Le cours

Résumé en cinq points

$u_n = o(v_n)$ signifie que le quotient tend vers $0$ , $u_n \sim v_n$ signifie qu'il tend vers $1$ .
L'équivalence passe au produit, au quotient et aux puissances entières. Elle ne passe ni à la somme ni à la composition par $\ln$ ou $\exp$ .
Les croissances comparées se réécrivent avec des $o$ et donnent la hiérarchie logarithme, puissance, exponentielle, factorielle.
Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , la démarche est stabilité, puis monotonie via le signe de $f(x) - x$ , puis limite monotone, puis identification du point fixe.
Si la suite converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ . Ce résultat identifie la limite mais ne prouve pas la convergence.

Pourquoi ce chapitre

Savoir qu'une suite tend vers zéro ne dit pas à quelle vitesse. Or c'est souvent la vitesse qui compte. Deux placements dont les rendements tendent tous deux vers un même taux limite ne se valent pas si l'un converge en $1/n$ et l'autre en $1/n^2$ . Le vocabulaire de la comparaison, négligeabilité et équivalence, permet de dire cela précisément.

Ces outils sont introduits seulement en deuxième année dans la filière. Ils servent immédiatement après, dans deux chapitres :

les séries, où les critères de comparaison décident de la convergence ;
les intégrales généralisées, avec les mêmes règles transposées aux fonctions.

La seconde moitié du chapitre porte sur les suites définies par une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ . Ce sont les modèles à temps discret : évolution d'un capital, d'un stock, d'une population d'une période à la suivante. La question est toujours la même : la suite converge-t-elle, et vers quoi. La réponse passe par les points fixes de $f$ .

1Négligeabilité

1.1Définition

Définition 1.1Suite négligeable

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ lorsqu'il existe une suite $(\varepsilon_n)$ tendant vers $0$ telle que $u_n = \varepsilon_n v_n$ à partir d'un certain rang. On note $u_n = o(v_n)$ .

Propriété 1.2Caractérisation par le quotient

Hypothèse

$v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang.

Alors $u_n = o(v_n)$ si et seulement si $u_n / v_n$ tend vers $0$ .

C'est la formulation à utiliser en pratique.

Remarque

Cas particulier fréquent : $u_n = o(1)$ signifie simplement que $u_n$ tend vers $0$ .

1.2Propriétés

Propriété 1.3Règles sur les $o$

Si $u_n = o(v_n)$ et $v_n = o(w_n)$ , alors $u_n = o(w_n)$ .
Si $u_n = o(w_n)$ et $v_n = o(w_n)$ , alors $u_n + v_n = o(w_n)$ .
Si $u_n = o(v_n)$ , alors pour toute suite $(a_n)$ , $a_n u_n = o(a_n v_n)$ .

Attention

La notation $o$ est commode mais dangereuse. Elle ne désigne pas une suite précise, c'est une abréviation pour « une suite négligeable devant ». On n'écrit donc jamais $o(v_n) - o(v_n) = 0$ . On lit les égalités contenant un $o$ de gauche à droite seulement.

1.3Croissances comparées

Le programme demande de reformuler avec ces notations les croissances comparées de première année.

Propriété 1.4Croissances comparées

Hypothèses

$a > 0$ et $b > 0$ réels ;
$q$ réel avec $q > 1$ .

Alors :

$(\ln n)^b = o(n^a)$ ;
$n^a = o(q^n)$ ;
$q^n = o(n!)$ ;
$n! = o(n^n)$ .

À retenir

L'ordre : logarithme, puis puissance, puis exponentielle, puis factorielle, puis $n^n$ . Chaque niveau écrase le précédent.

2Équivalence

2.1Définition

Définition 2.1Suites équivalentes

On dit que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes lorsque $u_n - v_n = o(v_n)$ . On note $u_n \sim v_n$ .

Propriété 2.2Caractérisation par le quotient

Hypothèse

$v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang.

