Le cours

Résumé en cinq points

Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles converge. Si le terme général ne tend pas vers 0, elle diverge.
La série de Riemann de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ . Avec les séries géométriques et la série exponentielle, ce sont les références du chapitre.
Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
Pour des termes positifs, la majoration transmet la convergence vers le bas, la négligeabilité aussi, et l'équivalence donne la même nature. Ces règles exigent un signe constant.
Pour une série dont le signe change, on étudie la convergence absolue, qui implique la convergence. Les sommes télescopiques fournissent les rares cas de calcul exact.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a appris ce qu'est une série et on a calculé quelques sommes explicites : séries géométriques, séries géométriques dérivées, série exponentielle. Mais on ne savait pas décider de la convergence d'une série dont on ne sait pas calculer la somme. C'est ce que ce chapitre apporte.

Pour une série à termes positifs, on compare le terme général à celui d'une série de référence dont on connaît le comportement.

Les séries de référence sont les séries de Riemann, les séries géométriques et la série exponentielle.
Les outils de comparaison sont la majoration, la négligeabilité et l'équivalence, ceux du chapitre précédent.

L'usage principal est probabiliste. Une variable aléatoire discrète prenant une infinité de valeurs admet une espérance quand une certaine série converge absolument. Décider de cette convergence est une compétence exigée dans presque tous les sujets de probabilités.

Convention du programme : toutes les séries considérées sont à termes réels.

1Rappels de première année

1.1Définition

Définition 1.1Série convergente

Soit $(u_n)$ une suite réelle définie à partir du rang $n_0$ . La somme partielle de rang $n$ est $S_n = u_{n_0} + \cdots + u_n$ . La série de terme général $u_n$ converge lorsque la suite $(S_n)$ admet une limite finie quand $n$ tend vers $+\infty$ . Cette limite est alors la somme de la série, notée $\sum u_n$ . Sinon, la série diverge.

Une série est une suite, celle des sommes partielles : tout ce que l'on sait sur les suites s'applique.

1.2Linéarité

Propriété 1.2Linéarité

Hypothèses

les séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ convergent ;
$\lambda$ et $\mu$ sont des réels.

Alors la série de terme général $\lambda u_n + \mu v_n$ converge, et sa somme vaut $\lambda \sum u_n + \mu \sum v_n$ .

Attention

Si l'une converge et l'autre diverge, la somme diverge. Si les deux divergent, on ne peut rien dire sans étude supplémentaire.

1.3Condition nécessaire de convergence

Théorème 1.3Condition nécessaire de convergence

Si la série de terme général $u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ .

Démonstration

Pour $n > n_0$ , $u_n = S_n - S_{n-1}$ . Les deux suites tendent vers la même limite finie $S$ , donc la différence tend vers 0.

Attention

Cette condition n'est pas suffisante. La série harmonique, de terme général $\frac{1}{n}$ , a un terme général qui tend vers 0 et pourtant elle diverge.

La contraposée est un outil redoutable : si le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement. C'est le premier réflexe à avoir.

1.4Séries de référence de première année

Propriété 1.4Séries géométriques

Hypothèse : $q$ est un réel.

Alors la série géométrique de raison $q$ converge si et seulement si $\abs{q} < 1$ , et dans ce cas $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}.$ Les séries géométriques dérivées, de termes généraux $n q^{n-1}$ et $n(n-1) q^{n-2}$ , convergent sous la même condition, de sommes respectives $\frac{1}{(1-q)^2} \quad \text{et} \quad \frac{2}{(1-q)^3}.$

Propriété 1.5Série exponentielle

La série de terme général $\dfrac{x^n}{n!}$ converge pour tout réel $x$ , et sa somme vaut $\e^x$ .

2Séries de Riemann

Définition 2.1Série de Riemann

Pour un réel $\alpha$ , la série de terme général $\dfrac{1}{n^\alpha}$ , pour $n \geqslant 1$ , est une série de Riemann.

