Le cours

Résumé en cinq points

Le moment cinétique d'un point par rapport à $O$ vaut $\vec L_O = \vect{OM} \wedge m\vec v$ . Il dépend du point choisi et il est nul si la vitesse est colinéaire à $\vect{OM}$ .
Le moment cinétique par rapport à un axe orienté est un scalaire algébrique, dont le signe donne le sens de rotation autour de l'axe.
Le moment d'une force par rapport à un axe se calcule avec le bras de levier, $M_\Delta = \pm F d$ . Il est nul si la droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle.
Dans un référentiel galiléen et en un point fixe, $\dfrac{\dd \vec L_O}{\dd t} = \sum \vec M_O(\vec F)$ . Le choix judicieux de $O$ fait disparaître les forces inconnues.
Un moment de forces nul donne une conservation. La conservation du vecteur $\vec L_O$ impose un mouvement plan et une vitesse d'autant plus grande que le point est proche du centre.

Pourquoi ce chapitre

La quantité de mouvement décrit mal les rotations. Une roue qui tourne sur elle-même a une quantité de mouvement nulle et pourtant elle est en mouvement, et il faut un effort pour l'arrêter. Le moment cinétique est la grandeur qui manque, et le moment d'une force est la cause qui le fait varier. Le chapitre introduit donc un troisième théorème général, à côté du théorème de la quantité de mouvement et du théorème de l'énergie cinétique.

Le programme souligne deux objectifs :

donner du sens concret à des grandeurs vectorielles et algébriques, ce que fait le bras de levier, notion intuitive que chacun utilise en poussant une porte loin de ses gonds ;
identifier les cas de conservation.

Un moment cinétique conservé est une intégrale première du mouvement, comme la conservation de l'énergie. C'est la clé du chapitre sur les forces centrales qui suit immédiatement, et de la mécanique du solide en rotation.

1Moment cinétique

1.1Par rapport à un point

Soit un point matériel $M$ de masse $m$ , de vitesse $\vec v$ dans un référentiel donné, et un point $O$ de ce référentiel.

Définition 1.1Moment cinétique par rapport à un point

Le moment cinétique de $M$ par rapport à $O$ est $\vec L_O = \vect{OM} \wedge \vec p = \vect{OM} \wedge m\vec v.$ C'est un vecteur, d'unité $\unite{kg.m^2.s^{-1}}$ .

Lecture géométrique, exigible :

le produit vectoriel impose que $\vec L_O$ soit perpendiculaire au plan contenant $O$ , $M$ et le vecteur vitesse ;
le sens est donné par la règle du tire-bouchon, en tournant de $\vect{OM}$ vers $\vec v$ ;
la norme vaut $\norm{\vect{OM}}\,\norm{\vec p}\,\sin\alpha$ , où $\alpha$ est l'angle entre $\vect{OM}$ et $\vec v$ .

Conséquences immédiates :

le moment cinétique est nul si la vitesse est nulle, mais aussi si la vitesse est colinéaire à $\vect{OM}$ : un point qui se dirige droit vers $O$ ou droit à l'opposé a un moment cinétique nul par rapport à $O$ ;
pour un mouvement plan, $\vec L_O$ est perpendiculaire au plan du mouvement si $O$ appartient à ce plan, et pointe d'un côté ou de l'autre selon le sens de rotation apparent autour de $O$ .

AttentionPréciser le point

Le moment cinétique dépend du point choisi. Parler de moment cinétique sans préciser par rapport à quoi n'a aucun sens.

Exemple 1.2Mouvement circulaire

Un point décrit un cercle de rayon $R$ centré en $O$ , dans le plan $Oxy$ , avec une vitesse angulaire $\dot\theta$ . Alors $\vect{OM} = R\,\vec e_r$ et $\vec v = R\dot\theta\,\vec e_\theta$ , donc $\vec L_O = mR^2\dot\theta\,\vec e_z.$ Le moment cinétique est porté par l'axe de rotation, son sens indique le sens de rotation, et sa norme est proportionnelle à la vitesse angulaire.

1.2Par rapport à un axe orienté

Définition 1.3Moment cinétique scalaire

Soit un axe $\Delta$ , orienté par un vecteur unitaire $\vec u$ , et $O$ un point quelconque de cet axe. Le moment cinétique scalaire par rapport à $\Delta$ est $L_\Delta = \vec L_O \cdot \vec u.$ C'est un nombre réel, pas un vecteur.

On montre qu'il ne dépend pas du choix de $O$ sur l'axe, ce qui légitime la notation.

Caractère algébrique, point souligné par le programme :

le signe de $L_\Delta$ indique le sens de rotation autour de l'axe ;
il est positif si le point tourne dans le sens direct autour de $\vec u$ , négatif sinon ;
changer l'orientation de l'axe change le signe de $L_\Delta$ , sans rien changer à la physique.

