Statistiques descriptives bivariées en Python

Exercice 1. Fonctions statistiques sans numpy ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Deux listes $x$ et $y$ ont la même longueur $n \geq 1$.

Écrire moyenne($L$), puis covariance($x$, $y$) avec une seule boucle, puis regression($x$, $y$) qui renvoie pente et ordonnée à l'origine et signale une variance de $x$ nulle.

def moyenne(L):
    s = 0
    for v in L:
        s = s + v
    return s / len(L)

def covariance(x, y):
    n = len(x)
    sx, sy, sxy = 0, 0, 0
    for i in range(n):
        sx = sx + x[i]
        sy = sy + y[i]
        sxy = sxy + x[i] * y[i]
    return sxy / n - (sx / n) * (sy / n)

def regression(x, y):
    v = covariance(x, x)
    if abs(v) < 1e-12:
        print("variance de x nulle, pas de droite")
        return None
    a = covariance(x, y) / v
    b = moyenne(y) - a * moyenne(x)
    return a, b

Exercice 2. Les deux droites de régression à la main ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On donne $$x = (1, 2, 3, 4, 5) \quad \text{et} \quad y = (3, 5, 4, 7, 6).$$ Calculer $r$ et les deux droites de régression, puis vérifier la relation entre les pentes.

Exercice 5. Les moindres carrés par le point critique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit emlyon

Les $x_i$ ne sont pas tous égaux.

On pose $$G(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2.$$ Trouver le point critique de $G$ et montrer que c'est un minimum global unique.

Exercice 3. Un point aberrant ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Points (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) et (10, 10). Calculer r avec et sans le dernier point, et écrire le code de comparaison.

Exercice 4. Scores centrés réduits ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC ou Ecricome

On suppose sx et sy non nuls et l'on pose ui = (xi − xbarre)/sx, vi = (yi − ybarre)/sy. Montrer que r est la moyenne des ui vi, en déduire −1 ≤ r ≤ 1, caractériser r = 1 et traduire ui en numpy.

Exercice 8. Simulation et corrélation théorique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

On pose $$Y = 2X + 1 + \varepsilon,$$ où $X$ suit la loi uniforme sur $[0, 1]$ et $\varepsilon$ la loi normale centrée d'écart-type $0{,}5$, indépendante de $X$.

Calculer la corrélation théorique, puis simuler $n = 10\,000$ couples et comparer.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Un modèle exponentiel ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Le chiffre d'affaires sur les années $t = 0$ à $5$ vaut $$100, \quad 122, \quad 149, \quad 182, \quad 222, \quad 271.$$ Justifier un modèle $y = C e^{kt}$, estimer $C$ et $k$ en Python, interpréter $k$ et discuter une prévision pour $t = 8$.

Exercice 7. Comparer des transformations, élasticité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit ESSEC

Pour dix entreprises, on relève l'effectif $L$ et la production $Q$, strictement positifs.

Écrire une fonction affichant $r$ pour les modèles affine, exponentiel et puissance.

Le modèle puissance l'emporte, avec une pente de $0{,}7$.

Interpréter.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.