Théorème 2.2Convergence des séries de Riemann

La série de Riemann $\sum \dfrac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

Résultat au programme. Il pourra être démontré dans le chapitre sur les intégrales généralisées, par comparaison entre la somme et l'intégrale de $t \mapsto \frac{1}{t^\alpha}$ . On peut donc l'admettre à ce stade.

Exemple 2.3Cas à retenir

Pour $\alpha = 1$ , c'est la série harmonique, divergente.
Pour $\alpha = 2$ , la série converge.
Pour $\alpha \leqslant 0$ , le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.

Quand on cherche la nature d'une série, on essaie presque toujours de comparer son terme général à un $\frac{1}{n^\alpha}$ .

3Séries à termes positifs

3.1Le critère fondamental

Soit une série de terme général $u_n$ avec $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ . Alors la suite des sommes partielles est croissante, puisque $S_n - S_{n-1} = u_n \geqslant 0$ . D'après le théorème de la limite monotone, cette suite converge si et seulement si elle est majorée.

Théorème 3.1Critère fondamental

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Une série à termes positifs a donc un comportement simple : soit elle converge, soit ses sommes partielles tendent vers $+\infty$ . Il n'y a pas de troisième cas.

3.2Règle de majoration

Théorème 3.2Règle de majoration

Hypothèse : $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang.

Alors :

si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge ;
si $\sum u_n$ diverge, $\sum v_n$ diverge.

Le second point est la contraposée du premier. Moyen mnémotechnique : la convergence se transmet vers le bas, la divergence vers le haut.

Démonstration

Les sommes partielles de $u$ sont majorées par celles de $v$ , elles-mêmes majorées par la somme de la série convergente. Le critère fondamental conclut.

Attention

L'hypothèse de positivité est indispensable. Avec $u_n = -1$ et $v_n = 0$ , on a bien $u_n \leqslant v_n$ , la série des $v_n$ converge, et celle des $u_n$ diverge.

3.3Règle de négligeabilité

Théorème 3.3Règle de négligeabilité

Hypothèses

$u_n$ et $v_n$ sont positifs à partir d'un certain rang ;
$u_n = o(v_n)$ ;
la série $\sum v_n$ converge.

Alors la série $\sum u_n$ converge.

Démonstration

Puisque $\frac{u_n}{v_n}$ tend vers 0, on a $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang, et on applique la règle de majoration.

La réciproque n'a pas de sens : si $\sum v_n$ diverge, on ne peut rien conclure sur $u_n$ .

3.4Règle d'équivalence

Théorème 3.4Règle d'équivalence

Hypothèses

$u_n$ et $v_n$ sont positifs à partir d'un certain rang ;
$u_n \sim v_n$ .

Alors les deux séries sont de même nature : elles convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.

C'est la règle la plus utilisée.

Attention

En cas de convergence, elle ne dit rien sur l'égalité des sommes, en général différentes. Ne pas confondre même nature et même somme.

La positivité est requise : les trois règles de ce paragraphe ne s'appliquent qu'à des séries à termes de signe constant à partir d'un certain rang. Si le terme général est négatif à partir d'un certain rang, on se ramène au cas positif en changeant le signe, ce qui ne change pas la nature de la série.

3.5Exemples

Exemple 3.5Par équivalent

Le terme général $\dfrac{1}{n^2 + n + 1}$ est positif et équivalent à $\dfrac{1}{n^2}$ . La série de Riemann d'exposant 2 converge, donc la série converge.

Exemple 3.6Par équivalent, cas divergent

Le terme général $\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$ est positif et équivalent à $\dfrac{1}{n}$ . La série harmonique diverge, donc la série diverge.

Exemple 3.7Par négligeabilité

Le terme général $\dfrac{n^2}{2^n}$ est positif. Par croissances comparées, $\dfrac{n^2}{2^n} = o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ , et la série de Riemann d'exposant 2 converge, donc la série converge.

