Le cours

Résumé en cinq points

En dimension finie, dérivabilité, classe $C^k$ et intégrale se lisent coordonnée par coordonnée dans une base fixe, et ne dépendent pas de la norme choisie.
Les opérations linéaires, bilinéaires et multilinéaires se dérivent avec la formule du produit, sans oublier que l'ordre des arguments compte.
Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour une fonction vectorielle. Le contre-exemple est le cercle parcouru une fois.
Ce qui les remplace est l'inégalité des accroissements finis, conséquence directe de l'inégalité $\norm{\int f} \leqslant \int \norm{f}$ .
Trois formules de Taylor : reste intégral pour une égalité exacte avec $f$ de classe $C^{n+1}$ , inégalité de Taylor-Lagrange pour une majoration globale, Taylor-Young pour un développement local avec $f$ de classe $C^n$ .

Pourquoi ce chapitre

Tout le programme d'analyse de première année portait sur des fonctions à valeurs réelles. En deuxième année, les objets deviennent vectoriels :

une solution d'un système différentiel est une fonction de $\R$ dans $\R^n$ ;
une trajectoire est une fonction de $\R$ dans le plan ;
une famille de matrices dépendant du temps est une fonction de $\R$ dans $\mathcal{M}_n(\R)$ .

Ce chapitre étend donc la dérivation et l'intégration à ce cadre. Presque tout passe, car en dimension finie tout se lit sur les coordonnées. Les théorèmes reposant sur l'ordre de $\R$ ne passent pas : ni le théorème de Rolle, ni l'égalité des accroissements finis, ni l'égalité de Taylor-Lagrange. Ce qui les remplace est l'inégalité des accroissements finis, obtenue par l'intégrale. Ce chapitre est le socle des chapitres sur les équations différentielles et sur le calcul différentiel.

Dans tout ce chapitre, $I$ est un intervalle de $\R$ non réduit à un point, et $E$ est un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension finie. Les fonctions considérées vont de $I$ dans $E$ .

1Dérivabilité

1.1Définition

Définition 1.1Fonction dérivable en un point

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $E$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ admet une limite quand $h$ tend vers $0$ , avec $h \neq 0$ et $a + h \in I$ . Cette limite est notée $f'(a)$ .

Propriété 1.2Caractérisation par le développement limité à l'ordre 1

Soit $v \in E$ . Alors $f$ est dérivable en $a$ de dérivée $v$ si et seulement si $f(a+h) = f(a) + h\,v + o(h)$ quand $h \to 0$ , où le petit $o$ est relatif à la norme.

Propriété 1.3Dérivable implique continue

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .

Attention

La réciproque est fausse, comme dans le cas réel.

On définit de même la dérivabilité à droite et à gauche. Si $a$ est intérieur à $I$ , $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle l'est à droite et à gauche avec la même valeur.

1.2Lecture en coordonnées

Théorème 1.4Dérivation en coordonnées

Hypothèses

$(e_1, \dots, e_p)$ est une base fixe de $E$ ;
$f = f_1 e_1 + \dots + f_p e_p$ , les $f_i$ étant des fonctions de $I$ dans $\R$ .

Alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si chaque $f_i$ l'est, et dans ce cas $f'(a) = f_1'(a)\,e_1 + \dots + f_p'(a)\,e_p.$

Comme toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, la dérivabilité ne dépend pas de la norme choisie, et elle se teste coordonnée par coordonnée.

Attention

La base doit être fixe. Une base dépendant du temps, comme la base mobile en coordonnées polaires, demande d'appliquer la règle sur les produits.

1.3Interprétation cinématique

Si $f$ décrit la position d'un point au cours du temps :

$f'(a)$ est le vecteur vitesse à l'instant $a$ , et sa norme est la vitesse scalaire ;
si $f'(a) \neq 0$ , le point est régulier et la droite passant par $f(a)$ et dirigée par $f'(a)$ est la tangente à la trajectoire ;
si $f'(a) = 0$ , le point est stationnaire et cette droite n'est pas définie ainsi.

L'étude systématique des courbes paramétrées du plan, avec branches infinies et points singuliers, n'est pas un objectif du programme de MP.

2Opérations sur les fonctions dérivables

Propriété 2.1Opérations

Hypothèses

$f$ et $g$ sont dérivables sur $I$ ;
$\lambda$ et $\mu$ sont des réels.

Alors :

$\lambda f + \mu g$ est dérivable, de dérivée $\lambda f' + \mu g'$ ;
si $L$ est linéaire de $E$ dans $F$ , $L \circ f$ est dérivable, de dérivée $L \circ f'$ ;
si $\varphi$ est une fonction réelle dérivable d'un intervalle $J$ dans $I$ , $f \circ \varphi$ est dérivable, de dérivée $\varphi'(t)\,f'(\varphi(t))$ .

En dimension finie, toute application linéaire est continue : il n'y a aucune hypothèse supplémentaire pour $L$ .

