Le cours

Résumé en cinq points

$z = x + \ii y$ est unique, ce qui autorise l'identification, et $\abs{z}^2 = z\overline{z}$ transforme tout module en produit.
$\e^{\ii(t+t')} = \e^{\ii t}\e^{\ii t'}$ contient toute la trigonométrie. Euler sert à linéariser, Moivre à développer.
La forme $r\e^{\ii\theta}$ est faite pour les produits et les puissances, l'angle moitié pour les sommes d'exponentielles.
Dans $\C$ , tout complexe non nul a deux racines carrées et $n$ racines $n$ -ièmes, et toute équation du second degré a deux solutions.
En géométrie, un quotient réel signifie alignement, un quotient imaginaire pur signifie orthogonalité, et $z \mapsto az + b$ est une similitude directe pour $a$ non nul.

Pourquoi ce chapitre

Les complexes servent trois fois.

En algèbre, $\C$ est le cadre où toute équation polynomiale a des solutions, ce qui structure le chapitre sur les polynômes et la réduction des matrices en seconde année.
En trigonométrie, l'exponentielle complexe remplace une dizaine de formules à retenir par une seule règle de calcul, $\e^{\ii(a+b)} = \e^{\ii a}\e^{\ii b}$ .
En géométrie plane, les transformations usuelles deviennent des opérations algébriques.

À cela s'ajoutent les applications en physique, avec l'impédance complexe en régime sinusoïdal.

1Le corps des complexes

1.1Forme algébrique

Définition 1.1Forme algébrique

Tout nombre complexe s'écrit de manière unique $z = x + \ii y$ avec $x$ et $y$ réels, où $\ii$ vérifie $\ii^2 = -1$ .

$x = \operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$ ;
$y = \Im(z)$ est la partie imaginaire de $z$ .

$z$ est réel si $\Im(z) = 0$ , imaginaire pur si $\operatorname{Re}(z) = 0$ .

Attention

$\Im(z)$ est un réel, pas un imaginaire : $\Im(2 + 3\ii) = 3$ .

Propriété 1.2Identification

Soient $z$ et $z'$ deux complexes. Alors $z = z'$ si et seulement si $\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z')$ et $\Im(z) = \Im(z')$ .

Cette règle vient de l'unicité de l'écriture algébrique.

Propriété 1.3Structure de corps

Les opérations se font comme dans $\R$ , en remplaçant $\ii^2$ par $-1$ . Tout complexe non nul a un inverse, obtenu en multipliant haut et bas par le conjugué : $\frac{1}{x + \ii y} = \frac{x - \ii y}{x^2 + y^2}.$ On dit que $\C$ est un corps.

Attention

$\C$ n'est pas ordonné : écrire $z \leqslant z'$ pour des complexes quelconques n'a pas de sens.

Les calculs faits dans $\R$ s'étendent tels quels :

la somme géométrique des $z^k$ ;
la factorisation de $a^n - b^n$ par $a - b$ ;
la formule du binôme pour $(a + b)^n$ .

1.2Conjugaison

Définition 1.4Conjugué

Le conjugué de $z = x + \ii y$ est $\overline{z} = x - \ii y$ .

Propriété 1.5Compatibilité avec les opérations

Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ : $\begin{aligned} \overline{z + z'} &= \overline{z} + \overline{z'},\\ \overline{z z'} &= \overline{z}\,\overline{z'},\\ \overline{z^n} &= \overline{z}^{\,n},\\ \overline{\overline{z}} &= z. \end{aligned}$ Si de plus $z' \neq 0$ , alors $\overline{z / z'} = \overline{z} / \overline{z'}$ .

Propriété 1.6Parties réelle et imaginaire

$\begin{aligned} \operatorname{Re}(z) &= \frac{z + \overline{z}}{2},\\ \Im(z) &= \frac{z - \overline{z}}{2\ii}. \end{aligned}$ Ainsi $z$ est réel si et seulement si $\overline{z} = z$ , et imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} = -z$ .

1.3Le plan complexe

On identifie $\C$ au plan muni d'un repère orthonormé direct.

Définition 1.7Image et affixe

Au complexe $z = x + \ii y$ correspond le point $M$ de coordonnées $(x, y)$ , appelé image de $z$ ; $z$ est l'affixe de $M$ . L'affixe d'un vecteur se définit de même.

L'affixe du vecteur allant du point d'affixe $a$ au point d'affixe $b$ est $b - a$ .
La conjugaison correspond à la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

2Module

2.1Définition et propriétés

Définition 2.1Module

Le module de $z = x + \ii y$ est $\abs{z} = \sqrt{x^2 + y^2}.$ C'est un réel positif, nul si et seulement si $z$ est nul. Il coïncide avec la valeur absolue quand $z$ est réel.

Propriété 2.2Formule centrale

Pour tout complexe $z$ , $\abs{z}^2 = z\,\overline{z}$ .

Elle transforme un module, qui contient une racine carrée, en un produit.

Propriété 2.3Module et opérations

Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :

$\abs{z z'} = \abs{z}\,\abs{z'}$ et $\abs{z^n} = \abs{z}^n$ ;
si $z' \neq 0$ , $\abs{z / z'} = \abs{z} / \abs{z'}$ ;
$\abs{\overline{z}} = \abs{z}$ .

Interprétation géométrique :

$\abs{z}$ est la distance de l'origine à l'image de $z$ ;
$\abs{z - z'}$ est la distance entre les images de $z$ et $z'$ ;
le cercle de centre $a$ et de rayon $r$ est l'ensemble des $z$ tels que $\abs{z - a} = r$ , le disque fermé correspondant est donné par l'inégalité large $\abs{z - a} \leqslant r$ .

