Le cours

Résumé en cinq points

Une égalité d'ensembles se prouve par double inclusion, et les opérations ensemblistes ne font que traduire les connecteurs logiques.
Une application est la donnée d'un départ, d'une arrivée et d'une image unique par point. Changer l'arrivée change l'injectivité ou la surjectivité.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ existe sans bijectivité et commute avec toutes les opérations. L'image directe ne commute qu'avec la réunion.
Injective veut dire au plus un antécédent, surjective au moins un, bijective exactement un. La réciproque de $g \circ f$ est $f^{-1} \circ g^{-1}$ .
Une relation d'équivalence partitionne l'ensemble en classes. Une relation d'ordre peut n'être que partielle, comme l'inclusion ou la divisibilité.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre installe le langage commun à toute la prépa.

Un espace vectoriel est un ensemble.
Une application linéaire est une application.
Un isomorphisme est une bijection.
Une matrice représente une application.

Sans ce vocabulaire précis, l'algèbre linéaire du second semestre reste incompréhensible. Le point de vue reste intuitif : on ne construit pas les ensembles, on apprend à les manipuler.

Les deux difficultés réelles sont :

l'image réciproque, qui n'a rien à voir avec la fonction réciproque ;
la distinction injectif, surjectif, bijectif.

Aux concours, ces notions apparaissent rarement seules, mais elles sont exigées partout, dans les preuves d'algèbre comme dans les raisonnements d'analyse.

1Ensembles

1.1Appartenance et inclusion

Définition 1.1Ensemble, appartenance

Un ensemble est une collection d'objets appelés ses éléments. On écrit $x \in E$ si $x$ est un élément de $E$ , et $x \notin E$ sinon. L'ensemble vide, noté $\varnothing$ , n'a aucun élément.

Définition 1.2Inclusion

On dit que $A$ est inclus dans $E$ , ou que $A$ est une partie ou un sous-ensemble de $E$ , et on note $A \subset E$ , lorsque tout élément de $A$ est un élément de $E$ . En formule : $\forall x,\ (x \in A \Rightarrow x \in E).$

Propriété 1.3

L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, car l'implication $x \in \varnothing \Rightarrow x \in E$ a une hypothèse toujours fausse.

Attention

Ne pas confondre $\in$ et $\subset$ . Si $E = \{1, 2\}$ , on a $1 \in E$ et $\{1\} \subset E$ , mais $1 \subset E$ et $\{1\} \in E$ sont des écritures fausses ou au moins suspectes.

1.2Égalité par double inclusion

Deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments.

MéthodeDouble inclusion

Prouver $A \subset B$ : prendre un élément quelconque de $A$ et montrer qu'il appartient à $B$ .
Prouver $B \subset A$ de la même façon.
Conclure $A = B$ .

C'est le réflexe de base du chapitre.

1.3Ensemble des parties

Définition 1.4Ensemble des parties

L'ensemble des parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$ . Ses éléments sont les sous-ensembles de $E$ .

Toujours $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ et $E \in \mathcal{P}(E)$ . Un énoncé du type $A \in \mathcal{P}(E)$ signifie exactement $A \subset E$ .

Exemple 1.5

Si $E = \{a, b\}$ , alors $\mathcal{P}(E) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$ , qui a 4 éléments.

1.4Opérations sur les parties

Définition 1.6Réunion, intersection, différence, complémentaire

Soit $A$ et $B$ deux parties de $E$ .

Réunion : $A \cup B$ est l'ensemble des $x$ qui appartiennent à $A$ ou à $B$ , au sens inclusif.
Intersection : $A \cap B$ est l'ensemble des $x$ qui appartiennent à $A$ et à $B$ . Si $A \cap B = \varnothing$ , on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.
Différence : $A \setminus B$ est l'ensemble des $x$ de $A$ qui ne sont pas dans $B$ .
Complémentaire de $A$ dans $E$ : $E \setminus A$ , aussi noté $\overline{A}$ ou $A^c$ . C'est l'ensemble des $x$ de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .

Les règles de calcul viennent directement des règles de logique du chapitre 1.

Propriété 1.7Règles de calcul

Pour $A$ , $B$ , $C$ parties de $E$ :

$\cup$ et $\cap$ sont commutatives et associatives ;
distributivité croisée : $\begin{aligned} A \cap (B \cup C) &= (A \cap B) \cup (A \cap C),\\ A \cup (B \cap C) &= (A \cup B) \cap (A \cup C) ; \end{aligned}$
$A \setminus B = A \cap \overline{B}$ .

Propriété 1.8Lois de De Morgan

Pour $A$ et $B$ parties de $E$ : $\begin{aligned} \overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B},\\ \overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B}. \end{aligned}$ Elles traduisent les négations de « ou » et de « et ».

Exemple 1.9Distributivité par double inclusion

Soit $x \in A \cap (B \cup C)$ . Alors $x \in A$ , et $x \in B$ ou $x \in C$ . Dans le premier cas $x \in A \cap B$ , dans le second $x \in A \cap C$ , donc $x$ est dans la réunion.