Propriété 2.2Application bilinéaire

Hypothèses

$B$ est bilinéaire de $E \times F$ dans $G$ ;
$f$ est dérivable à valeurs dans $E$ et $g$ dérivable à valeurs dans $F$ .

Alors $t \mapsto B(f(t), g(t))$ est dérivable, de dérivée $B(f'(t), g(t)) + B(f(t), g'(t)).$

Attention

L'ordre des arguments compte, car $B$ n'est pas forcément symétrique.

Propriété 2.3Application multilinéaire

Pour une application multilinéaire $M$ , la dérivée de $t \mapsto M(f_1(t), \dots, f_p(t))$ est la somme des $p$ termes où l'on dérive une seule composante à la fois.

Exemple 2.4Deux cas particuliers

Produit scalaire sur un espace euclidien : la dérivée de $t \mapsto \langle f(t), g(t)\rangle$ est $\langle f', g\rangle + \langle f, g'\rangle$ .
Déterminant de $n$ fonctions vectorielles : la dérivée est la somme des $n$ déterminants obtenus en dérivant une seule colonne.

Propriété 2.5Fonction de norme constante

Hypothèses

$E$ est euclidien, de norme associée au produit scalaire ;
$f$ est dérivable sur $I$ et $\norm{f(t)}$ est constante.

Alors $\langle f(t), f'(t)\rangle = 0$ pour tout $t$ .

Démonstration

On dérive $\langle f, f \rangle = \norm{f}^2$ , qui est constante : $2\langle f, f'\rangle = 0$ .

Cinématiquement, un mobile qui reste sur une sphère a une vitesse orthogonale au rayon.

Définition 2.6Classe $C^k$

$f$ est de classe $C^k$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable et si sa dérivée $k$ -ième est continue. En coordonnées, $f$ est de classe $C^k$ si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base fixe l'est.

Toutes les opérations ci-dessus conservent la classe $C^k$ , et les formules se dérivent à nouveau.

3Ce qui ne se généralise pas

Les énoncés de première année qui reposent sur la relation d'ordre de $\R$ deviennent faux pour une fonction à valeurs vectorielles.

Exemple 3.1Contre-exemple central

Sur $[0, 2\pi]$ , soit $f(t) = (\cos t, \sin t)$ , à valeurs dans $\R^2$ . On a $f(0) = f(2\pi)$ , mais $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ est de norme $1$ , donc ne s'annule jamais.

Le théorème de Rolle est donc faux. L'égalité des accroissements finis aussi, puisqu'aucun instant $c$ ne vérifie $f(2\pi) - f(0) = 2\pi\,f'(c)$ .

Attention

Il n'existe pas d'égalité de Taylor-Lagrange vectorielle avec un point intermédiaire. Seules les versions en inégalité survivent, et elles se démontrent par l'intégrale, pas par un argument d'extremum.

4Intégration sur un segment

4.1Définition et propriétés

Définition 4.1Intégrale d'une fonction vectorielle

Soit $f$ continue par morceaux de $[a, b]$ dans $E$ . Son intégrale s'obtient en décomposant $f$ dans une base fixe et en intégrant chaque coordonnée. Le résultat, un vecteur de $E$ , ne dépend pas de la base choisie. On le note $\int_a^b f(t)\,\dd t$ .

Propriété 4.2Linéarité, Chasles, image par une application linéaire

L'intégrale est linéaire et la relation de Chasles vaut.
Si $L$ est linéaire de $E$ dans $F$ , alors $\int_a^b L(f(t))\,\dd t = L\!\left(\int_a^b f(t)\,\dd t\right)$ .

Ce dernier point sert à échanger une intégrale et une trace, ou une intégrale et une coordonnée.

Théorème 4.3Inégalité triangulaire intégrale

Hypothèses

$f$ est continue par morceaux de $[a, b]$ dans $E$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\norm{\int_a^b f(t)\,\dd t} \leqslant \int_a^b \norm{f(t)}\,\dd t.$

Attention

L'inégalité suppose $a \leqslant b$ : vérifier l'ordre des bornes. La notion de croissance de l'intégrale n'a aucun sens ici, puisque $E$ n'est pas ordonné. Il n'y a que l'inégalité sur les normes.

Théorème 4.4Sommes de Riemann

Hypothèse : $f$ est continue sur $[a, b]$ .

Alors, pour la subdivision régulière, quand $n \to +\infty$ : $\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \longrightarrow \int_a^b f(t)\,\dd t.$

La somme avec $k$ de $1$ à $n$ (point de droite) converge vers la même limite.

4.2Primitive et accroissements finis

Théorème 4.5Primitive d'une fonction continue

Hypothèses

$f$ est continue sur $I$ ;
$a \in I$ .

Alors $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\dd t$ est de classe $C^1$ sur $I$ , de dérivée $f$ .

Il se démontre coordonnée par coordonnée.

