Aller au contenu
Sup et Spé

Accueil › MPI › Physique-chimie

MPI · Physique-chimie · semaine 2

Référentiels non galiléens

Changement de référentiel, composition des vitesses et des accélérations, forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis, référentiels terrestres, marées et pendule de Foucault.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Tout part de la dérivation composée : dériver un vecteur dans R\mathcal{R} revient à le dériver dans R′\mathcal{R}' et à ajouter Ω⃗∧A⃗\vec{\Omega}\wedge\vec{A}.
  2. L'accélération absolue est la somme de trois termes : relatif, entraînement, Coriolis. L'entraînement se calcule sur le point coïncident, Coriolis sur la vitesse relative.
  3. Dans R′\mathcal{R}', la loi de la quantité de mouvement retrouve sa forme habituelle à condition d'ajouter deux forces d'inertie, opposées aux accélérations d'entraînement et de Coriolis.
  4. La force d'inertie d'entraînement est centrifuge en rotation uniforme et dérive d'une énergie potentielle. La force de Coriolis ne travaille jamais.
  5. Le référentiel terrestre est non galiléen. Le terme centrifuge est absorbé dans la définition du poids, le terme de Coriolis vaut au plus 2ωv2\omega v par unité de masse, soit 1,5×10−4 v1{,}5\times 10^{-4}\,v, et ne se manifeste que sur des mouvements lents et étendus.
Pourquoi ce chapitre

C'est l'une des deux seules nouveautés de mécanique du programme de MP. Elle répond à une question simple : que devient la loi de la quantité de mouvement quand on l'écrit dans un référentiel qui accélère ou qui tourne ? La réponse tient en deux termes supplémentaires, les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis.

L'enjeu n'est pas calculatoire. Le programme insiste sur :

  • la compréhension qualitative des effets ;
  • les ordres de grandeur ;
  • les conséquences expérimentales.

Ce chapitre justifie qu'on ait traité la Terre comme galiléenne pendant toute la première année, et dit à quel prix. Il fournit aussi le vocabulaire des vitesses et accélérations d'entraînement, utile en électromagnétisme et en mécanique des fluides.

1Mouvement d'un référentiel par rapport à un autre

1.1Les deux cas au programme

On note R\mathcal{R} le référentiel de référence, souvent supposé galiléen, et R′\mathcal{R}' le référentiel entraîné, d'origine O′O'.

Définition 1.1Translation

Un référentiel R′\mathcal{R}' est en translation par rapport à R\mathcal{R} si ses axes gardent une direction fixe dans R\mathcal{R}. Tous les points liés à R′\mathcal{R}' ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse et le même vecteur accélération. Le vecteur rotation est nul.

Remarque

La translation n'est pas forcément rectiligne. Une nacelle de grande roue est en translation circulaire : elle reste verticale alors que son centre décrit un cercle.

Définition 1.2Rotation uniforme autour d'un axe fixe

Un référentiel R′\mathcal{R}' est en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans R\mathcal{R} s'il tourne à vitesse angulaire constante ω\omega autour de cet axe. Son vecteur rotation est Ω⃗=ω u⃗,\vec{\Omega} = \omega\,\vec{u}, où u⃗\vec{u} est le vecteur unitaire de l'axe orienté par le sens de rotation.

Savoir reconnaître laquelle des deux situations on a sous les yeux est la première capacité exigible du chapitre.

1.2Dérivation composée

Propriété 1.3Dérivation composée

Pour tout vecteur A⃗\vec{A}, avec Ω⃗\vec{\Omega} le vecteur rotation de R′\mathcal{R}' par rapport à R\mathcal{R} : (dA⃗dt)R=(dA⃗dt)R′+Ω⃗∧A⃗.\left(\frac{\dd \vec{A}}{\dd t}\right)_{\mathcal{R}} = \left(\frac{\dd \vec{A}}{\dd t}\right)_{\mathcal{R}'} + \vec{\Omega}\wedge\vec{A}.

C'est la relation de base, tout le reste en découle. On la vérifie d'abord sur les vecteurs u⃗i\vec{u}_i de la base de R′\mathcal{R}', qui sont fixes dans R′\mathcal{R}' et dont la dérivée dans R\mathcal{R} vaut bien Ω⃗∧u⃗i\vec{\Omega}\wedge\vec{u}_i.

Conséquences :

  • un vecteur fixe dans R′\mathcal{R}' et parallèle à l'axe de rotation est aussi fixe dans R\mathcal{R} ;
  • Ω⃗\vec{\Omega} lui-même a la même dérivée dans les deux référentiels.

2Composition des vitesses et des accélérations

2.1Point coïncident et vitesse d'entraînement

Définition 2.1Point coïncident, vitesse d'entraînement

Pour un point mobile MM, le point coïncident est le point fixe de R′\mathcal{R}' qui coïncide avec MM à l'instant considéré. La vitesse d'entraînement v⃗e\vec{v}_e de MM est la vitesse, mesurée dans R\mathcal{R}, de ce point coïncident. Elle ne dépend que de la position de MM, jamais de sa vitesse propre.

