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MP · Physique · semaine 4

Mécanique des systèmes et frottement solide

Éléments cinétiques d'un système, théorèmes de la résultante et du moment cinétique, statique des fluides, solide en rotation autour d'un axe fixe, lois de Coulomb du frottement solide.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le centre de masse d'un système obéit à la loi de la quantité de mouvement écrite avec les seules forces extérieures, quelle que soit la complexité du mouvement interne.
  2. Le théorème du moment cinétique exige un référentiel galiléen et un point fixe. Sur un axe fixe, il prend la forme Jω′J\omega' égale à la somme des moments.
  3. Pour un solide indéformable, la puissance des forces intérieures est nulle, ce qui rend le bilan énergétique simple.
  4. Les lois de Coulomb sont deux règles distinctes, une inégalité en adhérence, une égalité plus une direction imposée en glissement. Le programme les limite au solide en translation.
  5. La méthode est toujours la même : faire une hypothèse sur le mode de contact, calculer, puis valider l'hypothèse par l'inégalité ou par le signe de la vitesse de glissement.
Pourquoi ce chapitre

Les lois du frottement solide sont la seconde nouveauté de mécanique du programme de MP. Le programme les présente comme un exercice de raisonnement formateur. Contrairement à toutes les autres forces du cours, la composante tangentielle de la réaction d'un support n'est pas donnée par une formule. Elle dépend du régime, adhérence ou glissement, et ce régime est précisément ce qu'on cherche.

Il faut donc faire une hypothèse, mener le calcul, puis la valider ou la rejeter. Ce chapitre rassemble aussi les outils de mécanique des systèmes nécessaires pour appliquer ces lois :

  • éléments cinétiques ;
  • théorèmes généraux ;
  • solide en rotation autour d'un axe fixe.

1Éléments cinétiques d'un système

1.1Centre de masse

Définition 1.1Centre de masse

Pour un système de points MiM_i de masses mim_i, de masse totale MM, le centre de masse GG est défini par la relation ∑imi GMi→=0⃗.\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vec{0}. Pour une distribution continue, la somme devient une intégrale sur la masse.

Propriété 1.2Symétrie

Le centre de masse d'un solide homogène possédant un élément de symétrie appartient à cet élément.

1.2Quantité de mouvement et moment cinétique

Propriété 1.3Quantité de mouvement totale

La quantité de mouvement totale du système vaut Mv⃗GM\vec{v}_G, où v⃗G\vec{v}_G est la vitesse du centre de masse. Ce résultat est vrai quel que soit le mouvement interne du système.

Définition 1.4Moment cinétique et énergie cinétique totaux

  • Le moment cinétique total en un point OO est la somme des moments cinétiques des points du système en OO.
  • Le moment par rapport à un axe orienté est la projection du moment en un point de l'axe.
  • L'énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques des points.

2Théorèmes généraux

2.1Actions intérieures et extérieures

On sépare les forces en actions intérieures, exercées entre deux points du système, et actions extérieures.

Propriété 2.1Actions intérieures

D'après la troisième loi de Newton, les actions intérieures sont deux à deux opposées et portées par la droite qui joint les deux points. Leur résultante est donc nulle, et leur moment résultant en tout point est nul également.

C'est pour cette raison que les théorèmes généraux ne font intervenir que les actions extérieures.

AttentionPuissance des forces intérieures

La puissance des forces intérieures n'est pas nulle en général. Elle l'est seulement pour un système indéformable.

2.2Théorème de la résultante cinétique

Théorème 2.2Théorème de la résultante cinétique

Hypothèses

  • référentiel galiléen.

Alors la dérivée de la quantité de mouvement totale est égale à la résultante des forces extérieures : Ma⃗G=∑F⃗ext.M\vec{a}_G = \sum \vec{F}_{\text{ext}}.

Le centre de masse se comporte comme un point matériel qui porterait toute la masse et subirait toutes les forces extérieures.

Propriété 2.3Système isolé

Un système isolé a un centre de masse en mouvement rectiligne uniforme, quelle que soit l'agitation interne.

2.3Théorème du moment cinétique

Théorème 2.4Théorème du moment cinétique

Hypothèses

  • référentiel galiléen ;
  • point OO fixe dans ce référentiel.

Alors la dérivée du moment cinétique total en OO est égale à la somme des moments en OO des forces extérieures.

Les deux hypothèses sont indispensables, référentiel galiléen et point OO fixe.

Propriété 2.5Projection sur un axe fixe

En projection sur un axe fixe orienté, la dérivée du moment cinétique par rapport à l'axe est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe.

2.4Théorème de l'énergie cinétique

Théorème 2.6Théorème de l'énergie cinétique

Hypothèses

  • référentiel galiléen.