Théorème 4.6Inégalité des accroissements finis

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur un segment $[a, b]$ ;
il existe $M$ tel que $\norm{f'(t)} \leqslant M$ pour tout $t \in [a, b]$ .

Alors $\norm{f(b) - f(a)} \leqslant M(b - a)$ .

Démonstration

$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(t)\,\dd t$ . On applique l'inégalité triangulaire intégrale, puis la majoration de $\norm{f'}$ .

Pour $a$ et $b$ quelconques dans un intervalle où $\norm{f'} \leqslant M$ , on obtient $\norm{f(b) - f(a)} \leqslant M\abs{b - a}$ (échanger les rôles de $a$ et $b$ si besoin).

À retenir

L'inégalité des accroissements finis remplace l'égalité des accroissements finis : elle majore les écarts et montre qu'une fonction est lipschitzienne.

5Formules de Taylor

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $E$ et $a \in I$ . Les trois formules répondent à trois questions : une égalité exacte, une majoration globale, un comportement local.

5.1Taylor avec reste intégral

Théorème 5.1Formule de Taylor avec reste intégral

Hypothèses

$f$ est de classe $C^{n+1}$ sur $I$ ;
$a$ et $x$ sont dans $I$ .

Alors $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dd t.$

Démonstration

Récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , c'est $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\,\dd t$ . Supposons la formule vraie à l'ordre $n-1$ pour toute fonction de classe $C^n$ . Une intégration par parties donne $\begin{aligned} &\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\,\dd t\\ &= \Big[(x-t)^n f^{(n)}(t)\Big]_a^x\\ &\quad + n\int_a^x (x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)\,\dd t. \end{aligned}$ Le crochet vaut $-(x-a)^n f^{(n)}(a)$ . En divisant par $n!$ : $\begin{aligned} \int_a^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t)\,\dd t &= \frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\\ &\quad + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dd t. \end{aligned}$ Reporter dans la formule à l'ordre $n-1$ donne celle à l'ordre $n$ .

C'est une égalité exacte, sans point intermédiaire inconnu. C'est la formule la plus forte des trois, et les deux autres en découlent.

5.2Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 5.2Inégalité de Taylor-Lagrange

Hypothèses

$f$ est de classe $C^{n+1}$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ ;
$\norm{f^{(n+1)}(t)} \leqslant M$ sur ce segment.

Alors $\norm{f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)} \leqslant M\frac{\abs{x-a}^{n+1}}{(n+1)!}.$

Démonstration

Par le reste intégral et l'inégalité triangulaire, en traitant les deux cas. Si $a \leqslant x$ , le reste est majoré en norme par $\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}M\,\dd t = M\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}.$ Si $x < a$ , on écrit le reste comme une intégrale sur $[x, a]$ avec des bornes ordonnées : sa norme est majorée par $\int_x^a \frac{\abs{x-t}^n}{n!}M\,\dd t = M\frac{\abs{x-a}^{n+1}}{(n+1)!}.$

Le programme énonce cette inégalité à l'ordre $n$ pour une fonction de classe $C^n$ . C'est la même formule décalée d'un cran :

la somme s'arrête à $k = n-1$ ;
on majore $\norm{f^{(n)}}$ par $M$ ;
le facteur est $\abs{x-a}^n/n!$ .

Les deux écritures sont équivalentes : il suffit de savoir quelle dérivée est majorée. Cette majoration est valable sur tout un segment, donc globale. Elle sert à démontrer des développements en série, par exemple ceux de l'exponentielle, du sinus et du cosinus.

5.3Taylor-Young

Théorème 5.3Formule de Taylor-Young

Hypothèses

$f$ est de classe $C^n$ sur $I$ ;
$a \in I$ .

Alors, quand $x \to a$ , $f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) + o\big((x-a)^n\big),$ le petit $o$ étant entendu au sens de la norme.

C'est un résultat local, valable au voisinage de $a$ seulement, sans information quantitative sur le reste. Il donne l'existence des développements limités.

Attention

Ne pas confondre les trois formules : Taylor-Young est local et qualitatif, Taylor-Lagrange est global et quantitatif, le reste intégral est exact.

Exemple 5.4Fonction $C^\infty$ à développements nuls

La fonction réelle $f$ définie par $f(x) = \e^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ est de classe $C^\infty$ , tous ses développements de Taylor en $0$ sont nuls, et pourtant elle n'est pas nulle.

Méthodes

MéthodeDériver une fonction vectorielle

Travailler coordonnée par coordonnée dans une base fixe.
Ou reconnaître une application linéaire, bilinéaire ou multilinéaire et appliquer la formule du produit.

MéthodeMontrer qu'une fonction reste sur une sphère

Dériver $\langle f, f\rangle$ .
Montrer que cette dérivée est nulle.

MéthodeMajorer un écart $\norm{f(b) - f(a)}$

Utiliser l'inégalité des accroissements finis plutôt que de chercher un point intermédiaire, qui n'existe pas en général.
Majorer $\norm{f'}$ sur le segment.