Alors $u_n \sim v_n$ si et seulement si $u_n / v_n$ tend vers $1$ .

Attention

Une suite équivalente à la suite nulle est nulle à partir d'un certain rang. On n'écrit donc jamais $u_n \sim 0$ pour dire que $u_n$ tend vers $0$ .

2.2Propriétés

Propriété 2.3Propriétés de l'équivalence

L'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.
Si $u_n \sim v_n$ , alors les deux suites ont le même signe à partir d'un certain rang.
Si $u_n \sim v_n$ et si $(v_n)$ admet une limite, finie ou infinie, alors $(u_n)$ admet la même limite.

Attention

La réciproque est fausse : deux suites tendant vers $+\infty$ ne sont pas nécessairement équivalentes, comme $n$ et $n^2$ .

2.3Opérations autorisées

Le programme fixe précisément ce qui est compatible avec l'équivalence.

Propriété 2.4Opérations compatibles

Hypothèses

$u_n \sim a_n$ et $v_n \sim b_n$ .

Alors :

produit : $u_n v_n \sim a_n b_n$ ;
quotient, si $b_n$ et $v_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang : $u_n / v_n \sim a_n / b_n$ ;
puissance entière : $u_n^k \sim a_n^k$ pour tout entier $k$ , sous réserve que l'expression ait un sens pour $k$ négatif.

2.4Opérations interdites

Le programme demande de mettre en garde contre deux extensions abusives.

AttentionAddition

De $u_n \sim a_n$ et $v_n \sim b_n$ , on ne peut pas conclure $u_n + v_n \sim a_n + b_n$ .

Contre-exemple : $u_n = n + 1$ et $a_n = n$ , $v_n = -n$ et $b_n = -n$ . On a bien $u_n \sim a_n$ et $v_n \sim b_n$ , mais $u_n + v_n = 1$ alors que $a_n + b_n = 0$ . Le second n'est même pas équivalent au premier.

AttentionComposition par une fonction quelconque

La composition par une fonction quelconque, en particulier $\ln$ et $\exp$ , est interdite.

Contre-exemple avec l'exponentielle : $n + \ln n \sim n$ , pourtant $\e^{n + \ln n} = n\,\e^n$ n'est pas équivalent à $\e^n$ , puisque le quotient vaut $n$ et tend vers l'infini.

Règle de survie : on remplace par un équivalent dans un produit ou un quotient, jamais dans une somme, jamais à l'intérieur d'un logarithme ou d'une exponentielle.

2.5Équivalents usuels

Une somme de termes de nature différente est équivalente au terme dominant. Un polynôme en $n$ est équivalent à son monôme de plus haut degré. Par exemple $3n^3 - 5n^2 + 7 \sim 3n^3$ .

Propriété 2.5Équivalents usuels

Hypothèses

$(u_n)$ tend vers $0$ ;
$u_n$ est non nulle à partir d'un certain rang.

Alors :

$\ln(1 + u_n) \sim u_n$ ;
$\e^{u_n} - 1 \sim u_n$ ;
$(1 + u_n)^\alpha - 1 \sim \alpha u_n$ , pour $\alpha$ réel non nul.

Ces trois équivalents découlent des développements limités du chapitre sur les fonctions. Ce sont les plus utilisés dans les exercices de séries.

2.6Exemple d'étude asymptotique

Exemple 2.6

Soit $u_n = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \cdot \frac{n + 3}{2n - 1}$ .

Comme $1/n^2$ tend vers $0$ , $\ln(1 + 1/n^2) \sim 1/n^2$ .
Par ailleurs $\frac{n+3}{2n-1} \sim \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ .
Le produit d'équivalents étant licite, $u_n \sim \frac{1}{2n^2}$ .

En particulier $(u_n)$ tend vers $0$ , et on connaît maintenant sa vitesse.