Alors la dérivée de l'énergie cinétique totale est égale à la somme de la puissance des forces extérieures et de la puissance des forces intérieures.

Pour un solide indéformable, la puissance des forces intérieures est nulle, et seule la puissance des forces extérieures intervient.

3Solide en rotation autour d'un axe fixe

3.1Cinématique

Tous les points du solide décrivent des cercles centrés sur l'axe. Il n'y a qu'un seul degré de liberté, l'angle de rotation.

Propriété 3.1Vitesse d'un point

La vitesse d'un point MM vaut Ω⃗∧HM→\vec{\Omega} \wedge \vect{HM}, où HH est le projeté de MM sur l'axe.

3.2Moment d'inertie

Définition 3.2Moment d'inertie

Le moment d'inertie par rapport à l'axe est J=∑imidi2,J = \sum_i m_i d_i^2, où did_i est la distance du point ii à l'axe. Il s'exprime en  kg.m2\unite{kg.m^2}.

Il mesure la répartition de la masse autour de l'axe, pas seulement la masse.

Exemple 3.3Valeurs classiques

À savoir retrouver par intégration simple :

  • cerceau ou cylindre creux mince de rayon RR autour de son axe : MR2MR^2 ;
  • disque ou cylindre plein homogène autour de son axe : MR22\dfrac{MR^2}{2} ;
  • tige homogène de longueur LL autour d'un axe perpendiculaire passant par son milieu : ML212\dfrac{ML^2}{12}.

3.3Moment cinétique et énergie

Propriété 3.4Rotation autour d'un axe fixe

  • Le moment cinétique par rapport à l'axe vaut JωJ\omega.
  • Le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe donne Jω′=∑MextJ\omega' = \sum \mathcal{M}_{\text{ext}}, somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe.
  • L'énergie cinétique vaut 12Jω2\dfrac{1}{2}J\omega^2.

Propriété 3.5Liaison pivot

Une liaison pivot parfaite exerce des actions dont le moment par rapport à l'axe est nul.

C'est l'hypothèse qui permet d'éliminer les actions de liaison de l'équation du mouvement. Si la liaison n'est pas parfaite, on modélise souvent le frottement par un moment opposé à la rotation, proportionnel à ω\omega pour un frottement visqueux.

Exemple 3.6Pendule pesant

Un solide de masse mm, de moment d'inertie JJ par rapport à l'axe horizontal de rotation, a son centre de masse à la distance aa de l'axe. Le moment du poids vaut −mgasin⁡θ-mga\sin\theta, d'où Jθ′′+mgasin⁡θ=0.J\theta'' + mga\sin\theta = 0. Aux petits angles, la pulsation propre vaut ω0=mgaJ.\omega_0 = \sqrt{\frac{mga}{J}}. Le pendule simple est le cas particulier J=ma2J = ma^2.

4Statique des fluides, rappel utile

Loi 4.1Loi fondamentale de la statique des fluides

Hypothèses

  • fluide au repos dans un référentiel galiléen.

Alors grad⁡→ P=ρ g⃗.\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,P = \rho\,\vec{g}.

Propriété 4.2Fluide incompressible

Hypothèses

  • masse volumique ρ\rho constante ;
  • champ de pesanteur uniforme.

Alors P=P0+ρghP = P_0 + \rho g h, où hh est la profondeur.

Dans un gaz au repos sur une hauteur modeste, la variation de pression est négligeable.

Théorème 4.3Poussée d'Archimède

Hypothèses

  • fluide au repos ;
  • le fluide entoure effectivement le corps.

Alors la poussée d'Archimède, résultante des forces de pression exercées sur le corps par le fluide, est opposée au poids du fluide déplacé et s'applique au centre de masse du fluide déplacé.

Exemple 4.4Ordres de grandeur

  • Une colonne d'eau de 10 m10 \unite{m} produit environ 11 bar, soit 105 Pa10^5 \unite{Pa}.
  • La masse volumique de l'air dans les conditions usuelles vaut environ 1,2 kg.m−31{,}2 \unite{kg.m^{-3}}.
  • Celle de l'eau vaut 1,0×103 kg.m−31{,}0 \times 10^3 \unite{kg.m^{-3}}.

5Lois de Coulomb du frottement solide

5.1Contact entre deux solides, aspects microscopiques

Deux surfaces, même polies, ne se touchent que par un petit nombre d'aspérités. L'aire réelle de contact est très inférieure à l'aire apparente, et elle croît avec la force pressante.

C'est cette observation qui rend plausible le fait que la force de frottement dépende de la force normale et non de l'aire apparente de contact. Le contact fait aussi intervenir des liaisons entre surfaces, qu'il faut rompre pour mettre les solides en mouvement relatif.