MéthodeMajorer un reste de Taylor

Choisir l'inégalité de Taylor-Lagrange pour une majoration valable sur un segment.
Choisir le reste intégral si une égalité exacte est nécessaire.

MéthodePasser une intégrale à travers une opération linéaire

Identifier l'opération : coordonnée, trace, transposition, produit par une matrice fixe.
Utiliser que l'intégrale commute avec toute application linéaire.

MéthodeMajorer la norme d'une intégrale

Appliquer l'inégalité triangulaire intégrale.
Vérifier que les bornes sont dans le bon ordre.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle et la caractérisation par le développement limité à l'ordre 1.
Démontrer que la dérivabilité se teste coordonnée par coordonnée dans une base fixe.
Établir la formule de dérivation d'une application bilinéaire, et l'appliquer au produit scalaire et au déterminant.
Montrer qu'une fonction de norme constante a sa dérivée orthogonale à elle-même.
Donner le contre-exemple qui montre que le théorème de Rolle est faux pour une fonction à valeurs dans $\R^2$ .
Démontrer l'inégalité triangulaire pour l'intégrale d'une fonction vectorielle, et en déduire l'inégalité des accroissements finis.
Écrire la formule de Taylor avec reste intégral et en déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Énoncer précisément les hypothèses des trois formules de Taylor et dire laquelle est locale.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Dérivabilité en a : définition par le taux d'accroissement, et caractérisation f(a + h) = f(a) + h·v + o(h). Exigible.
Une fonction dérivable en a est continue en a. Exigible avec démonstration.
Dérivabilité à droite et à gauche. Pour a intérieur à I, f est dérivable en a si et seulement si elle l'est des deux côtés avec la même dérivée. Exigible.
Dans une base fixe, f est dérivable si et seulement si chaque coordonnée l'est, et f' se calcule coordonnée par coordonnée. Même énoncé pour la classe C^k. Exigible avec démonstration.
Une fonction dérivable sur un intervalle de dérivée nulle est constante. Exigible, par les coordonnées.
Dérivée de λf + μg, de L ∘ f avec L linéaire, de B(f, g) avec B bilinéaire, de M(f₁, …, f_p) avec M multilinéaire, de f ∘ φ avec φ réelle dérivable. Exigibles, avec démonstration pour le cas bilinéaire.
Stabilité de la classe C^k par ces opérations. Exigible.
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, indépendante de la base. Linéarité, Chasles, et l'intégrale de L ∘ f égale à L appliquée à l'intégrale de f. Exigibles.
Inégalité triangulaire ‖∫_a^b f‖ ≤ ∫_a^b ‖f‖ pour a ≤ b. Exigible, démonstration par les sommes de Riemann.
Sommes de Riemann à pas régulier : convergence vers l'intégrale. Exigible, déduit du cas réel coordonnée par coordonnée.
Si f est continue sur I, x ↦ ∫_a^x f est de classe C¹ de dérivée f. Pour g de classe C¹, g(b) − g(a) = ∫_a^b g'. Exigibles.
Inégalité des accroissements finis pour f de classe C¹ sur un segment. Exigible avec démonstration. L'hypothèse C¹ est celle du programme.
Formule de Taylor avec reste intégral pour f de classe Cⁿ⁺¹. Exigible avec démonstration.
Inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n pour f de classe Cⁿ. Exigible avec démonstration.
Formule de Taylor-Young à l'ordre n pour f de classe Cⁿ. Exigible.
Faux dans le cadre vectoriel : Rolle, égalité des accroissements finis, égalité de Taylor-Lagrange. Hors programme : étude systématique des courbes paramétrées, longueur d'un arc.

Clés de démonstration

Lecture en coordonnées. On munit E de la norme infinie associée à la base, équivalente à la norme donnée. La coordonnée i du taux d'accroissement moins v_i est majorée en valeur absolue par la norme infinie de l'écart vectoriel, elle-même majorée par C fois sa norme. Réciproquement, l'écart vectoriel est majoré par C fois le maximum des écarts coordonnés. Astuce : équivalence des normes en dimension finie.

Formule du produit bilinéaire. On écrit B(f(a + h), g(a + h)) − B(f(a), g(a)) = B(f(a + h) − f(a), g(a + h)) + B(f(a), g(a + h) − g(a)). On divise par h. En dimension finie, ‖B(x, y)‖ ≤ K‖x‖‖y‖, donc B est continue, et g est continue en a. Astuce : ajouter et retrancher le terme croisé, exactement comme pour le produit de deux fonctions réelles.

Inégalité triangulaire intégrale. Pour f continue, la somme de Riemann R_n(f) vérifie ‖R_n(f)‖ ≤ R_n(‖f‖) par l'inégalité triangulaire finie. Le membre de gauche tend vers ‖∫f‖ par continuité de la norme, le membre de droite vers ∫‖f‖ car ‖f‖ est réelle et continue. Pour f continue par morceaux, on découpe selon une subdivision adaptée et on applique Chasles. Astuce : inégalité finie, puis passage à la limite.