3Suites récurrentes KXF103FXK

3.1Cadre

On se donne une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ , un réel $u_0$ de $I$ , et on définit $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Première précaution, systématiquement exigée : vérifier que la suite est bien définie. Il suffit pour cela que $I$ soit stable par $f$ , c'est-à-dire que $f(I)$ soit inclus dans $I$ . On le démontre par récurrence : si $u_n$ appartient à $I$ , alors $u_{n+1} = f(u_n)$ appartient à $f(I)$ , donc à $I$ .

Exemple 3.1Modèle

Un capital placé subit chaque année un rendement qui dépend du montant déjà accumulé. Le capital de l'année $n + 1$ est une fonction du capital de l'année $n$ . La question est de savoir s'il se stabilise.

3.2Point fixe

Définition 3.2Point fixe

Un point fixe de $f$ est un réel $\ell$ de $I$ tel que $f(\ell) = \ell$ . Graphiquement, c'est un point d'intersection de la courbe de $f$ avec la première bissectrice, la droite d'équation $y = x$ .

Théorème 3.3Théorème du point fixe

Hypothèses

la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$ ;
$f$ est continue en $\ell$ .

Alors $\ell$ est un point fixe de $f$ .

Démonstration

La suite $(u_{n+1})$ converge vers $\ell$ , puisque c'est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang. Par continuité de $f$ en $\ell$ , la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell)$ . Comme $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ , l'unicité de la limite donne $\ell = f(\ell)$ .

Attention

Ce théorème ne prouve pas que la suite converge. Il dit seulement que, si elle converge, la limite est à chercher parmi les points fixes. Et l'hypothèse de continuité est indispensable.

3.3Cas où $f$ est croissante

Le programme demande de remarquer ce cas.

Propriété 3.4Monotonie si $f$ est croissante

Hypothèses

$I$ est un intervalle stable par $f$ ;
$f$ est croissante sur $I$ ;
$u_0 \in I$ .

Alors la suite $(u_n)$ est monotone, et le sens est donné par la comparaison de $u_1$ et $u_0$ .

Démonstration

Supposons $u_1 \geqslant u_0$ . Si $u_{n+1} \geqslant u_n$ , alors en appliquant $f$ , croissante, on obtient $f(u_{n+1}) \geqslant f(u_n)$ , c'est-à-dire $u_{n+2} \geqslant u_{n+1}$ . La suite est donc croissante. Le raisonnement est symétrique si $u_1 \leqslant u_0$ .

On conclut ensuite avec le théorème de la limite monotone de première année :

une suite croissante et majorée converge ;
une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Reste alors à identifier la limite parmi les points fixes.

Le cas d'une fonction décroissante n'est pas mis en avant par le programme. Il apparaît dans les exercices avec un guidage : on observe que la composée $f \circ f$ est croissante, ce qui rend monotones les deux suites extraites des rangs pairs et des rangs impairs.

3.4Méthode complète

MéthodeÉtudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$

Vérifier la stabilité d'un intervalle $I$ contenant $u_0$ , par récurrence. En profiter pour obtenir un encadrement de $u_n$ .
Étudier le signe de $f(x) - x$ sur $I$ . Les zéros donnent les points fixes, le signe donne souvent la monotonie de la suite, puisque $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$ .
Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone.
Identifier la limite en utilisant le théorème du point fixe, après avoir vérifié la continuité de $f$ .

3.5Exemple

Exemple 3.5Suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$

Soit $f(x) = \sqrt{x + 2}$ sur $I = \intff{0}{2}$ , et $u_0 = 0$ .