Exemple 3.8Par majoration

Pour $n \geqslant 3$ , $\dfrac{\ln n}{n} \geqslant \dfrac{1}{n}$ . La série harmonique diverge, donc la série de terme général $\dfrac{\ln n}{n}$ diverge.

4Séries à termes quelconques

4.1Convergence absolue

Définition 4.1Convergence absolue

La série de terme général $u_n$ converge absolument lorsque la série de terme général $\abs{u_n}$ converge.

Théorème 4.2Convergence absolue

Résultat admis, vu en première année : la convergence absolue implique la convergence.

La réciproque est fausse, mais la filière ne dispose pas des outils pour construire un contre-exemple simple. On retient seulement que les deux notions ne coïncident pas.

La série des valeurs absolues est à termes positifs : on peut lui appliquer toutes les règles précédentes. C'est la porte d'entrée pour traiter une série dont le signe change.

Exemple 4.3Série alternée

La série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ converge absolument, car la valeur absolue de son terme général vaut $\dfrac{1}{n^2}$ , terme général d'une série de Riemann convergente. Elle converge donc, alors que son terme général change de signe à chaque rang.

4.2Sommes télescopiques

Le programme demande de savoir traiter des exemples de sommes télescopiques.

Propriété 4.4Série télescopique

Hypothèse : $u_n = a_{n+1} - a_n$ .

Alors la somme partielle de rang $n$ vaut $\sum_{k=n_0}^{n} u_k = a_{n+1} - a_{n_0}.$ Tous les termes intermédiaires se simplifient. La série converge si et seulement si la suite $(a_n)$ converge. En cas de convergence vers $\ell$ , la somme vaut $\ell - a_{n_0}$ .

Ce résultat sert dans les deux sens : il permet de calculer la somme d'une série, et d'étudier une suite en étudiant la série de ses accroissements, remarque déjà faite en première année.

Exemple 4.5Somme de $\frac{1}{k(k+1)}$

Pour $k \geqslant 1$ , $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ . La somme partielle pour $k$ de 1 à $n$ vaut $1 - \dfrac{1}{n+1}$ , qui tend vers 1. La série converge et sa somme vaut 1.

4.3Usage en probabilités

Propriété 4.6Espérance d'une variable discrète

Hypothèses

$X$ est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $x_n$ ;
la série de terme général $x_n \,\P(X = x_n)$ converge absolument.

Alors $X$ admet une espérance, égale à la somme de cette série.

Décider de l'existence de l'espérance est donc exactement un exercice de convergence de série. C'est la raison d'être de ce chapitre dans le programme.

Méthodes

MéthodeÉtudier la nature d'une série

Le terme général tend-il vers 0 ? Si non, la série diverge grossièrement, la question est réglée.
Le terme général est-il de signe constant ? Si oui, on applique les règles de comparaison. Si non, on regarde la valeur absolue.
Chercher un équivalent simple du terme général, typiquement un $\frac{1}{n^\alpha}$ ou un $q^n$ , puis conclure avec la série de référence correspondante.
En présence de factorielles ou de puissances, penser aux croissances comparées et à la négligeabilité plutôt qu'à l'équivalence.
Devant une fraction rationnelle en $n$ , penser à la décomposition qui fait apparaître un télescopage.