5.2Modélisation de la réaction

Définition 5.1Composantes de la réaction

La réaction du support sur le solide se décompose en :

  • une composante normale NN, perpendiculaire au plan de contact et dirigée du support vers le solide ;
  • une composante tangentielle TT, dans le plan de contact.

La composante normale est toujours positive dans le sens sortant du support, puisqu'un contact ne peut que pousser. Le décollement se traduit par NN qui devient nul.

Définition 5.2Vitesse de glissement

La vitesse de glissement est la vitesse relative du solide par rapport au support au point de contact.

Le programme limite l'étude au cas d'un solide en translation, situation où cette vitesse est la même en tout point du contact.

5.3Les lois de Coulomb

Loi 5.3Lois de Coulomb, cas du non glissement

Hypothèses

  • vitesse de glissement nulle.

Alors la composante tangentielle vérifie ∣T∣⩽fsN,|T| \leqslant f_s N, où fsf_s est le coefficient de frottement statique, ou coefficient d'adhérence.

La valeur de TT n'est pas donnée par la loi. Elle est déterminée par les équations du mouvement, ici par l'équilibre ou par la condition de non glissement.

Loi 5.4Lois de Coulomb, cas du glissement

Hypothèses

  • vitesse de glissement non nulle.

Alors la composante tangentielle vérifie ∣T∣=fdN,|T| = f_d N, où fdf_d est le coefficient de frottement dynamique. De plus T⃗\vec{T} est directement opposée à la vitesse de glissement.

La force de frottement s'oppose donc au mouvement relatif, pas nécessairement au mouvement absolu.

En pratique fdf_d est légèrement inférieur à fsf_s, ce qui explique qu'il soit plus difficile de mettre en mouvement que d'entretenir le mouvement. De nombreux exercices posent les deux coefficients égaux et notent simplement ff.

Exemple 5.5Ordres de grandeur

  • Acier sur acier sec : environ 0,60{,}6.
  • Pneu sur route sèche : de 0,70{,}7 à 11.
  • Pneu sur route mouillée : environ 0,40{,}4.
  • Contact lubrifié : de 0,050{,}05 à 0,10{,}1.
  • Glace sur glace : de l'ordre de 0,050{,}05.
  • Un coefficient supérieur à 11 est possible mais rare.

Ces lois sont empiriques. Elles ne font intervenir ni l'aire apparente de contact, ni la valeur de la vitesse de glissement, ce qui est une approximation grossière mais efficace.

5.4Méthode de résolution

Le programme énonce explicitement comme capacité exigible : formuler une hypothèse quant au glissement et la valider.

MéthodeHypothèse de glissement ou de non glissement

  1. Faire une hypothèse, par exemple non glissement.
  2. Écrire la condition cinématique correspondante, vitesse de glissement nulle, et en déduire NN et TT par les théorèmes généraux.
  3. Tester l'inégalité ∣T∣⩽fsN|T| \leqslant f_s N. Si elle est vérifiée, l'hypothèse est cohérente et le résultat est valide.
  4. Si elle est violée, l'hypothèse est fausse, il y a glissement. Recommencer avec ∣T∣=fdN|T| = f_d N et T⃗\vec{T} opposée à la vitesse de glissement, dont on doit deviner le sens.
  5. Vérifier a posteriori la cohérence de ce sens.

Exemple 5.6Bloc sur un plan incliné d'angle α\alpha

En l'absence de glissement, l'équilibre impose T=mgsin⁡α,N=mgcos⁡α.T = mg\sin\alpha, \qquad N = mg\cos\alpha. La condition de non glissement s'écrit tan⁡α⩽fs\tan\alpha \leqslant f_s. L'angle limite vérifie tan⁡αlim=fs\tan\alpha_{\text{lim}} = f_s, et il ne dépend ni de la masse ni de l'aire de contact.

Cette expérience est la mesure la plus simple d'un coefficient de frottement, et c'est une capacité expérimentale du programme.

Exemple 5.7Freinage

Une roue qui glisse sur le sol subit une force de frottement de norme fdNf_d N opposée à la vitesse de glissement, ce qui donne une décélération de l'ordre de fdgf_d g, soit environ 8 m.s−28 \unite{m.s^{-2}} sur route sèche. La distance de freinage vaut d=v22fdg,d = \frac{v^2}{2 f_d g}, soit une trentaine de mètres depuis 70 km.h−170 \unite{km.h^{-1}}.

5.5Aspect énergétique

Propriété 5.8Puissance des actions de contact

La puissance des actions de contact sur le système des deux solides vaut le produit scalaire de T⃗\vec{T} par la vitesse de glissement.

