Équations et systèmes différentiels en Python

Exercice 1. Stock de capital ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle · Équation scalaire linéaire

Un stock $K$ reçoit un investissement constant de 8 par unité de temps et se déprécie au taux $0{,}4$, donc $$K' = 8 - 0{,}4K.$$ Donner l'équilibre et l'expression de $K$.

Écrire un programme qui trace $K$ pour $K_0 \in \{0, 10, 20, 30, 40\}$ avec l'équilibre, puis commenter.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 15, 300)
for K0 in [0, 10, 20, 30, 40]:
    K = 20 + (K0 - 20) * np.exp(-0.4 * t)
    plt.plot(t, K, label="K0 = " + str(K0))
plt.plot(t, 20 + 0 * t, "k--")
plt.xlabel("temps")
plt.ylabel("stock")
plt.legend()
plt.show()

Exercice 2. Paramètres d'un marché ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle · Équation scalaire linéaire

On note $$D(p) = \alpha - \beta p$$ et $$S(p) = \gamma + \delta p,$$ avec $\alpha > \gamma$ et $\beta, \delta, k$ strictement positifs.

Le prix suit $$p' = k(D(p) - S(p)).$$ Déterminer l'équilibre.

Dire ce que change $k$, puis ce que change une hausse de $\alpha$.

Proposer un tracé.

Exercice 3. Retrouver l'équation à partir d'un tracé ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Identification de l'équation

Une courbe solution de $$y' = ay + b$$ part de 10, décroît vers une asymptote d'ordonnée 4, et vaut 7 vers $t = 0{,}35$.

Retrouver $a$ et $b$.

Exercice 4. Une dette qui s'emballe ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Équation scalaire linéaire

Une dette $D$ porte un intérêt continu de taux $0{,}5$, et on rembourse 2 par unité de temps, donc $$D' = 0{,}5D - 2.$$ Étudier l'équilibre.

Pour $D_0 = 2$, trouver l'instant où la dette s'annule.

Tracer pour $D_0 \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ sur $[0, 3]$.

Exercice 5. Système stable et direction d'arrivée ★★

Classiques de khôlle et concours · 45 min · Niveau écrit Ecricome · Système linéaire et valeurs propres

Soit $A$ de lignes $(-2, 1)$ et $(2, -3)$.

Résoudre $X' = AX$ avec $X(0) = (3, 0)$.

Tracer la trajectoire dans le plan de phase et commenter.

Exercice 6. Deux marchés qui échangent leurs clients ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Système linéaire et valeurs propres

On pose $$x' = -0{,}3x + 0{,}2y$$ et $$y' = 0{,}3x - 0{,}2y,$$ où $x$ et $y$ sont les clientèles de deux enseignes.

Montrer que $x + y$ est constant, résoudre, et tracer $x$ pour plusieurs répartitions initiales de même total 100.

Exercice 7. Sensibilité autour d'un point selle ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Système linéaire et valeurs propres

Soit $A$ de lignes $(1, 2)$ et $(2, 1)$.

Déterminer les conditions initiales donnant une trajectoire bornée.

Pour $X_0 = (1, -1 + \varepsilon)$, estimer l'instant où la trajectoire s'écarte nettement de l'origine.

Exercice 8. Discussion selon un paramètre ★★★

Approfondissement · 60 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC · Discussion selon un paramètre

Soit m réel et A(m) de lignes (m, 1) et (1, m). Discuter selon m le comportement des solutions de X' = A(m)X et illustrer par un programme.

Exercice 9. Contrôler un calcul avec odeint ★

Application du cours · 15 min · Type oral avec Python · Résolution numérique avec odeint

L'énoncé fournit odeint.

Pour le système de l'exercice 5, écrire la fonction dérivée, obtenir la solution approchée, et mesurer l'écart maximal avec la formule exacte.