Le cours

Résumé en cinq points

Le degré d'un produit est la somme des degrés, celui d'une somme est majoré par le maximum, avec égalité si les degrés diffèrent. Le degré du polynôme nul vaut $-\infty$ .
La division euclidienne d'un polynôme par un polynôme non nul existe et est unique, avec un reste de degré strictement plus petit que le diviseur.
$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-a)$ divise $P$ . Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines.
La multiplicité d'une racine se lit par factorisation ou, plus vite, par annulation des dérivées successives.
La formule de Taylor est exacte pour un polynôme, et tout polynôme réel non constant se factorise en facteurs de degré 1 et de degré 2 sans racine réelle.

Pourquoi ce chapitre

Les polynômes servent d'abord d'outil de calcul.

En algèbre linéaire, les ensembles $\R_n[x]$ fournissent les premiers exemples d'espaces vectoriels autres que $\R^n$ , avec une base naturelle et une dimension évidente.
En deuxième année, les polynômes annulateurs seront l'outil central de la réduction des matrices.
En analyse, la formule de Taylor pour un polynôme est le modèle exact des développements limités du second semestre.

Le chapitre demande enfin une technique concrète, la division euclidienne et la factorisation, qui revient dès qu'il faut simplifier une expression ou résoudre une équation polynomiale.

1L'ensemble KXF2FXK

1.1Définition et opérations

Définition 1.1Polynôme à coefficients réels

Un polynôme à coefficients réels est une expression de la forme $P(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n,$ où les $a_k$ sont des réels. L'ensemble de ces polynômes est noté $\R[x]$ . Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls.

Conformément au programme, on identifie un polynôme et la fonction polynomiale qu'il définit sur $\R$ .

Propriété 1.2Égalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients. Sur $\R$ , cela revient à dire qu'ils prennent les mêmes valeurs en tout point.

Cette identification permet le raisonnement par identification des coefficients, utilisé en permanence.

Opérations :

on additionne deux polynômes en additionnant les coefficients de même rang ;
on multiplie un polynôme par un réel en multipliant tous ses coefficients ;
on multiplie deux polynômes en développant : le coefficient de $x^k$ du produit est la somme des $a_i b_j$ pour $i + j = k$ .

Ces opérations donneront à $\R[x]$ une structure d'espace vectoriel réel, étudiée au chapitre suivant.

1.2Degré

Définition 1.3Degré

Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand entier $n$ tel que $a_n \neq 0$ . Le coefficient $a_n$ s'appelle alors le coefficient dominant. Un polynôme est unitaire quand son coefficient dominant vaut 1. Par convention du programme, $\deg(0) = -\infty$ .

Propriété 1.4Règles sur le degré

Pour deux polynômes $P$ et $Q$ :

$\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ , avec égalité dès que les degrés sont différents ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ .

Attention

La perte de degré dans une somme est un piège classique : $P(x) = x^2 + x$ et $Q(x) = -x^2 + 1$ sont de degré 2, mais leur somme est de degré 1.

Propriété 1.5Intégrité

Un produit de deux polynômes non nuls est non nul, puisque son degré est la somme de deux entiers. Autrement dit, si $PQ = 0$ alors $P = 0$ ou $Q = 0$ .

On peut donc simplifier une égalité $PA = PB$ par $P$ dès que $P$ n'est pas nul.

1.3Les ensembles $\R_n[x]$

Définition 1.6Ensemble $\R_n[x]$

$\R_n[x]$ désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ . Le polynôme nul y appartient, grâce à la convention sur son degré.

Cet ensemble est stable par somme et par produit par un réel, ce qui en fait un sous-espace vectoriel de $\R[x]$ .

Attention

L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ n'est pas stable par addition : ce n'est pas un sous-espace vectoriel.

2Division euclidienne

2.1Énoncé

Théorème 2.1Division euclidienne

Hypothèses

$A$ et $B$ sont deux polynômes ;
$B \neq 0$ .