AttentionOrientation de l'axe

Il faut toujours annoncer l'orientation choisie.

Exemple 1.4Mouvement circulaire, axe $Oz$

Avec $\Delta$ l'axe $Oz$ orienté par $\vec e_z$ , on trouve $L_\Delta = mR^2\dot\theta$ . Le terme $mR^2$ joue le rôle d'une inertie de rotation, et $\dot\theta$ celui d'une vitesse. L'analogie avec $p = mv$ est visible : la masse est remplacée par $mR^2$ et la vitesse par la vitesse angulaire.

1.3Système discret de points

Pour un ensemble de points matériels, le moment cinétique par rapport à un axe orienté est la somme des moments cinétiques scalaires de chaque point : $L_\Delta = \sum_i L_{\Delta,i}.$ L'additivité vaut aussi pour le moment cinétique vectoriel par rapport à un point.

Exemple 1.5Deux masses sur une tige tournante

Deux masses $m$ identiques sont fixées aux extrémités d'une tige rigide de longueur $2a$ , tournant autour de l'axe perpendiculaire passant par son milieu à la vitesse angulaire $\dot\theta$ . Chaque masse contribue pour $ma^2\dot\theta$ , donc $L_\Delta = 2ma^2\dot\theta.$ On voit apparaître la somme des $m_i r_i^2$ , qui est le moment d'inertie, notion développée dans le chapitre sur le solide.

1.4Ordres de grandeur

Exemple 1.6Ordres de grandeur

Une roue de vélo de $1 \unite{kg}$ concentrée sur une jante de $0{,}3 \unite{m}$ de rayon, tournant à deux tours par seconde, a un moment cinétique de l'ordre de $1 \unite{kg.m^2.s^{-1}}$ .
La Terre sur son orbite autour du Soleil, de masse $6 \times 10^{24} \unite{kg}$ , à $1{,}5 \times 10^{11} \unite{m}$ et à $30 \unite{km.s^{-1}}$ , a un moment cinétique orbital de l'ordre de $3 \times 10^{40} \unite{kg.m^2.s^{-1}}$ .

Ces valeurs ne sont pas à retenir, mais l'exercice de calcul est instructif.

2Moment d'une force

2.1Par rapport à un point, par rapport à un axe

Définition 2.1Moment d'une force

Le moment d'une force $\vec F$ appliquée au point $M$ , par rapport à un point $O$ , est $\vec M_O = \vect{OM} \wedge \vec F.$ C'est un vecteur, d'unité le newton-mètre. Par rapport à un axe $\Delta$ orienté par $\vec u$ , avec $O$ sur l'axe, c'est le scalaire $M_\Delta = \vec M_O \cdot \vec u.$

AttentionUnité

On n'exprime jamais un moment en joules, bien que ce soit dimensionnellement identique, pour éviter toute confusion avec une énergie.

Le moment d'une force est nul dans deux cas :

si la force est nulle ;
si la droite d'action de la force passe par $O$ , car alors $\vect{OM}$ et $\vec F$ sont colinéaires.

Pour un axe, le moment est nul si la droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle.

2.2Bras de levier

Le programme demande explicitement d'exprimer le moment d'une force par rapport à un axe en utilisant le bras de levier. C'est la méthode de calcul la plus rapide et la plus intuitive.

Définition 2.2Bras de levier

On se place dans un plan perpendiculaire à l'axe, qui coupe l'axe en $O$ , et on projette la force dans ce plan. Le bras de levier $d$ est la distance entre $O$ et la droite d'action de la force projetée, c'est-à-dire la longueur du segment perpendiculaire abaissé depuis $O$ sur cette droite.

Propriété 2.3Moment par le bras de levier

Avec les notations précédentes, $M_\Delta = \pm F d,$ avec le signe positif si la force tend à faire tourner dans le sens direct autour de l'axe orienté, négatif sinon.

AttentionSigne

On détermine ce signe en regardant le dessin, pas par un calcul.

Interprétation concrète : pour un même effort, l'effet de rotation est proportionnel à la distance entre l'axe et la ligne d'action. C'est pourquoi :

la poignée d'une porte est placée à l'opposé des gonds ;
une clé longue desserre mieux un écrou ;
pousser une porte perpendiculairement à son plan est plus efficace que pousser obliquement.

Exemple 2.4Force sur une porte

Une force horizontale de $20 \unite{N}$ appliquée à une porte, à $80 \unite{cm}$ de l'axe des gonds, perpendiculairement au battant, a un moment de $16 \unite{N.m}$ . La même force appliquée à $10 \unite{cm}$ des gonds n'a qu'un moment de $2 \unite{N.m}$ . Appliquée dans le plan du battant, son moment est nul et elle ne fait pas tourner la porte.

