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Exo du jour · Physique · Réflexion et réfraction

Pourquoi l'arc-en-ciel est-il à 42° ?

Énoncé

Un rayon entre dans une goutte d'eau sphérique (n=1,33n=1{,}33) sous l'incidence ii, se réfléchit une fois à l'intérieur et ressort, dévié de D=π+2i−4rD=\pi+2i-4r avec sin⁡i=nsin⁡r\sin i=n\sin r.

Pourquoi la lumière se concentre-t-elle à 42°42° de la direction opposée au Soleil ?

Coupe d'une goutte sphérique d'indice n. Un rayon entre sous l'angle i, se réfracte sous l'angle r, se réfléchit au fond sous l'angle r et ressort, avec la déviation D entre la direction d'arrivée et la direction de sortie.
Figure : Trajet d'un rayon dans la goutte, sin⁡i=nsin⁡r\sin i=n\sin r

Les étapes clés

  1. Déviation : D=180°+2i−4rD=180°+2i-4r avec sin⁡i=nsin⁡r\sin i=n\sin r
  2. Minimum de DD : dDdi=2−4drdi=0\frac{dD}{di}=2-4\frac{dr}{di}=0
  3. Snell-Descartes dérivé : cos⁡i=n2cos⁡r\cos i=\frac{n}{2}\cos r, 3cos⁡2im=n2−13\cos^2 i_m=n^2-1, im≈60°i_m\approx 60°
  4. Dm≈137,5°D_m\approx 137{,}5°, à 180°−137,5°=42,5°180°-137{,}5°=42{,}5° du point opposé au Soleil

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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