2.2Inégalité triangulaire

Théorème 2.4Inégalité triangulaire

Pour tous complexes $z$ et $z'$ : $\abs{z + z'} \leqslant \abs{z} + \abs{z'}.$ Il y a égalité si et seulement si l'un des deux est nul, ou bien $z' = \lambda z$ avec $\lambda$ réel positif. Autrement dit, les deux vecteurs sont de même sens.

Propriété 2.5Seconde inégalité triangulaire

Pour tous complexes $z$ et $z'$ : $\big|\,\abs{z} - \abs{z'}\,\big| \leqslant \abs{z - z'}.$

3Nombres de module 1 et trigonométrie

3.1Le cercle U

Définition 3.1Le cercle $\mathbb{U}$

L'ensemble des complexes de module 1 se note $\mathbb{U}$ . C'est le cercle trigonométrique.

Propriété 3.2

$\mathbb{U}$ est stable par produit, par passage à l'inverse et par conjugaison. Pour $z \in \mathbb{U}$ , l'inverse de $z$ est son conjugué : $1/z = \overline{z}$ .

Tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $\cos t + \ii \sin t$ pour un réel $t$ , déterminé modulo $2\pi$ .

3.2L'exponentielle imaginaire

Définition 3.3Exponentielle imaginaire

Pour $t$ réel, on pose $\e^{\ii t} = \cos t + \ii \sin t$ .

Propriété 3.4Propriété fondamentale

Pour tous réels $t$ et $t'$ : $\e^{\ii(t + t')} = \e^{\ii t}\,\e^{\ii t'}.$ On en déduit que l'inverse de $\e^{\ii t}$ est $\e^{-\ii t}$ , qui est aussi son conjugué.

Exemple 3.5Valeurs à connaître

$\e^{\ii 0} = 1, \quad \e^{\ii\pi/2} = \ii,$ $\e^{\ii\pi} = -1, \quad \e^{2\ii\pi} = 1.$

Toutes les formules d'addition se retrouvent en développant $\e^{\ii(a+b)} = \e^{\ii a}\e^{\ii b}$ et en identifiant parties réelle et imaginaire.

Propriété 3.6Formules d'addition et de duplication

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\begin{aligned} \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b,\\ \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b. \end{aligned}$ On change $b$ en $-b$ pour les formules avec une différence, et on prend $b = a$ pour la duplication : $\begin{aligned} \cos(2a) &= \cos^2 a - \sin^2 a\\ &= 2\cos^2 a - 1\\ &= 1 - 2\sin^2 a,\\ \sin(2a) &= 2 \sin a \cos a. \end{aligned}$

Les formules de produit, du type $\cos a \cos b$ , $\sin a \cos b$ , $\sin a \sin b$ , s'obtiennent en additionnant ou en soustrayant les formules d'addition. Elles servent à linéariser.

3.3Tangente

Définition 3.7Tangente

Pour $t \not\equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ , $\tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$ .

Propriété 3.8

La fonction $\tan$ est impaire, $\pi$ -périodique, dérivable sur son domaine, de dérivée $\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}.$

Propriété 3.9Tangente d'une somme (exigible)

Hypothèses

$\tan a$ , $\tan b$ et $\tan(a + b)$ existent ;
$\tan a \tan b \neq 1$ .

Alors $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}.$

3.4Euler et Moivre

Propriété 3.10Formules d'Euler

Pour tout réel $t$ : $\begin{aligned} \cos t &= \frac{\e^{\ii t} + \e^{-\ii t}}{2},\\ \sin t &= \frac{\e^{\ii t} - \e^{-\ii t}}{2\ii}. \end{aligned}$

Propriété 3.11Formule de Moivre

Pour tout réel $t$ et tout entier $n$ : $\begin{aligned} (\cos t + \ii \sin t)^n\\ = \cos(nt) + \ii \sin(nt), \end{aligned}$ ce qui s'écrit $(\e^{\ii t})^n = \e^{\ii nt}$ .

Deux usages symétriques : Euler sert à linéariser, Moivre à développer.

MéthodeLinéariser

Exprimer $\cos^n t$ ou $\sin^n t$ par Euler.
Développer avec le binôme.
Regrouper les termes conjugués en $\cos(kt)$ et $\sin(kt)$ .

C'est ce qu'il faut faire avant d'intégrer une puissance de cosinus.

Exemple 3.12Linéarisation de $\cos^3 t$

$\begin{aligned} \cos^3 t &= \frac{(\e^{\ii t} + \e^{-\ii t})^3}{8}\\ &= \frac{\cos 3t + 3\cos t}{4}. \end{aligned}$

MéthodeDévelopper

Écrire $\cos(nt) + \ii\sin(nt) = (\cos t + \ii \sin t)^n$ (Moivre).
Développer avec le binôme.
Identifier parties réelle et imaginaire.

Exemple 3.13Développement de $\cos 3t$

$\cos(3t) = 4\cos^3 t - 3\cos t.$

3.5Sommes trigonométriques

MéthodeSomme des $\cos(kt)$ et des $\sin(kt)$

Calculer la somme géométrique $\sum_{k=0}^{n} \e^{\ii kt}$ , de raison $\e^{\ii t}$ .
En prendre partie réelle et partie imaginaire.
Traiter à part le cas $\e^{\ii t} = 1$ , c'est-à-dire $t$ multiple de $2\pi$ .