3Théorème du moment cinétique

3.1Énoncé

Théorème 3.1Théorème du moment cinétique en un point fixe

Hypothèses

le référentiel est galiléen ;
$O$ est un point fixe dans ce référentiel ;
la somme porte sur toutes les forces s'exerçant sur le point matériel.

Alors $\frac{\dd \vec L_O}{\dd t} = \sum \vec M_O(\vec F).$ Version scalaire, pour un axe $\Delta$ fixe et orienté : $\frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum M_\Delta(\vec F).$

3.2Démonstration

Elle est courte et il faut savoir la refaire.

Démonstration

On dérive $\vec L_O = \vect{OM} \wedge m\vec v$ en tenant compte du fait que $O$ est fixe : $\begin{aligned} \frac{\dd \vec L_O}{\dd t} &= \frac{\dd \vect{OM}}{\dd t} \wedge m\vec v \\ &\quad + \vect{OM} \wedge m\vec a \\ &= \vec v \wedge m\vec v + \vect{OM} \wedge m\vec a. \end{aligned}$ Le premier terme est nul, car le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même est nul. Le second se transforme avec la deuxième loi de Newton, $m\vec a = \sum \vec F$ : $\frac{\dd \vec L_O}{\dd t} = \vect{OM} \wedge \sum \vec F = \sum \vec M_O(\vec F).$

AttentionHypothèses essentielles

L'hypothèse de point fixe est essentielle : si $O$ bouge, un terme supplémentaire apparaît, et le théorème sous cette forme est faux. De même l'hypothèse de référentiel galiléen est nécessaire, puisque la démonstration utilise la deuxième loi de Newton.

3.3Le théorème n'apporte rien de nouveau, et pourtant

Formellement, le théorème du moment cinétique est une conséquence de la deuxième loi de Newton, il ne contient aucune information supplémentaire. Son intérêt est pratique :

il élimine d'un coup toutes les forces dont la droite d'action passe par $O$ , comme la tension d'un fil attaché en $O$ et, plus généralement, toute force centrale de centre $O$ ;
il donne directement une équation scalaire portant sur l'angle, pour un mouvement de rotation. C'est souvent l'équation du mouvement cherchée, obtenue sans projection ni base locale.

3.4Exemple, le pendule simple

Exemple 3.2Pendule simple

Une masse $m$ est au bout d'un fil de longueur $l$ attaché en $O$ , oscillant dans un plan vertical, repérée par l'angle $\theta$ avec la verticale descendante. On choisit l'axe $\Delta$ passant par $O$ , perpendiculaire au plan du mouvement, orienté de sorte que $\theta$ croissant corresponde au sens direct.

Moment cinétique : le mouvement est circulaire de rayon $l$ , donc $L_\Delta = ml^2\dot\theta$ .
Tension du fil : sa droite d'action passe par $O$ , son moment est nul.
Poids, de norme $mg$ : son bras de levier est la distance entre $O$ et la verticale passant par $M$ , soit $l\sin\theta$ . Il tend à ramener le pendule vers le bas, donc son moment est négatif quand $\theta$ est positif : il vaut $-mgl\sin\theta$ .

Le théorème donne $ml^2\ddot\theta = -mgl\sin\theta$ , soit après simplification $\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.$ On retrouve l'équation obtenue par projection de la deuxième loi de Newton sur $\vec e_\theta$ , mais sans calculer d'accélération en coordonnées polaires et sans que la tension inconnue n'intervienne jamais.

4Conservation du moment cinétique

4.1Les cas de conservation

C'est le point sur lequel le programme insiste le plus.

Propriété 4.1Conservation du vecteur moment cinétique

Hypothèses

le référentiel est galiléen ;
$O$ est fixe ;
la somme des moments des forces par rapport à $O$ est nulle.

Alors $\vec L_O$ est un vecteur constant.

Cela se produit notamment lorsque le point n'est soumis qu'à des forces dont la droite d'action passe constamment par $O$ , appelées forces centrales de centre $O$ . La gravitation exercée par un astre fixe, l'attraction électrostatique d'un noyau et la tension d'un fil attaché en un point fixe en sont des exemples.

Propriété 4.2Conservation du moment cinétique scalaire

Si seul le moment par rapport à un axe $\Delta$ est nul, alors seul le scalaire $L_\Delta$ est conservé, et pas le vecteur.

C'est le cas fréquent d'un problème possédant une symétrie de révolution autour d'un axe, par exemple une perle enfilée sur un cerceau tournant, ou un point mobile sur une surface de révolution d'axe vertical soumis à son poids.

4.2Conséquences quand $\vec L_O$ est conservé

Propriété 4.3Mouvement plan

Hypothèses

$\vec L_O$ est un vecteur constant ;
$\vec L_O \neq \vec 0$ .