Inégalité des accroissements finis. On a f(b) − f(a) = ∫_a^b f', résultat qui se vérifie sur chaque coordonnée. On prend la norme, on applique l'inégalité triangulaire, puis ‖f'‖ ≤ M. Astuce : l'intégrale remplace le point intermédiaire.

Taylor avec reste intégral. Récurrence sur n. Le rang 0 est f(x) − f(a) = ∫_a^x f'. Pour passer de n − 1 à n, on intègre par parties le reste en dérivant fⁿ et en primitivant (x − t)ⁿ⁻¹/(n − 1)! en −(x − t)ⁿ/n!. Astuce : l'intégration par parties d'un produit réel par vectoriel se fait coordonnée par coordonnée.

Taylor-Lagrange. On majore le reste intégral. Si a ≤ x, ∫_a^x (x − t)ⁿ/n! dt = (x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Si x < a, on renverse d'abord les bornes pour appliquer l'inégalité triangulaire. Astuce : ne jamais écrire l'inégalité triangulaire avec des bornes décroissantes.

Taylor-Young, preuve directe pour n ≥ 1. Comme ∫_a^x (x − t)ⁿ⁻¹/(n − 1)! dt = (x − a)ⁿ/n!, le reste intégral à l'ordre n − 1 donne f(x) − Σ_k=0ⁿ (x − a)^k/k! f^k(a) = ∫_a^x (x − t)ⁿ⁻¹/(n − 1)! (fⁿ(t) − fⁿ(a)) dt. Sa norme est majorée par |x − a|ⁿ/n! fois le sup de ‖fⁿ(t) − fⁿ(a)‖ entre a et x, qui tend vers 0 par continuité de fⁿ. Astuce : soustraire la valeur en a sous l'intégrale.

Exemples et contre-exemples à connaître

f(t) = (cos t, sin t) sur [0, 2π]. f(0) = f(2π) et ‖f'‖ = 1, donc Rolle et l'égalité des accroissements finis tombent. C'est aussi e^it, vue comme fonction de R dans C, qui est un R-espace de dimension 2.
La même fonction donne ‖∫_0^2π f‖ = 0 alors que ∫_0^2π ‖f‖ = 2π. L'inégalité triangulaire peut être très stricte.
f(t) = (1, 1 + t) ne s'annule pas et est de classe C^∞. Pour la norme infinie, ‖f(t)‖ = max(1, 1 + t) près de 0, qui n'est pas dérivable en 0. Pour la norme euclidienne, ‖f‖ est dérivable. La régularité de ‖f‖ dépend de la norme.
g(t) = (t, |t|) est dérivable à gauche et à droite en 0, avec des dérivées (1, −1) et (1, 1) différentes. Elle n'est pas dérivable en 0.
M(t) = A + tB avec A = [[0, 1], [0, 0]] et B = [[0, 0], [1, 0]]. La dérivée de M² en 0 vaut AB + BA = I, et non 2AB, qui vaut [[2, 0], [0, 0]]. L'ordre des facteurs compte.
h(t) = (t², t³) est de classe C^∞, mais h'(0) = 0 : l'origine est un point stationnaire, et la courbe image y présente un rebroussement. Un paramétrage de classe C^∞ peut donc décrire une courbe non lisse. C'est la condition h' ≠ 0, et non la classe C^∞, qui garantit une tangente bien définie.
φ(x) = x³ sin(1/x), prolongée par φ(0) = 0, vérifie φ(x) = o(x²) mais n'est pas deux fois dérivable en 0, car φ'(x)/x = 3x sin(1/x) − cos(1/x) n'a pas de limite. L'existence d'un développement limité d'ordre n n'entraîne pas n dérivabilités.
Pour H ∈ M_n(R), la dérivée en 0 de t ↦ det(I + tH) vaut tr H. C'est l'exemple type de dérivée d'un déterminant.

Techniques du chapitre

Technique 1 : reconnaître une forme bilinéaire. Mini-exercice : A et B dérivables de I dans M_n(R), φ(t) = tr(A(t)B(t)). L'application (X, Y) ↦ tr(XY) est bilinéaire, donc φ' = tr(A'B) + tr(AB').

Technique 2 : dériver le carré de la norme. Mini-exercice : A ∈ M_n(R) antisymétrique et f dérivable avec f' = Af. On a (‖f‖²)' = 2⟨Af, f⟩. Or ⟨Ax, x⟩ = xᵀAᵀx = −xᵀAx = −⟨Ax, x⟩, donc ⟨Ax, x⟩ = 0. La norme de f est constante.

