Le cours

Résumé en cinq points

Deux ondes cohérentes donnent $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\dfrac{2\pi\delta}{\lambda_0}$ . Deux ondes incohérentes donnent simplement la somme des intensités.
Le contraste vaut $\dfrac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ . Il ne vaut 1 que pour des intensités égales.
Trous d'Young : division du front d'onde, $\delta = \dfrac{ax}{D}$ , interfrange $\dfrac{\lambda_0 D}{a}$ , franges non localisées, source nécessairement petite.
Michelson : division d'amplitude, source étendue possible, franges localisées. Lame d'air, $\delta = 2e\cos i$ , anneaux d'égale inclinaison. Coin d'air, $\delta = 2\alpha x$ , franges d'égale épaisseur.
Tout brouillage se lit sur la variation de l'ordre d'interférences : sur la source pour la cohérence spatiale, sur le spectre pour la cohérence temporelle. Avec $N$ ondes, les pics principaux ont pour demi-largeur $2\pi/N$ et le réseau obéit à $a(\sin\theta - \sin i) = p\lambda_0$ .

Pourquoi ce chapitre

C'est le cœur du programme d'optique de MP. Il repose sur une seule formule, celle de Fresnel, et sur une seule quantité, la différence de marche. Tout le travail consiste à calculer proprement cette différence de marche, puis à discuter ce qui se passe quand la source n'est ni ponctuelle ni monochromatique.

Le programme insiste sur l'analyse raisonnée des conditions d'observation : contraste, brouillage, localisation. Les deux dispositifs au programme illustrent les deux façons de fabriquer deux ondes cohérentes :

la division du front d'onde avec les trous d'Young ;
la division d'amplitude avec le Michelson.

La partie sur les interférences à $N$ ondes prépare le réseau, utilisé au goniomètre.

1Superposition de deux ondes

1.1Ondes incohérentes

Si les deux ondes ont des phases sans relation fixe, le terme croisé de la moyenne du carré s'annule. Il n'y a aucune figure d'interférences.

Propriété 1.1Additivité des intensités

Pour deux ondes incohérentes entre elles, les intensités s'ajoutent : $I = I_1 + I_2.$

C'est le cas de deux sources distinctes, et plus généralement de deux points différents d'une même source, puisque les atomes émettent indépendamment les uns des autres. Il faut donc toujours diviser une même onde en deux pour observer des interférences.

1.2Formule de Fresnel

Soient deux ondes scalaires de même pulsation : $\begin{aligned} s_1 &= a_1 \cos(\omega t + \varphi_1), \\ s_2 &= a_2 \cos(\omega t + \varphi_2). \end{aligned}$ La grandeur résultante est leur somme. En prenant la moyenne temporelle du carré, on obtient trois termes :

les deux carrés, qui donnent les intensités propres ;
le double produit, dont la moyenne vaut $\dfrac{a_1 a_2}{2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ .

Propriété 1.2Formule de Fresnel

Hypothèses

deux ondes scalaires de même pulsation, quasi synchrones ;
déphasage constant dans le temps, ou très lentement variable devant le temps de réponse du détecteur ;
polarisations parallèles.

Alors, avec $\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ le déphasage au point d'observation, $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi.$

Le programme demande de savoir l'établir. Les ondes quasi synchrones ont des fréquences égales ou très voisines. Deux ondes de polarisations orthogonales n'interfèrent pas.

1.3Différence de marche, ordre d'interférences, contraste

Définition 1.3Différence de marche et ordre

La différence de marche $\delta$ est la différence de chemin optique entre les deux voies. Elle donne $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda_0}$ , où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide.

L'ordre d'interférences est $p = \dfrac{\delta}{\lambda_0}$ , sans dimension.

Frange brillante : $p$ entier, interférences constructives, intensité maximale.
Frange sombre : $p$ demi-entier, interférences destructives.

Définition 1.4Contraste

Le contraste, ou facteur de visibilité, est $C = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}.$

La formule de Fresnel donne $C = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2},$ et l'intensité s'écrit $I = I_0\,(1 + C\cos\Delta\varphi)$ , avec $I_0 = I_1 + I_2$ .

Exemple 1.5Contraste et rapport d'intensités

Rapport d'intensités de 4 : $C = 0{,}8$ .
Rapport de 100 : $C = 0{,}2$ .

Le contraste vaut 1 si et seulement si les deux intensités sont égales, et il chute vite dès qu'elles diffèrent. Associer un bon contraste à des intensités voisines est une capacité exigible.

2Trous d'Young

2.1Dispositif et différence de marche

Une source ponctuelle monochromatique $S$ éclaire deux trous ponctuels $S_1$ et $S_2$ , percés dans un écran opaque, distants de $a$ . On observe sur un écran parallèle placé à la distance $D$ , avec $D \gg a$ . Le milieu est supposé non dispersif et d'indice uniforme. Les deux trous, éclairés par la même onde, se comportent comme deux sources ponctuelles secondaires cohérentes entre elles.

Propriété 2.1Différence de marche et interfrange

Hypothèses

$S$ sur l'axe ;
$D \gg a$ ;
abscisse $x$ du point $M$ de l'écran, comptée depuis le pied de la médiatrice, petite devant $D$ .