Attention

Si $t \in 2\pi\Z$ , la raison vaut 1 et la formule de la somme géométrique ne s'applique pas : la somme des cosinus vaut $n + 1$ .

4Forme trigonométrique

4.1Module et argument

Définition 4.1Argument

Tout complexe non nul $z$ s'écrit $z = r\e^{\ii\theta}$ avec $r = \abs{z} > 0$ et $\theta$ réel. Le réel $\theta$ est un argument de $z$ , défini modulo $2\pi$ .

Attention

Le nombre 0 n'a pas d'argument. Pour un $z$ fixé non nul, l'ensemble de ses arguments est une classe de congruence modulo $2\pi$ : on dit « un » argument.

Propriété 4.2Règles de calcul

Pour tous complexes $z$ et $z'$ non nuls, modulo $2\pi$ : $\begin{aligned} \arg(z z') &\equiv \arg z + \arg z',\\ \arg(1/z) &\equiv -\arg z,\\ \arg(\overline{z}) &\equiv -\arg z. \end{aligned}$

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique consiste à factoriser par le module puis à reconnaître un cosinus et un sinus.

4.2Technique de l'angle moitié

On factorise par l'exponentielle de l'angle moitié.

Propriété 4.3Angle moitié

Pour tout réel $t$ : $\begin{aligned} 1 + \e^{\ii t} &= 2\cos\tfrac{t}{2}\,\e^{\ii t/2},\\ 1 - \e^{\ii t} &= -2\ii\sin\tfrac{t}{2}\,\e^{\ii t/2}. \end{aligned}$ Plus généralement, pour tous réels $a$ et $b$ : $\begin{aligned} \e^{\ii a} + \e^{\ii b} &= 2\cos\tfrac{a - b}{2}\,\e^{\ii\frac{a+b}{2}},\\ \e^{\ii a} - \e^{\ii b} &= 2\ii\sin\tfrac{a - b}{2}\,\e^{\ii\frac{a+b}{2}}. \end{aligned}$

Attention

Le facteur réel obtenu peut être négatif. Dans ce cas ce n'est pas encore la forme trigonométrique, et il faut ajouter $\pi$ à l'argument.

En prenant parties réelle et imaginaire de ces deux identités, on retrouve les formules de factorisation.

Exemple 4.4Formules de factorisation

$\begin{aligned} \cos p + \cos q &= 2\cos\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2},\\ \sin p - \sin q &= 2\cos\tfrac{p+q}{2}\sin\tfrac{p-q}{2}. \end{aligned}$

4.3Transformation de a cos t + b sin t

Propriété 4.5Amplitude et phase

Hypothèses

$a$ et $b$ sont des réels non tous les deux nuls ;
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Alors il existe un réel $\varphi$ tel que $\cos\varphi = a/A$ et $\sin\varphi = b/A$ , et pour tout réel $t$ : $a\cos t + b\sin t = A\cos(t - \varphi).$

$A$ est l'amplitude et $\varphi$ la phase. C'est exactement la mise sous forme trigonométrique du complexe $a + \ii b$ .

5Équations algébriques

5.1Factorisation par une racine

Propriété 5.1Factorisation par une racine

Hypothèses

$P$ est une fonction polynomiale à coefficients complexes, de degré $d \geqslant 1$ ;
$a$ est un complexe tel que $P(a) = 0$ .

Alors il existe une fonction polynomiale $Q$ , de degré $d - 1$ , telle que $P(z) = (z - a)\,Q(z)$ pour tout $z \in \C$ .

Démonstration

$P(z) = P(z) - P(a)$ est une combinaison des $z^k - a^k$ , chacun divisible par $z - a$ .

Exemple 5.2

$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1).$

5.2Racines carrées d'un complexe

Propriété 5.3Racines carrées

Tout complexe non nul $Z$ admet exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.

MéthodeCalculer les racines carrées de $Z$

Forme trigonométrique : si $Z = r\e^{\ii\theta}$ , les racines sont $\pm\sqrt{r}\,\e^{\ii\theta/2}$ .
Forme algébrique : on cherche $z = a + \ii b$ avec $Z = x + \ii y$ . On résout $\begin{cases} a^2 - b^2 = x\\ 2ab = y\\ a^2 + b^2 = \sqrt{x^2 + y^2} \end{cases}$ La première et la troisième équations donnent $a^2$ et $b^2$ , donc $a$ et $b$ au signe près, et le signe de $y$ fixe le signe relatif.

Attention

La notation $\sqrt{Z}$ est interdite pour un complexe qui n'est pas un réel positif : il n'y a pas de choix canonique entre les deux racines.

5.3Résolution

Théorème 5.4Équation du second degré

Hypothèses

$a$ , $b$ , $c$ sont des complexes, avec $a \neq 0$ ;
$\Delta = b^2 - 4ac$ et $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$ .

Alors les solutions de $az^2 + bz + c = 0$ sont $z_1 = \frac{-b + \delta}{2a}, \qquad z_2 = \frac{-b - \delta}{2a}.$

Il y a toujours deux solutions, confondues si $\Delta = 0$ . Contrairement au cas réel, il n'y a pas de discussion sur le signe de $\Delta$ .

Propriété 5.5Somme et produit des racines

Avec les notations du théorème, $z_1 + z_2 = -b/a$ et $z_1 z_2 = c/a$ . Réciproquement, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de $X^2 - sX + p = 0$ .

Remarque

Quand $a$ , $b$ , $c$ sont réels et $\Delta < 0$ , les deux racines sont complexes conjuguées.

6Racines n-ièmes

6.1Racines de l'unité

Définition 6.1Racines $n$ -ièmes de l'unité

Pour $n \geqslant 1$ , on note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des complexes $z$ tels que $z^n = 1$ .