Réciproquement, si $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , alors dans les deux cas $x \in A$ et $x \in B \cup C$ .

1.5Produit cartésien

Définition 1.10Produit cartésien

Le produit cartésien de $E$ et $F$ , noté $E \times F$ , est l'ensemble des couples $(x, y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$ . Deux couples sont égaux quand leurs deux composantes le sont, dans l'ordre.

On généralise à un nombre fini d'ensembles : $E_1 \times \dots \times E_n$ est l'ensemble des $n$ -uplets. On note $E^n$ le produit de $E$ par lui-même $n$ fois. Ainsi $\R^2$ est le plan usuel et $\R^3$ l'espace.

1.6Fonction indicatrice

Définition 1.11Fonction indicatrice

La fonction indicatrice d'une partie $A$ de $E$ est l'application $\mathbb{1}_A$ de $E$ dans $\{0, 1\}$ qui vaut 1 sur $A$ et 0 ailleurs.

Elle transforme les opérations ensemblistes en calculs.

Propriété 1.12Calculs avec les indicatrices

Pour $A$ et $B$ parties de $E$ :

$\mathbb{1}_A = \mathbb{1}_B$ si et seulement si $A = B$ ;
$\mathbb{1}_{A \cap B} = \mathbb{1}_A \times \mathbb{1}_B$ ;
$\mathbb{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbb{1}_A$ ;
$\mathbb{1}_{A \cup B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B$ .

Pour démontrer une identité ensembliste, on peut vérifier l'égalité des indicatrices.

1.7Recouvrement disjoint et partition

Définition 1.13Recouvrement et partition

Une famille $(A_i)$ de parties de $E$ est un recouvrement de $E$ si la réunion des $A_i$ vaut $E$ . Le recouvrement est disjoint si les $A_i$ sont deux à deux disjoints. Une partition de $E$ est un recouvrement disjoint formé de parties non vides.

Exemple 1.14

Les entiers pairs et les entiers impairs forment une partition de $\Z$ .
Pour $A$ une partie de $E$ , distincte de $\varnothing$ et de $E$ , les parties $A$ et $E \setminus A$ forment une partition de $E$ .

2Applications

2.1Définition et vocabulaire

Définition 2.1Application

Une application $f$ de $E$ dans $F$ associe à tout élément $x$ de $E$ un unique élément de $F$ , noté $f(x)$ . $E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée. Le graphe de $f$ est la partie de $E \times F$ formée des couples $(x, f(x))$ .

Le programme ne distingue pas fonction et application. L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ se note $\mathcal{F}(E, F)$ ou $F^E$ .

Deux applications sont égales quand elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et prennent la même valeur en chaque point.

Définition 2.2Famille

Une famille d'éléments de $E$ indexée par un ensemble $I$ est une application de $I$ dans $E$ , notée $(x_i)_{i \in I}$ .

C'est le même objet, vu sous un autre angle. Les suites sont les familles indexées par $\N$ .

Définition 2.3Identité

L'application identité de $E$ est $\mathrm{id}_E$ , définie par $\mathrm{id}_E(x) = x$ .

2.2Restriction et prolongement

Définition 2.4Restriction, prolongement

Si $A \subset E$ , la restriction de $f$ à $A$ , notée $f|_A$ , est l'application de $A$ dans $F$ qui coïncide avec $f$ sur $A$ . Inversement, si $g$ est définie sur $A$ , un prolongement de $g$ à $E$ est une application $f$ définie sur $E$ dont la restriction à $A$ est $g$ .

Un prolongement n'a aucune raison d'être unique, sauf contrainte supplémentaire, par exemple la continuité.

2.3Composition

Définition 2.5Composée

Si $f$ va de $E$ dans $F$ et $g$ de $F$ dans $G$ , la composée $g \circ f$ va de $E$ dans $G$ et vaut $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Attention

L'ordre compte : $f \circ g$ n'a en général aucun sens, et même quand les deux existent elles diffèrent. Avec $f(x) = x + 1$ et $g(x) = x^2$ sur $\R$ : $g(f(x)) = (x + 1)^2$ et $f(g(x)) = x^2 + 1$ .

Propriété 2.6Associativité

La composition est associative : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ . On peut donc écrire $h \circ g \circ f$ sans parenthèses. De plus $f \circ \mathrm{id}_E = f$ et $\mathrm{id}_F \circ f = f$ .

3Image directe et image réciproque

3.1Définitions

Définition 3.1Image directe, image réciproque

Soit $f$ de $E$ dans $F$ , $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$ .

L'image directe de $A$ est $f(A) = \{f(x) : x \in A\}$ . C'est une partie de $F$ . Ainsi, $y \in f(A)$ signifie qu'il existe $x \in A$ tel que $y = f(x)$ .
L'image réciproque de $B$ est $f^{-1}(B) = \{x \in E : f(x) \in B\}$ . C'est une partie de $E$ . Ainsi, $x \in f^{-1}(B)$ signifie $f(x) \in B$ .