Alors $\delta = \frac{a x}{D}, \qquad i = \frac{\lambda_0 D}{a}.$

On l'obtient en développant les distances $S_1M$ et $S_2M$ au premier ordre. Les franges sont rectilignes, parallèles aux trous, équidistantes, et la frange centrale est brillante.

Exemple 2.2Ordre de grandeur

Avec $a = 0{,}5 \unite{mm}$ , $D = 2 \unite{m}$ et $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ , l'interfrange vaut $2{,}4 \unite{mm}$ , visible à l'œil nu. Diminuer $a$ écarte les franges, augmenter $a$ les resserre.

2.2Franges non localisées et forme des franges

Les deux ondes issues de $S_1$ et $S_2$ sont sphériques et se recouvrent dans tout le demi-espace situé derrière les trous. On observe des franges partout dans cette zone, et non sur une surface particulière. Ce sont des franges non localisées, propriété caractéristique d'une source ponctuelle. Le programme demande de le justifier.

Les surfaces d'égale différence de marche sont les surfaces où la différence des distances aux deux trous est constante : des hyperboloïdes de révolution d'axe $S_1S_2$ .

Un écran parallèle à $S_1S_2$ donne des hyperboles, assimilables à des droites au voisinage du centre.
Un écran perpendiculaire à $S_1S_2$ donne des anneaux.

Interpréter la forme des franges observées est une capacité exigible.

3Cohérence spatiale, perte de contraste par élargissement de la source

Déplaçons la source ponctuelle $S$ d'une distance $x_S$ perpendiculairement à l'axe, à la distance $d$ des trous. Elle n'éclaire plus les deux trous avec le même chemin optique : il apparaît un terme supplémentaire $a x_S / d$ dans la différence de marche.

Propriété 3.1Ordre d'interférences avec source décalée

$p = \frac{a x}{\lambda_0 D} + \frac{a x_S}{\lambda_0 d}.$

Toute la figure est translatée, sans changement d'interfrange ni de contraste.

Considérons maintenant une source étendue de largeur $b$ . Chacun de ses points donne sa propre figure, translatée, et ces figures s'ajoutent en intensité puisque les points de la source sont incohérents entre eux. Le résultat est un système de franges dont le contraste diminue.

Propriété 3.2Critère de brouillage

Le critère porte sur l'ordre d'interférences, comme le demande le programme :

si l'ordre varie de moins d'une fraction d'unité d'un bord à l'autre de la source, le contraste reste bon ;
si cette variation atteint l'unité, les figures se superposent en décalage et les franges disparaissent.

La condition de brouillage s'écrit donc $\frac{a b}{\lambda_0 d} \sim 1.$

Pour observer des franges avec une source large, il faut réduire la source par une fente fine, ou rapprocher les trous. On peut aussi lire la condition en termes de largeur angulaire de la source vue des trous.

4Cohérence temporelle, perte de contraste par élargissement spectral

4.1Source à deux longueurs d'onde

Une source émettant deux raies proches, comme le doublet du sodium, donne deux systèmes de franges de même contraste mais d'interfranges légèrement différents. L'ordre en un point vaut $\delta/\lambda$ pour l'une et $\delta/(\lambda + \Delta\lambda)$ pour l'autre.

Les deux systèmes sont en coïncidence quand la différence des ordres est entière.
Ils sont en anticoïncidence quand elle vaut un demi-entier : les franges brillantes de l'un tombent sur les franges sombres de l'autre et le brouillage est total.

Propriété 4.1Brouillages d'un doublet

La différence des ordres vaut $\dfrac{\delta\,\Delta\lambda}{\lambda^2}$ . Le premier brouillage se produit pour $\delta \sim \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda},$ et deux brouillages successifs sont séparés par une variation de $\delta$ égale à $\lambda^2/\Delta\lambda$ .

Exemple 4.2Doublet du sodium

Pour $\lambda = 589 \unite{nm}$ et $\Delta\lambda = 0{,}6 \unite{nm}$ , la période de brouillage est de l'ordre de $0{,}6 \unite{mm}$ de différence de marche.

4.2Source à spectre continu

Pour une raie de largeur $\Delta\lambda$ , les différents ordres se brouillent progressivement. Le contraste reste bon tant que la différence de marche reste petite devant $\lambda^2/\Delta\lambda$ , c'est-à-dire devant la longueur de cohérence de la source. Au-delà, les franges disparaissent. C'est le même critère de brouillage sur l'ordre d'interférences, écrit avec une largeur spectrale continue.

Exemple 4.3Lumière blanche

La longueur de cohérence n'est que de l'ordre du micromètre. On observe :

la frange centrale, blanche puisque toutes les longueurs d'onde y sont en phase ;
quelques franges colorées, appelées teintes de Newton ;
un blanc dit d'ordre supérieur.

Ce blanc n'est pas vraiment blanc : son spectre est cannelé, certaines longueurs d'onde manquant par interférence destructive. Un spectroscope révèle ces cannelures.

5Interféromètre de Michelson

5.1Description et modèle

L'appareil comporte :

une séparatrice semi-réfléchissante inclinée à 45 degrés ;
une compensatrice destinée à égaliser les épaisseurs de verre traversées par les deux voies ;
deux miroirs plans perpendiculaires entre eux au réglage de référence.