Stabilité. Pour $x$ dans $\intff{0}{2}$ , $x + 2$ est dans $\intff{2}{4}$ , donc $f(x)$ est dans $\intff{\sqrt{2}}{2}$ , inclus dans $\intff{0}{2}$ . L'intervalle est stable et la suite est bien définie à valeurs dans $\intff{0}{2}$ .
Points fixes. L'équation $\sqrt{x+2} = x$ , avec $x$ positif, donne $x^2 = x + 2$ , soit $x^2 - x - 2 = 0$ , dont les racines sont $2$ et $-1$ . Seule $2$ convient dans $I$ .
Monotonie. Pour $x$ dans $\intfo{0}{2}$ , on vérifie que $x^2 - x - 2 < 0$ , donc $x^2 < x + 2$ , donc $x < \sqrt{x+2} = f(x)$ . Ainsi $u_{n+1} > u_n$ tant que $u_n$ est strictement inférieur à $2$ . La suite est croissante et majorée par $2$ , donc elle converge.
Limite. $f$ est continue sur $I$ , donc la limite est un point fixe de $f$ dans $I$ . Le seul est $2$ . Donc $(u_n)$ converge vers $2$ .

3.6Illustration informatique

Le programme signale que cette partie peut être illustrée avec Python. L'idée est simplement de calculer les premiers termes en partant de $u_0$ et en appliquant $f$ de façon répétée, puis de tracer le nuage des points obtenus, ou la construction en escalier entre la courbe de $f$ et la droite $y = x$ .

u = u0
valeurs = [u]
for _ in range(n):
    u = f(u)
    valeurs.append(u)

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour comparer deux suites, former le quotient et chercher sa limite. Limite $0$ donne un $o$ , limite $1$ donne un équivalent.
Devant une expression compliquée, factoriser par le terme dominant avant de simplifier.
Ne jamais additionner des équivalents ni les passer dans un logarithme ou une exponentielle.
Pour une suite récurrente, toujours commencer par la stabilité de l'intervalle.
Le signe de $f(x) - x$ sert deux fois : il donne les points fixes et la monotonie de la suite.
Pour identifier une limite, résoudre $f(\ell) = \ell$ après avoir prouvé la convergence, jamais avant.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les définitions de $u_n = o(v_n)$ et de $u_n \sim v_n$ , avec et sans quotient.
Énoncer les croissances comparées avec les notations de négligeabilité.
Donner un contre-exemple montrant que l'on n'additionne pas les équivalents, et un autre pour l'exponentielle.
Trouver un équivalent simple d'une expression du type $\ln(1 + 1/n)$ ou $(1 + 1/n)^\alpha - 1$ .
Démontrer que si $u_{n+1} = f(u_n)$ , si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .
Montrer par récurrence qu'un intervalle est stable par $f$ et que la suite y reste.
Traiter entièrement une suite récurrente avec $f$ croissante : stabilité, monotonie, convergence, limite.
Expliquer pourquoi le théorème du point fixe ne prouve jamais la convergence à lui seul.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

u_n = o(v_n) s'il existe (ε_n) tendant vers 0 telle que u_n = ε_n v_n à partir d'un certain rang. Si v_n est non nul à partir d'un rang, cela équivaut à u_n/v_n → 0 : exigible.
u_n = o(1) signifie simplement que u_n tend vers 0 : exigible, cas particulier.
Transitivité de o, stabilité par somme entre suites négligeables devant une même suite, compatibilité avec la multiplication par une même suite : exigible.
Croissances comparées reformulées, (ln n)^b = o(n^a), n^a = o(qⁿ) pour q > 1, qⁿ = o(n!), n! = o(nⁿ) : exigible.
u_n ∼ v_n signifie u_n − v_n = o(v_n). Si v_n est non nul à partir d'un rang, cela équivaut à u_n/v_n → 1 : exigible.
L'équivalence est réflexive, symétrique, transitive. Deux suites équivalentes ont même signe à partir d'un certain rang et, si l'une a une limite, l'autre a la même. La réciproque est fausse : exigible.
Compatibilité de l'équivalence avec le produit, le quotient, et la puissance entière : exigible.
Interdictions explicites, on n'additionne pas des équivalents, on ne compose pas un équivalent par une fonction quelconque, en particulier ln ou exp : exigible, mise en garde du programme.
Un polynôme en n est équivalent à son monôme de plus haut degré : exigible.
Équivalents usuels pour u_n tendant vers 0, ln(1+u_n) ∼ u_n, e^u_n − 1 ∼ u_n, (1+u_n)^α − 1 ∼ α u_n : exigible.
Suite récurrente u_n+1 = f(u_n), stabilité d'un intervalle I par f, démontrée par récurrence : exigible.
Point fixe l de f, f(l) = l : exigible.
Si (u_n) converge vers l dans I et f est continue en l, alors l est un point fixe de f : exigible avec démonstration.
Si f est croissante sur un intervalle stable I, (u_n) est monotone, le sens dépend de la comparaison de u₁ et u₀ : exigible avec démonstration, par récurrence.
Méthode complète, stabilité, signe de f(x) − x pour points fixes et monotonie, limite monotone, identification par le théorème du point fixe : méthode exigible.

