La fiche de cours
Résumé en cinq points
- Un signal périodique de fréquence f est la somme de sa valeur moyenne, d'un fondamental de fréquence f et d'harmoniques de fréquences nf. Son spectre est un peigne de raies.
- Le fondamental fixe la période et l'allure globale. Les harmoniques de rang élevé portent les fronts raides et les angles. Un créneau a des raies en 1/n, un triangle en 1/n², tous deux sans rang pair.
- Un filtre linéaire traite chaque raie séparément : gain G(nf), déphasage ψ(nf). Il ne crée aucune fréquence nouvelle. La forme de sortie se déduit du diagramme de Bode.
- Un passe-bas est intégrateur si tout le spectre utile est bien au-dessus de fc. Un passe-haut est dérivateur si tout le spectre utile est bien au-dessous de fc. La composante continue se traite à part.
- Un passe-bas très sélectif extrait la valeur moyenne, un passe-haut la supprime et un passe-bande de grand facteur de qualité isole une harmonique. Ces prévisions se vérifient au générateur et à l'oscilloscope en mode FFT.
Pourquoi ce chapitre
Ce chapitre ouvre le traitement du signal de deuxième année et prolonge le filtrage de première année. On y regarde un signal comme une somme de sinusoïdes plutôt que comme une courbe en fonction du temps. Grâce à la linéarité, l'action d'un filtre sur chaque sinusoïde suffit pour prévoir la sortie. La suite de la partie repose sur cette idée : électronique numérique, échantillonnage, filtrage numérique. Aux concours, on attend des prévisions qualitatives sûres, la justification d'un comportement intégrateur ou dérivateur et la lecture d'un diagramme de Bode. L'oral et les travaux pratiques demandent souvent de relier un oscillogramme à un spectre.
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Encore 11 parties de cours et 9 corrigés.
Méthodes et exercices
Exercices classiques corrigés
Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.
Spectre et valeur efficace 2
Exercice 1 ★
Application du cours · 10 min · Khôlle
Une tension s'écrit s(t) = 2 + 3 cos(2π × 400 t) + cos(2π × 600 t), en volts. Trouver sa période, sa valeur moyenne, sa valeur efficace. La remplace-t-on par une raie à 400√2 Hz au lieu de 600 Hz, est-elle encore périodique ?
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Technique plus grand diviseur commun des fréquences, puis valeur efficace raie par raie.
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- 400 et 600 ont 200 pour plus grand diviseur commun. Fréquence 200 Hz, période 5 ms. Le fondamental de 200 Hz a une amplitude nulle, ce qui n'empêche rien.
- Valeur moyenne : 2 V, seule composante continue.
- S_eff² = 4 + 9/2 + 1/2 = 9 V², donc Seff = 3 V.
- Avec 400√2 Hz, le rapport des fréquences vaut √2, irrationnel. Le signal n'est plus périodique.
piège : Prendre la plus basse fréquence présente, 400 Hz, pour fréquence du signal.
Exercice 2 ★
Application du cours · 15 min · Khôlle
Un créneau symétrique d'amplitude E a pour raies 4E/(nπ) aux rangs impairs. On admet que la somme des 1/n² sur les n impairs vaut π²/8. Retrouver sa valeur efficace par le spectre. Quelle part de la puissance moyenne portent le fondamental, puis les rangs 1, 3 et 5 réunis ?
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- S_eff² = Σ (16E²/(n²π²))/2 = (8E²/π²) × π²/8 = E². …
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Prévoir la sortie d'un filtre 2
Exercice 3 ★★
Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle
Un créneau symétrique d'amplitude E attaque un passe-bas RC de coupure fc. Décrire la sortie pour f = fc/10, f = fc et f = 10 fc, en raisonnant sur le spectre puis en contrôlant dans le temps. On note τ = RC.
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- f = fc/10. Les rangs 1, 3, 5 ont des gains 0,995, 0,96 et 0,89. …
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Exercice 9 ★★★
Approfondissement · 25 min · Type oral Centrale
Un créneau symétrique d'amplitude 5 V et de fréquence 1 kHz attaque un passe-bas du second ordre avec H₀ = 1, f₀ = 100 Hz et Q = 1/√2. Expliquer pourquoi la sortie est presque sinusoïdale et estimer son amplitude.
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- Pour x = 10, |H| = 1/√((1 − 100)² + 200) ≈ 0,0100, avec une phase proche de −180°. …
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Composante continue 2
Exercice 4 ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle
Un créneau entre 0 et 5 V, de fréquence 1 kHz, attaque un passe-haut RC de coupure 10 Hz. Décrire la sortie et estimer la pente des paliers.
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- H(0) = 0, la moyenne de 2,5 V disparaît. …
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Exercice 8 ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type CCINP
Une tension sinusoïdale d'amplitude 10 V et de fréquence 50 Hz est redressée en double alternance. On admet que |E sin ωt| = 2E/π − (4E/π) Σ cos(2kωt)/(4k² − 1), pour k ≥ 1. Le résultat passe dans un passe-bas RC de coupure 1 Hz.
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- Le redresseur crée des raies à 0, 100, 200 Hz absentes de l'entrée. …
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Intégrateur et dérivateur 2
Exercice 5 ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type CCINP
Un créneau symétrique d'amplitude E = 2 V et de fréquence f = 5 kHz attaque un passe-bas RC avec H₀ = 1 et fc = 100 Hz.
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- Le fondamental vérifie f/fc = 50. …
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Exercice 6 ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle
Un triangle symétrique d'amplitude E = 1 V et de fréquence 50 Hz attaque un passe-haut RC avec H₀ = 1 et fc = 5 kHz. Justifier la dérivation et donner la sortie.
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- Les raies du triangle tombent en 1/n². …
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Sélection d'une harmonique 1
Exercice 7 ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Écrit, type CCINP
Un créneau symétrique de fréquence 1 kHz attaque un passe-bande de gain maximal 1, centré sur 1 kHz. Quel facteur de qualité minimal faut-il pour que l'harmonique 3 de sortie reste sous 1 % du fondamental de sortie ?
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- Le fondamental est au centre, gain 1. …
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Mise en œuvre expérimentale 1
Exercice 10 ★★★
Approfondissement · 25 min · TP, type oral
On envoie un créneau symétrique de 200 Hz dans un filtre inconnu. L'oscilloscope en mode FFT donne les rapports d'amplitude sortie sur entrée suivants, à 200, 600, 1 000 et 1 400 Hz : 0,95, 0,71, 0,51 et 0,39. Identifier le filtre et citer les précautions de mesure.
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- Le gain décroît avec la fréquence et vaut presque 1 en bas. …
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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPI (2021), thème « Éléments de traitement du signal », partie 2.1 « Signaux périodiques ».