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Exo du jour · Maths · Image directe et image réciproque

Ensembles et applications : des gares sans sortie ?

Énoncé

Montrer qu'un ensemble EE est infini si et seulement si toute application f:E→Ef:E\to E laisse stable une partie AA autre que ∅\varnothing et EE, c'est-à-dire f(A)⊂Af(A)\subset A.

Un ensemble E dessiné comme une grande région ovale, une partie A à l'intérieur, des flèches f qui partent de points de A et arrivent dans A
Figure : Une partie AA de EE stable par ff : f(A)⊂Af(A)\subset A

Les étapes clés

  1. Partie construite depuis xx : A={f(x), f2(x), f3(x), … }A=\{f(x),\, f^2(x),\, f^3(x),\, \dots\}, non vide
  2. AA est stable : f(fk(x))=fk+1(x)∈Af\big(f^k(x)\big)=f^{k+1}(x)\in A, donc f(A)⊂Af(A)\subset A
  3. Si A=EA=E, alors fp(x)=xf^p(x)=x et A={f(x), …, fp(x)}A=\{f(x),\, \dots,\, f^p(x)\} est fini
  4. Contradiction avec EE infini : A≠EA\neq E

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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