Groupes, anneaux et corps

Résumé en cinq points

1Compléments sur les groupes

1.1Sous-groupe engendré par une partie

Soit $(G, \cdot)$ un groupe de neutre $e$. Une intersection quelconque de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$. En revanche une réunion de deux sous-groupes n'en est presque jamais un.

1.2Sous-groupes de $(\Z, +)$

Ce résultat est le modèle de tous les arguments du chapitre. On le retrouve pour les idéaux de $\Z$ et pour ceux de $\K[X]$.

1.3Groupes monogènes et cycliques

Tout groupe monogène est commutatif.

Les générateurs de $(\Z/n\Z, +)$ sont les classes des entiers $k$ premiers avec $n$. Il y en a donc $\varphi(n)$, où $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler définie plus bas.

1.4Ordre d'un élément

Cette équivalence sert à chaque fois qu'on veut conclure d'une égalité $x^n = e$.

Conséquence immédiate : dans un groupe fini de cardinal $n$, on a $x^n = e$ pour tout $x$.

2Compléments sur les anneaux

Dans toute cette partie les anneaux sont unitaires. Le produit d'une famille finie d'anneaux $A_1, \dots, A_p$ est l'ensemble produit muni des lois composante par composante. C'est un anneau, d'unité $(1, \dots, 1)$.

2.1Idéaux

La deuxième condition est plus forte qu'une stabilité par produit interne : $I$ absorbe toute multiplication par un élément de $A$.

Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal de l'anneau de départ. C'est la source principale d'exemples.

2.2Idéaux de $\Z$

La preuve est celle des sous-groupes de $\Z$, car un idéal de $\Z$ est en particulier un sous-groupe.

On obtient la relation de Bézout : il existe des entiers $u_1, \dots, u_n$ tels que $$d = u_1 a_1 + \dots + u_n a_n.$$

En particulier les $a_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe une combinaison à coefficients entiers de ces $a_i$ égale à 1.

3Les anneaux KXF142FXK

Soit $n \geqslant 1$. La relation de congruence modulo $n$ est compatible avec l'addition et la multiplication, ce qui munit l'ensemble quotient $\Z/n\Z$ d'une structure d'anneau commutatif à $n$ éléments.

3.1Inversibles

3.2Théorème chinois

3.3Indicatrice d'Euler

Le théorème chinois donne ce résultat, car les inversibles d'un produit d'anneaux sont les couples d'inversibles.

En décomposant $n$ en facteurs premiers, on obtient $$\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right),$$ le produit portant sur les nombres premiers $p$ divisant $n$.

3.4Théorème d'Euler

C'est le théorème sur l'ordre et le cardinal, appliqué au groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/n\Z$, qui a $\varphi(n)$ éléments et qui est commutatif.

4Les anneaux KXF227FXK

Ici $\K$ est un sous-corps de $\C$, en pratique $\Q$, $\R$ ou $\C$.

4.1Idéaux

La preuve suit le même schéma que pour $\Z$, avec la division euclidienne des polynômes et le degré à la place de la valeur absolue : dans un idéal non nul on prend un polynôme non nul de degré minimal.

La relation de Bézout suit : $D$ s'écrit comme combinaison des $P_i$ à coefficients polynomiaux. Les $P_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si une telle combinaison vaut 1.

4.2Irréductibles

Tout polynôme non constant s'écrit comme produit d'une constante, son coefficient dominant, et d'un produit de polynômes irréductibles unitaires. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

On l'obtient en regroupant, dans la factorisation complexe d'un polynôme réel, les racines complexes conjuguées deux à deux.

5Algèbres

Exemples à connaître :

• $\K[X]$ ;
• l'ensemble $\mathcal{L}(E)$ des endomorphismes d'un $\K$-espace vectoriel $E$ ;
• l'ensemble $\mathcal{M}_n(\K)$ ;
• l'ensemble $\mathcal{F}(X, \K)$ des fonctions d'un ensemble $X$ dans $\K$.

Tout le chapitre sur la réduction en découle.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Déterminer les sous-groupes de $(\Z, +)$ et en déduire les idéaux de $\Z$.
2. Montrer que $x^n = e$ équivaut à « l'ordre de $x$ divise $n$ », et l'appliquer.
3. Démontrer, dans un groupe fini commutatif, que l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe.
4. Caractériser les inversibles de $\Z/n\Z$ et en déduire que $\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
5. Énoncer et utiliser le théorème chinois pour résoudre un système de congruences.
6. Calculer $\varphi(n)$ à partir de la décomposition en facteurs premiers, et appliquer le théorème d'Euler à un calcul de reste.
7. Montrer que les idéaux de $\K[X]$ sont principaux et en déduire Bézout polynomial.
8. Donner la liste des irréductibles de $\C[X]$ et de $\R[X]$, et factoriser un polynôme concret dans les deux.