Attention

La notation $f^{-1}(B)$ a un sens pour toute application $f$ , bijective ou non. Elle ne suppose pas l'existence d'une application réciproque. Le programme signale le risque de confusion. $f^{-1}(B)$ est un ensemble, jamais un élément. L'écriture $f^{-1}(y)$ pour un élément $y$ est à proscrire tant que $f$ n'est pas bijective : on écrit $f^{-1}(\{y\})$ .

Exemple 3.2Avec $f(x) = x^2$ sur $\R$

$f([-1, 2]) = [0, 4]$ ;
$f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]$ ;
$f^{-1}(\R_-^*) = \varnothing$ .

3.2Propriétés

Propriété 3.3Image réciproque

L'image réciproque commute avec toutes les opérations. Pour $B$ et $B'$ parties de $F$ : $\begin{aligned} f^{-1}(B \cup B') &= f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B'),\\ f^{-1}(B \cap B') &= f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B'). \end{aligned}$ L'image réciproque du complémentaire est le complémentaire de l'image réciproque.

Propriété 3.4Image directe

Pour $A$ et $A'$ parties de $E$ : $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A'),$ mais seulement $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A').$

Exemple 3.5Contre-exemple à l'égalité

Avec $f(x) = x^2$ , $A = \R_+$ et $A' = \R_-$ : $A \cap A' = \{0\}$ , son image est $\{0\}$ , alors que $f(A) \cap f(A') = \R_+$ .

Propriété 3.6Image directe puis réciproque

Pour $A$ partie de $E$ et $B$ partie de $F$ : $A \subset f^{-1}(f(A)), \qquad f(f^{-1}(B)) \subset B.$ Les inclusions réciproques sont fausses en général.

Exemple 3.7Avec $f(x) = x^2$

$f^{-1}(f([1, 2])) = [-2, -1] \cup [1, 2]$ , strictement plus gros que $[1, 2]$ ;
$f(f^{-1}(\R)) = \R_+$ , strictement plus petit que $\R$ .

Remarque

On peut démontrer que l'égalité $A = f^{-1}(f(A))$ pour toute partie $A$ équivaut à l'injectivité de $f$ , et que l'égalité $f(f^{-1}(B)) = B$ pour toute partie $B$ équivaut à la surjectivité. C'est un exercice classique.

4Injections, surjections, bijections

4.1Définitions

Définition 4.1Injective, surjective, bijective

Soit $f$ de $E$ dans $F$ .

$f$ est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes. Formulation pratique : pour tous $x$ et $x'$ de $E$ , $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$ . Autrement dit, tout élément de $F$ a au plus un antécédent.
$f$ est surjective si tout élément de $F$ a au moins un antécédent : $\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ y = f(x)$ . Cela revient à dire $f(E) = F$ .
$f$ est bijective si elle est injective et surjective : tout élément de $F$ a exactement un antécédent.

Ces propriétés dépendent de l'ensemble d'arrivée.

Exemple 4.2La fonction carré

De $\R$ dans $\R$ : ni injective ni surjective.
De $\R$ dans $\R_+$ : surjective, non injective.
De $\R_+$ dans $\R$ : injective, non surjective.
De $\R_+$ dans $\R_+$ : bijective.

MéthodeInjectivité et surjectivité

Injectivité : partir de $f(x) = f(x')$ et conclure $x = x'$ .
Non-injectivité : il suffit d'un couple $x \neq x'$ de même image.
Surjectivité : se donner $y$ quelconque dans $F$ et résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ dans $E$ ; il suffit d'exhiber une solution.

4.2Réciproque

Définition 4.3Application réciproque

Si $f$ est bijective de $E$ dans $F$ , l'application réciproque $f^{-1}$ de $F$ dans $E$ associe à chaque $y$ son unique antécédent.

Propriété 4.4

Elle vérifie $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_F$ , et elle est elle-même bijective, de réciproque $f$ .

Propriété 4.5Critère de bijectivité

Hypothèses

$f$ est une application de $E$ dans $F$ ;
il existe $g$ de $F$ dans $E$ telle que $g \circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{id}_F$ .

Alors $f$ est bijective et $g = f^{-1}$ .

On devine l'inverse et on vérifie les deux compositions.

Attention

Les deux égalités sont nécessaires : une seule ne suffit pas en général.

Cette notation $f^{-1}$ est compatible avec celle de l'image réciproque : quand $f$ est bijective, l'image réciproque de $B$ par $f$ coïncide avec l'image directe de $B$ par l'application $f^{-1}$ .

4.3Composition

Propriété 4.6Composée et injectivité, surjectivité

Pour $f$ de $E$ dans $F$ et $g$ de $F$ dans $G$ :

la composée de deux injections est une injection ;
la composée de deux surjections est une surjection ;
la composée de deux bijections est une bijection, et $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

Attention

Dans la réciproque d'une composée, l'ordre s'inverse.