MéthodeCalculer une somme

Se ramener à une série géométrique, à une géométrique dérivée, à la série exponentielle ou à un télescopage.
En dehors de ces cas, on ne demande que la nature.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que le terme général d'une série convergente tend vers 0, et donner un contre-exemple à la réciproque.
Énoncer le critère de convergence des séries de Riemann, avec la condition exacte sur $\alpha$ .
Démontrer qu'une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
Démontrer la règle de majoration pour les séries à termes positifs.
Expliquer pourquoi l'hypothèse de positivité est nécessaire dans les règles de comparaison, avec un contre-exemple.
Déterminer la nature d'une série par équivalent, sur trois ou quatre exemples de types différents.
Justifier qu'une série converge par convergence absolue quand son terme général change de signe.
Calculer la somme d'une série télescopique, par exemple celle de terme général $\dfrac{1}{k(k+1)}$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Condition nécessaire. Si la série de terme général u_n converge, alors u_n tend vers 0. Exigible avec démonstration, c'est un résultat de première année. Contre-exemple à la réciproque : la série harmonique.
Linéarité de la convergence et de la somme. Résultat de première année, sans démonstration.
Séries géométriques, géométriques dérivées d'ordre 1 et 2, série exponentielle. Conditions de convergence et sommes à connaître par cœur, résultats de première année à utiliser sans les redémontrer.
Séries de Riemann. La série de terme général 1/n^α converge si et seulement si α > 1. Admis à ce stade, démontré dans le chapitre sur les intégrales généralisées. Les cas α ≤ 1 et α ≥ 2 se traitent à la main (section 2).
Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. Exigible avec démonstration.
Règle de majoration. Hypothèse 0 ≤ u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang. Exigible avec démonstration.
Règle de négligeabilité. Hypothèses : u_n et v_n positifs à partir d'un certain rang, u_n = o(v_n), série des v_n convergente. Conclusion : la série des u_n converge. Au programme, preuve de deux lignes attendue.
Règle d'équivalence. Hypothèses : u_n ∼ v_n, et v_n positif à partir d'un certain rang, ce qui rend u_n positif aussi. Conclusion : les deux séries sont de même nature. Au programme, preuve courte attendue.
La convergence absolue implique la convergence. Admis, vu en première année. Conséquence utile, en passant à la limite dans l'inégalité triangulaire : la valeur absolue de la somme est au plus la somme des valeurs absolues.
Télescopage. La série de terme général a_n+1 − a_n converge si et seulement si la suite (a_n) converge. Exigible, c'est une méthode.
Hors programme, à signaler si un élève les invoque : la règle de d'Alembert, le critère des séries alternées, les séries de Bertrand, la comparaison série-intégrale (qui n'arrive qu'avec les intégrales généralisées) et la sommation des relations de comparaison. Les exercices de ce document n'utilisent pas de développement limité, les équivalents usuels suffisent.

Clés de démonstration

Condition nécessaire. On écrit u_n = S_n − S_n−1. Les deux suites tendent vers la même limite finie S. La différence tend vers 0. Astuce : le terme général est un accroissement de la suite des sommes partielles.

Critère des sommes partielles majorées. S_n − S_n−1 = u_n ≥ 0, donc (S_n) est croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Astuce : le théorème de la limite monotone fait tout le travail.

Règle de majoration. Supposons 0 ≤ u_n ≤ v_n pour n ≥ n₁. Pour n ≥ n₁, la somme partielle de u vaut une constante C, formée des premiers termes, plus la somme des u_k pour k de n₁ à n. Pour k ≥ n₁, on a u_k ≤ v_k et v_k ≥ 0. Cette seconde somme est donc au plus le reste R, somme des v_k pour k ≥ n₁, qui est fini puisque la série des v converge. On majore par R et non par la somme totale, car des v_k d'indice inférieur à n₁ peuvent être négatifs. Les sommes partielles de u sont donc majorées par C + R. Astuce : un nombre fini de premiers termes ne change jamais la nature d'une série.

Négligeabilité et équivalence. Si u_n / v_n tend vers 0, ce quotient est inférieur à 1 à partir d'un certain rang, donc u_n ≤ v_n. Si u_n / v_n tend vers 1, on a (1/2) v_n ≤ u_n ≤ 2 v_n à partir d'un certain rang. On applique alors deux fois la majoration. Astuce : transformer une limite de quotient en un encadrement.

Divergence de la série harmonique. L'inégalité de concavité ln(1 + x) ≤ x donne ln(k + 1) − ln k ≤ 1/k. En sommant de 1 à n, les logarithmes se télescopent et la somme partielle est au moins ln(n + 1), qui tend vers +∞. Astuce : minorer par une somme télescopique.