Alors il existe un unique couple de polynômes $(Q, R)$ tel que $A = BQ + R$ et $\deg R < \deg B$ . $Q$ est le quotient, $R$ le reste.

La démonstration n'est pas exigible. La pratique l'est : on pose la division comme pour les entiers, en éliminant à chaque étape le terme de plus haut degré.

Exemple 2.2Division par $x - 1$

Pour $A(x) = x^3 - 2x + 1$ et $B(x) = x - 1$ : $x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) + 0.$ Le reste est nul, donc 1 est racine de $A$ .

2.2Multiples et diviseurs

Définition 2.3Diviseur, multiple

$B$ divise $A$ quand il existe un polynôme $Q$ tel que $A = BQ$ , c'est-à-dire quand le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ est nul. On dit alors que $A$ est un multiple de $B$ .

Propriété 2.4Degré d'un diviseur

Si $B$ divise $A$ et $A \neq 0$ , alors $\deg B \leqslant \deg A$ .

C'est l'argument de degré qui permet de limiter la recherche des diviseurs.

3Racines et multiplicité

3.1Racine

Définition 3.1Racine

Un réel $a$ est une racine de $P$ quand $P(a) = 0$ .

Propriété 3.2Caractérisation fondamentale

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x - a)$ divise $P$ .

Démonstration

Pour le sens direct, on divise $P$ par $(x - a)$ : le reste est de degré strictement inférieur à 1, donc constant. En évaluant en $a$ , on voit que cette constante vaut $P(a)$ .

Propriété 3.3Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines réelles, car chaque racine fournit un facteur de degré 1.

Il en découle qu'un polynôme qui s'annule en une infinité de points est le polynôme nul, et que deux polynômes qui coïncident en une infinité de points sont égaux. C'est l'argument qui légitime l'identification des coefficients.

3.2Cas du degré 2

Propriété 3.4Trinôme du second degré

Hypothèses

$P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ;
$\Delta = b^2 - 4ac$ .

Alors :

si $\Delta > 0$ , il y a deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ , et $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ;
si $\Delta = 0$ , il y a une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , et $P(x) = a(x - x_0)^2$ ;
si $\Delta < 0$ , il n'y a aucune racine réelle, et le trinôme garde le signe de $a$ sur $\R$ .

Les nombres complexes ne figurent pas au programme d'ECG en mathématiques approfondies. On ne parle donc jamais de racines complexes.

3.3Ordre de multiplicité

Définition 3.5Multiplicité

Soit $a$ une racine de $P$ . On dit que $a$ est racine d'ordre de multiplicité $m \geqslant 1$ quand $(x-a)^m$ divise $P$ et que $(x-a)^{m+1}$ ne le divise pas. Une racine d'ordre 1 est simple, d'ordre 2 double.

Propriété 3.6Caractérisation par factorisation

$a$ est racine d'ordre $m$ si et seulement s'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x-a)^m Q(x), \quad Q(a) \neq 0.$

Propriété 3.7Caractérisation par les dérivées

$a$ est racine d'ordre au moins $m$ si et seulement si $P(a), P'(a), \dots, P^{(m-1)}(a)$ sont tous nuls.
$a$ est racine d'ordre exactement $m$ si de plus $P^{(m)}(a) \neq 0$ .

C'est en pratique la méthode la plus rapide pour déterminer une multiplicité.

Exemple 3.8Racine double

Pour $P(x) = x^3 - 3x + 2$ , on a $P(1) = 0$ et $P'(x) = 3x^2 - 3$ , donc $P'(1) = 0$ . Mais $P''(x) = 6x$ donne $P''(1) = 6 \neq 0$ . Donc 1 est racine double, et $P(x) = (x-1)^2(x+2).$

Propriété 3.9Racines distinctes

Si $a_1, \dots, a_r$ sont des racines distinctes de multiplicités $m_1, \dots, m_r$ , alors le produit des $(x - a_i)^{m_i}$ divise $P$ . En particulier la somme des multiplicités ne dépasse pas le degré de $P$ .

