Travaux pratiques, simulation de lois

Exercice 1. Une loi à queue lourde ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

Soit $$f(x) = \frac{2}{x^3} \quad \text{pour } x \geq 1$$ et $$f(x) = 0 \quad \text{sinon.}$$

Vérifier que $f$ est une densité, calculer sa fonction de répartition, la simuler par inversion, puis discuter l'espérance et la variance.

Exercice 2. Loi de Cauchy ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Montrer que $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{\arctan(x)}{\pi}$$ est la fonction de répartition de la loi de Cauchy, en déduire une simulation, justifier l'absence d'espérance et expliquer l'allure de la moyenne courante.

Exercice 6. Loi de Laplace par deux méthodes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $$f(x) = \frac{e^{-|x|}}{2}.$$ Calculer $F$ et simuler par inversion.

Soient ensuite $E$ exponentielle de paramètre $1$ et $\varepsilon$ indépendante de $E$, prenant les valeurs $1$ et $-1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$.

Montrer que $\varepsilon E$ a pour densité $f$.

Exercice 3. Trois simulations de la loi géométrique ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Pour $p \in ]0, 1[$, écrire les trois simulations de la loi géométrique demandées par le programme.

Justifier la deuxième.

Pour $p = 0{,}001$, quelle méthode éviter ?

Exercice 4. Loi normale par douze uniformes ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Justifier que $S - 6$ est centrée réduite si $S$ est la somme de 12 uniformes indépendantes sur $[0, 1]$.

Généraliser à $n$ uniformes.

Donner une limite de cette méthode.

Exercice 9. Pourquoi l'exponentielle converge lentement ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soient $Y_1, \dots, Y_n$ indépendantes, de même loi, centrées, admettant un moment d'ordre 3 noté $\kappa = E(Y_1^3)$, et de variance $\sigma^2 > 0$. On pose $$Z_n = \frac{Y_1 + \dots + Y_n}{\sigma\sqrt{n}}.$$ Montrer que $$E(Z_n^3) = \frac{\kappa}{\sigma^3\sqrt{n}}.$$ Calculer $\frac{\kappa}{\sigma^3}$ pour la loi exponentielle de paramètre 1, recentrée, et conclure sur la comparaison des méthodes.

Exercice 5. Minimum d'exponentielles ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soient $E_1$ et $E_2$ indépendantes, exponentielles de paramètres $\lambda$ et $\mu$. Déterminer la loi de $$M = \min(E_1, E_2).$$ Écrire une simulation qui confirme le résultat.

Exercice 7. Maximum d'uniformes ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soient $U_1, \dots, U_k$ indépendantes et uniformes sur $[0, 1]$, et $M$ leur maximum.

Déterminer la loi de $M$.

En déduire deux simulations et les comparer.

Exercice 8. Taille d'échantillon pour la fonction de répartition empirique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit $F_n$ la fonction de répartition empirique d'un échantillon de taille $n$ de loi $F$. Pour $x$ fixé et $\varepsilon > 0$, majorer $$P(|F_n(x) - F(x)| \geq \varepsilon)$$ indépendamment de $x$ et de $F$.

Quel $n$ garantit une erreur inférieure à $0{,}01$ avec une probabilité au moins $0{,}95$ ?

Exercice HP. Simuler la densité parabolique sur [-1,1] ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en ECG2

Soit $f(x)=\dfrac34(1-x^2)$ pour $x\in[-1,1]$ et $f(x)=0$ sinon. On propose $g(x)=\dfrac12$ sur $[-1,1]$ ($g=0$ ailleurs), densité de la loi uniforme sur $[-1,1]$. On suppose disposer d'uniformes indépendantes sur $[0,1]$.

1. Vérifier que $f$ est une densité de probabilité.
2. Déterminer la plus petite constante $M$ telle que $f\le Mg$, puis expliciter $r(x)=f(x)/(Mg(x))$ pour $x\in[-1,1]$.
3. Décrire l'algorithme de rejet correspondant, en précisant comment obtenir $X\sim g$ à partir d'une uniforme $V$ sur $[0,1]$.
4. Calculer la probabilité d'acceptation d'une tentative, puis $P(N=3)$ et $P(N\ge4)$, où $N$ est le nombre de tentatives.
5. Calculer le nombre moyen de tentatives et le nombre moyen d'uniformes sur $[0,1]$ consommées.
6. Vérifier directement que, pour $t\in[-1,1]$, $P(X\le t\mid A)=\int_{-1}^t f$, où $A$ est l'événement « accepté ».

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice HP. Estimer e−1 par tirages antithétiques ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en ECG2

Soit $U$ de loi uniforme sur $]0,1[$ et $f(x)=e^x$. On veut estimer $I=\int_0^1 e^x\,\dd x$. Soit $U_1,\dots,U_{2n}$ indépendantes de même loi que $U$. On pose $N_{2n}=\frac1{2n}\sum_{k=1}^{2n}e^{U_k}$ et $A_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{e^{U_k}+e^{1-U_k}}2$.

1. Calculer $I$ et vérifier que $N_{2n}$ et $A_n$ sont sans biais.
2. Calculer $\sigma^2=\operatorname{Var}(e^U)$ et en déduire $\operatorname{Var}(N_{2n})$.
3. Calculer $c=\operatorname{Cov}(e^U,e^{1-U})$. Sans la calculer, justifier le signe de $c$.
4. En déduire $\operatorname{Var}(A_n)$, puis le rapport $\operatorname{Var}(N_{2n})/\operatorname{Var}(A_n)$ (valeur approchée).
5. On veut un écart-type d'au plus $10^{-3}$. Combien d'évaluations de $f$ faut-il pour chaque méthode ? On donne $e\approx2{,}718282$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.