Convergence pour α = 2. Pour k ≥ 2, 1/k² ≤ 1/(k(k − 1)) = 1/(k − 1) − 1/k. La somme partielle est donc au plus 1 + 1 − 1/n ≤ 2. Astuce : majorer par une somme télescopique. Pour α ≤ 1, on a 1/n^α ≥ 1/n. Pour α ≥ 2, on a 1/n^α ≤ 1/n². Le cas 1 < α < 2 demande la comparaison avec une intégrale.

Exemples et contre-exemples à connaître

La série harmonique. Son terme général tend vers 0 et pourtant elle diverge. C'est le contre-exemple à la réciproque de la condition nécessaire.
Les séries de termes généraux 1/n² et 1/(n(n + 1)) sont de même nature, mais leurs sommes valent π²/6 et 1. Même nature ne veut pas dire même somme. La valeur π²/6 est une culture non exigible.
u_n = −1 et v_n = 0. On a u_n ≤ v_n, la série des v_n converge, celle des u_n diverge. La positivité est indispensable.
La série de terme général (−1)ⁿ a des sommes partielles bornées, valant alternativement 1 et 0, sans converger. Le critère de majoration ne vaut que pour des termes positifs.
La série de terme général 1/n^{1 + 1/n} diverge. On a n^1/n = exp((ln n)/n), qui tend vers 1, donc le terme est équivalent à 1/n. L'exposant de Riemann doit être une constante.
La série de terme général 1/(ln n)² diverge, car (ln n)² ≤ n pour tout n ≥ 1. En revanche, 1/(ln n)ⁿ ≤ 1/2ⁿ dès que ln n ≥ 2, et cette série converge. Une puissance n fait gagner beaucoup plus qu'une puissance fixe.
La série de terme général ln(1 + 1/n) diverge par télescopage, puisque la somme partielle vaut ln(n + 1). C'est la même preuve que l'équivalence avec 1/n, mais sans aucun théorème.
La loi donnée par P(X = n) = 1/(n(n + 1)) pour n ≥ 1 est une vraie loi de probabilité, sans espérance (exercice 5).
La loi donnée par P(X = n) = a/n³ admet une espérance mais pas de variance (exercice 5).

Techniques du chapitre

Tester d'abord la limite du terme général. Mini-exercice : la série de terme général (1 + 1/n)ⁿ. On écrit exp(n ln(1 + 1/n)). Comme ln(1 + 1/n) ∼ 1/n, l'exposant tend vers 1. Le terme tend vers e, qui n'est pas nul. La série diverge grossièrement.

Équivalent simple, puis Riemann. Mini-exercice : √(n + 1) − √n. On multiplie par la quantité conjuguée et on obtient 1/(√(n + 1) + √n), qui est équivalent à 1/(2√n). Le terme est positif et la série de Riemann d'exposant 1/2 diverge. La série diverge.

Négligeabilité par croissances comparées. Mini-exercice : n⁵ e⁻ⁿ. On a n² × n⁵ e⁻ⁿ = n⁷ e⁻ⁿ, qui tend vers 0. Donc n⁵ e⁻ⁿ = o(1/n²), et la série converge.

Glisser un exposant intermédiaire. Mini-exercice : (ln n)³ / n^3/2. On compare à 1/n^5/4. Le quotient vaut (ln n)³ / n^1/4, qui tend vers 0 par croissances comparées. Comme 5/4 > 1, la série converge. Le logarithme coûte un peu d'exposant, jamais tout.

Passer à la valeur absolue. Mini-exercice : cos(n)/(n² + 1). Sa valeur absolue est au plus 1/n². La série converge absolument, donc elle converge.

Télescopage caché dans un logarithme. Mini-exercice : la somme pour n ≥ 2 de ln(1 − 1/n²). On écrit ln((n − 1)(n + 1)/n²) = [ln(n + 1) − ln n] − [ln n − ln(n − 1)]. La somme de 2 à N vaut [ln(N + 1) − ln 2] − [ln N − ln 1] = ln((N + 1)/N) − ln 2. Elle tend vers −ln 2.