Propriété 4.7Deux résultats plus fins

Pour $f$ de $E$ dans $F$ et $g$ de $F$ dans $G$ :

si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective ;
si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.

Ces résultats sont très utiles en algèbre linéaire. Les conclusions ne portent pas sur la même application.

5Relations binaires

5.1Définitions

Définition 5.1Relation binaire

Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est une propriété qui, pour chaque couple $(x, y)$ d'éléments de $E$ , est vraie ou fausse. On écrit $x \mathrel{\mathcal{R}} y$ quand elle est vraie.

Propriétés possibles :

réflexive : $x \mathrel{\mathcal{R}} x$ pour tout $x$ ;
symétrique : $x \mathrel{\mathcal{R}} y \Rightarrow y \mathrel{\mathcal{R}} x$ ;
antisymétrique : $(x \mathrel{\mathcal{R}} y \text{ et } y \mathrel{\mathcal{R}} x) \Rightarrow x = y$ ;
transitive : $(x \mathrel{\mathcal{R}} y \text{ et } y \mathrel{\mathcal{R}} z) \Rightarrow x \mathrel{\mathcal{R}} z$ .

5.2Relations d'équivalence

Définition 5.2Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence est réflexive, symétrique et transitive. La classe d'équivalence de $x$ est l'ensemble des $y$ tels que $x \mathrel{\mathcal{R}} y$ .

Propriété 5.3Classes

Deux classes sont égales ou disjointes, et la réunion de toutes les classes est $E$ : les classes forment une partition de $E$ .

Remarque

La notion d'ensemble quotient est hors programme.

Exemple 5.4Exemples exigibles

Sur $\Z$ , la congruence modulo un entier $n$ : $x \equiv y\ [n]$ signifie que $n$ divise $x - y$ . Il y a $n$ classes pour $n \geqslant 1$ .
Sur $\R$ , la congruence modulo un réel $\alpha$ : $x \equiv y\ [\alpha]$ signifie qu'il existe $k \in \Z$ avec $x - y = k\alpha$ . C'est la relation qui gère les arguments d'un nombre complexe, avec $\alpha = 2\pi$ .

5.3Relations d'ordre

Définition 5.5Relation d'ordre

Une relation d'ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. L'ordre est total si deux éléments quelconques sont toujours comparables, et partiel sinon.

Exemple 5.6

L'ordre usuel $\leqslant$ sur $\R$ est total.
L'inclusion sur $\mathcal{P}(E)$ est un ordre partiel dès que $E$ a au moins deux éléments : $\{a\}$ et $\{b\}$ ne sont pas comparables.
La divisibilité sur $\N$ est un ordre partiel, 2 et 3 n'étant pas comparables.

Attention

Sur $\Z$ , la divisibilité n'est pas antisymétrique, puisque 2 divise $-2$ et $-2$ divise 2.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Égalité d'ensembles : double inclusion, ou chaîne d'équivalences sur l'appartenance, ou calcul sur les indicatrices.
Inclusion : « soit $x$ dans le premier ensemble », puis dérouler les définitions.
Injectivité : supposer $f(x) = f(x')$ et conclure $x = x'$ .
Surjectivité : fixer $y$ dans l'ensemble d'arrivée et résoudre $f(x) = y$ .
Bijectivité : soit injectivité plus surjectivité, soit exhibition d'une réciproque avec les deux compositions vérifiées, soit, pour les fonctions réelles, le théorème de la bijection du chapitre sur la continuité.
Image réciproque : revenir à « $x \in f^{-1}(B)$ équivaut à $f(x) \in B$ ». Cette équivalence résout tous les exercices sur les images réciproques.
Relation : vérifier les trois propriétés une par une, en rédigeant chacune.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer une identité ensembliste par double inclusion, puis la redémontrer par les indicatrices.
Énoncer et prouver les lois de De Morgan pour les parties d'un ensemble.
Montrer que $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ et donner un contre-exemple à l'égalité.
Prouver que l'image réciproque commute avec la réunion, l'intersection et le complémentaire.
Étudier l'injectivité et la surjectivité d'une application donnée, en changeant l'ensemble d'arrivée.
Montrer que si $g \circ f$ est injective alors $f$ est injective, et que si $g \circ f$ est surjective alors $g$ est surjective.
Établir qu'une application est bijective en exhibant sa réciproque, et calculer la réciproque d'une composée.
Vérifier qu'une relation donnée est d'équivalence ou d'ordre, et décrire ses classes ou dire si l'ordre est total.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Égalité de deux ensembles par double inclusion, distributivité de ∩ sur ∪ et de ∪ sur ∩, lois de De Morgan pour les parties d'un ensemble. Exigibles avec démonstration, par double inclusion ou par indicatrices.
Fonctions indicatrices : 1_{A ∩ B} = 1_A × 1_B, 1_{E \ A} = 1 − 1_A, 1_{A ∪ B} = 1_A + 1_B − 1_A × 1_B, et A = B si et seulement si 1_A = 1_B. Exigibles avec démonstration, par vérification point par point.
L'image réciproque commute avec la réunion, l'intersection et le complémentaire. Exigible avec démonstration.
L'image directe commute avec la réunion, et f(A ∩ A') ⊂ f(A) ∩ f(A') seulement. Exigible, avec le contre-exemple.
A ⊂ f⁻¹(f(A)) et f(f⁻¹(B)) ⊂ B pour toute application f. Exigibles avec démonstration, les inclusions réciproques étant fausses en général.
La composée de deux injections est injective, de deux surjections est surjective, de deux bijections est bijective, avec (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹. Exigibles avec démonstration.
Si g ∘ f est injective alors f est injective. Si g ∘ f est surjective alors g est surjective. Exigibles avec démonstration.
Caractérisation de la bijectivité : f est bijective si et seulement s'il existe g telle que g ∘ f = id_E et f ∘ g = id_F, et alors g = f⁻¹. Exigible avec démonstration.
Les classes d'une relation d'équivalence forment une partition de l'ensemble. Exigible avec démonstration.
Congruences modulo n dans Z et modulo α dans R. Exigibles.
Hors programme : ensemble quotient, théorie axiomatique, cardinaux infinis. Le théorème de Cantor de l'exercice 9 n'est pas au programme mais se démontre avec ses seuls outils.