La séparatrice divise l'amplitude de l'onde incidente en deux, d'où le nom de division d'amplitude. Contrairement aux trous d'Young, tous les points d'une source étendue contribuent utilement, ce qui rend le dispositif beaucoup plus lumineux.

Pour la modélisation, on suppose la séparatrice infiniment mince, comme le précise le programme. On remplace alors le miroir $M_2$ par son image $M_2'$ à travers la séparatrice. L'interféromètre est équivalent à une lame d'air comprise entre $M_1$ et $M_2'$ .

Si $M_1$ et $M_2'$ sont parallèles : lame d'air.
S'ils font un petit angle : coin d'air.

5.2Lame d'air, franges d'égale inclinaison

Conditions d'éclairage et d'observation à citer : source spatialement étendue, observation à l'infini, donc dans le plan focal image d'une lentille convergente ou à l'œil accommodant à l'infini. La localisation des franges à l'infini est admise.

Propriété 5.1Différence de marche en lame d'air

Hypothèses

lame d'air d'épaisseur $e$ ;
éclairage sous l'incidence $i$ .

Alors $\delta = 2e\cos i.$

Le programme demande d'établir et d'utiliser cette expression. L'ordre ne dépend que de l'angle d'incidence, d'où le nom de franges d'égale inclinaison. La figure est constituée d'anneaux concentriques centrés sur l'axe.

Propriétés utiles :

l'ordre est maximal au centre et vaut $2e/\lambda_0$ ;
quand on rapproche les miroirs, les anneaux rentrent vers le centre, et il en disparaît un chaque fois que $e$ diminue de $\lambda_0/2$ ;
au contact optique, $e$ est nul, la différence de marche est nulle partout et le champ est uniforme.

MéthodeRégler le Michelson en lame d'air

Éclairer en lumière blanche ou avec une lampe spectrale.
Chercher le coin d'air en lumière blanche pour repérer le contact optique.
Écarter légèrement les miroirs en restant parallèles.
Dépolir ou élargir la source pour obtenir les anneaux.

Le programme demande de savoir régler l'appareil en lame d'air à l'aide d'un protocole proposé.

5.3Coin d'air, franges d'égale épaisseur

Les deux miroirs équivalents font un petit angle $\alpha$ .

Propriété 5.2Différence de marche en coin d'air

Hypothèses

incidence quasi normale ;
$x$ distance à l'arête.

Alors $\delta = 2e(x) = 2\alpha x.$

Le programme précise que cette expression est admise. Les franges sont rectilignes, parallèles à l'arête, et l'interfrange vaut $\lambda_0/(2\alpha)$ . Elles sont localisées au voisinage des miroirs : il faut en faire l'image sur l'écran avec une lentille. Le programme limite l'étude du coin d'air à une approche expérimentale.

5.4Exploitations quantitatives

MéthodeMesurer l'écart d'un doublet

En lame d'air, translater le chariot et repérer deux brouillages successifs.
La variation de différence de marche vaut deux fois le déplacement du chariot.
L'égaler à $\lambda^2/\Delta\lambda$ et en déduire $\Delta\lambda$ .

MéthodeMesurer une longueur de cohérence

Translater le chariot depuis le contact optique jusqu'à la disparition des franges.
La différence de marche atteinte est de l'ordre de la longueur de cohérence de la source.

MéthodeMesurer un indice ou une épaisseur

Insérer une lame d'indice $n$ et d'épaisseur $e$ sur une voie.
Elle ajoute une différence de marche $2(n-1)e$ .
La mesurer en comptant les franges qui défilent.

6Interférences à N ondes et réseaux

6.1Superposition de N ondes de phases en progression arithmétique

On superpose $N$ ondes de même amplitude $a$ , dont les phases forment une progression arithmétique de raison $\varphi$ . En notation complexe, la somme est une suite géométrique de raison $\e^{\ii\varphi}$ . Son module au carré donne l'intensité.

Propriété 6.1Intensité de N ondes

L'intensité est proportionnelle à $\left(\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}\right)^2.$

Maxima principaux : obtenus quand $\varphi$ est un multiple entier de $2\pi$ . Toutes les ondes sont alors en phase, l'amplitude vaut $Na$ et l'intensité $N^2$ fois celle d'une onde seule.

Propriété 6.2Largeur des pics

Le numérateur s'annule pour $N\varphi/2$ multiple de $\pi$ . Les deux zéros qui encadrent un maximum principal situé en $\varphi = 2\pi p$ sont donc en $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$ . La demi-largeur d'un pic principal vaut ainsi $2\pi/N$ .

Le programme demande d'établir ce résultat par le calcul. Plus $N$ est grand, plus les pics sont fins, ce qui est tout l'intérêt du réseau par rapport à deux ondes. Entre deux pics principaux, on trouve $N-2$ maxima secondaires de très faible intensité.

6.2Réseau

Définition 6.3Réseau

Un réseau est constitué de motifs identiques répartis périodiquement, de pas $a$ . On le caractérise souvent par le nombre de traits par millimètre, l'inverse du pas.

Éclairé sous l'incidence $i$ par une onde plane monochromatique, il diffracte dans les directions $\theta$ telles que les ondes issues de deux motifs consécutifs soient en phase. La différence de marche entre deux motifs consécutifs vaut $a(\sin\theta - \sin i)$ , les angles étant orientés dans le même sens à partir de la normale.