  • En cas de glissement, elle vaut −fdN-f_d N multiplié par la norme de la vitesse de glissement. Elle est négative, l'énergie est dissipée sous forme thermique.
  • En cas de non glissement, la vitesse de glissement est nulle et cette puissance est nulle.

À retenir

Le frottement statique ne dissipe rien.

C'est l'argument qui permet de faire des bilans énergétiques propres. On applique le théorème de l'énergie cinétique et on identifie le terme dissipé, ou bien on écrit que la variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement.

5.6Capacité numérique

Le programme demande de simuler, avec un langage de programmation, une situation mécanique comportant au moins un changement de mode de glissement.

MéthodeSimuler un changement de mode

  1. Intégrer numériquement les équations du mouvement par un schéma pas à pas.
  2. À chaque pas, tester le mode courant.
  3. En mode adhérence, calculer TT requis et basculer en glissement si ∣T∣|T| dépasse fsNf_s N.
  4. En mode glissement, imposer ∣T∣=fdN|T| = f_d N opposée à la vitesse de glissement, et basculer en adhérence quand la vitesse de glissement s'annule et que la condition statique est compatible.

Le point délicat est la détection du changement de mode, qui doit se faire à chaque pas et non une fois pour toutes.

Méthodes

MéthodeIsoler proprement

  1. Écrire noir sur blanc le système choisi.
  2. N'y faire figurer que les actions extérieures à ce système.

MéthodeChoisir le théorème selon l'inconnue

  • Pour obtenir les actions de liaison : la résultante cinétique.
  • Pour éliminer une liaison pivot parfaite : le moment cinétique par rapport à l'axe.
  • Pour relier vitesse et position sans actions de liaison qui ne travaillent pas : l'énergie.

MéthodeTraiter un contact solide

  1. Poser d'emblée NN et TT sur le schéma.
  2. Annoncer l'hypothèse de glissement ou de non glissement.
  3. Vérifier que NN reste positif. Un NN négatif signale un décollement, donc un modèle à changer.

AttentionÉgalité et inégalité

Ne jamais écrire ∣T∣=fN|T| = fN sans avoir vérifié qu'il y a glissement, et ne jamais écrire ∣T∣⩽fN|T| \leqslant fN comme une égalité.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

  1. Montrer que la résultante et le moment résultant des actions intérieures sont nuls, et en déduire les deux théorèmes généraux.
  2. Expliquer pourquoi la puissance des actions intérieures est nulle pour un solide indéformable et non nulle en général.
  3. Calculer par intégration le moment d'inertie d'une tige et d'un disque homogènes.
  4. Mettre en équation un pendule pesant et donner la période des petites oscillations.
  5. Énoncer les lois de Coulomb dans les trois situations, équilibre, mise en mouvement, freinage, avec les inégalités et égalités exactes.
  6. Traiter le bloc sur plan incliné, établir la condition de non glissement et l'expression de l'angle limite.
  7. Décrire un protocole de mesure d'un coefficient de frottement et son incertitude principale.
  8. Effectuer un bilan énergétique avec frottement solide et identifier la puissance dissipée.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Seules les lois de Coulomb sont nouvelles en MP, le reste est un acquis de MPSI exigible. Le programme de physique ne distingue pas « avec » et « sans » démonstration, on indique ce que le jury attend.

  • Quantité de mouvement d'un système : p = M vG, quel que soit le mouvement interne. À savoir établir à partir de la définition de G.
  • Résultante et moment résultant des actions intérieures nuls. Hypothèse : troisième loi de Newton avec forces portées par la droite joignant les points. À savoir établir.
  • Théorème de la résultante cinétique : M aG = somme des forces extérieures, référentiel galiléen. À savoir établir.
  • Théorème du moment cinétique en un point O fixe d'un référentiel galiléen, et sa projection sur un axe fixe. À savoir établir, hypothèses à citer.
  • Théorème de l'énergie cinétique : dEc/dt = Pext + Pint. Puissance des actions intérieures nulle pour un solide indéformable, non nulle en général. À savoir justifier.
  • Solide en rotation autour d'un axe fixe : Laxe = J ω, Ec = J ω²/2, J θ'' = somme des moments par rapport à l'axe. À citer.
  • Moments d'inertie : cerceau M R², disque M R²/2, tige M L²/12 par le milieu. À savoir retrouver par intégration. La sphère (2 M R²/5) est fournie.
  • Liaison pivot parfaite : moment nul par rapport à l'axe. À citer.
  • Pendule pesant : J θ'' + m g a sin θ = 0, pulsation √(m g a/J) aux petits angles. À savoir établir.
  • Statique des fluides : grad P = ρ g, P = P₀ + ρ g h dans un liquide homogène, poussée d'Archimède opposée au poids du fluide déplacé. À citer.
  • Lois de Coulomb, solide en translation : adhérence si |T| ≤ fs N et vitesse de glissement nulle, glissement si |T| = fd N avec T opposée à la vitesse de glissement. N ≥ 0 toujours. À énoncer sans erreur, c'est la ligne la plus notée du chapitre.
  • Puissance des actions de contact sur l'ensemble des deux solides : T · v_glissement, nulle en adhérence, négative en glissement. À savoir établir.
  • Angle limite du plan incliné : tan αlim = fs, indépendant de la masse. À savoir établir.
  • Hors programme : théorèmes de Koenig, théorème de Huygens, roulement sans glissement d'un solide, frottement de roulement. Un exercice de roue qui roule est signalé, seul le patinage en translation est au programme.