Technique 3 : multilinéarité du déterminant. Mini-exercice : dérivée en 0 de det(I + tH). Les colonnes valent e_j + tH_j, où H_j est la colonne j de H. La dérivée en 0 est Σ_j det(e₁, …, H_j, …, e_n) = Σ_j h_jj = tr H.

Technique 4 : inégalité des accroissements finis pour une constante de Lipschitz. Mini-exercice : f(t) = (cos t, sin t, t). On a ‖f'(t)‖₂ = √2 pour tout t. Sur le segment d'extrémités s et t, on obtient ‖f(s) − f(t)‖₂ ≤ √2 |s − t|.

Technique 5 : faire passer l'intégrale à travers une application linéaire. Mini-exercice : M continue de [0, 1] dans M_n(R) à valeurs antisymétriques. La transposition est linéaire, donc la transposée de ∫M est ∫Mᵀ = −∫M. L'intégrale est antisymétrique.

Technique 6 : inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction complexe. Mini-exercice : g(t) = e^it sur le segment d'extrémités 0 et x. On a |g''| = 1, donc |e^ix − 1 − ix| ≤ x²/2. Aucun point c ne donne une égalité, mais la majoration suffit.

Technique 7 : sommes de Riemann vectorielles. Mini-exercice : limite de (1/n) Σ_k=0ⁿ⁻¹ (cos(πk/n), sin(πk/n)). C'est une somme de Riemann de t ↦ (cos πt, sin πt) sur [0, 1], continue. La limite vaut (0, 2/π).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Dérivée de l'inverse d'une matrice

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit M dérivable de I dans GL_n(R). Montrer que t ↦ M(t)⁻¹ est dérivable et calculer sa dérivée.

Technique obtenir la dérivabilité par la comatrice, puis dériver l'identité M·M⁻¹ = I.

Voir le corrigé

On a M⁻¹ = (1/det M)·com(M)ᵀ. Les coefficients de com(M) et det M sont des polynômes en les coefficients de M, donc dérivables. De plus det M ne s'annule pas. Posons N = M⁻¹. Chaque coefficient de N est dérivable, donc N l'est.
Le produit matriciel est bilinéaire. En dérivant M(t)N(t) = I, on obtient M'N + MN' = 0.
On multiplie à gauche par M⁻¹ : N' = −M⁻¹M'M⁻¹.

piège : Écrire −M'M⁻², ou dériver M⁻¹ avant d'avoir justifié sa dérivabilité.

Exercice 2. Direction d'une fonction vectorielle

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

E est euclidien et f est de classe C¹ de I dans E, sans jamais s'annuler. Montrer que ‖f‖ est de classe C¹, calculer sa dérivée, puis montrer que f/‖f‖ est constante si et seulement si f'(t) est colinéaire à f(t) pour tout t.

Technique composer ⟨f, f⟩ par la racine, puis dériver un produit réel par vectoriel.

Voir le corrigé

⟨f, f⟩ est C¹ et strictement positive. La racine est C^∞ sur ]0, +∞[, donc ‖f‖ est C¹ de dérivée ⟨f, f'⟩/‖f‖.
Posons u = f/‖f‖, de norme 1. On a u' = f'/‖f‖ − (⟨f, f'⟩/‖f‖²)·f/‖f‖ = (f' − ⟨u, f'⟩u)/‖f‖.
Le vecteur f' − ⟨u, f'⟩u est la composante de f' orthogonale à u. Il est nul si et seulement si f' est colinéaire à u, donc à f.
Sur un intervalle, u' = 0 équivaut à u constante. D'où l'équivalence.

piège : Oublier l'hypothèse de non-annulation. f(t) = (t, 0) sur [−1, 1] a f' colinéaire à f, mais f/‖f‖ n'est pas définie en 0 et change de signe.

Exercice 3. Une inégalité avec point intermédiaire

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

E est euclidien et f est continue de [a, b] dans E, dérivable sur ]a, b[. Montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[ tel que ‖f(b) − f(a)‖ ≤ (b − a)‖f'(c)‖.

Technique composer par une forme linéaire bien choisie pour se ramener au cas réel.

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Posons w = f(b) − f(a). Si w = 0, tout c convient.
Sinon, φ(t) = ⟨f(t), w⟩ est réelle, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, de dérivée ⟨f'(t), w⟩.
L'égalité des accroissements finis réelle donne c avec φ(b) − φ(a) = (b − a)⟨f'(c), w⟩. Le membre de gauche vaut ‖w‖².
Par Cauchy-Schwarz, ‖w‖² ≤ (b − a)‖f'(c)‖‖w‖. On divise par ‖w‖ > 0.

piège : Croire obtenir une égalité vectorielle. Le point c dépend de w, et le cercle montre que l'égalité est impossible.

Exercice 4. Dérivée d'un déterminant

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit A dérivable de I dans M_n(R). Montrer que (det A)' = tr(com(A)ᵀA'). En déduire que si A(t) est inversible, (det A)'/det A = tr(A⁻¹A').