Propriété 6.2Description de $\mathbb{U}_n$

Pour $n \geqslant 1$ , $\mathbb{U}_n$ contient exactement $n$ éléments : $\mathbb{U}_n = \big\{ \e^{2\ii k\pi/n},\ k \in \intent{0}{n-1} \big\}.$ Leurs images forment un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité, l'un des sommets étant 1.

Les cinq racines cinquièmes de l’unité, sommets réguliers du cercle unité.

Pour $n=5$ , poser $\omega=\e^{2\ii\pi/5}$ : les racines sont $1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4$ . Multiplier par $\omega$ fait tourner chaque sommet d’un angle $2\pi/5$ et permute les cinq sommets.

Propriété 6.3Somme des racines de l'unité

Pour $n \geqslant 2$ , la somme des éléments de $\mathbb{U}_n$ est nulle.

Démonstration

C'est une somme géométrique de raison $\omega = \e^{2\ii\pi/n}$ , différente de 1 car $n \geqslant 2$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 0.$

Exemple 6.4Le cas $n = 3$

Les racines cubiques de l'unité sont $1$ , $j$ et $\overline{j}$ , où $j = \e^{2\ii\pi/3}$ . On a $1 + j + j^2 = 0, \qquad j^2 = \overline{j}.$

6.2Racines n-ièmes d'un complexe

Théorème 6.5Racines $n$ -ièmes d'un complexe

Hypothèses

$n \in \N^*$ ;
$a = r\e^{\ii\theta}$ avec $r > 0$ et $\theta \in \R$ .

Alors l'équation $z^n = a$ a exactement $n$ solutions : $z_k = r^{1/n}\,\e^{\ii(\theta + 2k\pi)/n}, \quad k \in \intent{0}{n-1}.$

Elles s'obtiennent aussi en multipliant une solution particulière par toutes les racines $n$ -ièmes de l'unité.

7Exponentielle complexe

Définition 7.1Exponentielle complexe

Pour $z$ complexe, on pose $\exp(z) = \e^{\operatorname{Re}(z)}\,\e^{\ii\Im(z)}.$

Ainsi le module de $\e^z$ est $\e^{\operatorname{Re}(z)}$ et $\Im(z)$ en est un argument. En particulier $\e^z$ n'est jamais nul.

Propriété 7.2Propriété fondamentale

Pour tous complexes $z$ et $z'$ , $\e^{z + z'} = \e^z\,\e^{z'}$ .

Propriété 7.3Injectivité modulo $2\ii\pi$

Pour tous complexes $z$ et $z'$ : $\exp(z) = \exp(z') \iff z - z' \in 2\ii\pi\Z,$ c'est-à-dire $z - z' = 2\ii k\pi$ avec $k$ entier relatif.

L'exponentielle complexe est donc périodique de période $2\ii\pi$ , et n'est pas injective.

Propriété 7.4Résolution de $\exp(z) = a$

Si $a = 0$ , il n'y a pas de solution.
Si $a \neq 0$ , on écrit $a = r\e^{\ii\theta}$ avec $r > 0$ ; les solutions sont $z = \ln r + \ii(\theta + 2k\pi), \quad k \in \Z.$

Le module donne la partie réelle par le logarithme réel, l'argument donne la partie imaginaire modulo $2\pi$ .

8Interprétation géométrique

8.1Angles et distances

Propriété 8.1Module et argument d'un quotient

Hypothèses

$a$ , $b$ , $c$ sont les affixes de points $A$ , $B$ , $C$ ;
$A$ est distinct de $B$ et de $C$ .

Alors :

le module de $\dfrac{c - a}{b - a}$ est le rapport des distances $AC / AB$ ;
un argument de ce quotient est une mesure de l'angle orienté $(\vect{AB}, \vect{AC})$ .

On en déduit deux caractérisations très utilisées.

À retenir

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{c - a}{b - a}$ est réel.
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si ce quotient est imaginaire pur non nul.

8.2Transformations

Théorème 8.2Applications $z \mapsto az + b$

Hypothèses

$a$ et $b$ sont des complexes, avec $a \neq 0$ ;
$f$ est l'application de $\C$ dans $\C$ définie par $f(z) = az + b$ .

Alors :

si $a = 1$ , $f$ est la translation de vecteur d'affixe $b$ ;
si $a \neq 1$ , $f$ admet un unique point fixe $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ , et $f$ est la similitude directe de centre $\omega$ , de rapport $\abs{a}$ et d'angle $\arg(a)$ .

La similitude s'obtient en composant la rotation de centre $\omega$ et d'angle $\arg(a)$ avec l'homothétie de centre $\omega$ et de rapport $\abs{a}$ .

Exemple 8.3Cas particuliers, pour $a \neq 1$

Si $a$ est réel, on obtient une homothétie de centre $\omega$ .
Si $\abs{a} = 1$ , on obtient une rotation de centre $\omega$ .
La multiplication par $\e^{\ii\theta}$ est la rotation de centre l'origine et d'angle $\theta$ .