Propriété 6.4Relation fondamentale des réseaux

La condition d'interférences constructives s'écrit $a(\sin\theta - \sin i) = p\,\lambda_0,$ où $p$ est un entier appelé ordre.

Le programme demande d'établir cette relation. Conséquences :

l'ordre zéro correspond à la transmission directe et ne disperse pas ;
les ordres non nuls dépendent de la longueur d'onde : le réseau disperse la lumière ;
le nombre d'ordres observables est limité par la condition que le sinus reste inférieur à 1.

MéthodeMesurer une longueur d'onde au goniomètre

Régler la lunette à l'infini et le collimateur pour obtenir un faisceau parallèle.
Placer le réseau perpendiculaire au faisceau.
Mesurer les angles de déviation des raies.
La relation des réseaux donne la longueur d'onde.

Méthodes

MéthodeCalculer un déphasage

Calculer d'abord la différence de marche, jamais le déphasage directement.
Le facteur $2\pi/\lambda_0$ vient en dernier.

MéthodeIdentifier le dispositif

Division du front d'onde : la source doit être petite.
Division d'amplitude : la source peut être étendue et les franges sont localisées.

MéthodeDiscuter un brouillage

Pour une source étendue ou large en spectre, raisonner sur la variation de l'ordre d'interférences. Une variation de l'ordre de 1 signifie brouillage.
Devant un doublet, penser coïncidences et anticoïncidences périodiques.
Devant une raie large, penser longueur de cohérence.
Vérifier le contraste en comparant les deux intensités avant de conclure qu'on verra les franges.

AttentionInterférences à N ondes

Ne pas se lancer dans des calculs lourds. Le programme demande la relation des réseaux et la demi-largeur $2\pi/N$ , rien de plus.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir la formule de Fresnel à partir de la définition de l'intensité, et en déduire le contraste.
Justifier l'additivité des intensités pour deux ondes incohérentes.
Établir la différence de marche et l'interfrange des trous d'Young, et justifier que les franges ne sont pas localisées.
Discuter le brouillage par élargissement de la source, avec le critère sur l'ordre d'interférences.
Discuter le brouillage par élargissement spectral, traiter le cas du doublet du sodium et chiffrer la période de brouillage.
Établir $\delta = 2e\cos i$ pour la lame d'air et décrire la figure d'anneaux, ordre au centre, sens de défilement.
Décrire les conditions d'éclairage et d'observation en lame d'air et en coin d'air, et le protocole de mesure d'un écart de doublet.
Établir l'intensité d'une superposition de $N$ ondes, la demi-largeur $2\pi/N$ des pics, et la relation fondamentale des réseaux.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Additivité des intensités pour deux ondes incohérentes, I = I₁ + I₂. Exigible avec justification, le terme croisé a une moyenne nulle.
Formule de Fresnel, I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos Δφ, pour deux ondes monochromatiques cohérentes de même pulsation. Exigible avec démonstration.
Conditions d'interférences : ondes quasi synchrones, déphasage constant ou très lentement variable devant le temps de réponse du détecteur. À citer.
Différence de marche δ, déphasage Δφ = 2πδ/λ₀, ordre p = δ/λ₀. Franges brillantes pour p entier, sombres pour p demi-entier. Exigibles.
Contraste C = (I_max − I_min)/(I_max + I_min) = 2√(I₁I₂)/(I₁ + I₂), égal à 1 si et seulement si I₁ = I₂. Exigible.
Trous d'Young, source ponctuelle à distance finie, observation à grande distance : δ = ax/D, i = λ₀D/a, franges non localisées, hyperboles assimilables à des droites. Exigibles avec démonstration.
Décalage de la source de x_S à la distance d : terme supplémentaire ax_S/d. Exigible.
Critère de brouillage par élargissement spatial : Δp = ab/(λ₀d) de l'ordre de 1. Par élargissement spectral : Δp = δΔλ/λ₀² de l'ordre de 1, soit δ de l'ordre de l_c. Exigibles, formulés sur l'ordre.
Michelson, séparatrice supposée infiniment mince, miroir M₂' image de M₂. Lame d'air : δ = 2e cos i, anneaux d'égale inclinaison localisés à l'infini, source étendue. Exigible avec démonstration. Coin d'air : δ = 2αx, admise, franges d'égale épaisseur localisées sur les miroirs, approche expérimentale.
N ondes de même amplitude et de phases en progression arithmétique de raison φ : I ∝ sin²(Nφ/2)/sin²(φ/2), maxima principaux pour φ = 2πp, demi-largeur 2π/N. Exigible avec démonstration.
Relation des réseaux a(sin θ − sin i) = pλ₀. Exigible avec démonstration.
Hors programme signalé : contraste exact d'une fente source large (fonction sinus cardinal), autre diviseur du front d'onde, calcul de la localisation des franges, pouvoir de résolution d'un réseau, Michelson à séparatrice épaisse, intensité des maxima secondaires.