Clés de démonstration

Théorème du point fixe. La suite (u_n+1) converge vers l, puisque c'est (u_n) décalée d'un rang. Par continuité de f en l, (f(u_n)) converge vers f(l). Comme u_n+1 = f(u_n) pour tout n, l'unicité de la limite donne l = f(l). L'astuce : une suite et sa suite décalée ont toujours la même limite.

Monotonie quand f est croissante. Par récurrence, si u_n+1 ≥ u_n, l'application de f, croissante, conserve l'inégalité, donc f(u_n+1) ≥ f(u_n), c'est-à-dire u_n+2 ≥ u_n+1. Le sens initial, donné par u₁ comparé à u₀, se propage donc à tout rang. L'astuce : une fonction croissante transporte une inégalité entre deux termes consécutifs à tous les rangs suivants.

Contre-exemple à l'addition des équivalents. On construit deux suites dont l'équivalence individuelle est immédiate, mais dont la somme change de nature. Avec u_n = n+1 ∼ n et v_n = −n ∼ −n, la somme u_n + v_n = 1 est constante alors que a_n + b_n = 0. L'astuce : choisir des suites qui s'annulent presque exactement pour révéler que l'équivalence ne contrôle qu'un comportement relatif, pas la valeur de la différence.

Contre-exemple à la composition par l'exponentielle. n + ln n ∼ n, car le quotient tend vers 1. Pourtant e^{n+ln n} = n·eⁿ, dont le quotient par eⁿ vaut n, qui tend vers l'infini. L'astuce : un équivalent contrôle un rapport proche de 1, mais l'exponentielle amplifie toute différence, même négligeable en valeur relative.

Exemples et contre-exemples à connaître

n et n² tendent tous deux vers +∞ mais ne sont pas équivalents, puisque leur quotient tend vers l'infini : contre-exemple à la réciproque de « même limite entraîne équivalent ».
u_n = n+1 ∼ n et v_n = −n ∼ −n, mais u_n + v_n = 1 alors que a_n + b_n = 0 : le contre-exemple de référence pour l'addition.
n + ln n ∼ n, mais e^{n+ln n} n'est pas équivalent à eⁿ : le contre-exemple de référence pour la composition par exp.
Une suite équivalente à la suite nulle est nulle à partir d'un certain rang : ne jamais écrire u_n ∼ 0 pour dire que u_n tend vers 0.
3n³ − 5n² + 7 ∼ 3n³ : un polynôme est toujours équivalent à son monôme dominant, réflexe immédiat.
Pour f(x) = √(x+2) sur I = [0,2] et u₀ = 0, la suite est croissante, majorée par 2, et converge vers 2 : exemple canonique à savoir refaire de mémoire.
Le théorème du point fixe ne prouve jamais la convergence à lui seul, il dit seulement où chercher la limite si elle existe : contre-exemple à croire que trouver un point fixe suffit.
Quand f est décroissante, le programme ne met pas ce cas en avant, mais f ∘ f est croissante, ce qui rend monotones les suites extraites des rangs pairs et impairs.
La hiérarchie logarithme, puissance, exponentielle, factorielle, n puissance n, chaque niveau écrasant le précédent, est un repère à citer par cœur.
Un calcul comme ln(1+1/n²)·(n+3)/(2n−1) ∼ 1/(2n²) combine un équivalent usuel et un équivalent de quotient : c'est la démarche complète attendue sur un exercice d'étude asymptotique.