Clés de démonstration

Résultante et moment des actions intérieures. On regroupe les forces par paires (i, j). La somme fij + fji est nulle par la troisième loi. Le moment de la paire en O vaut OM_i ∧ fij + OM_j ∧ fji = M_jM_i ∧ fij, nul car fij est portée par M_iM_j. Astuce : c'est l'hypothèse « forces portées par la droite joignant les points » qui tue le moment, pas seulement l'opposition.

Théorème de la résultante cinétique. On somme les lois de la quantité de mouvement de chaque point. Les actions intérieures disparaissent et la dérivée de p = M vG reste. Astuce : dériver deux fois la définition de G pour obtenir aG.

Puissance des actions intérieures dans un solide. Pour une paire, P = fij · (vi − vj). Dans un solide, vi − vj = Ω ∧ M_jM_i, orthogonal à M_jM_i, donc à fij. Astuce : dans un ressort reliant deux masses, vi − vj a une composante le long de la tige, la puissance n'est plus nulle.

Moment d'inertie d'une tige. Masse linéique M/L, élément dm = (M/L) dx à la distance |x| de l'axe médian. J = ∫ x² (M/L) dx de −L/2 à L/2 = M L²/12. Par une extrémité, mêmes bornes 0 à L, J = M L²/3. Astuce : toujours écrire l'élément de masse avant d'intégrer.

Moment d'inertie d'un disque. Couronne entre r et r + dr, masse dm = M 2π r dr/(π R²) = 2 M r dr/R². J = ∫ r² dm = 2 M/R² × R⁴/4 = M R²/2. Astuce : la couronne est le bon découpage, tous ses points sont à la même distance de l'axe.

Pendule pesant. Théorème du moment cinétique par rapport à l'axe. Moment du poids −m g a sin θ, moment de la liaison pivot nul. D'où J θ'' = −m g a sin θ. Astuce : le poids est appliqué en G, à la distance a de l'axe, le jury le signale.

Angle limite. Bloc immobile sur le plan, T = m g sin α, N = m g cos α. Coulomb en adhérence : m g sin α ≤ fs m g cos α, donc tan α ≤ fs. Astuce : la masse se simplifie, c'est le point à commenter.

Puissance dissipée. Actions de contact sur le solide 1 : T sur 1, −T sur 2. Puissance totale T · v₁ − T · v₂ = T · vg. En glissement, T = −fd N vg/|vg|, donc P = −fd N |vg| ≤ 0. Astuce : la puissance se calcule sur les deux solides ensemble, sur un seul elle n'a pas de signe fixe.

Exemples et contre-exemples à connaître

  1. Bloc immobile sur un plan incliné à 20° avec fs = 0,5 : T vaut m g sin 20°, pas fs N. Contre-exemple à « frottement = f N », valable en glissement seulement.
  2. Brique posée sur un tapis roulant en marche : le frottement est dans le sens du tapis et accélère la brique. Le frottement s'oppose au glissement, pas au mouvement.
  3. Marcheur : le sol pousse le pied vers l'avant sans glissement, la force de frottement statique ne dissipe rien. Le frottement est ce qui permet d'avancer.
  4. Voiture roues bloquées : glissement, dissipation fd m g par mètre. Avec ABS les roues ne glissent pas, la décélération peut atteindre fs g, et fs dépasse fd.
  5. Deux masses reliées par un ressort, isolées : G en mouvement rectiligne uniforme alors que chaque masse oscille. Illustration du théorème de la résultante cinétique et d'une puissance intérieure non nulle.
  6. Patineur qui replie les bras : moment cinétique par rapport à l'axe conservé, ω augmente, l'énergie cinétique aussi. Le travail vient des forces intérieures, système déformable.
  7. Théorème du moment cinétique en G en mouvement : hors programme sans le théorème de Koenig, on se limite à un point fixe ou à l'axe fixe.
  8. N qui devient négatif dans un calcul : le contact est rompu, le modèle change, il faut reprendre avec un solide en chute libre.
  9. Iceberg : fraction immergée ρ_glace/ρeau ≈ 0,9. Résultat d'Archimède qui se retrouve en trois lignes et que le jury pose en question de cours.

