Mouvement d'un solide

Résumé en cinq points

1Solide et systèmes déformables

1.1Définition

C'est un modèle : aucun corps réel n'est parfaitement indéformable, mais il convient pour une poulie métallique ou une tige rigide.

Pour reconnaître un système déformable, on se demande si deux points du système peuvent se rapprocher. Si oui, il est déformable.

1.2Translation

À un instant donné, tous les points du solide ont le même vecteur vitesse et le même vecteur accélération. On peut alors traiter le solide comme un point matériel de masse totale, placé en son centre de masse.

Deux cas sont au programme :

• la translation rectiligne, où chaque point décrit un segment de droite ;
• la translation circulaire, où chaque point décrit un cercle de même rayon mais de centre différent, sans que le solide tourne sur lui-même.

1.3Rotation autour d'un axe fixe

Le solide tourne autour d'un axe $\Delta$ fixe dans le référentiel d'étude, orienté une fois pour toutes par un vecteur unitaire $\vec{e_z}$. On repère la position par un angle $\theta$.

Un point $M$ du solide situé à la distance $d$ de l'axe décrit un cercle de rayon $d$, centré sur l'axe, dans un plan orthogonal à l'axe.

Les points proches de l'axe vont lentement, ceux qui en sont éloignés vont vite. Sur l'axe, la vitesse est nulle.

2Théorème scalaire du moment cinétique

2.1Moment d'une force par rapport à un axe orienté

Cette quantité ne dépend pas du point $O$ choisi sur l'axe.

Pour une force contenue dans un plan orthogonal à l'axe, on utilise le bras de levier :

• en valeur absolue, le moment est le produit de la norme de la force par la distance de l'axe à la droite d'action de la force ;
• le signe est positif si la force tend à faire tourner le solide dans le sens positif choisi.

Deux cas de moment nul sont à repérer immédiatement :

• une force dont la droite d'action coupe l'axe ;
• une force parallèle à l'axe.

2.2Moment cinétique et moment d'inertie

Le programme précise que son expression est toujours fournie : aucun calcul d'intégrale n'est à savoir faire.

Lien qualitatif avec la répartition des masses, exigible : le moment d'inertie est d'autant plus grand que la masse est répartie loin de l'axe. Pour une même masse et un même encombrement, un cylindre creux a un moment d'inertie plus grand qu'un cylindre plein.

Le moment d'inertie mesure l'inertie de rotation, c'est-à-dire la difficulté à mettre le solide en rotation, comme la masse mesure l'inertie de translation.

2.3Couple

L'exemple type est constitué de deux forces opposées appliquées en deux points distincts. On note souvent $\Gamma$ le moment d'un couple, en $\unite{N.m}$.

2.4Liaison pivot

Si la liaison n'est pas parfaite, il existe un frottement de pivot, dont le moment s'oppose au sens de rotation. On le modélise souvent par un couple de moment $-\alpha\,\omega$, avec $\alpha$ positif.

2.5Énoncé du théorème

Cette relation est l'analogue de $m\vec{a} = \vec{F}$ pour la rotation. Seules les actions extérieures interviennent : les actions intérieures au solide ont un moment total nul.

3Deux exemples de référence

3.1Pendule de torsion

Un disque ou une tige est suspendu à un fil de torsion vertical qui constitue l'axe. Écarté d'un angle $\theta$ de sa position d'équilibre, le fil exerce un couple de rappel de moment $-C\theta$, où $C$ est la constante de torsion en $\unite{N.m.rad^{-1}}$.

On reconnaît la somme de l'énergie cinétique de rotation et de l'énergie potentielle de torsion. C'est la conservation de l'énergie mécanique, cohérente avec le fait qu'aucune force ne dissipe d'énergie dans ce modèle.

3.2Pendule pesant

Un solide de masse $m$ est mobile autour d'un axe horizontal fixe ne passant pas par son centre de masse $G$. On note $d$ la distance de $G$ à l'axe et $\theta$ l'angle entre la verticale descendante et la droite joignant l'axe à $G$.

Bilan des moments : le poids a pour moment $-mgd\sin\theta$, la liaison pivot supposée parfaite a un moment nul.

C'est encore la conservation de l'énergie mécanique, avec l'énergie potentielle de pesanteur du centre de masse.

3.3Non isochronisme

Sans l'approximation des petits angles, la période dépend de l'amplitude $\theta_m$ et augmente avec elle.

Le programme demande de mettre ce non isochronisme en évidence numériquement :

On constate que la période croît, d'abord très lentement, puis nettement au-delà d'une amplitude de l'ordre du radian.

3.4Étude énergétique expérimentale

En mesurant $\theta(t)$ sur un pendule réel, on reconstitue $\dot\theta$ par dérivation numérique, puis on trace l'énergie mécanique en fonction du temps. On observe une décroissance, due aux frottements dans la liaison pivot et à la résistance de l'air. L'énergie mécanique n'est donc pas conservée dans l'expérience, contrairement au modèle.

4Approche énergétique

4.1Énergie cinétique de rotation

L'analogie avec $\frac{1}{2}mv^2$ est complète : le moment d'inertie remplace la masse et la vitesse angulaire remplace la vitesse.