Techniques du chapitre

Technique 1, former le quotient pour comparer deux suites. Mini-exercice : comparer u_n = 3n²+1 et v_n = n²−n. u_n/v_n tend vers 3, donc u_n ∼ 3v_n, pas u_n ∼ v_n.

Technique 2, factoriser par le terme dominant avant de simplifier. Mini-exercice : équivalent de √(n²+n) − n. On écrit n[√(1+1/n) − 1] ∼ n × (1/(2n)) = 1/2, en utilisant (1+u)^1/2 − 1 ∼ u/2.

Technique 3, reconnaître les équivalents usuels pour une suite tendant vers 0. Mini-exercice : équivalent de e^1/n − 1. Comme 1/n tend vers 0, e^1/n − 1 ∼ 1/n.

Technique 4, vérifier la stabilité d'un intervalle par récurrence avant toute étude. Mini-exercice : pour f(x) = x²/2 sur I = [0,1], si x est dans [0,1] alors x²/2 est dans [0, 1/2], inclus dans [0,1] : I est stable.

Technique 5, utiliser le signe de f(x) − x pour obtenir à la fois points fixes et monotonie. Mini-exercice : pour f(x) = x²/2 sur [0,1], f(x) − x = x(x/2 − 1), négatif sur ]0,1], donc la suite est décroissante.

Technique 6, identifier la limite seulement après avoir prouvé la convergence. Mini-exercice : pour f(x) = x²/2 sur [0,1], les points fixes sont 0 et 2, hors I. Si la suite décroissante et minorée par 0 converge, sa limite ne peut être que 0.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Déterminer un équivalent de u_n = (n²+3n)/(2n³−n+1) et en déduire sa limite

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique équivalent au numérateur et au dénominateur, compatibilité avec le quotient.

Voir le corrigé

Le numérateur n²+3n ∼ n². Le dénominateur 2n³−n+1 ∼ 2n³.
Par quotient d'équivalents, u_n ∼ n²/(2n³) = 1/(2n).
Comme 1/(2n) tend vers 0, u_n tend vers 0.
On connaît de plus la vitesse, u_n se comporte comme 1/(2n).

piège : Oublier de vérifier qu'on manipule bien un quotient, la seule opération qui autorise à équivalenter séparément numérateur et dénominateur.

Exercice 2. Donner un équivalent de v_n = ln(n+1) − ln(n)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique réécrire la différence comme un logarithme unique avant d'utiliser un équivalent usuel.

Voir le corrigé

v_n = ln((n+1)/n) = ln(1 + 1/n).
Comme 1/n tend vers 0, on utilise ln(1+u_n) ∼ u_n avec u_n = 1/n.
Donc v_n ∼ 1/n.
v_n tend vers 0, à la vitesse de 1/n.

piège : Équivalenter séparément ln(n+1) et ln(n) puis les soustraire, ce qui reviendrait à soustraire deux équivalents, opération interdite.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer par un contre-exemple que u_n ∼ a_n et v_n ∼ b_n n'entraînent pas u_n+v_n ∼ a_n+b_n.

Technique construction explicite d'un contre-exemple net.

Voir le corrigé

On prend u_n = n+1, a_n = n. u_n/a_n tend vers 1, donc u_n ∼ a_n.
On prend v_n = −n, b_n = −n, trivialement équivalentes.
u_n+v_n = 1, constante, tandis que a_n+b_n = 0.
La suite constante égale à 1 n'est pas équivalente à la suite nulle, une suite équivalente à 0 devant être nulle à partir d'un certain rang.

piège : Choisir un contre-exemple où les deux sommes tendent par coïncidence vers la même limite, ce qui ne prouve rien, il faut un écart net.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Soit f(x) = x²/2 sur I = [0,1] et u₀ = 1/2. Étudier la suite u_n+1 = f(u_n), stabilité, monotonie, convergence, limite.

