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Que vaut la somme des carrés des coefficients binomiaux ?

Énoncé

Soit $n \in \mathbb{N}$ .

Donner une forme close de

S_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2}

Comités triés selon $k$ : $k$ élèves du premier groupe, $n-k$ du second
Nombre de choix : $\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}^{2}$
Tous les choix de $n$ parmi $2n$ : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}=\binom{2n}{n}$
Pour $n=3$ : $1+9+9+1=20=\binom{6}{3}$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.