Technique multilinéarité selon les colonnes, puis développement selon une colonne.

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det A = det(C₁, …, C_n), forme multilinéaire des colonnes. Donc (det A)' = Σ_j det(C₁, …, C_j', …, C_n).
On développe le j-ième terme selon la colonne j : il vaut Σ_i a'_ij·com(A)_ij, car les cofacteurs de la colonne j ne dépendent pas de cette colonne.
En sommant, (det A)' = Σ_i,j com(A)_ij·a'_ij = tr(com(A)ᵀA').
Si A(t) est inversible, com(A)ᵀ = det(A)·A⁻¹, d'où le résultat.

piège : Écrire (det A)' = det(A'), ou dériver toutes les colonnes dans un même déterminant.

Exercice 5. Séries de l'exponentielle imaginaire

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Montrer que pour tout réel x, e^ix = Σ_k≥0 (ix)^k/k!, puis en déduire les développements en série de cos x et sin x.

Technique inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction à valeurs dans C, puis parties réelle et imaginaire.

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g(t) = e^it est C^∞ de R dans C, avec g^k(t) = i^k e^it, de module 1.
Taylor-Lagrange sur le segment d'extrémités 0 et x donne |e^ix − Σ_k=0ⁿ (ix)^k/k!| ≤ |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Ce majorant tend vers 0 quand n tend vers +∞, par croissance comparée. La série converge donc vers e^ix.
Comme |Re z| ≤ |z|, les parties réelles des sommes partielles tendent vers cos x. Or Re((ix)^k) vaut 0 pour k impair et (−1)^p x^2p pour k = 2p. Donc cos x = Σ_p (−1)^p x^2p/(2p)!. Même raisonnement avec la partie imaginaire pour sin x.

piège : Écrire un reste de Lagrange iⁿ⁺¹e^icxⁿ⁺¹/(n + 1)!. Cette égalité est fausse en général pour une fonction complexe.

Exercice 6. Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

E est euclidien et f est continue de [a, b] dans E, avec a < b et ‖∫_a^b f‖ = ∫_a^b ‖f‖. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire u tel que f(t) = ‖f(t)‖u pour tout t. En déduire, pour g de classe C¹, que ∫_a^b ‖g'‖ = ‖g(b) − g(a)‖ si et seulement si g' garde une direction et un sens fixes là où elle ne s'annule pas.

Technique faire entrer une forme linéaire sous l'intégrale, puis utiliser l'intégrale nulle d'une fonction continue positive.

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Si v = ∫f est nul, alors ∫‖f‖ = 0, fonction continue positive, donc f = 0 et tout u convient.
Sinon, posons u = v/‖v‖. Alors ‖v‖ = ⟨u, v⟩ = ∫⟨u, f(t)⟩ dt, car x ↦ ⟨u, x⟩ est linéaire.
Donc ∫(‖f(t)‖ − ⟨u, f(t)⟩) dt = 0. L'intégrande est continue et positive par Cauchy-Schwarz, elle est donc nulle.
L'égalité ⟨u, f(t)⟩ = ‖f(t)‖‖u‖ est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz avec produit positif : f(t) = ‖f(t)‖u.
On applique ce résultat à f = g', avec ∫g' = g(b) − g(a). La réciproque est immédiate, car si g' = ‖g'‖u alors ∫g' = (∫‖g'‖)u.

piège : Oublier la norme euclidienne. Pour la norme infinie, f(t) = (1, t) sur [0, 1] vérifie ‖∫f‖∞ = 1 = ∫‖f‖∞ sans direction fixe.

Exercice 7. Vitesse de convergence des sommes de Riemann

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit f de classe C¹ de [a, b] dans E, et M₁ le maximum de ‖f'‖. Avec h = (b − a)/n et x_k = a + kh, montrer que ‖∫_a^b f − hΣ_k=0ⁿ⁻¹ f(x_k)‖ ≤ M₁(b − a)²/(2n).

Technique Chasles, puis inégalité des accroissements finis sur chaque petit intervalle.

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M₁ existe car ‖f'‖ est continue sur un segment.
Par Chasles, l'écart vaut Σ_k ∫_{x_k}^x_k+1 (f(t) − f(x_k)) dt.
Pour t ∈ [x_k, x_k+1], l'inégalité des accroissements finis donne ‖f(t) − f(x_k)‖ ≤ M₁(t − x_k).
Les bornes étant dans l'ordre, chaque terme a une norme au plus M₁∫_{x_k}^x_k+1 (t − x_k) dt = M₁h²/2.
En sommant les n termes, on obtient nM₁h²/2 = M₁(b − a)²/(2n).

piège : Chercher un point intermédiaire par intervalle. L'égalité de la moyenne n'existe pas pour une fonction vectorielle.

Exercice 8. Inégalité de Landau

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soit f de classe C² de R dans E, avec ‖f‖ ≤ M₀ et ‖f''‖ ≤ M₂ sur R. Montrer que ‖f'‖ ≤ √(2M₀M₂) sur R.