Les résultats à connaître

• Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe. Le sous-groupe engendré par une partie A est le plus petit sous-groupe contenant A, formé des produits finis d'éléments de A et de leurs inverses. Exigible avec démonstration.
• Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, n ∈ N, avec unicité de n. Exigible avec démonstration.
• Les générateurs de (Z/nZ, +) sont les classes des entiers premiers avec n. Exigible.
• Tout groupe monogène infini est isomorphe à (Z, +), tout groupe monogène fini de cardinal n est isomorphe à (Z/nZ, +). Exigible avec démonstration.
• Ordre d'un élément x d'ordre fini d : pour n ∈ Z, xⁿ = e si et seulement si d divise n. Exigible avec démonstration.
• Dans un groupe fini, l'ordre de tout élément divise le cardinal du groupe. Démonstration exigible seulement dans le cas commutatif, résultat admis en général.
• Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal. L'idéal engendré par x est xA. Dans un anneau intègre, a divise b si et seulement si bA ⊂ aA. Exigibles.
• Les idéaux de Z sont les nZ, PGCD défini par a₁Z + … + a_kZ = dZ, relation de Bézout. Exigibles avec démonstration.
• La classe de k est inversible dans Z/nZ si et seulement si k ∧ n = 1. Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Exigibles avec démonstration.
• Théorème chinois : si m ∧ n = 1, Z/mnZ est isomorphe comme anneau à Z/mZ × Z/nZ. Exigible avec démonstration, extension à plusieurs facteurs.
• φ(mn) = φ(m)φ(n) si m ∧ n = 1, φ(p^k) = p^k − p^k−1, formule produit. Exigibles avec démonstration.
• Théorème d'Euler : a^φ(n) ≡ 1 [n] si a ∧ n = 1. Petit théorème de Fermat. Exigibles avec démonstration.
• Les idéaux de K[X] sont les PK[X], PGCD unitaire par les idéaux, Bézout polynomial. Exigibles avec démonstration.
• Existence et unicité de la décomposition en irréductibles unitaires. Exigible. Irréductibles de C[X] et de R[X]. Exigibles, d'Alembert-Gauss admis.
• P ↦ P(u) est un morphisme d'algèbres de K[X] dans L(E). Exigible.
• Hors programme : théorème de Lagrange non commutatif avec démonstration, sous-groupes distingués et groupes quotients, théorème de Cauchy, structure des groupes abéliens finis, corps finis autres que F_p.

Clés de démonstration

Sous-groupes de Z. Si H ≠ {0}, H contient un entier strictement positif, on prend le plus petit, n. Pour h ∈ H, la division euclidienne h = qn + r donne r = h − qn ∈ H avec 0 ≤ r < n, donc r = 0. Astuce : plus petit élément puis division euclidienne, c'est le schéma que l'on reproduit pour les idéaux de Z et de K[X] avec le degré à la place de la valeur absolue.

Ordre et divisibilité. L'application n ↦ xⁿ est un morphisme de (Z, +) dans G. Son noyau est un sous-groupe de Z, donc de la forme dZ, et son image est ⟨x⟩. Alors xⁿ = e équivaut à n ∈ dZ. Astuce : ne jamais raisonner à la main sur les puissances, passer par le noyau d'un morphisme.

Groupe monogène fini isomorphe à Z/nZ. Le morphisme k ↦ x^k est surjectif sur G = ⟨x⟩, de noyau nZ où n est l'ordre de x. L'application de Z/nZ dans G qui à la classe de k associe x^k est bien définie, car k ≡ k' [n] donne x^k = x^k', c'est un morphisme injectif et surjectif. Astuce : la bonne définition vient exactement de la caractérisation du noyau.

Ordre divise cardinal, cas commutatif. Soit G commutatif de cardinal n et x ∈ G. La translation g ↦ xg est une bijection de G. Le produit de tous les éléments de G est donc égal au produit des xg, qui vaut xⁿ fois le produit des g par commutativité. En simplifiant, xⁿ = e, donc l'ordre de x divise n. Astuce : le produit de tous les éléments est un invariant, et la commutativité sert à regrouper les x.

Inversibles de Z/nZ. Si k ∧ n = 1, Bézout donne uk + vn = 1, donc la classe de u inverse celle de k. Si uk ≡ 1 [n], alors uk − 1 est multiple de n et tout diviseur commun de k et n divise 1. Astuce : Bézout dans un sens, divisibilité brute dans l'autre.

Théorème chinois. L'application qui à la classe de x modulo mn associe ses classes modulo m et n est un morphisme d'anneaux bien défini. Son noyau est nul, car un entier divisible par m et n premiers entre eux est divisible par mn, par le lemme de Gauss. Les deux anneaux ont mn éléments, donc l'injection est une bijection. Astuce : injectivité par le noyau, surjectivité par les cardinaux.

Théorème d'Euler. Le groupe des inversibles de Z/nZ est commutatif de cardinal φ(n). Pour a ∧ n = 1, la classe de a y appartient, et son ordre divise φ(n), donc a^φ(n) ≡ 1. Astuce : c'est le théorème d'ordre appliqué au bon groupe.