4Formule de Taylor pour un polynôme

Théorème 4.1Formule de Taylor

Hypothèses

$P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ ;
$a$ est un réel.

Alors, pour tout réel $x$ : $P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.$

Cette égalité est exacte, sans reste, ce qui distingue le cas polynomial du cas général des formules de Taylor vues au second semestre. Elle exprime le développement de $P$ suivant les puissances de $(x - a)$ .

Utilisations :

réécrire un polynôme au voisinage d'un point, par exemple pour un changement de variable ;
lire directement la multiplicité d'une racine : si $a$ est racine d'ordre $m$ , les $m$ premiers termes sont nuls et $P(x) = (x-a)^m$ fois un polynôme qui ne s'annule pas en $a$ ;
retrouver les coefficients d'un polynôme à partir de ses dérivées en 0, cas particulier où $a = 0$ .

Exemple 4.2Taylor de $x^3$ en 1

On a $P(1) = 1$ , $P'(1) = 3$ , $P''(1) = 6$ , $P'''(1) = 6$ , d'où $x^3 = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3.$

5Factorisation dans KXF133FXK

Le programme demande de traiter des exemples simples de factorisation et d'énoncer le résultat général sans démonstration.

Théorème 5.1Factorisation dans $\R[x]$

Tout polynôme non constant à coefficients réels s'écrit comme un produit d'une constante, de facteurs de degré 1 et de facteurs de degré 2 sans racine réelle. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

Remarque

Résultat admis.

MéthodeFactoriser en pratique

Chercher une racine évidente, souvent parmi $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ .
Diviser par $(x - a)$ pour abaisser le degré.
Recommencer, jusqu'à obtenir un facteur de degré 2 que l'on traite par le discriminant.

Propriété 5.2Identités utiles

$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ . Plus généralement, $x^n - a^n$ se factorise par $(x - a)$ : $x^n - a^n = (x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^k a^{n-1-k}.$ Le cas $a = 1$ redonne la somme géométrique.

Exemple 5.3Factorisation de $x^4 - 1$

$\begin{aligned} x^4 - 1 &= (x^2-1)(x^2+1)\\ &= (x-1)(x+1)(x^2+1). \end{aligned}$ Le dernier facteur a un discriminant négatif, donc pas de racine réelle. La factorisation est terminée dans $\R[x]$ .