Technique méthode complète en quatre étapes.

Voir le corrigé

Stabilité : pour x dans [0,1], x²/2 est dans [0, 1/2], inclus dans [0,1].
Signe de f(x) − x = x(x/2 − 1), négatif sur ]0,1] car x/2 − 1 < 0.
La suite est donc strictement décroissante, et minorée par 0, donc elle converge.
Les points fixes de f dans [0,1] vérifient x(x/2−1) = 0, donc x = 0 (x = 2 est hors I). La limite vaut donc 0.

piège : Chercher la limite avant d'avoir prouvé la convergence par le théorème de la limite monotone.

Exercice 5. Déterminer la limite de x_n = (1+2/n)ⁿ

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique passer au logarithme, calculer une limite via un équivalent, pas une composition d'équivalents.

Voir le corrigé

ln(x_n) = n ln(1+2/n).
Comme 2/n tend vers 0, ln(1+2/n) ∼ 2/n, c'est-à-dire ln(1+2/n) = 2/n + o(1/n).
Donc n ln(1+2/n) = 2 + o(1), qui tend vers 2.
Par continuité de l'exponentielle, x_n = e^ln(x_n) tend vers e².

piège : Écrire « ln(x_n) ∼ 2 donc x_n ∼ e² », ce qui composerait un équivalent par l'exponentielle, opération interdite. Il faut calculer la limite exacte de ln(x_n), pas se contenter d'un équivalent, puis utiliser la continuité.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC

Un capital initial C₀ = 1000 € évolue selon C_n+1 = 0,9 C_n + 200, un apport annuel constant de 200 €. Étudier la convergence de (C_n) et donner sa limite.

Technique changement de variable par le point fixe, suite géométrique auxiliaire.

Voir le corrigé

f(x) = 0,9x + 200 est affine, définie et stable sur R.
Point fixe, l = 0,9l + 200 donne 0,1l = 200, soit l = 2000.
On pose v_n = C_n − 2000. v_n+1 = 0,9C_n + 200 − 2000 = 0,9(C_n − 2000) = 0,9v_n : (v_n) est géométrique de raison 0,9.
v_n = (1000−2000) × 0,9ⁿ = −1000 × 0,9ⁿ, qui tend vers 0 car |0,9| < 1. Donc C_n tend vers 2000 €.

piège : Appliquer le théorème « f croissante donc suite monotone » sans remarquer que le changement de variable par le point fixe est ici plus rapide et donne directement la limite exacte.

Exercice 7. Déterminer, pour n ≥ 1, un équivalent de a_n = √(n+1) − √n

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC ou ESSEC

Technique quantité conjuguée pour éviter de soustraire des équivalents.

Voir le corrigé

a_n = (√(n+1)−√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n) = 1/(√(n+1)+√n).
Comme (√(n+1)/√n)² = (n+1)/n tend vers 1, on a √(n+1) ∼ √n, donc √(n+1)+√n ∼ 2√n.
Par quotient d'équivalents, a_n ∼ 1/(2√n).
a_n tend vers 0, à la vitesse de 1/√n, plus lente qu'une suite en 1/n.

piège : Chercher un équivalent direct de √(n+1) − √n sans passer par la quantité conjuguée, ce qui reviendrait à soustraire deux équivalents.

Exercice 8. Soit f(x) = 1 + 1/x sur I = [1,2] et u₀ = 1. Étudier la convergence de u_n+1 = f(u_n)

Classiques de khôlle et concours · Type écrit ESSEC ou HEC, plus délicat

Technique f décroissante, on étudie g = f∘f, croissante, sur les suites extraites des rangs pairs et impairs.