Clés de démonstration

Lois de De Morgan. Soit x ∈ E. Dire que x n'est pas dans A ∪ B, c'est nier « x ∈ A ou x ∈ B », donc affirmer « x ∉ A et x ∉ B ». On a traduit ligne à ligne la règle de De Morgan logique. Astuce : une identité ensembliste sans image ni composition n'est jamais qu'une identité logique déguisée.

Image réciproque et intersection. On écrit une chaîne d'équivalences : x ∈ f⁻¹(B ∩ B') équivaut à f(x) ∈ B ∩ B', qui équivaut à f(x) ∈ B et f(x) ∈ B', qui équivaut à x ∈ f⁻¹(B) ∩ f⁻¹(B'). Astuce : le seul geste est « x ∈ f⁻¹(B) équivaut à f(x) ∈ B », et il fournit des équivalences, donc les deux inclusions d'un coup.

Image directe et intersection. Si y ∈ f(A ∩ A'), il existe x ∈ A ∩ A' tel que y = f(x). Comme x ∈ A, y ∈ f(A), et de même y ∈ f(A'). L'inclusion réciproque échoue car un y de f(A) ∩ f(A') a un antécédent dans A et un antécédent dans A', qui n'ont aucune raison d'être le même point. Astuce : l'image directe introduit un « il existe », et deux « il existe » ne se recollent pas.

Composées et injectivité. Si g ∘ f est injective et si f(x) = f(x'), on applique g : g(f(x)) = g(f(x')), donc x = x'. Si g ∘ f est surjective, tout z de G s'écrit g(f(x)), donc z a l'antécédent f(x) par g. Astuce : on ne conclut jamais sur la même application, f pour l'injectivité, g pour la surjectivité.

Caractérisation par une réciproque. Si g ∘ f = id_E, alors g ∘ f est injective, donc f est injective. Si f ∘ g = id_F, alors f ∘ g est surjective, donc f est surjective. Donc f est bijective, et g = g ∘ (f ∘ f⁻¹) = (g ∘ f) ∘ f⁻¹ = f⁻¹. Astuce : chaque composition ne donne qu'une des deux propriétés, ce qui explique pourquoi il en faut deux.

Classes d'équivalence. Tout x appartient à sa classe par réflexivité, donc les classes recouvrent E et sont non vides. Si deux classes cl(x) et cl(y) ont un élément commun z, alors x R z et z R y par symétrie, donc x R y par transitivité, puis tout élément de cl(y) est en relation avec x par transitivité, d'où cl(y) ⊂ cl(x), et l'autre inclusion par symétrie des rôles. Astuce : l'alternative « égales ou disjointes » se prouve en supposant un élément commun.