Clés de démonstration

Fresnel. s = s₁ + s₂, s² = s₁² + s₂² + 2s₁s₂. La moyenne des carrés donne I₁ et I₂, la moyenne du produit vaut a₁a₂⟨cos(ωt + φ₁)cos(ωt + φ₂)⟩ = (a₁a₂/2)cos(φ₁ − φ₂). L'astuce : le produit de deux cosinus se linéarise en une somme dont seul le terme constant survit.

δ = ax/D. S₂M² − S₁M² = (x − a/2)² − (x + a/2)² = −2ax, et S₂M − S₁M = −2ax/(S₁M + S₂M) ≈ −ax/D. L'astuce : différence de deux carrés, aucun développement de racine. Le signe dépend de la convention, seule la valeur absolue compte pour l'interfrange.

Franges non localisées. Deux ondes sphériques issues de S₁ et S₂ se recouvrent dans tout le demi-espace, et le déphasage est fixé en tout point. L'astuce : une source ponctuelle donne des interférences partout, la localisation n'apparaît qu'avec une source étendue.

Lame d'air. Rayon incident sous i, réfléchi sur M₁ en I et sur M₂' en J, les deux rayons émergents sont parallèles. Sur le trajet IJ + JK dans l'air, le premier rayon n'a parcouru que la projection IH. IJ = JK = e/cos i, IH = 2e tan i sin i, différence 2e/cos i − 2e sin²i/cos i = 2e cos i. L'astuce : la surface d'onde commune est le plan perpendiculaire aux rayons émergents, tout ce qui est au-delà est égal par Malus.

N ondes. Somme des amplitudes complexes a(1 + e^iφ + … + e^i(N−1)φ) = a(e^iNφ − 1)/(e^iφ − 1). Module par factorisation de l'angle moitié : a sin(Nφ/2)/sin(φ/2). Les zéros voisins de φ = 2πp sont en 2πp ± 2π/N. L'astuce : suite géométrique, puis e^iθ − 1 = 2i sin(θ/2)e^iθ/2.

Réseau. Entre deux motifs consécutifs, retard en amont a sin i, avance en aval a sin θ, δ = a(sin θ − sin i). Interférences constructives si δ = pλ₀. L'astuce : deux projections de la période du réseau sur les directions incidente et émergente.

Exemples et contre-exemples à connaître

I₁ = 4I₂ : contraste 0,8. I₁ = 100I₂ : contraste 0,2. Des franges restent visibles même avec des intensités très inégales.
Montage Young de référence, a = 0,5 mm, D = 2 m, λ₀ = 600 nm, i = 2,4 mm. Toute réponse à un million de kilomètres de cet ordre est fausse.
Source déplacée latéralement : les franges se translatent, sans changement de contraste. Contre-exemple à « une source décalée brouille ».
Fente source parallèle aux trous : aucune limite de largeur, c'est le principe des fentes d'Young. Fente perpendiculaire : brouillage dès b ≈ λ₀d/a.
Doublet du sodium : contraste annulé pour δ = λ₀²/(2Δλ) ≈ 0,29 mm, rétabli pour 0,58 mm, périodique. Une raie de largeur 0,01 nm donne au contraire une extinction définitive vers 3 cm.
Michelson au contact optique : différence de marche nulle partout, champ uniforme, la teinte plate. C'est le repère de tout réglage.
Michelson en lame d'air éclairé par une source étendue : contraste parfait à l'infini, brouillé sur un écran à distance finie. Contre-exemple à « une source étendue brouille toujours ».
Réseau à 500 traits par millimètre éclairé sous incidence normale par le sodium : ordres visibles 1, 2, 3, le quatrième exigerait sin θ > 1.
Deux ondes de polarisations orthogonales ne donnent aucune frange. Le modèle scalaire suppose implicitement des polarisations parallèles.

Techniques du chapitre

Commencer par δ, jamais par Δφ. Mini-exercice : Young a = 1 mm, D = 1 m, x = 1,8 mm, δ = 1,8 µm, p = 3 à 600 nm, frange brillante.

Additionner les contributions à δ. Mini-exercice : lame (n − 1)e = 2 µm devant S₁ et source décalée de x_S = 0,5 mm à d = 50 cm avec a = 0,5 mm : δ = ax/D + ax_S/d − 2 µm, frange centrale en x = (2 µm − 0,5 µm)D/a = 6 mm pour D = 2 m.

Brouillage par Δp. Mini-exercice : source de largeur b = 0,2 mm à d = 20 cm, a = 0,5 mm, λ₀ = 600 nm. Δp = ab/(λ₀d) = 0,83, contraste très dégradé. Avec b = 0,05 mm, Δp = 0,2, franges nettes.

Doublet par coïncidences. Mini-exercice : δ pour la première anticoïncidence du doublet du mercure jaune, 577,0 et 579,1 nm : λ₀²/(2Δλ) = (578)²/(2 × 2,1) nm = 80 µm.

Michelson par le schéma déplié. Mini-exercice : chariot avancé de 25,0 µm en lame d'air, λ₀ = 546 nm. Δδ au centre = 2Δe = 50,0 µm, soit 91,6 anneaux qui défilent. On observe 92 anneaux.

Anneaux en √k. Mini-exercice : e = 1,0 mm, λ₀ = 546 nm, p₀ = 3 663,0, entier. Le premier anneau brillant après le centre a l'ordre 3 662, soit i²/2 = 1/3 663, i = 0,023 4 rad, rayon 2,3 cm dans le plan focal d'une lentille de 1 m.

