Exo du jour · Maths · L'ensemble $\R[x]$ · Centrale-Supélec · PC · 2026

Quels polynômes vérifient P(X)P(X+1)=P(X²+X+1) ?

Énoncé

Trouver tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que

P(X)\,P(X+1)=P(X^2+X+1)

Constantes : $c\cdot c=c$ , donc $P=0$ ou $P=1$
Terme dominant : $a^2X^{2n}=aX^{2n}$ et $a\neq0$ , donc $a=1$
Racine $r$ de module maximal, $u=r^2+1$ : $|u+r|^2+|u-r|^2=2|u|^2+2|r|^2\le2|r|^2$ , donc $r=\pm i$
On recommence avec $P=(X^2+1)Q$ : $P=0$ et $P=(X^2+1)^k$

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.