Exemples et contre-exemples à connaître

La fonction carré, de R dans R, n'est ni injective ni surjective. De R₊ dans R₊ elle est bijective. L'injectivité et la surjectivité sont des propriétés du triplet départ, arrivée, formule.
Avec f(x) = x², A = R₊ et A' = R₋ : f(A ∩ A') = {0} alors que f(A) ∩ f(A') = R₊. L'image directe ne respecte pas l'intersection.
Avec f(x) = x² et A = [1, 2] : f⁻¹(f(A)) = [−2, −1] ∪ [1, 2]. L'égalité A = f⁻¹(f(A)) caractérise l'injectivité.
Avec f(x) = x² et B = R : f(f⁻¹(B)) = R₊. L'égalité f(f⁻¹(B)) = B caractérise la surjectivité.
Soit f de N dans N définie par f(n) = n + 1, et g de N dans N définie par g(0) = 0 et g(n) = n − 1 pour n ≥ 1. Alors g ∘ f = id_N mais f ∘ g ≠ id_N. Une seule composition égale à l'identité ne suffit pas, f n'est pas surjective et g n'est pas injective.
P(∅) = {∅} a un élément, et P({a, b}) a quatre éléments. Toujours ∅ ∈ P(E) et ∅ ⊂ E, deux affirmations distinctes.
L'inclusion sur P(E) est un ordre partiel dès que E a deux éléments, {a} et {b} ne se comparent pas. La divisibilité sur Z n'est pas antisymétrique, 2 et −2 se divisent mutuellement.
La relation « xy > 0 » sur R* est une relation d'équivalence à deux classes. Sur R elle n'est pas réflexive, puisque 0 × 0 n'est pas strictement positif. Le domaine fait partie de la relation.

Techniques du chapitre

Technique 1 : double inclusion avec un élément générique. Mini-exercice : montrer A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). Soit x ∈ A \ (B ∪ C). Alors x ∈ A et x ∉ B ∪ C, donc x ∉ B et x ∉ C, donc x ∈ A \ B et x ∈ A \ C. Réciproquement, si x est dans les deux différences, x ∈ A, x ∉ B, x ∉ C, donc x ∉ B ∪ C. Les deux inclusions sont établies.

Technique 2 : calculer avec les indicatrices. Mini-exercice : la différence symétrique A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) vérifie 1_{A Δ B} = 1_A + 1_B − 2 × 1_A 1_B. Les deux différences sont disjointes, donc l'indicatrice de leur réunion est la somme 1_A(1 − 1_B) + 1_B(1 − 1_A), qui se développe en la formule annoncée.

Technique 3 : chaîne d'équivalences pour une image réciproque. Mini-exercice : montrer f⁻¹(F \ B) = E \ f⁻¹(B). Pour x ∈ E, x ∈ f⁻¹(F \ B) équivaut à f(x) ∉ B, qui équivaut à x ∉ f⁻¹(B), qui équivaut à x ∈ E \ f⁻¹(B).

Technique 4 : injectivité en partant de f(x) = f(x'). Mini-exercice : f(x) = x³ + x sur R. Si f(x) = f(x'), alors (x − x')(x² + xx' + x'² + 1) = 0. Le second facteur vaut (x + x'/2)² + 3x'²/4 + 1 > 0, donc x = x'.

Technique 5 : surjectivité en résolvant f(x) = y. Mini-exercice : f de N² dans N définie par f(m, n) = m + n. Pour y ∈ N, le couple (y, 0) a pour image y, donc f est surjective. Elle n'est pas injective, car f(1, 0) = f(0, 1).

Technique 6 : exhiber une réciproque. Mini-exercice : f de R \ {1} dans R \ {1} définie par f(x) = (x + 1)/(x − 1). D'abord f(x) ≠ 1 car x + 1 = x − 1 est impossible, donc f est bien définie. Ensuite f(f(x)) = ((x + 1) + (x − 1))/((x + 1) − (x − 1)) = 2x/2 = x. Donc f ∘ f = id, f est bijective et f⁻¹ = f.

Technique 7 : vérifier une relation propriété par propriété. Mini-exercice : sur R, x R y si x − y ∈ Z. Réflexive car 0 ∈ Z. Symétrique car l'opposé d'un entier est entier. Transitive car une somme d'entiers est entière. La classe de x est x + Z, et chaque classe contient un unique représentant dans [0, 1[.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Images directes et réciproques de la fonction carré

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f de R dans R, f(x) = x². Déterminer f([−1, 3]), f⁻¹([−4, 4]), f⁻¹({−1}) et f(f⁻¹([−1, 1])).

Technique revenir aux définitions, sans jamais écrire f⁻¹(y).

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f([−1, 3]) = [0, 9], car x² parcourt [0, 9] quand x parcourt [−1, 3], le minimum 0 étant atteint en 0.
f⁻¹([−4, 4]) = {x : x² ≤ 4} = [−2, 2]. La partie négative de l'intervalle ne change rien.
f⁻¹({−1}) = ∅, car un carré réel n'est jamais −1.
f⁻¹([−1, 1]) = [−1, 1], puis f([−1, 1]) = [0, 1]. On constate que f(f⁻¹(B)) est strictement plus petit que B.

piège : Chercher des antécédents aux valeurs de [−4, 0[. Une image réciproque ignore les valeurs jamais atteintes.

Exercice 2. Caractérisations de l'injectivité et de la surjectivité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f de E dans F. Montrer que f est injective si et seulement si f⁻¹(f(A)) = A pour toute partie A de E, et que f est surjective si et seulement si f(f⁻¹(B)) = B pour toute partie B de F.

Technique sens direct par les définitions, sens réciproque par un choix astucieux de A ou de B.