Cette formule est le pendant de $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$. Elle sert dans tous les bilans de puissance des machines tournantes.

4.2Équivalence avec le théorème du moment cinétique

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué au solide s'écrit $\dfrac{\dd E_c}{\dd t}$ égal à la puissance des forces extérieures, soit $$\begin{aligned} \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{2}J\omega^2\right) &= J\omega\,\frac{\dd\omega}{\dd t} \\ &= \omega \sum \mathcal{M}_\Delta. \end{aligned}$$

Si $\omega$ n'est pas nul, on simplifie par $\omega$ et on retrouve exactement le théorème scalaire du moment cinétique.

Il ne faut pas espérer tirer une information supplémentaire en écrivant les deux.

En pratique :

• on utilise le théorème du moment cinétique pour l'équation différentielle du mouvement ;
• on utilise l'approche énergétique pour une intégrale première ou un bilan de puissance.

4.3Système déformable et forces intérieures

Le théorème de l'énergie cinétique pour un système quelconque s'écrit $$\Delta E_c = W_{\text{ext}} + W_{\text{int}}.$$

Pour un solide, le travail des forces intérieures est nul, puisque les distances entre les points ne varient pas. Pour un système déformable, ce terme n'est pas nul et il faut en tenir compte.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Distinguer un solide d'un système déformable et donner un exemple de translation circulaire.
2. Exprimer la vitesse d'un point d'un solide en rotation en fonction de sa distance à l'axe et de la vitesse angulaire.
3. Calculer le moment d'une force par rapport à un axe avec un bras de levier, en justifiant le signe.
4. Expliquer qualitativement pourquoi un cylindre creux a un moment d'inertie supérieur à celui d'un cylindre plein de même masse.
5. Établir l'équation du mouvement du pendule de torsion et du pendule pesant, puis en déduire une intégrale première.
6. Montrer que pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, théorème de l'énergie cinétique et théorème scalaire du moment cinétique sont équivalents.
7. Mener le bilan complet du tabouret d'inertie : moment cinétique conservé, énergie cinétique qui augmente, origine de cette énergie.
8. Décrire le protocole numérique qui met en évidence le non isochronisme des oscillations du pendule pesant.

Les résultats à connaître

• Solide. La distance entre deux points quelconques reste constante. Définition exigible, il faut savoir reconnaître un système déformable.
• Translation. À chaque instant, tous les points ont même vitesse et même accélération. Exigible, il faut distinguer translation rectiligne et translation circulaire.
• Rotation autour d'un axe fixe. Un point à la distance d de l'axe décrit un cercle d'axe Δ, avec v = d θ̇ e_θ, de norme d |ω|. Exigible, démonstration courte à savoir refaire.
• Moment par rapport à un axe orienté. M_Δ(F) = (OM ∧ F)·e_z ne dépend pas du point O choisi sur l'axe. Exigible, le calcul par bras de levier doit être maîtrisé.
• Moment cinétique d'un solide en rotation. L_Δ = J_Δ ω, avec J_Δ fourni. Exigible. Le calcul intégral de J_Δ est hors programme.
• Couple. Résultante nulle, moment non nul et indépendant du point. Définition exigible.
• Liaison pivot parfaite. Moment nul par rapport à l'axe, puissance nulle. Exigible, il faut aussi justifier le moment de frottement d'une liaison réelle.
• Théorème scalaire du moment cinétique (TMC). Hypothèses : référentiel galiléen, axe fixe, solide. J_Δ dω/dt = Σ M_Δ(F_ext). Exigible sans démonstration.
• Pendule de torsion et pendule pesant. Équation du mouvement et intégrale première, exigibles avec démonstration.
• Énergie cinétique de rotation E_c = ½ J_Δ ω² et puissance P = M_Δ ω. Exigibles, J_Δ étant fourni.
• Équivalence entre le théorème de l'énergie cinétique (TEC) et le TMC pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. Exigible avec démonstration.
• TEC pour un système quelconque. ΔE_c = W_ext + W_int, avec W_int = 0 pour un solide. Exigible, nullité à justifier.
• Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : théorème de Huygens, théorèmes de König, roulement sans glissement, solide dont l'axe de rotation se déplace, formule de Borda pour la période aux grands angles.

Clés de démonstration

Vitesse d'un point du solide. En coordonnées cylindriques d'axe Δ, un point du solide garde sa distance d à l'axe et sa cote z. Seul l'angle varie, de la même quantité pour tous les points. De OM = d e_r + z e_z on tire v = d θ̇ e_θ. L'astuce est de repérer ce qui reste constant avant de dériver.

Indépendance du moment vis-à-vis de O. Pour un autre point O' de l'axe, on écrit O'M = O'O + OM. Le terme supplémentaire (O'O ∧ F)·e_z est un produit mixte contenant deux vecteurs colinéaires, O'O et e_z, donc il est nul.

Relation L_Δ = J_Δ ω. Un point de masse m_i à la distance d_i de l'axe a une vitesse orthoradiale d_i ω et un bras de levier d_i. Son moment cinétique scalaire vaut donc m_i d_i² ω. En sommant avec le même ω pour tous, J_Δ = Σ m_i d_i², et le facteur d_i² explique le rôle de la répartition des masses.