L'application $z \mapsto \overline{z}$ est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Devant un module, passer au carré et utiliser $\abs{z}^2 = z\overline{z}$ plutôt que les racines carrées.
Pour un produit, un quotient ou une puissance, passer en forme trigonométrique. Pour une somme, rester en forme algébrique ou factoriser par l'angle moitié.
Pour intégrer ou primitiver une puissance de cosinus ou de sinus, linéariser avec Euler.
Pour une somme de cosinus ou de sinus, reconnaître la partie réelle ou imaginaire d'une somme géométrique.
Pour une équation du type $z^n = a$ , forme trigonométrique systématique, puis lister les $n$ solutions.
Pour un problème de géométrie, traduire alignement et orthogonalité par un quotient réel ou imaginaire pur.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer l'inégalité triangulaire et énoncer son cas d'égalité.
Retrouver $\cos(a + b)$ et $\sin(a + b)$ à partir de $\e^{\ii(a+b)} = \e^{\ii a}\e^{\ii b}$ .
Linéariser $\cos^3 t$ ou $\sin^4 t$ , et développer $\cos(3t)$ en fonction de $\cos t$ .
Calculer la somme des $\cos(kt)$ pour $k$ de 0 à $n$ , en discutant le cas $t$ multiple de $2\pi$ .
Factoriser $1 + \e^{\ii t}$ et $\e^{\ii a} + \e^{\ii b}$ par l'angle moitié.
Calculer les racines carrées d'un complexe donné sous forme algébrique, puis résoudre une équation du second degré à coefficients complexes.
Décrire $\mathbb{U}_n$ , prouver que la somme de ses éléments est nulle, et résoudre $z^n = a$ .
Résoudre $\exp(z) = a$ et justifier que $\exp(z) = \exp(z')$ équivaut à $z - z' \in 2\ii\pi\Z$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de l'écriture x + iy avec x, y réels, d'où la règle d'identification. Admise, elle fonde tous les calculs.
Compatibilité de la conjugaison avec somme, produit, quotient et puissance. Exigible, vérification par calcul.
|z|² = z z̄, module d'un produit, d'un quotient, d'une puissance. Exigibles avec démonstration.
Inégalité triangulaire |z + z'| ≤ |z| + |z'|, avec cas d'égalité : l'un des deux est nul ou z' = λz avec λ réel positif. Exigible avec démonstration. Seconde inégalité triangulaire | |z| − |z'| | ≤ |z − z'|. Exigible.
e^{i(t + t')} = e^it e^it'. Exigible, équivalent aux formules d'addition du lycée, qui sont admises.
Formules d'Euler, formule de Moivre. Exigibles, Moivre par récurrence.
Technique de l'angle moitié : factorisation de 1 ± e^it et de e^ip ± e^iq, d'où cos p ± cos q et sin p ± sin q. Exigible.
Forme trigonométrique r e^iθ avec r > 0 pour tout complexe non nul, arguments d'un produit et d'un quotient. Exigible.
Transformation de a cos t + b sin t en A cos(t − φ). Exigible avec démonstration.
Factorisation de P(z) par z − a quand P(a) = 0, pour P fonction polynomiale. Exigible avec démonstration.
Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, résolution de az² + bz + c = 0, somme et produit des racines. Exigibles.
U_n a exactement n éléments, les e^2ikπ/n pour k de 0 à n − 1, et leur somme est nulle pour n ≥ 2. Exigibles avec démonstration. Racines n-ièmes d'un complexe non nul donné sous forme trigonométrique. Exigible.
exp(z) = exp(z') si et seulement si z − z' ∈ 2iπZ, résolution de exp(z) = a. Exigibles avec démonstration.
Interprétation de (c − a)/(b − a), alignement et orthogonalité. Similitudes directes z ↦ az + b. Exigibles.
Hors programme : construction de C, logarithme complexe, étude générale des similitudes, similitudes indirectes.

Clés de démonstration

Inégalité triangulaire. On développe |z + z'|² = |z|² + |z'|² + 2 Re(z z̄'), puis Re(z z̄') ≤ |z z̄'| = |z| |z'|. Égalité si et seulement si z z̄' est un réel positif, ce qui, pour z' ≠ 0, signifie z = λz' avec λ = z z̄'/|z'|² réel positif. Astuce : passer au carré pour faire disparaître la racine, et se souvenir que Re(w) ≤ |w| avec égalité si et seulement si w est réel positif.

Formule de Moivre. Pour n ≥ 0, récurrence à partir de e^{i(t + t')} = e^it e^it'. Pour n < 0, on utilise que l'inverse de e^it est e^−it. Astuce : la formule dit seulement que t ↦ e^it transforme les sommes en produits.

Angle moitié. e^ia + e^ib = e^{i(a + b)/2} (e^{i(a − b)/2} + e^{−i(a − b)/2}) = 2 cos((a − b)/2) e^{i(a + b)/2}. Astuce : factoriser par l'exponentielle de la moyenne des angles, ce qui rend le facteur restant réel par Euler.

Factorisation par une racine. P(z) = P(z) − P(a) = Σ c_k (z^k − a^k), et chaque z^k − a^k est divisible par z − a d'après la factorisation de aⁿ − bⁿ. Astuce : soustraire P(a), qui est nul, pour faire apparaître des différences de puissances.

Description de U_n. On écrit z = r e^iθ avec r > 0. Alors zⁿ = 1 équivaut à rⁿ = 1 et nθ ≡ 0 modulo 2π, donc r = 1 et θ = 2kπ/n avec k entier. Les valeurs k = 0, …, n − 1 donnent n arguments distincts dans [0, 2π[, donc n complexes distincts, et tout autre k redonne l'un d'eux. Astuce : deux conditions, une sur le module, une sur l'argument modulo 2π.

Somme des racines n-ièmes. Avec ω = e^2iπ/n ≠ 1 pour n ≥ 2, la somme des ω^k vaut (1 − ωⁿ)/(1 − ω) = 0. Astuce : c'est une somme géométrique, et l'hypothèse n ≥ 2 sert à avoir ω ≠ 1.