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour montrer que deux polynômes sont égaux, identifier les coefficients ou constater qu'ils coïncident en une infinité de points.
Pour trouver le quotient et le reste sans poser la division, écrire $A = BQ + R$ avec $R$ de degré adapté, puis identifier ou évaluer en des points bien choisis.
Pour le reste de la division par $(x - a)$ , évaluer en $a$ . Pour une division par $(x-a)(x-b)$ avec $a \neq b$ , écrire le reste sous la forme $\alpha x + \beta$ et évaluer en $a$ et en $b$ .
Pour déterminer une multiplicité, dériver et évaluer, plutôt que de factoriser à la main.
Pour prouver qu'un polynôme est nul, montrer qu'il a plus de racines que son degré ne l'autorise.
Pour majorer le nombre de solutions d'une équation polynomiale, utiliser l'argument du degré avant tout calcul.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer les règles de degré pour la somme et le produit, avec le contre-exemple de la perte de degré.
Poser une division euclidienne de deux polynômes de petit degré.
Démontrer que $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-a)$ divise $P$ .
Justifier qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, et en déduire le critère du polynôme nul.
Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine par les dérivées successives, puis écrire la factorisation correspondante.
Écrire la formule de Taylor d'un polynôme en un point et l'appliquer à un exemple de degré 3.
Factoriser complètement dans $\R[x]$ un polynôme de degré 3 ou 4 possédant une racine évidente.
Expliquer pourquoi l'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ n'est pas stable par addition.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients. Exigible, c'est ce qui autorise l'identification des coefficients.
Degré d'une somme, deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q), avec égalité si les degrés sont différents. Degré d'un produit, deg(PQ) = deg P + deg Q. Exigibles, avec la convention deg 0 = −∞ qui rend la seconde formule vraie sans exception.
Un produit de deux polynômes non nuls est non nul. Exigible, c'est l'argument de degré. On peut donc simplifier PA = PB par P non nul.
R_n[x] est stable par somme et par produit par un réel. Exigible, c'est un sous-espace vectoriel. L'ensemble des polynômes de degré exactement n ne l'est pas.
Division euclidienne. Pour A et B polynômes avec B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) avec A = BQ + R et deg R < deg B. Démonstration non exigible, la pratique de la division posée est exigible.
Si B divise A avec A ≠ 0, alors deg B ≤ deg A. Exigible, argument de degré.
a est racine de P si et seulement si (x − a) divise P. Démonstration non exigible au sens du programme, mais elle tient en deux lignes et tombe en khôlle.
Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines. Un polynôme ayant une infinité de racines est nul. Deux polynômes de degré au plus n qui coïncident en n + 1 points sont égaux. Exigibles comme énoncés.
Ordre de multiplicité. a est racine d'ordre m si et seulement si P = (x − a)^m Q avec Q(a) ≠ 0. Exigible, c'est la caractérisation par factorisation demandée par le programme.
Caractérisation par les dérivées. a est racine d'ordre au moins m si et seulement si P(a) = P'(a) = … = P^m−1(a) = 0. Elle se lit sur la formule de Taylor, à utiliser comme méthode de calcul.
Formule de Taylor pour un polynôme de degré au plus n, P(x) = Σ_k=0ⁿ P^k(a)/k! (x − a)^k. Exigible comme énoncé, exacte sans reste.
Trinôme du second degré, discriminant, factorisation selon le signe de Δ, signe du trinôme. Exigibles, acquis de terminale.
Tout polynôme réel non constant s'écrit comme produit d'une constante, de facteurs de degré 1 et de facteurs de degré 2 sans racine réelle. Admis, le programme demande de l'énoncer sans démonstration.
Identité xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹). Exigible, en lien avec la somme géométrique.
Hors programme, à signaler si un exercice les demande, les nombres complexes et les racines complexes, les polynômes irréductibles comme théorie, le théorème de d'Alembert-Gauss.

Clés de démonstration

Racine et divisibilité. On divise P par (x − a), le reste est de degré strictement inférieur à 1, donc constant, égal à r. En évaluant en a, P(a) = 0 × Q(a) + r = r. Donc P(a) = 0 équivaut à r = 0. Astuce, le reste d'une division par (x − a) est toujours P(a), c'est une formule à retenir.

Au plus n racines. Si a₁, …, a_p sont des racines distinctes, on montre par récurrence sur p que le produit des (x − a_i) divise P. Le passage de p à p + 1 utilise que (x − a_p+1) divise le quotient, car ce quotient s'annule en a_p+1 puisque les autres facteurs ne s'y annulent pas. Le degré du produit, p, est alors au plus deg P. Astuce, un produit de facteurs non nuls en a_p+1 n'est pas nul en a_p+1, donc la racine se reporte sur le quotient.

Multiplicité par Taylor. Si P(a) = … = P^m−1(a) = 0, la formule de Taylor en a commence au terme d'indice m, donc P = (x − a)^m fois un polynôme. Réciproquement, si P = (x − a)^m Q, les dérivées d'ordre inférieur à m s'annulent en a par la formule de dérivation d'un produit. Astuce, dériver et évaluer plutôt que factoriser à la main.

Formule de Taylor. On écrit P dans la base des (x − a)^k, ce qui est possible par développement, P = Σ c_k (x − a)^k. On dérive k fois et on évalue en a, seul le terme d'indice k survit et donne k! c_k. Astuce, la dérivation tue les termes de degré inférieur et l'évaluation en a tue les termes de degré supérieur.

Unicité de la division euclidienne. Deux écritures donnent B(Q − Q') = R' − R. Si Q ≠ Q', le membre de gauche a un degré au moins deg B, le membre de droite un degré strictement inférieur. Astuce, comparer les degrés, jamais les coefficients.