Technique Taylor-Lagrange des deux côtés, puis optimisation en h.

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Fixons x et h > 0. Taylor-Lagrange à l'ordre 2 donne f(x + h) = f(x) + hf'(x) + R₁ et f(x − h) = f(x) − hf'(x) + R₂, avec ‖R₁‖ et ‖R₂‖ majorés par M₂h²/2.
En soustrayant, 2hf'(x) = f(x + h) − f(x − h) − R₁ + R₂. Donc ‖f'(x)‖ ≤ M₀/h + M₂h/2, pour tout h > 0.
Si M₂ = 0, on fait tendre h vers +∞ et f' = 0.
Si M₀ = 0, f est nulle, donc f' = 0 et l'inégalité est vraie.
Sinon (M₀ > 0 et M₂ > 0), on choisit h = √(2M₀/M₂) > 0. Chacun des deux termes vaut √(M₀M₂/2), d'où ‖f'(x)‖ ≤ √(2M₀M₂).

piège : N'utiliser qu'un seul côté, ce qui donne seulement 2√(M₀M₂). Ou appliquer Taylor-Lagrange en un point intermédiaire.

Exercice 9. Dérivée ayant une limite à l'infini

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f de classe C¹ de [0, +∞[ dans E, avec f'(t) → ℓ quand t → +∞. Montrer que f(t)/t → ℓ. La réciproque est-elle vraie ?

Technique se ramener à une dérivée de limite nulle, puis inégalité des accroissements finis sur un segment [A, t].

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Posons g(t) = f(t) − tℓ. On a g' = f' − ℓ, de limite nulle.
Soit ε > 0 et A tel que ‖g'‖ ≤ ε sur [A, +∞[. Pour t ≥ A, ‖g(t) − g(A)‖ ≤ ε(t − A).
Donc ‖g(t)‖/t ≤ ‖g(A)‖/t + ε, et ce majorant vaut au plus 2ε pour t assez grand.
Ainsi g(t)/t → 0, c'est-à-dire f(t)/t → ℓ.
La réciproque est fausse. Avec f(t) = (sin(t²), 0), f(t)/t tend vers 0 mais f'(t) = (2t cos(t²), 0) n'a pas de limite.

piège : Écrire f(t) − f(0) = tf'(c_t), égalité qui n'existe pas pour une fonction vectorielle.

Erreurs fréquentes

Invoquer Rolle, l'égalité des accroissements finis ou un reste de Lagrange avec point intermédiaire pour une fonction vectorielle ou complexe. On passe par l'intégrale, ou par une forme linéaire pour revenir au réel.
Dériver M² en 2MM' ou M⁻¹ en −M'M⁻². La formule bilinéaire garde l'ordre des facteurs : (M²)' = M'M + MM' et (M⁻¹)' = −M⁻¹M'M⁻¹.
Écrire une inégalité entre vecteurs, parler de croissance de l'intégrale, ou appliquer ‖∫_a^x f‖ ≤ ∫_a^x ‖f‖ avec x < a sans renverser les bornes.
Dériver des coordonnées dans une base mobile comme si elle était fixe. La base doit être fixe, sinon on dérive aussi les vecteurs de base par la formule du produit.
Confondre les trois formules de Taylor : utiliser Taylor-Young pour une majoration globale, ou oublier la classe exigée, Cⁿ⁺¹ pour le reste intégral jusqu'à l'ordre n, Cⁿ pour Taylor-Young à l'ordre n.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, section « Fonctions vectorielles ». Elle couvre la dérivation des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans un espace normé de dimension finie, les opérations sur ces fonctions, l'intégration sur un segment, l'inégalité des accroissements finis et les trois formules de Taylor. L'interprétation cinématique, donc le point de vue des arcs paramétrés, est traitée dans la section sur la dérivabilité.

Fonctions vectorielles et compléments d'analyse

Résumé en cinq points

1Dérivabilité

1.1Définition

1.2Lecture en coordonnées

1.3Interprétation cinématique

2Opérations sur les fonctions dérivables

3Ce qui ne se généralise pas

4Intégration sur un segment

4.1Définition et propriétés

4.2Primitive et accroissements finis

5Formules de Taylor

5.1Taylor avec reste intégral

5.2Inégalité de Taylor-Lagrange

5.3Taylor-Young

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Dérivée de l'inverse d'une matrice

Exercice 2. Direction d'une fonction vectorielle

Exercice 3. Une inégalité avec point intermédiaire

Exercice 4. Dérivée d'un déterminant

Exercice 5. Séries de l'exponentielle imaginaire

Exercice 6. Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire

Exercice 7. Vitesse de convergence des sommes de Riemann

Exercice 8. Inégalité de Landau

Exercice 9. Dérivée ayant une limite à l'infini

Erreurs fréquentes

Au concours