Unicité de la décomposition en irréductibles. Si un irréductible P divise AB et ne divise pas A, alors P ∧ A = 1 car les seuls diviseurs unitaires de P sont 1 et P normalisé, et le lemme de Gauss donne P divise B. Deux décompositions se comparent alors facteur par facteur. Astuce : l'irréductibilité donne « premier avec » et Gauss fait le reste.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. 2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de Z, puisque 2 + 3 = 5 n'y est pas. Une réunion de deux sous-groupes n'est un sous-groupe que si l'un contient l'autre.
2. Z/2Z × Z/2Z a quatre éléments, tous d'ordre 1 ou 2. Il n'est pas cyclique, et il montre que la réciproque du théorème d'ordre est fausse : le cardinal 4 n'est l'ordre d'aucun élément.
3. U_n est cyclique, engendré par e^2iπ/n, et ses générateurs sont les e^2ikπ/n avec k ∧ n = 1, appelés racines primitives. Il y en a φ(n).
4. 2Z est un idéal de Z mais pas un sous-anneau, il ne contient pas 1. Z est un sous-anneau de Q mais pas un idéal, puisque (1/2) × 1 ∉ Z.
5. Z/4Z et Z/2Z × Z/2Z ont même cardinal et ne sont pas isomorphes. L'hypothèse m ∧ n = 1 du théorème chinois n'est pas décorative.
6. Dans Z/6Z, 2 × 3 = 0. Un anneau Z/nZ avec n composé possède des diviseurs de zéro, il n'est même pas intègre.
7. X⁴ + 4 n'a pas de racine rationnelle et vaut (X² − 2X + 2)(X² + 2X + 2) dans Q[X]. L'absence de racine ne prouve l'irréductibilité qu'en degré 2 ou 3.
8. φ(4) = 2 alors que φ(2)φ(2) = 1. La multiplicativité de φ exige des facteurs premiers entre eux.
9. Dans S₅, le produit de la transposition (1 2) et du cycle (3 4 5), qui commutent, est d'ordre 6, le PPCM. Dans S₃, aucun élément n'est d'ordre 6, donc S₃ n'est pas cyclique.
10. (Q, +) n'est pas monogène : si Q était engendré par a/b, alors a/(2b) serait un multiple entier de a/b, ce qui est faux pour a ≠ 0.

Techniques du chapitre

Technique 1 : identifier un sous-groupe engendré. Mini-exercice : dans (Z, +), le sous-groupe engendré par 4 et 6 est 4Z + 6Z, un sous-groupe de Z, donc de la forme dZ. Il contient 2 = 6 − 4 et est contenu dans 2Z, donc c'est 2Z. En général ⟨a, b⟩ = (a ∧ b)Z.

Technique 2 : calculer un ordre. Mini-exercice : ordre de la classe de 2 dans le groupe des inversibles de Z/7Z. On calcule 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 ≡ 1. L'ordre est 3, et il divise bien φ(7) = 6.

Technique 3 : inverser par l'algorithme d'Euclide. Mini-exercice : inverse de 7 dans Z/30Z. On écrit 30 = 4 × 7 + 2 et 7 = 3 × 2 + 1, puis on remonte : 1 = 7 − 3 × 2 = 7 − 3(30 − 4 × 7) = 13 × 7 − 3 × 30. L'inverse de 7 est 13. Contrôle : 91 = 3 × 30 + 1.

Technique 4 : réduire un exposant par Euler. Mini-exercice : reste de 7¹⁰⁰ modulo 12. On a 7 ∧ 12 = 1 et φ(12) = 4. Comme 100 = 4 × 25, 7¹⁰⁰ ≡ 1 [12]. On remarque que 7² = 49 ≡ 1 déjà, l'ordre de 7 est 2 et non 4.

Technique 5 : résoudre un système de congruences. Mini-exercice : x ≡ 1 [4] et x ≡ 2 [7]. Bézout : 2 × 4 − 1 × 7 = 1. On pose x = 1 × (−7) + 2 × 8 = 9. Contrôle : 9 = 2 × 4 + 1 et 9 = 7 + 2. Les solutions sont les x ≡ 9 [28].

Technique 6 : reconnaître un idéal pour obtenir un générateur. Mini-exercice : I = {P ∈ K[X] : P(1) = P(2) = 0}. C'est le noyau du morphisme d'anneaux P ↦ (P(1), P(2)) de K[X] dans K², donc un idéal, donc de la forme DK[X]. Comme D divise (X − 1)(X − 2) et admet 1 et 2 pour racines, D = (X − 1)(X − 2).

Technique 7 : factoriser en irréductibles sur R via C. Mini-exercice : X⁴ + 1. Ses racines complexes sont les e^{i(π/4 + kπ/2)}. On regroupe les conjuguées : (X² − √2 X + 1)(X² + √2 X + 1), et on vérifie en développant (X² + 1)² − 2X².

Exercices classiques corrigés

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Erreurs fréquentes