fonction de transfert

H(p) = 10/(1 + 1,1p + 0,1p²).

  1. Calculer ω0 et ξ, puis factoriser.

  2. Tracer le diagramme asymptotique.

  3. Vérifier la phase en ω0 et calculer la pulsation de coupure à −3 dB.

Voir le début du corrigé
  1. ω0 = √10 ≈ 3,16 rad/s et 2ξ/ω0 = 1,1, donc ξ ≈ 1,74 > 1.

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Lien avec les performances 1

Exercice 8. Bande passante d'un axe asservi ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit Mines-Ponts

Un axe est bouclé à retour unitaire.

Sa fonction de transfert en boucle ouverte vaut

T(p) = 50/(p (1 + 0,01p)).

  1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée sous forme canonique.

  2. En déduire ω0, ξ et l'existence d'une résonance.

  3. Montrer que la pulsation de coupure à −3 dB vaut ω0.

  4. Le cahier des charges impose une bande passante d'au moins 50 rad/s. Conclure.

Voir le début du corrigé
  1. F = T/(1 + T) = 50/(0,01p² + p + 50) = 1/(1 + 0,02p + 0,0002p²).

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Fiche de cours rédigée à partir des programmes officiels de sciences industrielles de l'ingénieur de MPSI-MP, MP2I-PSI, PCSI-PSI et PTSI-PT (2021). Elle couvre le point « Déterminer la réponse fréquentielle » de la compétence de résolution analytique, positionné au second semestre : allures des diagrammes réel et asymptotique de Bode. Elle traite aussi la réponse harmonique, les systèmes élémentaires, la résonance et l'identification d'un modèle à partir d'une réponse fréquentielle.