Exemples et contre-exemples à connaître

(x² + x) + (−x² + 1) = x + 1. Le degré d'une somme peut chuter, l'inégalité sur le degré n'est pas une égalité.
x² + 1 n'a pas de racine réelle et n'est pas constant. Un polynôme sans racine n'est pas forcément constant, et il n'est pas le polynôme nul.
x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2). Une racine double se voit sur P(1) = P'(1) = 0 et P''(1) ≠ 0.
x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1). Le facteur x² + 1 reste, la factorisation dans R s'arrête aux facteurs de degré 2 sans racine.
Le reste de la division de x¹⁰⁰ par x − 1 vaut 1, sans poser la division, car c'est la valeur en 1.
Le polynôme (x − 1)(x − 2)…(x − n) est de degré n et a exactement n racines. La borne « au plus n racines » est atteinte.
Si P(x) = P(x + 1) pour tout x, alors P est constant, car P − P(0) a pour racines tous les entiers naturels, donc une infinité.
Le polynôme dérivé de P de degré n ≥ 1 est de degré n − 1. Un polynôme dont la dérivée est nulle est constant, et l'équation P' = P n'a que la solution nulle, par comparaison des degrés.
x² = 1 a deux solutions, pourtant l'ensemble des polynômes de degré 2 n'est pas un espace vectoriel, x² et 1 − x² sont de degré 2 et leur somme de degré 0.
Un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle, par limites en ±∞ et théorème des valeurs intermédiaires. C'est un argument d'analyse que le chapitre suivant rend disponible.

Techniques du chapitre

Poser une division. Mini-exercice, diviser x³ + 2x² − 5 par x + 3. On retranche x²(x + 3), reste −x² − 5. On retranche −x(x + 3), reste 3x − 5. On retranche 3(x + 3), reste −14. Donc x³ + 2x² − 5 = (x + 3)(x² − x + 3) − 14, et on vérifie que la valeur en −3 vaut bien −14.

Reste sans poser la division. Mini-exercice, reste de xⁿ par (x − 1)(x − 2). Le reste est αx + β. En x = 1, α + β = 1. En x = 2, 2α + β = 2ⁿ. Donc α = 2ⁿ − 1 et β = 2 − 2ⁿ. Deux évaluations suffisent car le diviseur a deux racines distinctes.

Multiplicité par dérivation. Mini-exercice, ordre de 1 comme racine de P = x⁴ − 2x³ + 2x − 1. P(1) = 0, P' = 4x³ − 6x² + 2 donne P'(1) = 0, P'' = 12x² − 12x donne P''(1) = 0, P''' = 24x − 12 donne P'''(1) = 12 ≠ 0. Racine triple, P = (x − 1)³(x + 1) après division.

Factorisation par racine évidente. Mini-exercice, factoriser x³ − 6x² + 11x − 6. On teste 1, qui est racine. Division par x − 1, quotient x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Résultat (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Identification des coefficients. Mini-exercice, trouver a, b avec x² + 1 = (x + a)² + b pour tout x. On développe, x² + 2ax + a² + b, donc 2a = 0 et a² + b = 1, soit a = 0 et b = 1.

Argument de degré. Mini-exercice, trouver les polynômes P tels que P(x²) = (P(x))². Si deg P = n, les deux membres sont de degré 2n, compatible. Si P est constant c, alors c = c², donc c ∈ {0, 1}. Pour aller plus loin, on compare les coefficients dominants et on utilise les racines. Le premier réflexe est toujours de comparer les degrés.

Taylor pour recentrer. Mini-exercice, écrire x³ − x en puissances de (x − 1). P(1) = 0, P'(1) = 3 − 1 = 2, P''(1) = 6, P'''(1) = 6. Donc x³ − x = 2(x − 1) + 3(x − 1)² + (x − 1)³.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Reste modulo (x − 1)²

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit n ≥ 2. Déterminer le reste de la division euclidienne de xⁿ par (x − 1)².