Loi 2.2Composition des vitesses

La vitesse de MM dans R\mathcal{R} est la somme de sa vitesse dans R′\mathcal{R}' et de la vitesse d'entraînement : v⃗R(M)=v⃗R′(M)+v⃗e.\vec{v}_{\mathcal{R}}(M) = \vec{v}_{\mathcal{R}'}(M) + \vec{v}_e.

Propriété 2.3Expressions de la vitesse d'entraînement

  • En translation, v⃗e\vec{v}_e vaut la vitesse de O′O' dans R\mathcal{R}, la même pour tous les points.
  • En rotation uniforme autour d'un axe fixe, v⃗e=Ω⃗∧HM⃗\vec{v}_e = \vec{\Omega}\wedge\vec{HM}, où HH est le projeté orthogonal de MM sur l'axe. Sa norme est ωd\omega d, où dd est la distance de MM à l'axe, et elle est orthoradiale.

2.2Composition des accélérations

Loi 2.4Composition des accélérations

L'accélération de MM dans R\mathcal{R} est la somme de trois termes : a⃗R(M)=a⃗R′(M)+a⃗e+a⃗c.\vec{a}_{\mathcal{R}}(M) = \vec{a}_{\mathcal{R}'}(M) + \vec{a}_e + \vec{a}_c. Ce sont l'accélération relative, l'accélération d'entraînement et l'accélération de Coriolis.

Définition 2.5Accélération d'entraînement

L'accélération d'entraînement a⃗e\vec{a}_e est l'accélération, dans R\mathcal{R}, du point coïncident.

  • En translation, elle vaut l'accélération de O′O' dans R\mathcal{R}.
  • En rotation uniforme autour d'un axe fixe, a⃗e=−ω2 HM⃗\vec{a}_e = -\omega^2\,\vec{HM} : elle est centripète, dirigée vers l'axe, de norme ω2d\omega^2 d.

Définition 2.6Accélération de Coriolis

L'accélération de Coriolis vaut a⃗c=2 Ω⃗∧v⃗R′(M).\vec{a}_c = 2\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_{\mathcal{R}'}(M). Elle est nulle en translation, et nulle aussi si le point est immobile dans R′\mathcal{R}'.

Elle dépend de la vitesse relative : c'est ce qui la distingue radicalement du terme d'entraînement.

AttentionEntraînement et dérivée

L'accélération d'entraînement n'est pas la dérivée de la vitesse d'entraînement, sauf cas particulier. Les deux se calculent sur le point coïncident, qui change d'un instant à l'autre.

3Lois de la dynamique en référentiel non galiléen

3.1Forces d'inertie

On part de la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel galiléen R\mathcal{R}, on y injecte la composition des accélérations, et on isole l'accélération relative.

Loi 3.1Loi de la quantité de mouvement dans R'

Hypothèses

  • R\mathcal{R} galiléen ;
  • R′\mathcal{R}' en translation, ou en rotation uniforme autour d'un axe fixe de R\mathcal{R}.

Alors, dans R′\mathcal{R}' : m a⃗rel=∑F⃗reˊelles+f⃗ie+f⃗ic,m\,\vec{a}_{\text{rel}} = \sum \vec{F}_{\text{r\'eelles}} + \vec{f}_{ie} + \vec{f}_{ic}, avec f⃗ie=−m a⃗e\vec{f}_{ie} = -m\,\vec{a}_e et f⃗ic=−m a⃗c=−2m Ω⃗∧v⃗rel.\vec{f}_{ic} = -m\,\vec{a}_c = -2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_{\text{rel}}.

Ces deux termes sont des forces d'inertie :

  • elles n'ont pas de source physique identifiable ;
  • elles ne respectent pas la troisième loi de Newton ;
  • elles disparaissent si l'on revient dans un référentiel galiléen ;
  • elles sont proportionnelles à la masse du point, comme la pesanteur, et c'est cette analogie qui rend leurs effets si intuitifs.

3.2Expressions dans les deux cas du programme

Propriété 3.2Référentiel entraîné en translation

  • f⃗ie=−m a⃗(O′)\vec{f}_{ie} = -m\,\vec{a}(O'), la même pour tous les points.
  • Pas de force de Coriolis.
  • La force d'inertie d'entraînement est dirigée dans le sens opposé à l'accélération du référentiel.

Exemple 3.3

Un passager d'un train qui accélère vers l'avant se sent poussé vers l'arrière.

Propriété 3.4Référentiel entraîné en rotation uniforme autour d'un axe fixe

  • f⃗ie=+mω2 HM⃗\vec{f}_{ie} = +m\omega^2\,\vec{HM}, dirigée depuis l'axe vers le point. Elle est centrifuge, de norme mω2dm\omega^2 d : c'est la force centrifuge d'entraînement.
  • f⃗ic=−2m Ω⃗∧v⃗rel\vec{f}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_{\text{rel}}, orthogonale à la fois à l'axe et à la vitesse relative.

3.3Propriétés énergétiques

Propriété 3.5La force de Coriolis ne travaille pas

La force de Coriolis est orthogonale à la vitesse relative, donc sa puissance dans R′\mathcal{R}' est nulle. Elle ne travaille jamais.

On peut donc l'ignorer dans un bilan énergétique, mais pas dans une projection de la loi de la quantité de mouvement.