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Supposons f injective et soit A ⊂ E. L'inclusion A ⊂ f⁻¹(f(A)) est toujours vraie. Si x ∈ f⁻¹(f(A)), alors f(x) ∈ f(A), donc il existe a ∈ A avec f(x) = f(a), et l'injectivité donne x = a ∈ A.
Réciproquement, supposons l'égalité pour toute partie A, et soit f(x) = f(x'). On prend A = {x}. Alors f(x') ∈ f({x}), donc x' ∈ f⁻¹(f({x})) = {x}, donc x' = x.
Supposons f surjective et soit B ⊂ F. L'inclusion f(f⁻¹(B)) ⊂ B est toujours vraie. Si y ∈ B, il existe x avec f(x) = y, ce x est dans f⁻¹(B), donc y ∈ f(f⁻¹(B)).
Réciproquement, on prend B = F : f⁻¹(F) = E, donc f(E) = F, ce qui est la surjectivité.

piège : Dans le sens réciproque, vouloir prouver l'injectivité « pour tout A » alors qu'il faut choisir un A précis.

Exercice 3. Une équation fonctionnelle de composition

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f de E dans E telle que f ∘ f ∘ f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

Technique appliquer l'hypothèse à un élément bien choisi.

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Supposons f injective. Pour y ∈ E, f(f(f(y))) = f(y), donc par injectivité f(f(y)) = y. Ainsi y admet f(y) pour antécédent, f est surjective.
Supposons f surjective. Tout x s'écrit f(a), et alors f(f(x)) = f(f(f(a))) = f(a) = x. Donc f ∘ f = id_E.
Si f(x) = f(x'), en appliquant f on obtient f(f(x)) = f(f(x')), soit x = x'. Donc f est injective.

piège : Écrire f ∘ f = id directement à partir de l'hypothèse, sans l'injectivité ou la surjectivité qui permet de « simplifier » par f.

Exercice 4. Application vers un produit d'ensembles de parties

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient A et B deux parties de E. On définit Φ de P(E) dans P(A) × P(B) par Φ(X) = (X ∩ A, X ∩ B). Montrer que Φ est injective si et seulement si A ∪ B = E, et surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.

Technique tester Φ sur des parties particulières pour les conditions nécessaires.

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Si A ∪ B = E, alors pour toute partie X, X = X ∩ E = (X ∩ A) ∪ (X ∩ B). Une partie se reconstitue à partir de son image, donc Φ est injective.
Si Φ est injective : Φ(E) = (A, B) = Φ(A ∪ B), donc E = A ∪ B.
Si A ∩ B = ∅, soit (Y, Z) avec Y ⊂ A et Z ⊂ B. On pose X = Y ∪ Z. Alors X ∩ A = (Y ∩ A) ∪ (Z ∩ A) = Y ∪ ∅ = Y, car Z ⊂ B est disjoint de A. De même X ∩ B = Z. Donc Φ est surjective.
Si Φ est surjective, le couple (A, ∅) a un antécédent X. Alors A = X ∩ A ⊂ X et X ∩ B = ∅, donc A ∩ B ⊂ X ∩ B = ∅.

piège : À l'étape 3, oublier de vérifier que X ∩ A vaut exactement Y, en se contentant de Y ⊂ X ∩ A.

Exercice 5. Une relation d'équivalence sur N × N

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Sur N × N, on pose (a, b) R (c, d) lorsque a + d = b + c. Montrer que R est une relation d'équivalence et décrire ses classes.

Technique les trois propriétés une par une, puis identifier l'invariant qui caractérise une classe.

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Réflexivité : a + b = b + a. Symétrie : a + d = b + c se réécrit c + b = d + a.
Transitivité : si a + d = b + c et c + f = d + e, en additionnant on obtient a + d + c + f = b + c + d + e, puis a + f = b + e en simplifiant par c + d, ce qui est licite dans N.
Deux couples sont en relation si et seulement si a − b = c − d dans Z. Chaque classe est donc l'ensemble des couples de différence fixée k ∈ Z, et elle contient un unique couple de la forme (k, 0) si k ≥ 0, ou (0, −k) si k < 0.

piège : Écrire la transitivité avec des soustractions dans N sans justification. La simplification par addition est le bon geste.

Exercice 6. Deux ordres sur R²

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Sur R², on pose (x, y) ≤₁ (x', y') si x ≤ x' et y ≤ y', et (x, y) ≤₂ (x', y') si x < x' ou (x = x' et y ≤ y'). Montrer que ce sont deux relations d'ordre, l'une partielle, l'autre totale.

Technique antisymétrie et transitivité par disjonction de cas.

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Pour ≤₁, les trois propriétés se vérifient composante par composante. L'ordre est partiel : (0, 1) et (1, 0) ne sont pas comparables.
Pour ≤₂, antisymétrie : si les deux couples se dominent mutuellement, on ne peut avoir x < x' et x' < x, donc x = x', puis y = y'. Transitivité : si l'une des deux comparaisons est stricte sur la première coordonnée, la conclusion l'est aussi, sinon x = x' = x'' et y ≤ y' ≤ y''.
Totalité : deux réels x et x' sont comparables, et en cas d'égalité y et y' le sont.

piège : Traiter la transitivité de ≤₂ sans distinguer les cas d'égalité des premières coordonnées.