Techniques du chapitre

Isoler le système en le nommant. Mini-exercice : deux blocs m₁ et m₂ reliés par un fil, tirés par une force F sur un sol lisse. Tension du fil. Solution : ensemble, a = F/(m₁ + m₂). Bloc arrière seul, T = m₁ a = m₁ F/(m₁ + m₂). Le fil est intérieur à l'ensemble, extérieur au bloc.

Choisir le théorème selon l'inconnue. Mini-exercice : disque en rotation autour de son axe fixe horizontal, avec liaison pivot parfaite, soumis à son seul poids. Réaction de l'axe. Solution : G est sur l'axe, immobile, donc résultante cinétique nulle et réaction = −M g. Le moment cinétique dit que ω est constant, pas la réaction.

Faire une hypothèse puis la valider. Mini-exercice : bloc de 2 kg sur table horizontale, fs = 0,4, poussé par F = 5 N. Bouge-t-il ? Solution : hypothèse adhérence, T = F = 5 N, seuil fs N = 0,4 × 19,6 ≈ 7,8 N. Hypothèse validée, T = 5 N et non 7,8 N.

Orienter T contre la vitesse de glissement. Mini-exercice : brique déposée sans vitesse sur un tapis roulant à V, coefficient f. Distance de glissement avant adhérence. Solution : T = f m g dans le sens du tapis, a = f g, adhérence quand v = V, après V²/(2 f g) parcourus par la brique dans le référentiel du sol.

Bilan d'énergie avec frottement. Mini-exercice : gomme lancée à v₀ sur une table, coefficient f. Distance d'arrêt. Solution : théorème de l'énergie cinétique, −f m g d = −m v₀²/2, d = v₀²/(2 f g). À 2 m/s avec f = 0,3, environ 68 cm.

Calculer un moment d'inertie avant de l'utiliser. Mini-exercice : tige de longueur L par son milieu, puis anneau ponctuel de masse m fixé à une extrémité. Solution : J = M L²/12 + m L²/4. Un point matériel ajoute m d², sans intégrale.

Mesurer un coefficient et dire l'incertitude. Mini-exercice : plan incliné, glissement observé à α = 30° ± 1°. Solution : fs = tan 30° ≈ 0,58. Incertitude : δf = δα/cos² α = 0,017/0,75 ≈ 0,023, soit 4 %. Le seuil de glissement est lui-même mal défini, l'incertitude réelle est plutôt 10 %.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Bloc sur plan incliné, les trois situations

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Bloc de masse m sur un plan incliné d'angle α, coefficients fs et fd. Condition d'équilibre. Si le bloc glisse vers le bas, son accélération. S'il est lancé vers le haut à v₀, distance parcourue et retour éventuel.

Technique hypothèse sur le mode de contact, projection tangentielle et normale, validation.

Voir le corrigé
  1. Équilibre : N = m g cos α, T = m g sin α, condition tan α ≤ fs.
  2. Glissement vers le bas : T = fd N dirigée vers le haut. m a = m g sin α − fd m g cos α, donc a = g (sin α − fd cos α), positive dès que tan α > fd.
  3. Montée : vitesse de glissement vers le haut, T vers le bas. Décélération g (sin α + fd cos α), distance v₀²/(2 g (sin α + fd cos α)).
  4. Au sommet la vitesse s'annule. Le bloc redescend si tan α > fs, reste bloqué sinon. L'énergie dissipée à la montée vaut fd m g cos α fois la distance.

piège : Garder T orientée vers le haut à la montée. En glissement, T change de sens quand la vitesse de glissement change de sens.

Exercice 2. Caisse tirée par une corde inclinée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une caisse de masse m sur un sol horizontal, coefficient fs, est tirée par une corde faisant un angle β avec l'horizontale. Force minimale pour la mettre en mouvement, angle optimal.

Technique équilibre limite, N dépend de F.

Voir le corrigé
  1. Projections : F cos β − T = 0 et N + F sin β − m g = 0, donc N = m g − F sin β.
  2. Adhérence tant que F cos β ≤ fs (m g − F sin β), soit F ≤ fs m g/(cos β + fs sin β).
  3. La force minimale est Fmin(β) = fs m g/(cos β + fs sin β). Le dénominateur est maximal quand sa dérivée −sin β + fs cos β s'annule, tan β = fs.
  4. Valeur : Fmin = fs m g/√(1 + f_s²). Pour fs = 0,5, angle optimal 27°, gain de 11 % par rapport à une traction horizontale.

piège : Prendre N = m g. Tirer vers le haut soulage le contact, c'est tout l'intérêt de l'angle.