Propriété 3.6Énergie potentielle centrifuge

Dans le cas de la rotation uniforme autour d'un axe fixe, la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle Ep=−mω2d22,E_p = -\frac{m\omega^2 d^2}{2}, où dd est la distance à l'axe.

On peut donc écrire une conservation de l'énergie mécanique dans R′\mathcal{R}', à condition d'ajouter ce terme.

Le théorème du moment cinétique s'applique aussi dans R′\mathcal{R}', pourvu que l'on ajoute au bilan les moments des forces d'inertie.

3.4Caractère galiléen approché

Aucun référentiel n'est rigoureusement galiléen. La question pratique est de comparer les forces d'inertie aux forces réelles en jeu. Si le rapport est petit devant la précision recherchée, on traite le référentiel comme galiléen. C'est un raisonnement en ordre de grandeur, et c'est exactement ce que le programme demande.

4Effets concrets

Exemple 4.1Translation accélérée

  • Un pendule suspendu dans un véhicule qui freine s'incline vers l'avant. À l'équilibre relatif, le fil s'aligne sur la somme du poids et de la force d'inertie, ce qu'on appelle la pesanteur apparente.
  • Dans un ascenseur en chute libre, la force d'inertie compense exactement le poids, d'où l'impesanteur.
  • Le référentiel d'un satellite en orbite est, aux effets de marée près, un référentiel de chute libre : cela explique l'apesanteur ressentie à bord sans qu'aucune gravité ne disparaisse.

Exemple 4.2Rotation uniforme

  • Dans une essoreuse à salade, les gouttes d'eau semblent projetées vers l'extérieur : c'est la force centrifuge d'entraînement vue depuis le panier. Dans le référentiel du laboratoire, il n'y a aucune force centrifuge, simplement l'absence de force centripète suffisante pour retenir les gouttes.
  • Un virage relevé permet à la composante normale de la réaction de fournir la force centripète, l'angle optimal vérifiant tan⁡α=v2gR\tan\alpha = \dfrac{v^2}{gR}.

5Référentiels de l'astronomie et référentiel terrestre

5.1Les trois référentiels usuels

Définition 5.1Référentiels usuels

  • Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du système solaire et ses axes pointent vers des étoiles lointaines. C'est le meilleur référentiel galiléen approché pour les problèmes du système solaire.
  • Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre, ses axes gardant une direction fixe par rapport à ceux de Copernic. Il est donc en translation, quasi circulaire, par rapport à Copernic, de période un an.
  • Le référentiel terrestre est lié au sol. Il est en rotation uniforme par rapport au géocentrique, autour de l'axe des pôles.

Propriété 5.2Rotation terrestre

La vitesse angulaire du référentiel terrestre est ω=2π86 164 s=7,29×10−5 rad.s−1.\omega = \frac{2\pi}{86\,164\unite{s}} = 7{,}29\times 10^{-5}\unite{rad.s^{-1}}. La période est le jour sidéral, pas le jour solaire.

5.2Le poids

Dans le référentiel terrestre, un objet immobile subit l'attraction gravitationnelle de la Terre et la force d'inertie d'entraînement due à la rotation terrestre. La force de Coriolis est nulle puisque la vitesse relative est nulle.

Définition 5.3Poids et champ de pesanteur

Le poids est la somme de l'attraction gravitationnelle de la Terre et de la force d'inertie d'entraînement. Le champ de pesanteur g⃗\vec{g} est le poids par unité de masse.

Le poids n'est donc pas la seule force de gravitation.

Exemple 5.4Ordres de grandeur

  • À l'équateur, le terme centrifuge vaut ω2R≈3,4×10−2 m.s−2\omega^2 R \approx 3{,}4\times 10^{-2}\unite{m.s^{-2}}, soit trois millièmes de gg. Il est nul aux pôles. C'est l'une des raisons pour lesquelles gg est plus faible à l'équateur qu'aux pôles.
  • La verticale du lieu, définie par la direction du fil à plomb, s'écarte de la direction du centre de la Terre d'un angle maximal de l'ordre de 0,10{,}1 degré, atteint vers 45 degrés de latitude.

5.3Force de Coriolis sur Terre

Sa norme vaut au plus 2mωv2m\omega v. Le facteur 2ω2\omega vaut environ 1,5×10−4 s−11{,}5\times 10^{-4}\unite{s^{-1}}. Pour un mobile à 10 m.s−110\unite{m.s^{-1}}, l'accélération de Coriolis est de l'ordre de 1,5×10−3 m.s−21{,}5\times 10^{-3}\unite{m.s^{-2}}, soit un dix millième de gg.

Elle est négligeable pour une expérience de mécanique de courte durée, et non négligeable pour un mouvement lent et de longue durée, ou de grande extension spatiale. Savoir mener cette estimation est une capacité exigible.