Technique le reste est de degré au plus 1, on utilise la valeur et la dérivée en 1.

Voir le corrigé

On écrit xⁿ = (x − 1)² Q + αx + β. 2. En x = 1, α + β = 1. 3. On dérive, n xⁿ⁻¹ = 2(x − 1) Q + (x − 1)² Q' + α, et en x = 1, α = n. 4. Donc β = 1 − n, le reste est nx + 1 − n. Vérification avec n = 2, x² = (x − 1)² + 2x − 1.

piège : Oublier de dériver le produit (x − 1)² Q correctement, ou évaluer en 1 sans avoir dérivé.

Exercice 2. Racine double d'un trinôme paramétré

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour quelles valeurs du réel m le polynôme P = x³ − 3x + m admet-il une racine double. Factoriser alors P.

Technique racine double signifie P(a) = P'(a) = 0.

Voir le corrigé

P' = 3x² − 3, de racines 1 et −1. 2. Une racine double a vérifie P'(a) = 0, donc a = 1 ou a = −1. 3. P(1) = m − 2 et P(−1) = m + 2. Donc m = 2 donne la racine double 1, et m = −2 la racine double −1. 4. Pour m = 2, P = (x − 1)²(x + 2). Pour m = −2, P = (x + 1)²(x − 2). Dans les deux cas la troisième racine se lit sur le coefficient constant après division.

piège : Chercher la racine double en résolvant P = 0 au lieu de partir de P' = 0 qui n'a que deux candidats.

Exercice 3. Polynômes vérifiant P(x + 1) = P(x)

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Déterminer les polynômes P tels que P(x + 1) = P(x) pour tout réel x.

Technique exhiber une infinité de racines.

Voir le corrigé

Soit P solution et Q = P − P(0). 2. Q(0) = 0, et par récurrence Q(n) = P(n) − P(0) = P(0) − P(0) = 0 pour tout entier naturel n, en utilisant P(n + 1) = P(n). 3. Q a une infinité de racines, donc Q = 0, donc P est constant. Réciproquement les constantes conviennent.

piège : Dire que P est « périodique donc constant » sans l'argument des racines, qui est le seul disponible.

Exercice 4. Nombre de racines d'un polynôme et de sa dérivée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit P un polynôme de degré n ≥ 2 ayant n racines réelles distinctes. Montrer que P' a n − 1 racines réelles distinctes. On admet le théorème de Rolle, vu au chapitre dérivation.

Technique Rolle entre deux racines consécutives, puis comptage.

Voir le corrigé

On range les racines a₁ < a₂ < … < a_n. 2. Entre a_i et a_i+1, P est dérivable et s'annule aux deux bornes, Rolle donne un c_i dans ]a_i, a_i+1[ avec P'(c_i) = 0. 3. Les intervalles sont disjoints, donc les n − 1 réels c_i sont distincts. 4. P' est de degré n − 1, il a au plus n − 1 racines, donc exactement celles-là, toutes simples. Signalement, l'exercice mélange ce chapitre et le chapitre dérivation, il n'utilise rien de hors programme.

piège : Oublier l'argument de degré qui garantit qu'il n'y a pas d'autre racine.

Exercice 5. Polynômes pairs

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer qu'un polynôme P vérifie P(−x) = P(x) pour tout x si et seulement si tous ses coefficients d'indice impair sont nuls.

Technique identification des coefficients.

Voir le corrigé

On écrit P = Σ a_k x^k, donc P(−x) = Σ (−1)^k a_k x^k. 2. P(−x) = P(x) pour tout x signifie l'égalité de deux polynômes, donc (−1)^k a_k = a_k pour tout k. 3. Pour k impair, −a_k = a_k, donc a_k = 0. Pour k pair la condition est automatique. 4. La réciproque est immédiate, un polynôme en x² est pair.

piège : Ne pas dire pourquoi l'égalité des fonctions donne l'égalité des coefficients, c'est l'identification.