Injectivité de exp modulo 2iπ. Si exp(z) = exp(z'), les modules donnent e^{Re z} = e^{Re z'}, donc Re z = Re z' par injectivité de l'exponentielle réelle. Il reste e^{i Im z} = e^{i Im z'}, donc Im z − Im z' ∈ 2πZ. Astuce : module d'abord, argument ensuite.

Exemples et contre-exemples à connaître

C n'est pas ordonné. Si un ordre compatible existait, i² = −1 serait positif comme tout carré, absurde. Toute inégalité entre complexes non réels est une faute.
Le nombre 0 n'a pas d'argument, et −2 e^iπ/3 n'est pas une forme trigonométrique. La bonne écriture est 2 e^i4π/3.
La notation √Z est interdite pour Z non réel positif. Les deux racines carrées de −1 sont i et −i, sans choix canonique, et la « règle » √(ab) = √a √b conduirait à 1 = √((−1)(−1)) = i × i = −1.
e^it = 1 équivaut à t ∈ 2πZ, pas à t = 0. C'est la source des cas particuliers dans les sommes de cosinus.
|1 + i| = √2 < 2 = |1| + |i|. L'inégalité triangulaire est stricte dès que les deux vecteurs ne sont pas de même sens.
j = e^2iπ/3 vérifie j³ = 1, j̄ = j², 1 + j + j² = 0. Ces trois identités reviennent dans tous les exercices de géométrie du triangle.
z ↦ z̄ n'est pas de la forme az + b. C'est une symétrie axiale, qui renverse les angles orientés, contrairement aux similitudes directes.
Pour t ∈ 2πZ, la somme des cos(kt) pour k de 0 à n vaut n + 1, et la formule générale ne s'applique pas puisque son dénominateur sin(t/2) est nul.

Techniques du chapitre

Technique 1 : module au carré. Mini-exercice : déterminer les z tels que |z − 1| = |z + 1|. En élevant au carré, (z − 1)(z̄ − 1) = (z + 1)(z̄ + 1), soit −z − z̄ = z + z̄, soit Re(z) = 0. C'est l'axe imaginaire, médiatrice de 1 et −1.

Technique 2 : forme trigonométrique pour une puissance. Mini-exercice : (1 + i√3)¹⁰. On a 1 + i√3 = 2 e^iπ/3, donc la puissance vaut 2¹⁰ e^i10π/3 = 1024 e^i4π/3 = −512 − 512 i√3.

Technique 3 : linéariser avec Euler. Mini-exercice : sin³ t = (e^it − e^−it)³/(2i)³ = (e^3it − 3e^it + 3e^−it − e^−3it)/(−8i) = (2i sin 3t − 6i sin t)/(−8i) = (3 sin t − sin 3t)/4.

Technique 4 : angle moitié pour une somme d'exponentielles. Mini-exercice : module et argument de 1 + e^it pour t ∈ ]−π, π[. On a 1 + e^it = 2 cos(t/2) e^it/2 avec cos(t/2) > 0. Donc module 2 cos(t/2) et argument t/2.

Technique 5 : racines carrées sous forme algébrique. Mini-exercice : racines carrées de 3 + 4i. Avec z = a + ib : a² − b² = 3, a² + b² = |3 + 4i| = 5, donc a² = 4, b² = 1. Comme 2ab = 4 > 0, a et b sont de même signe : les racines sont 2 + i et −2 − i.

Technique 6 : résoudre zⁿ = a. Mini-exercice : z³ = −8 = 8 e^iπ. Les solutions sont 2 e^{i(π + 2kπ)/3} pour k = 0, 1, 2, soit 2 e^iπ/3, −2 et 2 e^i5π/3 = 2 e^−iπ/3.

Technique 7 : traduire une propriété géométrique. Mini-exercice : ABC est rectangle en A si et seulement si (c − a)/(b − a) est imaginaire pur non nul. Avec a = 0, b = 2, c = 3i, le quotient vaut 3i/2, donc le triangle est rectangle en A.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Équation du second degré à coefficients complexes

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Résoudre z² − (1 + 3i) z + (−2 + 2i) = 0.

Technique discriminant, racine carrée sous forme algébrique, vérification par somme et produit.

Voir le corrigé

Δ = (1 + 3i)² − 4(−2 + 2i) = 1 + 6i − 9 + 8 − 8i = −2i.
Racine carrée de −2i : a² − b² = 0 et a² + b² = 2 donnent a² = b² = 1, et 2ab = −2 < 0 impose des signes opposés. On prend δ = 1 − i.
Solutions : ((1 + 3i) + (1 − i))/2 = 1 + i et ((1 + 3i) − (1 − i))/2 = 2i.
Contrôle : somme 1 + 3i, produit (1 + i)(2i) = −2 + 2i.

piège : Écrire √Δ, ou discuter le signe de Δ comme dans R. Dans C il y a toujours deux racines carrées et deux solutions, éventuellement confondues.

Exercice 2. Somme de cosinus

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Pour t réel et n entier, calculer Σ de k = 0 à n de cos(kt).

Technique partie réelle d'une somme géométrique, angle moitié, cas particulier.