Se ramener à une série géométrique dérivée. Mini-exercice : la somme pour n ≥ 0 de (n + 1)/2ⁿ. On pose m = n + 1. On obtient la somme pour m ≥ 1 de m (1/2)^{m − 1}, qui vaut 1/(1 − 1/2)² = 4.

Étudier une suite par la série de ses accroissements. Pour montrer qu'une suite (a_n) converge, on montre que la série de terme général a_n+1 − a_n converge, souvent par majoration de sa valeur absolue (exercice 8).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Cinq natures

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Déterminer la nature des séries de termes généraux a) (n + 2)/(n³ + 1), b) 1/√(n² + 1), c) n e^−√n, d) ln(1 + 1/n²), e) (1 − 1/n)ⁿ pour n ≥ 1.

Technique limite du terme, puis équivalent ou négligeabilité face à une série de Riemann.

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a) Le terme est positif et équivalent à n/n³ = 1/n². La série converge. 2. b) Le terme est positif et équivalent à 1/n. La série diverge. 3. c) Avec t = √n, on a n² × n e^−√n = t⁶ e^−t, qui tend vers 0. Donc le terme est o(1/n²) et la série converge. 4. d) Comme ln(1 + x) ∼ x en 0, le terme est équivalent à 1/n². La série converge. 5. e) Pour n ≥ 2, le terme vaut exp(n ln(1 − 1/n)). L'exposant est équivalent à −1, donc le terme tend vers e⁻¹, qui n'est pas nul. Divergence grossière.

piège : En e), dire que 1 − 1/n tend vers 1 donc que le terme tend vers 1. C'est une forme indéterminée.

Exercice 2. Somme télescopique d'ordre 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que la série de terme général 1/(k(k + 1)(k + 2)), pour k ≥ 1, converge et calculer sa somme.

Technique écrire le terme comme différence de deux termes consécutifs d'une même suite.

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On a 1/(k(k + 1)) − 1/((k + 1)(k + 2)) = 2/(k(k + 1)(k + 2)). 2. Le terme vaut donc (1/2)(a_k − a_k+1) avec a_k = 1/(k(k + 1)). 3. La somme de 1 à n vaut (1/2)(1/2 − 1/((n + 1)(n + 2))). 4. Elle tend vers 1/4. La série converge et sa somme vaut 1/4.

piège : Décomposer en 1/(2k) − 1/(k + 1) + 1/(2(k + 2)), puis écrire la somme comme combinaison de trois séries divergentes. On ne sépare les sommes qu'au niveau des sommes partielles finies.

Exercice 3. Somme par la série exponentielle

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Justifier la convergence et calculer la somme pour n ≥ 0 de n²/n!.

Technique écrire n² comme n(n − 1) + n pour faire apparaître la série exponentielle.

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Pour n ≥ 2, n(n − 1)/n! = 1/(n − 2)!. La somme pour n ≥ 2 vaut donc la somme pour m ≥ 0 de 1/m!, c'est-à-dire e. 2. Pour n ≥ 1, n/n! = 1/(n − 1)!. La somme pour n ≥ 1 vaut aussi e. 3. Les termes d'indices 0 et 1 de n(n − 1)/n! sont nuls, et le terme d'indice 0 de n/n! aussi. 4. Les deux séries convergent, donc par linéarité la série étudiée converge et sa somme vaut 2e.

piège : Écrire n/n! = 1/(n − 1)! pour n = 0. Il faut démarrer chaque somme au bon indice.

Exercice 4. Rang du deuxième succès

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

On lance une pièce donnant pile avec probabilité p, avec 0 < p < 1, et on pose q = 1 − p. Les lancers sont indépendants. X est le rang du deuxième pile. Montrer que P(X = k) = (k − 1)p²q^{k − 2} pour k ≥ 2, vérifier que la somme vaut 1, et montrer que X admet une espérance égale à 2/p.