Exercice 3. Brique sur un plateau de camion

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une brique repose sur le plateau horizontal d'un camion, coefficients fs = fd = f. Le camion démarre avec l'accélération a. À quelle condition la brique reste-t-elle immobile par rapport au plateau ? Sinon, son mouvement.

Technique référentiel du sol, galiléen, la seule force horizontale sur la brique est T.

Voir le corrigé
  1. Hypothèse adhérence : la brique a l'accélération a du camion, donc T = m a et N = m g.
  2. Validation : m a ≤ f m g, soit a ≤ f g. Avec f = 0,5, limite 4,9 m/s².
  3. Si a > f g : glissement vers l'arrière du plateau, T = f m g vers l'avant. La brique accélère à f g dans le référentiel du sol, moins que le camion, et recule par rapport au plateau avec l'accélération relative a − f g.
  4. Bilan d'énergie sur la brique seule : T travaille positivement, c'est le frottement qui met la brique en mouvement.

piège : Dire que le frottement freine la brique. Il est la seule force qui l'accélère.

Exercice 4. Freinage roues bloquées et bilan d'énergie

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une voiture de masse m roule à v₀ et freine roues bloquées, coefficient fd. Distance d'arrêt, puissance dissipée au contact au début du freinage.

Technique la voiture est un solide en translation qui glisse, Coulomb en glissement.

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  1. Vitesse de glissement égale à la vitesse de la voiture, T = fd m g vers l'arrière. Décélération fd g.
  2. Distance : d = v₀²/(2 fd g). Sur route sèche fd ≈ 0,8, à 90 km/h soit 25 m/s, d ≈ 40 m. Sur route mouillée fd ≈ 0,4, le double.
  3. Puissance des actions de contact : −fd m g v₀, pour 1 200 kg environ −235 kW au premier instant. Elle chauffe les pneus et la route.
  4. Sans blocage, les roues ne glissent pas, la dissipation a lieu dans les freins, et la décélération maximale est fs g, un peu supérieure. Le modèle des roues qui roulent sort du programme, on se contente de la conclusion.

piège : Ajouter la masse dans la distance d'arrêt. Elle s'élimine, comme dans l'angle limite.

Exercice 5. Deux blocs superposés

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Bloc A de masse m posé sur bloc B de masse M, coefficient f entre A et B. B glisse sans frottement sur le sol horizontal. On applique la force horizontale F sur B. Condition pour que A n'avance pas sur B, mouvement dans le cas contraire.

Technique deux hypothèses successives, isoler chaque bloc.

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  1. Hypothèse adhérence : l'ensemble accélère à a = F/(M + m). Sur A seul, la seule force horizontale est TA = m a = m F/(M + m), dirigée vers l'avant.
  2. Validation : m F/(M + m) ≤ f m g, soit F ≤ f g (M + m).
  3. Si F dépasse ce seuil, A glisse vers l'arrière relativement à B. Sur A, TA = f m g vers l'avant, aA = f g. Sur B, la réaction de A vaut −f m g, donc M aB = F − f m g.
  4. Vérification : aB > aA équivaut à F > f g (M + m), cohérent avec le sens de glissement supposé.

piège : Oublier l'action de A sur B. Le frottement est une action mutuelle, il apparaît sur les deux bilans avec des signes opposés.

Exercice 6. Oscillateur amorti par frottement solide

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit e3a

Masse m sur un plan horizontal rugueux, coefficient f, reliée à un ressort de raideur k. On l'écarte de x₀ > 0 et on lâche. Équation du mouvement par phase, décroissance de l'amplitude, condition d'arrêt.

Technique équation différente selon le signe de la vitesse, raccordement aux points de vitesse nulle.

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  1. Notons δ = f m g/k. Pendant une phase où x' < 0, T = +f m g, donc m x'' = −k x + f m g. Le mouvement est une sinusoïde de pulsation √(k/m) centrée en +δ.
  2. Partie de x₀ au repos, la masse atteint x₁ = 2δ − x₀ après une demi-période, avec la vitesse nulle. Si |x₁| ≤ δ elle s'arrête, sinon elle repart dans l'autre sens, centrée en −δ.
  3. À chaque demi-période l'amplitude diminue de 2δ : décroissance arithmétique, pas exponentielle. La période reste 2π √(m/k).
  4. Arrêt au premier point de rebroussement situé dans la bande [−δ, δ], où le ressort ne peut plus vaincre l'adhérence. La position finale n'est en général pas x = 0.

piège : Écrire une seule équation avec −f m g quel que soit le sens. Le signe de T suit celui de −x'.