Manifestations à citer :

  • dans l'hémisphère Nord, la composante horizontale de la force de Coriolis dévie vers la droite un mobile qui se déplace horizontalement, et vers la gauche dans l'hémisphère Sud ;
  • c'est le mécanisme qui explique l'enroulement des masses d'air autour des dépressions, dans le sens trigonométrique vu du dessus dans l'hémisphère Nord ;
  • le pendule de Foucault voit son plan d'oscillation tourner lentement, avec une période de l'ordre d'un jour sidéral divisé par le sinus de la latitude, soit environ 32 heures à Paris ;
  • un corps lâché sans vitesse initiale d'une hauteur hh subit une petite déviation vers l'est.

Ces résultats se citent et s'estiment, leur établissement complet dépasse le cadre fixé par le programme.

RemarqueMarées

Les marées relèvent du caractère non galiléen du référentiel géocentrique, et non du référentiel terrestre. Le géocentrique est en translation accélérée dans le champ des autres astres, et le terme de marée est la différence entre le champ gravitationnel de l'astre au point considéré et ce même champ au centre de la Terre. Comme ce terme décroît comme l'inverse du cube de la distance, la Lune contribue environ deux fois plus que le Soleil malgré sa masse bien plus faible. Ce terme produit deux renflements opposés, d'où deux marées hautes par jour environ. Ce point est à citer qualitativement.

Méthodes

MéthodeTraiter un problème en référentiel non galiléen

  1. Identifier d'abord la nature du mouvement de R′\mathcal{R}' par rapport à R\mathcal{R}, translation ou rotation uniforme autour d'un axe fixe. Hors de ces deux cas, le programme n'exige rien.
  2. Écrire le bilan des forces réelles, puis ajouter systématiquement les deux forces d'inertie, quitte à constater ensuite que l'une est nulle.
  3. Placer les forces d'inertie sur le schéma avec leur sens : opposé à l'accélération d'entraînement pour la translation, dirigé vers l'extérieur pour la rotation.
  4. Avant tout calcul long, estimer le rapport de la force d'inertie aux autres forces. Souvent le problème se tranche en deux lignes.
  5. Vérifier la cohérence en repassant dans le référentiel galiléen : les deux points de vue doivent donner la même trajectoire absolue.

MéthodeBilan énergétique en rotation

  1. Utiliser l'énergie potentielle centrifuge.
  2. Oublier Coriolis, qui ne travaille pas.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

  1. Énoncer la relation de dérivation composée et l'appliquer aux vecteurs d'une base tournante.
  2. Établir les lois de composition des vitesses et des accélérations dans le cas d'une rotation uniforme autour d'un axe fixe.
  3. Donner l'expression et le sens des deux forces d'inertie dans les deux cas du programme.
  4. Traiter l'équilibre relatif d'un pendule dans un véhicule en accélération constante, et en déduire la pesanteur apparente.
  5. Traiter une perle sur une tige en rotation uniforme, en menant le calcul par la loi de la quantité de mouvement puis par l'énergie.
  6. Montrer que la force de Coriolis ne travaille pas, et que la force centrifuge d'entraînement dérive d'une énergie potentielle.
  7. Expliquer pourquoi le poids n'est pas la seule force de gravitation, et chiffrer l'écart à l'équateur.
  8. Estimer en ordre de grandeur la force de Coriolis pour un mouvement terrestre donné et conclure sur son caractère négligeable ou non.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme limite le chapitre à deux mouvements de R' par rapport à R : translation, et rotation uniforme autour d'un axe fixe. Il ne distingue pas « avec » et « sans » démonstration, on indique ce que le jury attend en pratique.

  • Dérivation composée : (dA/dt)_R = (dA/dt)_R' + Ω ∧ A pour tout vecteur A, Ω vecteur rotation de R' par rapport à R. À savoir établir sur les vecteurs de base de R'.
  • Vitesse d'entraînement : v(O') en translation, Ω ∧ HM en rotation autour de l'axe, H projeté de M sur l'axe. À citer et utiliser.
  • Composition des vitesses : vR = vR' + ve. À savoir établir dans les deux cas.
  • Composition des accélérations : aR = aR' + ae + ac, avec ae = a(O') en translation, ae = −ω² HM en rotation uniforme, ac = 2 Ω ∧ vR'. À savoir établir dans le cas de la rotation.
  • Forces d'inertie : fie = −m ae, fic = −2 m Ω ∧ vR'. Loi de la quantité de mouvement dans R' avec ces deux termes en plus. À citer, hypothèse : R galiléen.
  • Caractère centrifuge de fie en rotation uniforme : m ω² HM, dirigée de l'axe vers M. À savoir justifier.
  • La force de Coriolis ne travaille pas. À savoir établir en une ligne.
  • Énergie potentielle centrifuge −m ω² d²/2, d distance à l'axe. À savoir établir.
  • Poids = gravitation + force d'inertie d'entraînement de la rotation terrestre. Terme centrifuge maximal ω² R ≈ 3,4 × 10⁻² m/s². À savoir retrouver.
  • Estimation de Coriolis sur Terre : accélération au plus 2 ω v, avec 2 ω ≈ 1,5 × 10⁻⁴ s⁻¹. Capacité exigible.
  • Manifestations à citer : déviation vers la droite dans l'hémisphère Nord, sens des vents autour des dépressions, pendule de Foucault, déviation vers l'est d'un corps en chute, marées liées au référentiel géocentrique.
  • Hors programme : rotation non uniforme (terme −m (dΩ/dt) ∧ HM), mouvement quelconque de R', théorème de Coriolis général, calcul complet du pendule de Foucault. On signale les exercices qui les frôlent.