Exercice 7. Bijectivité par compositions croisées

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soient f de E dans F, g de F dans G et h de G dans E. On suppose g ∘ f et h ∘ g bijectives. Montrer que f, g et h sont bijectives.

Technique les deux résultats fins sur les composées, puis composition par une réciproque.

Voir le corrigé

g ∘ f bijective donne f injective et g surjective. h ∘ g bijective donne g injective et h surjective.
Donc g est bijective.
f = g⁻¹ ∘ (g ∘ f) est une composée de bijections, donc bijective. De même h = (h ∘ g) ∘ g⁻¹.

piège : Conclure « f injective et h surjective » et s'arrêter là. Il faut réinjecter la bijectivité de g.

Exercice 8. Une bijection de N sur Z

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

On définit f de N dans Z par f(n) = n/2 si n est pair et f(n) = −(n + 1)/2 si n est impair. Montrer que f est bijective.

Technique séparer l'ensemble de départ en deux parties d'images disjointes.

Voir le corrigé

Les entiers pairs ont une image dans N, les impairs une image dans les entiers strictement négatifs. Ces deux ensembles d'images sont disjoints.
Injectivité : si f(n) = f(n'), les deux entiers ont même parité. S'ils sont pairs, n/2 = n'/2 donne n = n'. S'ils sont impairs, (n + 1)/2 = (n' + 1)/2 donne n = n'.
Surjectivité : un entier m ≥ 0 est l'image de 2m. Un entier m ≤ −1 est l'image de −2m − 1, qui est un entier naturel impair.

piège : Oublier de vérifier que −2m − 1 est dans N, ce qui utilise m ≤ −1.

Exercice 9. Théorème de Cantor

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit E un ensemble et f une application de E dans P(E). Montrer que f n'est pas surjective.

Technique construire une partie qui se contredit elle-même, dite argument diagonal.

Voir le corrigé

On pose D = {x ∈ E : x ∉ f(x)}. C'est une partie de E, éventuellement vide.
Supposons D = f(a) pour un certain a ∈ E.
Si a ∈ D, alors par définition de D, a ∉ f(a) = D, contradiction. Si a ∉ D, alors a ∉ f(a), donc a ∈ D par définition, contradiction.
D n'a donc aucun antécédent, f n'est pas surjective. En particulier il n'existe aucune bijection de E sur P(E).

piège : Croire que le cas D = ∅ est un problème. L'ensemble vide est une partie de E comme une autre, et elle aussi doit avoir un antécédent pour que f soit surjective.

Erreurs fréquentes

Écrire f⁻¹(y) pour un élément y sans avoir prouvé que f est bijective. Avant cela, seule f⁻¹({y}) a un sens, et c'est un ensemble.
Confondre ∈ et ⊂. Un élément appartient, une partie est incluse. La phrase « A ∈ E » avec A partie de E est fausse.
Parler d'injectivité ou de surjectivité sans préciser l'ensemble d'arrivée. La fonction carré change de statut selon qu'on la fait arriver dans R ou dans R₊.
Ne prouver qu'une inclusion et conclure à l'égalité, ou ne vérifier qu'une composition et conclure à la bijectivité.
Prouver l'injectivité en montrant « x = x' ⇒ f(x) = f(x') », qui est vraie pour toute application. L'implication à établir est l'autre.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Raisonnement et vocabulaire ensembliste », paragraphes « Ensembles » et « Applications et relations ». Les modes de raisonnement font l'objet du chapitre précédent. Toute théorie axiomatique des ensembles est hors programme.

Ensembles et applications

Résumé en cinq points

1Ensembles

1.1Appartenance et inclusion

1.2Égalité par double inclusion

1.3Ensemble des parties

1.4Opérations sur les parties

1.5Produit cartésien

1.6Fonction indicatrice

1.7Recouvrement disjoint et partition

2Applications

2.1Définition et vocabulaire

2.2Restriction et prolongement

2.3Composition

3Image directe et image réciproque

3.1Définitions

3.2Propriétés

4Injections, surjections, bijections

4.1Définitions

4.2Réciproque

4.3Composition

5Relations binaires

5.1Définitions

5.2Relations d'équivalence

5.3Relations d'ordre

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Images directes et réciproques de la fonction carré

Exercice 2. Caractérisations de l'injectivité et de la surjectivité

Exercice 3. Une équation fonctionnelle de composition

Exercice 4. Application vers un produit d'ensembles de parties

Exercice 5. Une relation d'équivalence sur N × N

Exercice 6. Deux ordres sur R²

Exercice 7. Bijectivité par compositions croisées

Exercice 8. Une bijection de N sur Z

Exercice 9. Théorème de Cantor

Erreurs fréquentes