Technique géométriques dérivées d'ordre 1 et 2.

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L'événement X = k signifie un seul pile parmi les k − 1 premiers lancers, en k − 1 positions possibles, puis pile au lancer k. Par indépendance, sa probabilité vaut (k − 1) p q^{k − 2} × p. 2. Avec m = k − 1, la somme devient p² fois la somme pour m ≥ 1 de m q^{m − 1}, qui vaut p²/(1 − q)² = 1. 3. Les termes k P(X = k) sont positifs, donc la convergence absolue équivaut à la convergence. 4. La somme pour k ≥ 2 de k(k − 1)q^{k − 2} vaut 2/(1 − q)³ = 2/p³, car |q| < 1. 5. Donc E(X) = p² × 2/p³ = 2/p.

piège : Omettre la phrase sur la convergence absolue, qui conditionne l'existence de l'espérance.

Exercice 5. Deux lois à queue lourde

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

a) Déterminer c pour que P(X = n) = c/(n(n + 1)), n ≥ 1, définisse une loi. X a-t-elle une espérance ? b) Soit a > 0 tel que P(Y = n) = a/n³, n ≥ 1, définisse une loi. Justifier l'existence de a. Y a-t-elle une espérance, une variance ?

Technique télescopage pour la constante, Riemann pour les moments.

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La somme des 1/(n(n + 1)) vaut 1 par télescopage, donc c = 1. 2. n P(X = n) = 1/(n + 1), équivalent à 1/n et positif. La série diverge, X n'a pas d'espérance. 3. La série des 1/n³ converge vers un réel S > 0, donc a = 1/S convient. 4. n P(Y = n) = a/n², série convergente, Y admet une espérance. 5. Par le théorème de transfert, Y² admet une espérance si et seulement si la série de terme général n² × a/n³ = a/n converge absolument. Ce terme est positif et la série diverge, c'est un multiple de la série harmonique. Donc Y n'admet pas de moment d'ordre 2, et donc pas de variance.

piège : Croire que P(X = n) qui tend vers 0 assure l'existence de l'espérance. Ou chercher la valeur exacte de a, inutile ici.

Exercice 6. Série à signe alterné, somme exacte

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Montrer que la série de terme général (−1)ⁿ n/2ⁿ, pour n ≥ 0, converge et calculer sa somme.

Technique convergence absolue, puis géométrique dérivée de raison négative.

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La valeur absolue du terme vaut n/2ⁿ, qui est o(1/n²) par croissances comparées. La série converge absolument, donc elle converge. 2. Avec q = −1/2, le terme s'écrit n qⁿ = q × n q^{n − 1}. 3. Comme |q| < 1, la somme vaut q/(1 − q)² = (−1/2)/(9/4) = −2/9.

piège : Appliquer la règle d'équivalence au terme signé lui-même. Seule la valeur absolue relève des règles de comparaison.

Exercice 7. Une discussion selon un paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Pour x réel non nul, étudier la nature de la série de terme général xⁿ/n, pour n ≥ 1.

Technique séparer les cas, puis convergence absolue ou divergence grossière.

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Si |x| < 1, la valeur absolue du terme est au plus |x|ⁿ, terme d'une série géométrique convergente. Convergence absolue, donc convergence. 2. Si |x| > 1, |x|ⁿ/n tend vers +∞ par croissances comparées. Divergence grossière. 3. Si x = 1, c'est la série harmonique, divergente. 4. Si x = −1, le terme tend vers 0 mais la série ne converge pas absolument. Pour aller plus loin : en groupant les termes deux par deux, S_2n est la somme de 1 à n des −1/((2k − 1)2k), terme négatif équivalent à −1/(4k²), donc (S_2n) converge. Et S_2n+1 = S_2n − 1/(2n + 1) a la même limite. On en déduit la convergence de la série, en admettant le résultat qui fait passer des indices pairs et impairs à la suite entière. Cette série converge donc sans converger absolument.

piège : Conclure à la divergence pour x = −1 au motif que la série ne converge pas absolument.