Réseau en sinus. Mini-exercice : a = 2,0 µm, incidence normale, λ₀ = 589 nm. sin θ_p = 0,294 5 p, soit 17,1°, 36,1°, 62,1°. Trois ordres de chaque côté.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Fresnel et contraste

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux ondes cohérentes ont pour intensités I₁ et I₂ = I₁/9. Écrire I en fonction de δ, calculer le contraste. Que devient-il si l'on atténue la plus forte des deux jusqu'à égalité ? Et si l'on double les deux ?

Technique Formule de Fresnel, C = 2√(I₁I₂)/(I₁ + I₂).

Voir le corrigé

I = I₁(1 + 1/9) + 2I₁(1/3) cos(2πδ/λ₀) = (10I₁/9)[1 + 0,6 cos(2πδ/λ₀)].
C = 2(1/3)/(10/9) = 0,6. I_max = 16I₁/9, I_min = 4I₁/9.
À égalité, C = 1 mais I_max = 4I₂ = 4I₁/9, quatre fois plus faible qu'avant. Le contraste gagne, la luminosité perd.
Doubler les deux ne change pas C, le contraste est un rapport.

piège : Écrire C = I₂/I₁. Le contraste fait intervenir la racine du produit.

Exercice 2. Mesure de λ avec des trous d'Young

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

a = 0,40 mm, D = 1,20 m. Entre le centre de la première et le centre de la treizième frange brillante, on mesure 21,6 mm. Longueur d'onde. Combien de franges seraient visibles sur un écran de 5 cm de large ?

Technique i = λ₀D/a inversée.

Voir le corrigé

Treize franges délimitent douze interfranges, i = 1,80 mm.
λ₀ = ia/D = 1,80 × 10⁻³ × 0,40 × 10⁻³/1,20 = 6,0 × 10⁻⁷ m = 600 nm.
Sur 5 cm, 50/1,8 ≈ 28 franges, si la diffraction par chaque trou éclaire toute cette zone, ce qui exige des trous de diamètre inférieur à λ₀D/(2,5 cm) ≈ 30 µm.
Incertitude : 0,2 mm sur 21,6 mm donne 1 % sur λ₀, plus l'incertitude sur a, souvent dominante.

piège : Diviser par treize.

Exercice 3. Source large devant des trous d'Young

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Même dispositif, la source est une fente de largeur b, à d = 40 cm des trous, parallèle puis perpendiculaire aux trous. Largeur maximale pour observer des franges dans chaque cas.

Technique Terme ax_S/d, critère Δp ~ 1.

Voir le corrigé

Un point source décalé de x_S parallèlement à S₁S₂ décale la figure de −x_S D/d sans changer i.
Fente parallèle aux trous : tous ses points ont x_S = 0, les figures coïncident, b est libre. C'est pourquoi on remplace les trous par des fentes parallèles à la fente source.
Fente perpendiculaire : les figures s'étalent sur bD/d, Δp = ab/(λ₀d). Brouillage pour Δp ≈ 1, b_max ≈ λ₀d/a = 600 × 10⁻⁹ × 0,40/(0,40 × 10⁻³) = 0,6 mm.
Pour un bon contraste, b ≈ 0,1 mm. Le dispositif est donc peu lumineux, ce qui motive le Michelson.

piège : Utiliser D au lieu de d dans le critère, alors que la source est en amont.

Exercice 4. Doublet du sodium avec des trous d'Young

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

a = 2,0 mm, D = 1,20 m, raies 589,0 et 589,6 nm d'égale intensité. Décrire le contraste le long de l'écran. Abscisses du premier brouillage et de la première remise en phase. Quelle raie de largeur Δλ ferait disparaître définitivement les franges au-delà de 30 cm ?

Technique Δp = δΔλ/λ₀² entre les deux raies, puis l_c.

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Les deux systèmes ont des interfranges 0,353 4 et 0,353 8 mm. Ils s'ajoutent en intensité, car les deux raies sont incohérentes.
Écart d'ordre Δp = δΔλ/λ₀², brouillage pour Δp = 1/2, δ₁ = λ₀²/(2Δλ) = 0,289 mm, x₁ = δ₁D/a = 17,3 cm, ordre p ≈ 490.
Retour au contraste maximal pour Δp = 1, x₂ = 34,7 cm. Le contraste oscille avec une période de 34,7 cm.
Disparition définitive pour δ ≈ λ₀²/Δλ à x = 30 cm, soit δ = 0,5 mm et Δλ ≈ 0,7 nm. Chaque raie du sodium est bien plus fine, quelques centièmes de nanomètre, donc le brouillage périodique domine.

piège : Confondre les deux phénomènes. L'écart du doublet donne un contraste périodique, la largeur de chaque raie une extinction définitive.

Exercice 5. Anneaux du Michelson en lame d'air

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur e = 0,500 mm, éclairé par la raie verte du mercure, λ₀ = 546,1 nm, source étendue, observation dans le plan focal d'une lentille f' = 1,00 m. Ordre au centre, nature du centre, rayons des deux premiers anneaux brillants. On diminue e jusqu'à zéro, décrire.