Exercice 6. Interpolation de Lagrange

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soient a, b, c trois réels distincts. (a) Construire un polynôme L_a de degré 2 tel que L_a(a) = 1, L_a(b) = 0, L_a(c) = 0. (b) Montrer que pour tous réels α, β, γ, il existe un unique polynôme P de degré au plus 2 avec P(a) = α, P(b) = β, P(c) = γ.

Technique construire avec des produits de facteurs, unicité par les racines.

Voir le corrigé

(a) L_a = (x − b)(x − c)/((a − b)(a − c)), bien défini car a ≠ b et a ≠ c, de degré 2, valant 1 en a et 0 en b et c. De même pour L_b et L_c. 2. (b) Existence, P = α L_a + β L_b + γ L_c convient, de degré au plus 2. 3. Unicité, si P et P₁ conviennent, leur différence est de degré au plus 2 et s'annule en a, b, c, trois points distincts, donc elle est nulle.

piège : Écrire L_a sans le dénominateur, ce qui donne 0 aux bons endroits mais pas 1 en a.

Exercice 7. Base de R_n[x] adaptée à un point

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit a un réel et n ≥ 1. Montrer que tout polynôme de degré au plus n s'écrit de manière unique sous la forme Σ_k=0ⁿ c_k (x − a)^k. Que valent les c_k.

Technique formule de Taylor pour l'existence, dérivation pour l'unicité.

Voir le corrigé

Existence, la formule de Taylor en a donne l'écriture avec c_k = P^k(a)/k!. 2. Unicité, si P = Σ c_k (x − a)^k, on dérive j fois et on évalue en a. Les termes d'indice k < j ont disparu par dérivation, ceux d'indice k > j s'annulent en a, il reste j! c_j = P^j(a). 3. Les coefficients sont donc imposés. En algèbre linéaire, cela dit que la famille des (x − a)^k pour k de 0 à n est une base de R_n[x].

piège : Croire que l'unicité est évidente parce que « c'est un polynôme », alors qu'elle demande un argument.

Exercice 8. Division par un trinôme sans racine

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Déterminer le reste de la division de x⁴ + x + 1 par x² + 1, sans poser la division.

Technique utiliser la relation x² = −1 modulo le diviseur, c'est-à-dire remplacer x² par −1 dans les calculs.

Voir le corrigé

On écrit x⁴ = (x² + 1)(x² − 1) + 1. C'est l'identité (x²)² − 1 = (x² − 1)(x² + 1). 2. Donc x⁴ + x + 1 = (x² + 1)(x² − 1) + x + 2. 3. Le reste x + 2 est de degré 1 < 2, la division est terminée. Remarque, cette méthode évite les racines complexes, hors programme.

piège : Chercher à évaluer en des racines du diviseur, qui n'existent pas dans R.

Exercice 9. Équation P' divise P

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit P un polynôme de degré n ≥ 1 tel que P = (x − a) P'/n pour un certain réel a. Montrer que P = λ(x − a)ⁿ pour un réel λ non nul.

Technique comparer les coefficients dans la base des (x − a)^k.

Voir le corrigé

On écrit P = Σ_k=0ⁿ c_k (x − a)^k avec c_n ≠ 0, d'après l'exercice 7. 2. Alors (x − a)P' = Σ k c_k (x − a)^k. 3. L'égalité nP = (x − a)P' donne n c_k = k c_k pour tout k, donc c_k = 0 pour k < n. 4. Il reste P = c_n (x − a)ⁿ. Réciproquement ces polynômes conviennent.

piège : Travailler dans la base des x^k, où l'équation se traduit mal, alors que la base centrée en a la rend diagonale.

Exercice 10. Racines et coefficients d'un polynôme de degré 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type emlyon

Soit P = x³ + px + q avec p, q réels, admettant trois racines réelles a, b, c. (a) Montrer que a + b + c = 0. (b) Exprimer ab + bc + ca et abc en fonction de p et q. (c) En déduire a² + b² + c².

Technique développer la forme factorisée et identifier.