Exercice 8. La constante d'Euler

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On pose H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n et a_n = H_n − ln n pour n ≥ 1. Montrer que (a_n) converge.

Technique étudier la série des accroissements par encadrement.

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On a a_n+1 − a_n = 1/(n + 1) − ln(1 + 1/n). 2. L'inégalité ln(1 + y) ≤ y, avec y = −1/(n + 1), donne ln(n/(n + 1)) ≤ −1/(n + 1), soit ln(1 + 1/n) ≥ 1/(n + 1). Donc a_n+1 − a_n ≤ 0. 3. L'inégalité ln(1 + 1/n) ≤ 1/n donne a_n+1 − a_n ≥ 1/(n + 1) − 1/n = −1/(n(n + 1)). 4. Ainsi 0 ≤ a_n − a_n+1 ≤ 1/(n(n + 1)), terme d'une série convergente. Par majoration, la série des accroissements converge. 5. Par télescopage, (a_n) converge. Sa limite est la constante d'Euler.

piège : Écrire H_n ∼ ln n puis conclure que H_n − ln n converge. Deux suites équivalentes peuvent avoir une différence qui tend vers l'infini.

Exercice 9. Une suite récurrente et deux séries

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit u₀ dans ]0, 1[ et u_n+1 = u_n − u_n². Montrer que u_n tend vers 0, que la série des u_n² converge et donner sa somme, puis que la série des u_n diverge.

Technique deux télescopages successifs.

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La fonction f(x) = x − x² envoie ]0, 1[ dans ]0, 1/4]. Par récurrence, tous les u_n sont dans ]0, 1[. 2. u_n+1 − u_n = −u_n² < 0, donc la suite décroît. Minorée par 0, elle converge vers un réel ℓ vérifiant ℓ = ℓ − ℓ², donc ℓ = 0. 3. u_n² = u_n − u_n+1. La somme de 0 à n vaut u₀ − u_n+1, qui tend vers u₀. La série des u_n² converge et sa somme vaut u₀. 4. Un calcul donne 1/u_n+1 − 1/u_n = u_n²/(u_n u_n+1) = 1/(1 − u_n). Comme la suite décroît, ce terme est au plus 1/(1 − u₀). 5. En sommant, 1/u_n ≤ 1/u₀ + n/(1 − u₀), donc u_n ≥ 1/(1/u₀ + n/(1 − u₀)). Ce minorant est positif et équivalent à (1 − u₀)/n. Sa série diverge, donc celle des u_n aussi.

piège : Croire que la convergence de la série des u_n² entraîne celle de la série des u_n. C'est l'inverse qui est vrai, pour une suite à termes positifs : si la série des u_n converge, alors u_n tend vers 0, donc u_n² ≤ u_n à partir d'un certain rang, et la série des u_n² converge par majoration. Sans hypothèse de signe, cette implication tombe.

Erreurs fréquentes

Appliquer une règle de majoration, de négligeabilité ou d'équivalence à un terme général de signe non constant. On passe d'abord à la valeur absolue.
Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers 0. C'est seulement une condition nécessaire.
Écrire que deux séries de termes équivalents ont la même somme. Elles ont seulement la même nature.
Séparer une somme télescopique en différence de deux séries divergentes. On calcule toujours d'abord la somme partielle finie.
Se tromper d'indice de départ dans les séries géométriques dérivées ou exponentielles, et oublier de justifier la convergence absolue avant de parler d'espérance.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Compléments d'analyse », paragraphe 2 « Compléments sur les suites et les séries », sous-partie c) « Compléments sur les séries ». Les outils de comparaison des suites, vus dans la fiche précédente, sont supposés acquis. Le programme précise que l'étude des séries sert au cadre des variables aléatoires discrètes.