Clés de démonstration

Dérivation composée. Un vecteur A se décompose sur la base (ux', uy', uz') de R'. Dans R, ses composantes varient, et les vecteurs de base tournent avec du_i'/dt = Ω ∧ ui'. La somme des deux contributions donne la formule. Astuce : vérifier d'abord du_i'/dt = Ω ∧ ui' sur une base tournant autour de uz, où ux' tourne vers uy' à la vitesse ω.

Composition des vitesses en rotation. OM = OO' + O'M avec O' sur l'axe, O'M dérivé par la formule composée : vR = vR' + Ω ∧ O'M. Comme Ω ∧ O'M = Ω ∧ HM, la vitesse d'entraînement est ω d orthoradiale. Astuce : la composante de O'M le long de l'axe disparaît dans le produit vectoriel.

Composition des accélérations en rotation uniforme. On dérive vR = vR' + Ω ∧ O'M une seconde fois dans R. Dériver vR' donne aR' + Ω ∧ vR'. Dériver Ω ∧ O'M donne Ω ∧ vR' + Ω ∧ (Ω ∧ O'M) car Ω est constant. Les deux termes Ω ∧ vR' se regroupent en 2 Ω ∧ vR', et Ω ∧ (Ω ∧ O'M) = −ω² HM. Astuce : le double produit vectoriel se calcule en décomposant O'M en une partie sur l'axe et une partie HM orthogonale.

Coriolis ne travaille pas. La puissance dans R' est fic · vR' = −2 m (Ω ∧ vR') · vR' = 0, produit mixte à deux vecteurs égaux. Astuce : dire « orthogonale à la vitesse relative » suffit à l'oral.

Énergie potentielle centrifuge. fie = m ω² d ud ne dépend que de d. Son travail élémentaire m ω² d dd est la différentielle de m ω² d²/2. Donc Ep = −m ω² d²/2. Astuce : le signe moins dit que la force pousse vers l'extérieur, où Ep décroît.

Le poids. Dans le référentiel terrestre, un point immobile subit m G(M), la réaction du support, et fie = m ω² HM. Coriolis est nulle car vR' = 0. On appelle poids m g = m G(M) + m ω² HM. Astuce : le poids se définit dans le référentiel terrestre, pas dans le géocentrique, le jury CCINP le rappelle chaque année.

Exemples et contre-exemples à connaître

  1. Nacelle de grande roue : translation circulaire. Le vecteur rotation de la nacelle est nul alors que son centre tourne. Contre-exemple à « ça tourne donc Ω est non nul ».
  2. Ascenseur en chute libre : la force d'inertie −m a(O') = −m g compense exactement le poids. Impesanteur sans disparition de la gravitation. Même mécanisme à bord d'un satellite, aux effets de marée près.
  3. Essoreuse à salade : vue du panier, une force centrifuge éjecte les gouttes. Vue du laboratoire, il n'y a aucune force centrifuge, seulement une réaction insuffisante pour courber la trajectoire. Les deux descriptions donnent la même trajectoire absolue.
  4. Point immobile dans R' : la force de Coriolis est nulle. Un objet posé sur un manège ne subit que la force centrifuge, Coriolis n'apparaît que s'il bouge par rapport au manège.
  5. Force de Coriolis : ne travaille jamais, mais modifie la trajectoire. Contre-exemple à « une force sans travail n'a pas d'effet ». Sur la perle sur tige, c'est elle qui explique la composante orthoradiale de la réaction.
  6. Poids et gravitation : g mesuré à l'équateur est plus faible qu'aux pôles, de 3,4 × 10⁻² m/s² par le seul terme centrifuge, davantage en réalité à cause de l'aplatissement.
  7. Marées : le Soleil attire la Terre environ 180 fois plus que la Lune, et pourtant la Lune produit des marées deux fois plus fortes. Le terme de marée décroît en 1/D³, pas en 1/D².
  8. Pendule de Foucault : période de rotation du plan égale à un jour sidéral sur sin λ, soit 24 h seulement au pôle, infinie à l'équateur.
  9. Manège en accélération angulaire : un terme d'inertie orthoradial supplémentaire apparaît. Hors programme, à reconnaître pour ne pas appliquer les formules du cours hors de leur domaine.

Techniques du chapitre

Identifier la nature du mouvement de R' avant toute formule. Mini-exercice : un passager de grande roue de rayon R tournant à ω, quelle force d'inertie subit-il dans la nacelle ? Solution : la nacelle est en translation circulaire, fie = −m a(O') = m ω² R dirigée du centre de la roue vers la nacelle, tournante. Pas de Coriolis, Ω = 0.

Mettre la force d'inertie avec le bon sens sur le schéma. Mini-exercice : virage relevé d'angle α, rayon R, sans frottement, vitesse v pour que la voiture n'ait pas tendance à glisser. Solution : dans le référentiel de la voiture, en rotation uniforme autour du centre du virage, la force centrifuge m v²/R est horizontale vers l'extérieur. Équilibre avec le poids et la réaction normale : tan α = v²/(g R).