Voir le corrigé

Si t ∈ 2πZ, chaque cosinus vaut 1 et la somme vaut n + 1.
Sinon e^it ≠ 1 et Σ e^ikt = (1 − e^{i(n + 1)t})/(1 − e^it).
Angle moitié au numérateur et au dénominateur : 1 − e^{i(n + 1)t} = −2i sin((n + 1)t/2) e^{i(n + 1)t/2} et 1 − e^it = −2i sin(t/2) e^it/2. Le quotient vaut (sin((n + 1)t/2)/sin(t/2)) e^int/2.
Partie réelle : Σ cos(kt) = sin((n + 1)t/2) cos(nt/2)/sin(t/2).

piège : Diviser par 1 − e^it sans avoir traité le cas t ∈ 2πZ, ou prendre la partie réelle avant d'avoir simplifié le quotient.

Exercice 3. Un quotient imaginaire pur sur le cercle unité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit z ∈ U avec z ≠ 1. Montrer que (1 + z)/(1 − z) est imaginaire pur, de deux façons.

Technique conjugaison avec z̄ = 1/z, puis angle moitié.

Voir le corrigé

Première méthode. Comme |z| = 1, z̄ = 1/z. Le conjugué du quotient vaut (1 + 1/z)/(1 − 1/z) = (z + 1)/(z − 1), qui est l'opposé du quotient de départ. Un complexe égal à l'opposé de son conjugué est imaginaire pur.
Seconde méthode. On écrit z = e^it avec t ∉ 2πZ. Alors 1 + e^it = 2 cos(t/2) e^it/2 et 1 − e^it = −2i sin(t/2) e^it/2, donc le quotient vaut i cos(t/2)/sin(t/2). C'est bien un imaginaire pur, égal à i/tan(t/2) quand cos(t/2) ≠ 0.

piège : Oublier z ≠ 1 pour que le dénominateur soit non nul, et écrire z̄ = 1/z sans citer |z| = 1.

Exercice 4. Triangle équilatéral et nombre j

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient a, b, c les affixes de trois points distincts A, B, C. Montrer que ABC est équilatéral direct si et seulement si a + jb + j²c = 0. En déduire que ABC est équilatéral si et seulement si a² + b² + c² = ab + bc + ca.

Technique traduire « équilatéral direct » par une rotation d'angle π/3, puis exploiter 1 + j + j² = 0.

Voir le corrigé

ABC est équilatéral direct si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle π/3, soit c − a = e^iπ/3(b − a). Or e^iπ/3 = −j², car j² = e^4iπ/3 et e^iπ = −1.
La condition devient c − a = −j²(b − a), soit c + j²b − a(1 + j²) = 0, soit c + j²b + ja = 0 puisque 1 + j² = −j.
On multiplie par j², avec j³ = 1 : j²c + j⁴b + j³a = j²c + jb + a = 0. C'est la condition annoncée.
Le triangle est équilatéral indirect si et seulement si a + j²b + jc = 0, en échangeant les rôles de j et j². On développe le produit (a + jb + j²c)(a + j²b + jc) = a² + b² + c² + (j + j²)(ab + bc + ca) = a² + b² + c² − (ab + bc + ca). Il est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est.

piège : Confondre direct et indirect, ou se tromper dans e^iπ/3 = −j². Vérifier avec les arguments : 4π/3 − π = π/3.

Exercice 5. Résolution de exp(z) = a

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Résoudre exp(z) = −1 + i√3, puis déterminer les z tels que exp(z) = exp(z̄).

Technique module puis argument, et caractérisation de l'égalité de deux exponentielles.

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−1 + i√3 = 2 e^i2π/3. Avec z = x + iy, on a e^x = 2 et y ≡ 2π/3 modulo 2π. Solutions : z = ln 2 + i(2π/3 + 2kπ), k ∈ Z.
exp(z) = exp(z̄) équivaut à z − z̄ ∈ 2iπZ. Or z − z̄ = 2i Im(z). La condition est Im(z) ∈ πZ.

piège : Écrire z = ln(−1 + i√3) comme s'il existait un logarithme complexe, ou oublier le 2kπ.

Exercice 6. L'équation (z + 1)ⁿ = (z − 1)ⁿ

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Pour n ≥ 2, résoudre dans C l'équation (z + 1)ⁿ = (z − 1)ⁿ.

Technique se ramener à wⁿ = 1 pour un quotient, puis revenir à z par l'angle moitié.

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z = 1 n'est pas solution, car 2ⁿ ≠ 0. Pour z ≠ 1 on pose w = (z + 1)/(z − 1). L'équation devient wⁿ = 1, donc w ∈ U_n.
w = 1 est impossible, car z + 1 = z − 1 n'a pas de solution. Donc w = e^2ikπ/n avec k entre 1 et n − 1.
On inverse : z = (w + 1)/(w − 1). Avec θ = 2kπ/n, l'angle moitié donne (e^iθ + 1)/(e^iθ − 1) = 2 cos(θ/2) e^iθ/2/(2i sin(θ/2) e^iθ/2) = −i cos(kπ/n)/sin(kπ/n).
Les solutions sont les n − 1 imaginaires purs z_k = −i cos(kπ/n)/sin(kπ/n) pour k = 1, …, n − 1. Ils sont deux à deux distincts, car la fonction cos/sin est strictement décroissante sur ]0, π[, et z = 0 apparaît pour k = n/2 quand n est pair.

piège : Annoncer n solutions. L'équation est de degré n − 1 puisque les termes zⁿ se simplifient, et la valeur w = 1 doit être écartée.

Exercice 7. Alignement de z, z² et z³

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Déterminer l'ensemble des complexes z tels que les points d'affixes z, z² et z³ soient alignés.

Technique quotient réel, avec traitement des cas où deux points sont confondus.