Pendule de torsion. On applique le TMC avec le couple de rappel −Cθ, le poids parallèle à l'axe ayant un moment nul. On multiplie par θ̇ et on reconnaît les dérivées de ½ J θ̇² et de ½ C θ².

Pendule pesant. Le bras de levier du poids vaut d |sin θ|. Pour le signe, on teste un petit angle positif : le poids ramène vers θ = 0, donc son moment vaut −m g d sin θ. On multiplie ensuite par θ̇ et on intègre.

Équivalence TEC et TMC. On dérive : d(½ J ω²)/dt = J ω dω/dt. La puissance des actions extérieures vaut ω Σ M_Δ. On simplifie par ω là où ω ≠ 0, puis on étend par continuité aux instants isolés où ω s'annule.

Travail intérieur nul pour un solide. Les forces d'interaction entre M_i et M_j sont opposées et portées par la droite M_jM_i, donc f_j→i = λ M_jM_i. La puissance de la paire vaut f_j→i·(v_i − v_j) = (λ/2) d(M_jM_i²)/dt, nulle si la distance est constante. L'astuce est de dériver le carré de la distance.

Tabouret d'inertie. L est conservé et E_c = L²/(2J). Donc W_int = (L²/2)(1/J₂ − 1/J₁), positif quand le moment d'inertie diminue.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. La nacelle d'une grande roue. Translation circulaire : chaque point décrit un cercle, mais la nacelle ne tourne pas sur elle-même.
2. La roue d'un vélo qui roule. Son axe se déplace, c'est le contre-exemple type d'un mouvement hors programme.
3. La porte poussée près des gonds. Le bras de levier est petit, il faut une force bien plus grande pour le même moment.
4. L'anneau et le disque de même masse m et de même rayon R. Moments d'inertie m R² et m R²/2 : à même ω, l'anneau stocke deux fois plus d'énergie, d'où les volants d'inertie à masse périphérique.
5. La tige de masse m et de longueur L. m L²/12 autour de son milieu, m L²/3 autour d'une extrémité, car la masse est en moyenne plus loin de l'axe.
6. Le pendule simple vu comme pendule pesant. Avec J = m ℓ² et d = ℓ, on retrouve ω₀ = √(g/ℓ), test de cohérence systématique.
7. La tige suspendue par une extrémité. J/(m d) = 2L/3, elle oscille comme un pendule simple de longueur 2L/3.
8. Le disque équilibré. G est sur l'axe, le moment du poids est nul et toute position est d'équilibre : c'est l'équilibrage des roues.
9. Le tabouret d'inertie. Moment cinétique conservé, énergie cinétique non conservée.
10. Deux blocs reliés par un ressort. Les forces intérieures ont une résultante nulle, mais leur travail vaut −ΔE_p élastique.

Techniques du chapitre

Calculer un moment par le bras de levier, puis fixer le signe. Mini-exercice : une force de 40 N agit au bout d'une clé de 25 cm, inclinée à 60° sur la clé. Le bras de levier vaut 0,25 × sin 60° = 0,217 m, d'où un moment de 8,7 N·m, contre 10 N·m pour une force perpendiculaire.

Éliminer d'emblée les moments nuls. Mini-exercice : une roue de loterie tourne autour d'un axe horizontal passant par G, pivot parfait, air négligé. Le poids passe par l'axe et le pivot est parfait, donc la somme des moments est nulle et ω reste constante.

Lire la pulsation par identification. Mini-exercice : tige de 1,0 m suspendue par une extrémité, J = m L²/3. L'équation J θ̈ = −m g (L/2) sin θ donne aux petits angles ω₀² = 3g/(2L) = 14,7 s⁻², d'où T₀ = 1,64 s.

Utiliser l'intégrale première pour obtenir une vitesse. Mini-exercice : un pendule pesant est lâché sans vitesse depuis θ₀. La conservation de l'énergie donne θ̇²_max = 2 m g d (1 − cos θ₀)/J, atteint en θ = 0.

Résoudre l'équation du premier ordre d'une machine tournante. Mini-exercice : couple moteur Γ et frottement −αω. J dω/dt = Γ − αω donne ω_lim = Γ/α, τ = J/α et, depuis le repos, ω(t) = ω_lim (1 − exp(−t/τ)).

Conserver le moment cinétique quand les moments extérieurs sont nuls. Mini-exercice : une patineuse fait passer son moment d'inertie de 3,0 à 1,0 kg·m². Sa rotation passe de 1 à 3 tours par seconde.

Tester la stabilité d'un équilibre. Mini-exercice : pendule pesant près de θ = π. Avec θ = π + ε, sin θ ≈ −ε et ε̈ = (m g d/J) ε. La solution croît exponentiellement, l'équilibre est instable, là où m g d (1 − cos θ) est maximale.

Traiter plusieurs solides reliés par un fil. On écrit un théorème par solide et la condition de non glissement v = R ω. Un fil sans masse transmet la même tension tout au long d'un brin.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes