Travaux pratiques, estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

Exercice 1. Approcher π ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle · Estimation par simulation

$U$ et $V$ sont indépendantes uniformes sur $[0, 1]$.

Montrer que $$P(U^2 + V^2 \leq 1) = \frac{\pi}{4},$$ écrire un programme estimant $\pi$ avec sa garantie à 95 pour cent, puis estimer le nombre de simulations pour trois décimales.

Exercice 2. Fonction de répartition d'un produit ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle · Estimation par simulation

$U$ et $V$ sont indépendantes uniformes sur $[0, 1]$.

Montrer que $$P(UV \leq t) = t - t \ln t$$ pour $t \in ]0, 1]$, puis estimer cette valeur en $t = \frac{1}{2}$ par simulation.

Exercice 3. Tchebychev contre théorème limite central ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Dimensionnement des simulations

Combien de simulations faut-il pour estimer une probabilité $p$ à $0{,}01$ près avec un niveau d'au moins 95 pour cent, selon Bienaymé-Tchebychev puis selon l'approche asymptotique ?

Exercice 4. Deux estimateurs pour la loi uniforme ★★

Classiques de khôlle et concours · 45 min · Niveau écrit Ecricome · Comparaison d'estimateurs

$X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes de loi uniforme sur $[0, \theta]$.

On pose $T_n = 2\overline{X}_n$ et $M_n = \max X_i$.

• Déterminer la loi de $M_n$.
• vérifier que $U_n = \frac{(n + 1) M_n}{n}$ est sans biais.
• calculer $V(T_n)$ et $V(U_n)$.
• puis proposer une simulation de contrôle.

Exercice 5. Un estimateur biaisé meilleur ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC · Comparaison d'estimateurs

Avec les notations de l'exercice 4, on considère $cM_n$ pour $c > 0$.

Calculer son risque quadratique, trouver $c$ optimal, comparer à $U_n$ et à $M_n$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Deux intervalles pour une loi de Bernoulli ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC · Intervalles de confiance

Démontrer que $\overline{X}_n \pm \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$ est un intervalle de confiance de niveau $1 - \alpha$.

Écrire une fonction Python de paramètres $n$, $p$ et $N$ qui renvoie les demi-largeurs et les niveaux effectifs des deux intervalles du cours à 95 pour cent.

Exercice 7. À partir de quel rang ? ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC · Intervalles de confiance

Tracer le niveau effectif de l'intervalle asymptotique en fonction de $n$, de 5 à 200, pour $p = 0{,}5$ puis $p = 0{,}05$.

Décrire et expliquer les courbes.

Exercice 8. Loi normale, σ connu puis estimé ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome · Intervalles de confiance

$X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma$ connu.

Montrer que $$\begin{aligned} &P\left(|\overline{X}_n - m| \leq 1{,}96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2\Phi(1{,}96) - 1 \\ &\approx 0{,}95 \end{aligned}$$ pour tout $n$.

Simuler ensuite l'intervalle en remplaçant $\sigma$ par l'écart type empirique, pour $n = 5$, $10$ et $50$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Une espérance avec garantie ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC · Estimation par simulation

Soit $I = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1 + x}\,dx$. Écrire $I$ comme une espérance, proposer un estimateur de Monte-Carlo, montrer sa convergence et donner une garantie sans calculer de variance.

Exercice 10. Quand Monte-Carlo s'effondre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral HEC · Limites du Monte-Carlo

Simuler une variable de Cauchy par $\tan\left(\pi\left(U - \frac{1}{2}\right)\right)$ avec $U$ uniforme sur $]0, 1[$.

Tracer les moyennes empiriques en fonction de $n$ et expliquer.