Voir le corrigé

P est unitaire et a pour racines a, b, c, donc P = (x − a)(x − b)(x − c), avec multiplicités comptées dans la liste. 2. On développe, (x − a)(x − b)(x − c) = x³ − (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x − abc. 3. Identification avec x³ + 0x² + px + q, d'où a + b + c = 0, ab + bc + ca = p, abc = −q. 4. (c) a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca) = −2p. En particulier p ≤ 0 dès que P a trois racines réelles.

piège : Oublier que la factorisation P = (x − a)(x − b)(x − c) demande un coefficient dominant égal à 1 et le compte exact des multiplicités.

Exercice 11. Polynômes et suites récurrentes

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soit P un polynôme de degré 2 tel que P(x) − P(x − 1) = x pour tout réel x et P(0) = 0. (a) Déterminer P. (b) En déduire Σ_k=1ⁿ k. (c) Expliquer pourquoi il n'existe pas de polynôme de degré 1 vérifiant la même relation.

Technique identification, puis télescopage.

Voir le corrigé

(a) P = ax² + bx + c avec c = 0. P(x) − P(x − 1) = a(2x − 1) + b = 2ax + b − a. Identification avec x, 2a = 1 et b − a = 0, donc a = b = 1/2 et P = x(x + 1)/2. 2. (b) Σ_k=1ⁿ k = Σ (P(k) − P(k − 1)) = P(n) − P(0) = n(n + 1)/2 par télescopage. 3. (c) Si deg P = 1, alors P(x) − P(x − 1) est constant, de degré au plus 0, alors que x est de degré 1. L'argument de degré ferme la question. Plus généralement, la même méthode avec un polynôme de degré 3 redonne la formule de Σ k².

piège : Oublier de vérifier que le polynôme trouvé convient, l'identification donne une condition nécessaire, on la vérifie en une ligne.

Erreurs fréquentes

Écrire deg(P + Q) = max(deg P, deg Q) sans vérifier que les degrés sont différents, ou oublier deg 0 = −∞.
Poser une division avec un reste de degré égal à celui du diviseur, ce qui signifie que la division n'est pas finie.
Conclure qu'un polynôme est nul parce qu'il a « beaucoup » de racines, sans comparer au degré.
Déterminer une multiplicité en s'arrêtant à P(a) = P'(a) = 0 sans vérifier que la dérivée suivante est non nulle.
Chercher des racines complexes ou invoquer d'Alembert-Gauss, hors programme en ECG, alors qu'un argument de degré ou un trinôme suffit.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie II « Polynômes ». Le programme précise trois limites : la construction des polynômes formels n'est pas au programme, on identifie polynômes et fonctions polynomiales, et les démonstrations des résultats de ce paragraphe ne sont pas exigibles. On vise donc la maîtrise des énoncés et la pratique du calcul.

Polynômes

Résumé en cinq points

1L'ensemble KXF2FXK

1.1Définition et opérations

1.2Degré

1.3Les ensembles Rn[x]\R_n[x]Rn​[x]

2Division euclidienne

2.1Énoncé

2.2Multiples et diviseurs

3Racines et multiplicité

3.1Racine

3.2Cas du degré 2

3.3Ordre de multiplicité

4Formule de Taylor pour un polynôme

5Factorisation dans KXF133FXK

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Reste modulo (x − 1)²

Exercice 2. Racine double d'un trinôme paramétré

Exercice 3. Polynômes vérifiant P(x + 1) = P(x)

Exercice 4. Nombre de racines d'un polynôme et de sa dérivée

Exercice 5. Polynômes pairs

Exercice 6. Interpolation de Lagrange

Exercice 7. Base de Rn[x] adaptée à un point

Exercice 8. Division par un trinôme sans racine

Exercice 9. Équation P' divise P

Exercice 10. Racines et coefficients d'un polynôme de degré 3

Exercice 11. Polynômes et suites récurrentes

Erreurs fréquentes

1.3Les ensembles $\R_n[x]$

Exercice 7. Base de R_n[x] adaptée à un point