Utiliser l'énergie dans R' avec le potentiel centrifuge. Mini-exercice : une perle lâchée sans vitesse relative en r₀ dans un tube horizontal tournant à ω, vitesse relative en sortie r = L. Solution : m v²/2 − m ω² L²/2 = −m ω² r₀²/2, donc v = ω √(L² − r₀²). Coriolis et réaction ne travaillent pas.

Revenir dans R pour vérifier. Mini-exercice : vitesse absolue de la même perle en sortie. Solution : composition des vitesses, vR' radiale et ve = ω L orthoradiale sont orthogonales, v_abs² = ω² (L² − r₀²) + ω² L² = ω² (2 L² − r₀²).

Estimer avant de calculer. Mini-exercice : l'eau qui se vide d'un lavabo à 0,1 m/s tourne-t-elle à cause de Coriolis ? Solution : ac ≤ 2 ω v ≈ 1,5 × 10⁻⁵ m/s², soit 10⁻⁵ m de déplacement en 1 s, mille fois moins que l'effet d'une asymétrie du lavabo. Le sens observé ne dit rien sur l'hémisphère.

Composer les vitesses pour un lancement spatial. Mini-exercice : gain de vitesse obtenu en lançant vers l'est depuis la latitude λ. Solution : ve = ω R cos λ ≈ 465 cos λ m/s, soit 463 m/s à Kourou et 306 m/s à Paris. C'est pourquoi les bases de lancement sont proches de l'équateur.

Projeter la force de Coriolis sur la verticale locale. Mini-exercice : composante horizontale de fic pour un mobile horizontal de vitesse v à la latitude λ. Solution : seule la composante verticale ω sin λ de Ω donne une force horizontale, de norme 2 m ω v sin λ, vers la droite du mouvement dans l'hémisphère Nord.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Pendule dans un véhicule accéléré

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un pendule simple de longueur l est suspendu au plafond d'un wagon d'accélération horizontale constante a. Position d'équilibre relatif, pesanteur apparente, période des petites oscillations.

Technique référentiel en translation, une seule force d'inertie, constante.

Voir le corrigé
  1. Dans le wagon, forces : poids m g, tension T, fie = −m a, horizontale, opposée à l'accélération.
  2. Équilibre relatif : T = −m (g − a). Le fil s'aligne sur gapp = g − a, incliné vers l'arrière d'un angle α avec tan α = a/g.
  3. Norme de la pesanteur apparente : gapp = √(g² + a²).
  4. Tout se passe comme dans un champ de pesanteur uniforme gapp, donc T = 2π √(l/gapp), plus courte qu'à l'arrêt.

piège : Incliner le pendule vers l'avant en phase d'accélération. Il penche vers l'avant seulement au freinage.

Exercice 2. Perle sur une tige horizontale en rotation

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une tige horizontale tourne à ω constant autour d'un axe vertical passant par son extrémité O. Une perle de masse m glisse sans frottement, lâchée en r₀ sans vitesse relative. Mouvement, réaction de la tige.

Technique loi de la quantité de mouvement dans R' projetée sur la base (ur, u_θ, uz) liée à la tige.

Voir le corrigé
  1. Forces dans R' : poids −m g uz, réaction N = N_θ u_θ + Nz uz (pas de frottement), fie = m ω² r ur, fic = −2 m ω uz ∧ r' ur = −2 m ω r' u_θ.
  2. Sur ur : m r'' = m ω² r, d'où r = r₀ cosh(ω t). La perle s'éloigne exponentiellement.
  3. Sur u_θ : 0 = N_θ − 2 m ω r', donc N_θ = 2 m ω r' = 2 m ω² r₀ sinh(ω t). Sur uz : Nz = m g.
  4. Vérification énergétique : m r'²/2 − m ω² r²/2 est constant, ce qui redonne r'² = ω² (r² − r₀²), compatible avec le cosh.

piège : Oublier N_θ en disant « la réaction est verticale ». C'est la tige qui fournit, via Coriolis, la force orthoradiale qui fait tourner la perle.

Exercice 3. Anneau sur un cerceau vertical tournant

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un cerceau de rayon R tourne à ω constant autour de son diamètre vertical. Un anneau glisse sans frottement dessus, repéré par l'angle θ compté depuis le point bas. Positions d'équilibre relatif, stabilité, pulsation des petites oscillations.

Technique énergie potentielle totale dans R', pesanteur plus centrifuge.

Voir le corrigé
  1. Distance à l'axe : d = R sin θ. Ep(θ) = −m g R cos θ − m ω² R² sin² θ/2. Coriolis est orthogonale au plan du cerceau, absorbée par la réaction, sans effet sur θ.
  2. Ep'(θ) = m R sin θ (g − ω² R cos θ). Équilibres : θ = 0, θ = π, et cos θe = g/(ω² R), qui n'existe que si ω ≥ ωc = √(g/R).
  3. Ep''(θ) = m R (g cos θ − ω² R cos 2θ). En 0 : m R (g − ω² R), stable si ω < ωc. En π : toujours instable. En θe : m (ω² R² − g²/ω²), positif pour ω > ωc, stable.
  4. Énergie cinétique relative m R² θ'²/2, donc pulsation Ω² = Ep''/(m R²). Autour de 0 : Ω² = g/R − ω². Autour de θe : Ω² = ω² − g²/(ω² R²) = ω² sin² θe. Au seuil ωc, la pulsation s'annule, c'est une bifurcation.

piège : Conclure que le point bas reste stable à toute vitesse. Au-delà de ωc l'anneau monte et se stabilise sur le côté.