Technique δ = 2e cos i, développement en i²/2, rayon f' i.

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p₀ = 2e/λ₀ = 1 831,17. Le centre n'est ni brillant ni sombre, il est entre les deux.
p(i) ≈ p₀(1 − i²/2). Premier anneau brillant à p = 1 831, i₁² = 2 × 0,17/1 831,17, i₁ = 0,013 6 rad, r₁ = 1,36 cm. Deuxième à p = 1 830, i₂² = 2 × 1,17/1 831,17, i₂ = 0,035 7 rad, r₂ = 3,57 cm.
Les rayons croissent en √(k + fraction), les anneaux se resserrent vers l'extérieur. Le fait que r₂ ≠ r₁√2 vient de la partie fractionnaire 0,17 de p₀.
En diminuant e, p₀ décroît, chaque anneau se contracte vers le centre et y disparaît, un anneau par diminution de λ₀/2 = 273 nm. Vers e = 0, les anneaux deviennent immenses et le champ devient uniforme, c'est la teinte plate.

piège : Écrire que l'ordre augmente vers l'extérieur. cos i décroît, donc l'ordre est maximal au centre.

Exercice 6. Mesure de l'écart du doublet et de la largeur d'une raie

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

En lame d'air éclairée par le sodium, on relève des brouillages successifs du contraste tous les Δe = 0,289 mm de déplacement du chariot. Écart du doublet. Avec la raie verte du mercure, les anneaux disparaissent définitivement quand e dépasse 1,5 cm. Largeur de la raie et temps de cohérence.

Technique Δδ = 2Δe, λ₀²/Δλ.

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Entre deux brouillages, l'écart d'ordre des deux raies varie de 1, soit 2Δe Δλ/λ₀² = 1, d'où Δλ = λ₀²/(2Δe) = (589,3 × 10⁻⁹)²/(2 × 0,289 × 10⁻³) = 0,60 nm.
Raie verte : l_c ≈ 2e_max = 3,0 cm, Δλ = λ₀²/l_c = (546 × 10⁻⁹)²/0,030 = 1,0 × 10⁻¹¹ m = 0,01 nm.
τ = l_c/c = 10⁻¹⁰ s, Δf = 1/τ = 10 GHz.
La mesure du doublet exige de repérer plusieurs brouillages et de moyenner, celle de l_c est plus imprécise car la disparition est progressive.

piège : Oublier le facteur 2 entre déplacement du chariot et différence de marche, aller et retour.

Exercice 7. Lame et cuve à gaz dans un bras

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Michelson au contact optique, éclairé à 546 nm. On introduit dans un bras une lame de verre d'épaisseur ℓ = 10,0 µm et d'indice 1,50. Nombre de franges défilant, nouvelle épaisseur équivalente. On remplace la lame par une cuve de longueur L = 5,0 cm que l'on vide progressivement, 53 franges défilent. Indice de l'air.

Technique Supplément 2(n − 1)ℓ, traversée aller et retour.

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La lame est traversée deux fois, Δδ = 2(n − 1)ℓ = 10,0 µm, soit N = Δδ/λ₀ = 18,3 franges.
La lame équivaut à un allongement du bras de (n − 1)ℓ = 5,0 µm.
Cuve vidée : Δδ = 2(n_air − 1)L = 53 × 546 nm, n_air − 1 = 53 × 546 × 10⁻⁹/(2 × 0,050) = 2,9 × 10⁻⁴.
Pour compter des franges, on travaille en coin d'air, où le défilement est visible sur un écran fixe. En lumière blanche, la frange blanche permet de retrouver le contact optique après insertion de la lame, donc de mesurer (n − 1)ℓ sans compter.

piège : Oublier l'aller-retour et trouver la moitié des franges.

Exercice 8. Coin d'air et lumière blanche

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Coin d'air d'angle α = 2,0 minutes d'arc, éclairé sous incidence quasi normale, λ₀ = 546 nm. Interfrange sur les miroirs. En lumière blanche, aspect du champ. Au point situé à x = 3,0 mm de l'arête, longueurs d'onde éteintes.

Technique δ = 2αx admise, cannelures λ = δ/(m + 1/2).

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α = 2,0 × 2,91 × 10⁻⁴ = 5,8 × 10⁻⁴ rad. Interfrange λ₀/(2α) = 0,47 mm, franges rectilignes parallèles à l'arête, localisées sur les miroirs, à projeter sur l'écran avec une lentille.
Lumière blanche : frange centrale blanche sur l'arête, où δ = 0 pour toute longueur d'onde, quelques franges irisées de chaque côté jusqu'à δ ≈ 1 µm, puis blanc d'ordre supérieur.
En x = 3,0 mm, δ = 2αx = 3,5 µm. Extinction pour δ = (m + 1/2)λ, m + 1/2 = 3 500/λ en nanomètres, entre 4,4 et 8,75 pour le visible, m = 4, 5, 6, 7, 8. Cannelures à 778, 636, 538, 467, 412 nm.
Le spectroscope voit cinq bandes noires, l'œil voit un blanc légèrement teinté.

piège : Garder un m qui place λ hors du visible.