Voir le corrigé

Stabilité : pour x dans [1,2], 1/x est dans [1/2,1], donc f(x) est dans l'intervalle allant de 1,5 à 2, inclus dans I. f est décroissante sur I, car sa dérivée −1/x² est négative.
g = f∘f vérifie g(x) = 1 + 1/f(x) = 1 + x/(x+1) = (2x+1)/(x+1), de dérivée 1/(x+1)², strictement positive : g est croissante sur I.
u₀=1, u₂=g(u₀)=f(f(1))=f(2)=1,5 : u₀ < u₂, donc (u_2n) est croissante par le théorème appliqué à g. u₁=f(1)=2, u₃=g(u₁)=f(f(2))=f(1,5)≈1,667 : u₁ > u₃, donc (u_2n+1) est décroissante.
(u_2n) croissante majorée par 2 converge vers une limite L₁, point fixe de g. (u_2n+1) décroissante minorée par 1 converge vers L₂, aussi point fixe de g.
Les points fixes de g vérifient x²−x−1=0, seule la racine positive (1+√5)/2 appartient à I. Donc L₁ = L₂ = (1+√5)/2, et (u_n) tout entière converge vers ce nombre, le nombre d'or.

piège : Appliquer directement le théorème de monotonie à f, qui est décroissante, sans passer par f∘f, ce qui ne donnerait aucune information sur la monotonie de (u_n) elle-même.

Erreurs fréquentes

Additionner deux équivalents, ce qui n'est jamais une opération autorisée.
Composer un équivalent par une fonction quelconque, en particulier ln ou exp.
Écrire u_n ∼ 0 pour dire que u_n tend vers 0, alors qu'une suite équivalente à la suite nulle est nulle à partir d'un certain rang.
Chercher la limite d'une suite récurrente, résoudre f(l) = l, avant d'avoir démontré la convergence.
Oublier de vérifier la stabilité de l'intervalle avant d'étudier une suite récurrente, ce qui laisse planer un doute sur le fait même que la suite soit bien définie.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Compléments d'analyse », paragraphe 2 « Compléments sur les suites et les séries », sous-parties a) « Comparaison des suites réelles » et b) « Suites récurrentes du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ». Les compléments sur les séries font l'objet de la fiche suivante.

Comparaison des suites et suites récurrentes

Résumé en cinq points

1Négligeabilité

1.1Définition

1.2Propriétés

1.3Croissances comparées

2Équivalence

2.1Définition

2.2Propriétés

2.3Opérations autorisées

2.4Opérations interdites

2.5Équivalents usuels

2.6Exemple d'étude asymptotique

3Suites récurrentes KXF103FXK

3.1Cadre

3.2Point fixe

3.3Cas où fff est croissante

3.4Méthode complète

3.5Exemple

3.6Illustration informatique

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Déterminer un équivalent de un = (n²+3n)/(2n³−n+1) et en déduire sa limite

Exercice 2. Donner un équivalent de vn = ln(n+1) − ln(n)

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5. Déterminer la limite de xn = (1+2/n)n

Exercice 6

Exercice 7. Déterminer, pour n ≥ 1, un équivalent de an = √(n+1) − √n

Exercice 8. Soit f(x) = 1 + 1/x sur I = [1,2] et u₀ = 1. Étudier la convergence de un+1 = f(un)

Erreurs fréquentes

3.3Cas où $f$ est croissante

Exercice 1. Déterminer un équivalent de u_n = (n²+3n)/(2n³−n+1) et en déduire sa limite

Exercice 2. Donner un équivalent de v_n = ln(n+1) − ln(n)

Exercice 5. Déterminer la limite de x_n = (1+2/n)ⁿ

Exercice 7. Déterminer, pour n ≥ 1, un équivalent de a_n = √(n+1) − √n

Exercice 8. Soit f(x) = 1 + 1/x sur I = [1,2] et u₀ = 1. Étudier la convergence de u_n+1 = f(u_n)