Exercice 4. Surface libre d'un liquide en rotation

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un seau cylindrique contenant de l'eau tourne à ω constant autour de son axe vertical. En régime établi, forme de la surface libre.

Technique statique des fluides dans R' en ajoutant la force volumique d'inertie. Le cours de MPSI énonce grad P = ρ g dans un référentiel galiléen, l'extension à R' s'obtient en ajoutant ρ ω² r ur au second membre.

Voir le corrigé
  1. Dans R', le fluide est au repos, Coriolis est nulle. grad P = ρ g + ρ ω² r ur.
  2. Composantes : ∂P/∂r = ρ ω² r et ∂P/∂z = −ρ g, donc P = P₀ + ρ ω² r²/2 − ρ g z.
  3. Surface libre P = Patm : z(r) = z₀ + ω² r²/(2 g), un paraboloïde de révolution.
  4. Ordre de grandeur : à 1 tour par seconde, ω ≈ 6,3 rad/s, la dénivellation entre l'axe et r = 5 cm vaut 39,5 × 2,5 × 10⁻³/19,6 ≈ 5 mm.

piège : Écrire la surface libre horizontale « car le fluide est au repos ». Elle est orthogonale à la pesanteur apparente, qui n'est plus verticale.

Exercice 5. Le poids et la rotation terrestre

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Exprimer le champ de pesanteur à la latitude λ en fonction du champ gravitationnel et de la rotation terrestre. Majorer le rapport η du terme d'inertie au terme gravitationnel. Estimer l'angle entre la verticale du lieu et la direction du centre de la Terre.

Technique point immobile dans le référentiel terrestre, force d'inertie d'entraînement seule.

Voir le corrigé
  1. g(M) = −(G MT/R²) ur + ω² HM avec HM = R cos λ, dirigé de l'axe vers M.
  2. η = ω² R cos λ/(G MT/R²) ≤ ω² R³/(G MT). Numériquement ω² R ≈ 3,4 × 10⁻² m/s² et G MT/R² ≈ 9,8 m/s², donc η ≤ 3,5 × 10⁻³.
  3. Le terme centrifuge se décompose en ω² R cos² λ radial sortant et ω² R cos λ sin λ tangent, vers l'équateur. L'angle δ entre g et −ur vérifie tan δ ≈ ω² R cos λ sin λ/g = (ω² R/(2 g)) sin 2λ.
  4. Maximum à 45° : δ ≈ 1,7 × 10⁻³ rad ≈ 0,1°. Nul aux pôles et à l'équateur.

piège : Dire que le poids est la force de gravitation. Le jury attend la phrase « le poids inclut la force d'inertie d'entraînement, dans le référentiel terrestre ».

Exercice 6. Coriolis pour un TGV et pour une chute

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Un train roule à 100 m/s à la latitude 48°. Comparer la force de Coriolis au poids. Estimer ensuite la déviation vers l'est d'un corps lâché sans vitesse d'une hauteur h = 100 m.

Technique estimation en ordre de grandeur, puis intégration au premier ordre.

Voir le corrigé
  1. ac ≤ 2 ω v = 1,46 × 10⁻⁴ × 100 ≈ 1,5 × 10⁻² m/s², soit 1,5 × 10⁻³ g. Négligeable pour le mouvement, sensible pour l'usure du rail droit : la composante horizontale 2 ω v sin λ donne, pour 400 t, environ 4 kN.
  2. Chute : v ≈ g t verticale vers le bas. Ω ∧ v a une composante horizontale ω cos λ v vers l'ouest, donc fic pousse vers l'est avec aest = 2 ω g t cos λ.
  3. Deux intégrations : xest = ω g cos λ t³/3, avec t = √(2 h/g) ≈ 4,5 s.
  4. Numériquement : 7,3 × 10⁻⁵ × 9,8 × 0,67 × 92/3 ≈ 1,5 cm. Mesurable mais délicat, d'où les expériences historiques dans des puits de mine.

piège : Se tromper de sens en oubliant que Ω ∧ v se calcule avec la vitesse relative, dirigée vers le bas.

Exercice 8. Ordre de grandeur des marées

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Justifier que le terme de marée dû à un astre de masse M à la distance D vaut environ 2 G M R/D³ au point le plus proche, et comparer Lune et Soleil.

Technique référentiel géocentrique en translation, force d'inertie −m G_astre(T).