Exercice 9. Contraste exact pour deux raies

Approfondissement · Type écrit Centrale

Michelson en lame d'air, deux raies d'égale intensité à λ₁ et λ₂ = λ₁ + Δλ, Δλ ≪ λ₁. Exprimer l'intensité au centre en fonction de e, en déduire le contraste et retrouver la période des brouillages.

Technique Somme d'intensités, formule cos A + cos B.

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Chaque raie donne au centre I₀[1 + cos(4πe/λ)]. Somme : I = 2I₀ + I₀[cos(4πe/λ₁) + cos(4πe/λ₂)].
cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2). Avec 1/λ₁ − 1/λ₂ ≈ Δλ/λ₀², I = 2I₀[1 + cos(2πeΔλ/λ₀²) cos(4πe/λ₀)].
Le second cosinus est la frange rapide, le premier une enveloppe lente. Contraste C(e) = |cos(2πeΔλ/λ₀²)|.
C s'annule pour 2eΔλ/λ₀² = 1/2 + k, soit e = λ₀²/(4Δλ) puis tous les λ₀²/(2Δλ), période 0,289 mm pour le sodium. On retrouve le critère semi-quantitatif, ici exact.

piège : Additionner les amplitudes des deux raies. Elles sont incohérentes, on additionne les intensités.

Exercice 10. Réseau au goniomètre

Approfondissement · Type écrit Centrale

Réseau de 500 traits par millimètre, incidence normale, lampe au sodium. Angles des ordres visibles. Écart angulaire entre les deux raies du doublet dans l'ordre 2. Combien de traits faut-il éclairer pour que les deux raies soient séparées, en admettant qu'elles le sont quand le maximum de l'une tombe sur le premier zéro de l'autre ?

Technique Relation des réseaux, différentielle, largeur 2π/N.

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a = 2,0 µm, sin θ_p = pλ₀/a = 0,294 5p. θ₁ = 17,1°, θ₂ = 36,1°, θ₃ = 62,1°. p = 4 donne 1,18 > 1, impossible.
Différentielle de a sin θ = pλ : a cos θ dθ = p dλ, dθ = pΔλ/(a cos θ) = 2 × 0,6 × 10⁻⁹/(2,0 × 10⁻⁶ × 0,808) = 7,4 × 10⁻⁴ rad, soit 2,6 minutes d'arc, mesurable au goniomètre.
Le pic d'ordre p a pour demi-largeur 2π/N en φ, avec φ = 2πa sin θ/λ. Le premier zéro correspond à un écart Δ(a sin θ) = λ/N. Le doublet est séparé si pΔλ ≥ λ/N, soit N ≥ λ/(pΔλ) = 589/(2 × 0,6) ≈ 490 traits, c'est-à-dire 1 mm de réseau éclairé dans l'ordre 2.
Ce critère est le pouvoir de résolution, hors programme en tant que tel. Ce qui est exigible, c'est la demi-largeur 2π/N et l'idée que plus de traits donnent des pics plus fins.

piège : Écrire la relation des réseaux avec des angles non orientés et se tromper de signe entre sin θ et sin i sous incidence oblique.

Erreurs fréquentes

Calculer un déphasage avant la différence de marche, ou mettre l'indice dans λ après l'avoir mis dans δ.
Compter les franges au lieu des interfranges, ou oublier l'aller-retour dans le Michelson.
Traiter un brouillage par une intensité alors que le programme demande un raisonnement sur Δp, plus court et plus sûr.
Placer l'écran n'importe où avec une source étendue. Lame d'air, à l'infini. Coin d'air, sur l'image des miroirs. Trous d'Young, partout mais avec une source fine.
Confondre écart de doublet et largeur de raie, brouillage périodique et longueur de cohérence.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), parties 3.2 « Superposition d'ondes lumineuses », 3.3 « Trous d'Young » et 3.4 « Interféromètre de Michelson éclairé par une source spatialement étendue ». Elle suppose acquis le modèle scalaire, le chemin optique et la notion d'intensité.

Interférences lumineuses

Résumé en cinq points

1Superposition de deux ondes

1.1Ondes incohérentes

1.2Formule de Fresnel

1.3Différence de marche, ordre d'interférences, contraste

2Trous d'Young

2.1Dispositif et différence de marche

2.2Franges non localisées et forme des franges

3Cohérence spatiale, perte de contraste par élargissement de la source

4Cohérence temporelle, perte de contraste par élargissement spectral

4.1Source à deux longueurs d'onde

4.2Source à spectre continu

5Interféromètre de Michelson

5.1Description et modèle

5.2Lame d'air, franges d'égale inclinaison

5.3Coin d'air, franges d'égale épaisseur

5.4Exploitations quantitatives

6Interférences à N ondes et réseaux

6.1Superposition de N ondes de phases en progression arithmétique

6.2Réseau

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Fresnel et contraste

Exercice 2. Mesure de λ avec des trous d'Young

Exercice 3. Source large devant des trous d'Young

Exercice 4. Doublet du sodium avec des trous d'Young

Exercice 5. Anneaux du Michelson en lame d'air

Exercice 6. Mesure de l'écart du doublet et de la largeur d'une raie

Exercice 7. Lame et cuve à gaz dans un bras

Exercice 8. Coin d'air et lumière blanche

Exercice 9. Contraste exact pour deux raies

Exercice 10. Réseau au goniomètre

Erreurs fréquentes

Au concours