Exercice 7. Tige pesante et réaction de l'axe

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Tige homogène de masse M, longueur L, articulée sans frottement à une extrémité O sur un axe horizontal. Lâchée sans vitesse à l'angle θ₀ avec la verticale. Équation du mouvement, période des petites oscillations, réaction de l'axe au passage par la verticale.

Technique moment cinétique par rapport à l'axe, énergie, puis résultante cinétique pour l'axe.

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  1. J = M L²/3, G à la distance L/2. Théorème du moment cinétique : (M L²/3) θ'' = −M g (L/2) sin θ, soit θ'' + (3 g/(2 L)) sin θ = 0.
  2. Petits angles : T = 2π √(2 L/(3 g)). Longueur du pendule simple synchrone 2 L/3.
  3. Énergie, liaison parfaite : (1/2)(M L²/3) θ'² = M g (L/2)(1 − cos θ₀) en bas, donc θ'² = 3 g (1 − cos θ₀)/L.
  4. Résultante cinétique en bas : G a l'accélération centripète (L/2) θ'² vers O, verticale ascendante. R − M g = M (L/2) θ'², d'où R = M g [1 + (3/2)(1 − cos θ₀)], jusqu'à 4 M g pour θ₀ = π.

piège : Prendre J = M L²/12, valable pour l'axe médian. Ou appliquer M g à l'extrémité de la tige.

Exercice 8. Poulie massive et masse suspendue

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une poulie de moment d'inertie J et de rayon R tourne sans frottement autour de son axe horizontal. Un fil inextensible enroulé sans glisser porte une masse m. Accélération de la masse, tension du fil.

Technique deux systèmes, un théorème chacun, une relation cinématique.

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  1. Masse : m a = m g − T.
  2. Poulie, moment cinétique par rapport à l'axe : J ω' = T R, moment du poids et de la liaison nuls.
  3. Non glissement du fil : a = R ω'. Donc T = J a/R², puis a = m g/(m + J/R²).
  4. Vérification énergétique : après une descente h, (1/2)(m + J/R²) v² = m g h, ce que redonne l'accélération constante. Si J tend vers 0, a tend vers g et T vers 0.

piège : Écrire T = m g « car le fil est tendu ». La tension vaut m g seulement à l'équilibre ou pour une poulie sans masse.

Exercice 9. Échelle contre un mur

Approfondissement · Type oral Centrale

Échelle homogène de masse M, longueur L, appuyée sur un mur vertical lisse et un sol rugueux de coefficient fs. Angle θ avec le sol. Condition pour qu'elle ne glisse pas, avec et sans une personne de masse m montée à la hauteur fraction x de la longueur.

Technique statique d'un solide, résultante et moment en un point bien choisi.

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  1. Forces : poids M g en G, réaction du mur Nm horizontale, réaction du sol N verticale et T horizontale.
  2. Résultante : N = M g et T = Nm.
  3. Moment au pied de l'échelle, pour éliminer N et T : Nm L sin θ = M g (L/2) cos θ, donc Nm = M g/(2 tan θ).
  4. Adhérence : T ≤ fs N, soit 1/(2 tan θ) ≤ fs, tan θ ≥ 1/(2 fs). Avec une personne en x : N = (M + m) g et Nm = (M/2 + m x) g/tan θ, la condition devient tan θ ≥ (M/2 + m x)/(fs (M + m)). Plus on monte, plus l'échelle risque de glisser.

piège : Prendre le moment en un point quelconque et se retrouver avec trois inconnues. Le pied de l'échelle annule deux forces d'un coup.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire |T| = f N sans avoir établi qu'il y a glissement, ou écrire l'inégalité d'adhérence comme une égalité. Le jury sanctionne la confusion entre les deux régimes.
  2. Orienter T contre le mouvement absolu au lieu de la vitesse de glissement. La brique sur le tapis, la brique sur le camion : le frottement pousse dans le sens du mouvement.
  3. Oublier que N dépend de la situation. Une corde inclinée, une force appuyée, un plan incliné changent N, et la limite d'adhérence avec elle.
  4. Faire intervenir des actions intérieures dans un théorème général, ou au contraire oublier qu'elles ont une puissance dans un système déformable.
  5. Appliquer le théorème du moment cinétique en un point mobile, ou avec le poids appliqué ailleurs qu'en G. Ce dernier point figure explicitement dans les rapports CCINP.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie 1.2 « Lois du frottement solide », complétée par les acquis de MPSI sur les systèmes de points, le solide en rotation autour d'un axe fixe et la statique des fluides, sur lesquels cette partie s'appuie.