Voir le corrigé

Si z = 0 ou z = 1, les trois points sont confondus, donc alignés. Ces deux valeurs conviennent.
Sinon z ≠ z², et l'alignement équivaut à (z³ − z)/(z² − z) réel. Or (z³ − z)/(z² − z) = z(z − 1)(z + 1)/(z(z − 1)) = z + 1.
z + 1 est réel si et seulement si z est réel. Les solutions sont exactement les réels, puisque 0 et 1 sont réels.

piège : Simplifier le quotient sans avoir écarté z = 0 et z = 1, et oublier de réintégrer ces valeurs à la fin.

Exercice 8. Nature d'une similitude

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit f définie par f(z) = (1 + i) z − i. Déterminer la nature géométrique de f, puis celle de f ∘ f.

Technique point fixe, module et argument du coefficient.

Voir le corrigé

a = 1 + i = √2 e^iπ/4 ≠ 1. Point fixe : ω = (1 + i)ω − i donne ω(1 − 1 − i) = −i, soit ω = 1.
f(z) − 1 = (1 + i)(z − 1). Donc f est la similitude directe de centre 1, de rapport √2 et d'angle π/4.
f ∘ f(z) − 1 = (1 + i)²(z − 1) = 2i(z − 1). C'est la similitude de centre 1, de rapport 2 et d'angle π/2, composée de l'homothétie de rapport 2 et du quart de tour, tous deux de centre 1.

piège : Calculer le point fixe avec une erreur de signe, puis conclure sur un centre faux. Vérifier que f(ω) = ω.

Exercice 9. Produit des 1 − ω^k

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit n ≥ 2 et ω = e^2iπ/n. Montrer que le produit des (1 − ω^k) pour k de 1 à n − 1 vaut n. En déduire le produit des sin(kπ/n) pour k de 1 à n − 1.

Technique factorisation itérée de zⁿ − 1 par ses racines, puis module et angle moitié.

Voir le corrigé

Les ω^k pour k de 0 à n − 1 sont n racines distinctes de P(z) = zⁿ − 1. En factorisant successivement par z − ω^k, on obtient P(z) = (z − 1)(z − ω) … (z − ωⁿ⁻¹) Q(z) avec Q constante. On admet que Q vaut 1, par comparaison des coefficients de zⁿ, identification justifiée au chapitre sur les polynômes.
D'autre part zⁿ − 1 = (z − 1)(1 + z + … + zⁿ⁻¹). Pour z ≠ 1, on simplifie par z − 1 : 1 + z + … + zⁿ⁻¹ = produit des (z − ω^k) pour k de 1 à n − 1. Ces deux fonctions polynomiales coïncident en une infinité de points, donc partout, en particulier en z = 1. Cette identification est elle aussi admise ici et démontrée au chapitre sur les polynômes.
En z = 1 : n = produit des (1 − ω^k), k de 1 à n − 1.
Module : |1 − ω^k| = |−2i sin(kπ/n) e^ikπ/n| = 2 sin(kπ/n), car sin(kπ/n) > 0 pour 1 ≤ k ≤ n − 1. Donc 2ⁿ⁻¹ × produit des sin(kπ/n) = n, soit produit des sin(kπ/n) = n/2ⁿ⁻¹.

piège : Oublier la valeur absolue dans |1 − ω^k| et le signe de sin(kπ/n), qu'il faut justifier pour écrire 2 sin(kπ/n) sans valeur absolue.

Erreurs fréquentes

Écrire √z pour un complexe, ou choisir « la » racine carrée. On dit « soit δ une racine carrée de Δ ».
Présenter r e^iθ avec r < 0 comme une forme trigonométrique. Le module est positif, il faut ajouter π à l'argument.
Déduire t = 0 de e^it = 1, ou t = t' de e^it = e^it'. Les arguments sont définis modulo 2π.
Diviser par 1 − e^it ou par z − 1 sans avoir écarté le cas où c'est nul. Le cas particulier se traite en premier, en une ligne.
Comparer des complexes avec ≤, ou parler du signe d'un complexe. Seuls les modules, parties réelles et imaginaires se comparent.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Nombres complexes », complétée par le paragraphe « Trigonométrie » de la partie « Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie ». La construction de $\C$ est hors programme, ainsi que l'étude générale des similitudes.

Nombres complexes

Résumé en cinq points

1Le corps des complexes

1.1Forme algébrique

1.2Conjugaison

1.3Le plan complexe

2Module

2.1Définition et propriétés

2.2Inégalité triangulaire

3Nombres de module 1 et trigonométrie

3.1Le cercle U

3.2L'exponentielle imaginaire

3.3Tangente

3.4Euler et Moivre

3.5Sommes trigonométriques

4Forme trigonométrique

4.1Module et argument

4.2Technique de l'angle moitié

4.3Transformation de a cos t + b sin t

5Équations algébriques

5.1Factorisation par une racine

5.2Racines carrées d'un complexe

5.3Résolution

6Racines n-ièmes

6.1Racines de l'unité

6.2Racines n-ièmes d'un complexe

7Exponentielle complexe

8Interprétation géométrique

8.1Angles et distances

8.2Transformations

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Équation du second degré à coefficients complexes

Exercice 2. Somme de cosinus

Exercice 3. Un quotient imaginaire pur sur le cercle unité

Exercice 4. Triangle équilatéral et nombre j

Exercice 5. Résolution de exp(z) = a

Exercice 6. L'équation (z + 1)n = (z − 1)n

Exercice 7. Alignement de z, z² et z³

Exercice 8. Nature d'une similitude

Exercice 9. Produit des 1 − ωk

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 6. L'équation (z + 1)ⁿ = (z − 1)ⁿ

Exercice 9. Produit des 1 − ω^k