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Exo du jour · Maths · Rappels de première année

Série a/∛1 + b/∛2 + c/∛3 + … : quand converge-t-elle ?

Énoncé

Pour quels réels a,b,ca,b,c la série

a13+b23+c33+a43+b53+c63+⋯\dfrac{a}{\sqrt[3]{1}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{2}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{3}}+\dfrac{a}{\sqrt[3]{4}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{5}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{6}}+\cdots

converge-t-elle ?

Les étapes clés

  1. Paquet kk, rangs 3k+13k+1, 3k+23k+2, 3k+33k+3 (licite car terme général →0\to 0)
  2. Paquet ≈a+b+c3k3\approx \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{3k}}
  3. Si a+b+c≠0a+b+c\neq 0 : Riemann d'exposant 1/31/3, la série diverge
  4. Si a+b+c=0a+b+c=0 : paquet =O ⁣(k−4/3)=O\!\left(k^{-4/3}\right), la série converge

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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