Voir le corrigé
  1. Le géocentrique est en translation dans le référentiel de Copernic, avec a(T) = G_astre(T), champ de l'astre au centre de la Terre. Dans le géocentrique, un point subit m G_astre(M) − m G_astre(T).
  2. Sur la ligne Terre-astre, à la distance R du centre : G M [1/(D − R)² − 1/D²] ≈ 2 G M R/D³ car R est petit devant D. Même norme, sens opposé, au point diamétralement opposé, d'où deux renflements.
  3. Lune : M = 7,3 × 10²² kg, D = 3,8 × 10⁸ m, terme ≈ 1,1 × 10⁻⁶ m/s². Soleil : M = 2,0 × 10³⁰ kg, D = 1,5 × 10¹¹ m, terme ≈ 5 × 10⁻⁷ m/s².
  4. La Lune domine d'un facteur 2,2, alors que son attraction directe est 180 fois plus faible. La dépendance en 1/D³ renverse la hiérarchie.

piège : Attribuer les marées à la rotation de la Terre sur elle-même. Le programme précise que c'est le géocentrique qui est en cause.

Exercice 7. Point libre sur un plateau tournant

Approfondissement · Type oral Centrale

Un plateau horizontal tourne à ω constant. Un palet glisse sans frottement. Trajectoire dans le référentiel du plateau, en notation complexe, pour un lancement depuis le centre à la vitesse relative v₀, puis pour un lâcher sans vitesse relative en r₀.

Technique notation complexe z = x + i y dans R', Ω ∧ vR' s'écrit i ω z'.

Voir le corrigé
  1. Forces horizontales dans R' : fie = m ω² z, fic = −2 m i ω z'. Équation : z'' + 2 i ω z' − ω² z = 0.
  2. Équation caractéristique (s + i ω)² = 0, racine double. Solution z = (A + B t) exp(−i ω t).
  3. Lancement du centre : z = v₀ t exp(−i ω t), spirale d'Archimède, r = v₀ t, θ = −ω t. Dans R, z exp(i ω t) = v₀ t, mouvement rectiligne uniforme comme attendu pour un point sans force horizontale.
  4. Lâcher en r₀ : A = r₀, B = i ω r₀, donc z = r₀ (1 + i ω t) exp(−i ω t). Dans R, r₀ (1 + i ω t) est un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse ω r₀ orthoradiale, la vitesse d'entraînement initiale.

piège : Oublier la force centrifuge en disant « le palet est immobile au début donc rien ne le pousse ». Coriolis est nulle à t = 0, pas la force d'entraînement.

Exercice 9. Rotation du plan du pendule de Foucault

Approfondissement · Type oral Mines

Un pendule simple de longueur l, petites oscillations, à la latitude λ. Montrer que le plan d'oscillation tourne et donner sa période. Le programme demande seulement de citer le phénomène, l'exercice va au-delà mais tombe à l'oral.

Technique projection horizontale de Coriolis, notation complexe, séparation des échelles ω très petit devant ω₀.

Voir le corrigé
  1. Axes x vers l'est, y vers le nord, z vertical. Ω = ω (0, cos λ, sin λ). Pour un mouvement quasi horizontal (x', y', 0), la partie horizontale de −2 m Ω ∧ v vaut (2 m ω sin λ y', −2 m ω sin λ x').
  2. Avec ωz = ω sin λ et u = x + i y : u'' + 2 i ωz u' + ω₀² u = 0, où ω₀² = g/l.
  3. Racines s = −i ωz ± i √(ω_z² + ω₀²) ≈ −i ωz ± i ω₀. Une oscillation rectiligne s'écrit u ≈ 2 A cos(ω₀ t) exp(−i ωz t).
  4. La direction d'oscillation tourne à la vitesse −ωz, dans le sens horaire vu de dessus dans l'hémisphère Nord. Période 2π/(ω sin λ) = 86 164 s/sin λ, soit environ 32 h à Paris.

piège : Garder la composante ω cos λ de Ω. Elle produit une force verticale, absorbée par la tension, sans effet sur la rotation du plan.

Erreurs fréquentes

  1. Ne pas dire dans quel référentiel on travaille. Le jury CCINP note chaque année des confusions entre référentiel d'étude et référentiel galiléen de référence. Les forces d'inertie n'existent que dans R'.
  2. Erreur de signe sur fie. En translation elle est opposée à l'accélération de R', en rotation uniforme elle est centrifuge, jamais centripète.
  3. Mauvaise expression de fic. C'est −2 m Ω ∧ vR', avec la vitesse relative, pas la vitesse absolue, et avec le facteur 2.
  4. Faire travailler Coriolis dans un bilan d'énergie, ou oublier l'énergie potentielle centrifuge quand on fait ce bilan dans un référentiel tournant.
  5. Appliquer les formules du cours à un référentiel en rotation non uniforme ou en mouvement quelconque. Hors programme, et faux sans le terme supplémentaire.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie 1.1 « Référentiels non galiléens ». Le programme limite explicitement l'étude à deux situations, le référentiel entraîné en translation et le référentiel entraîné en rotation uniforme autour d'un axe fixe.

Au concours

Les questions des sujets corrigés qui travaillent ce chapitre. La première question de chaque sujet est en accès libre.

CCINP 2025, MP, Physique-chimie

  • Q24 à Q26 Composition des vitesses, galiléenne puis relativiste, et directivité du rayonnement

CCINP 2025, MPI, Physique-chimie

  • Q20 à Q22 Composition des vitesses galiléenne et relativiste, cône d'émission