Alors le point reste constamment dans le plan passant par $O$ et perpendiculaire à $\vec L_O$ , car $\vect{OM}$ est perpendiculaire à $\vec L_O$ par construction du produit vectoriel.

La norme constante impose une relation entre la distance à $O$ et la vitesse. Quand le point se rapproche de $O$ , sa vitesse transverse augmente. C'est l'effet exploité par le patineur qui ramène les bras le long du corps pour accélérer sa rotation, et c'est la raison pour laquelle une planète va plus vite au périhélie qu'à l'aphélie.

Ces conséquences sont développées dans le chapitre sur les forces centrales conservatives, où la conservation de $\vec L_O$ donne la loi des aires. Il suffit ici de savoir les identifier.

AttentionCas particulier

Si $\vec L_O$ est nul et le reste, le mouvement est rectiligne : le point se déplace sur la droite passant par $O$ .

Méthodes

MéthodeAnnoncer le point et l'axe

Annoncer systématiquement le point ou l'axe par rapport auquel on travaille, et l'orientation de l'axe.
Sans cela le signe du résultat n'a pas de sens.

MéthodeChoisir le point O

Placer $O$ de manière à annuler le maximum de moments.
Le mettre sur la droite d'action des forces inconnues, typiquement au point d'attache d'un fil ou au centre d'une force centrale.

MéthodeCalculer un moment par rapport à un axe

Utiliser le bras de levier.
Lire le signe sur le schéma, plutôt que de développer un produit vectoriel en coordonnées.

MéthodeChercher une conservation

Avant tout calcul, se demander si un moment cinétique est conservé.
Si oui, écrire immédiatement l'intégrale première, qui vaut souvent plusieurs lignes de résolution.

MéthodeRotation autour d'un axe fixe

Écrire le théorème du moment cinétique scalaire.
Il donne directement l'équation du mouvement en fonction de l'angle, presque toujours par la voie la plus courte.

MéthodeContrôler l'homogénéité

Un moment cinétique est en $\unite{kg.m^2.s^{-1}}$ et un moment de force en $\unite{N.m}$ .
Le rapport des deux est bien un temps.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point, puis par rapport à un axe orienté, et préciser les unités.
Relier la direction et le sens du vecteur moment cinétique aux caractéristiques du mouvement, et donner les cas où il est nul.
Calculer le moment cinétique d'un point en mouvement circulaire et celui d'un système de deux masses sur une tige tournante.
Définir le moment d'une force par rapport à un point puis par rapport à un axe, et le calculer avec le bras de levier sur un exemple chiffré.
Démontrer le théorème du moment cinétique en un point fixe dans un référentiel galiléen, en explicitant les hypothèses.
Établir l'équation du pendule simple par le théorème du moment cinétique, en justifiant l'annulation du moment de la tension.
Énoncer les cas de conservation du moment cinétique et en déduire que le mouvement est plan quand $\vec L_O$ est constant et non nul.
Expliquer physiquement l'accélération d'une rotation quand la distance à l'axe diminue.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Moment cinétique d'un point par rapport à un point O : L_O = OM × m v, en kg·m²/s. Définition exigible. Lecture géométrique (direction, sens, norme) exigible.
Moment cinétique par rapport à un axe orienté Δ = (O, u) : L_Δ = L_O · u. Définition exigible. Son indépendance vis-à-vis du point O choisi sur l'axe est à savoir justifier.
Expression en coordonnées cylindriques d'axe Oz : L_z = m r² θ̇, pour un mouvement quelconque. À savoir retrouver.
Changement de point : L_O' = L_O + O'O × m v. Non exigible comme formule, mais c'est l'outil de la justification précédente.
Système discret de points : L_Δ = Σ L_Δ,i, somme algébrique. Exigible.
Moment d'une force : M_O = OM × F, en N·m, et M_Δ = M_O · u. Définitions exigibles.
Bras de levier : M_Δ = ± F_⊥ d, où F_⊥ est la norme de la composante de F orthogonale à l'axe et d la distance de l'axe à la droite d'action de cette composante (M_Δ = ± F d si F est orthogonale à l'axe). Exigible, capacité phare du programme.
Moment nul par rapport à un axe si la droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle. Exigible.
Théorème du moment cinétique pour un point matériel, en un point O fixe d'un référentiel galiléen : dL_O/dt = Σ M_O(F). Exigible avec démonstration. Version scalaire pour un axe fixe : dL_Δ/dt = Σ M_Δ(F).
Conservation : Σ M_O = 0 implique L_O constant. Σ M_Δ = 0 implique seulement L_Δ constant. Exigible, capacité « identifier les cas de conservation ».
Si L_O est constant et non nul, le mouvement est plan, dans le plan passant par O orthogonal à L_O. Exigible avec démonstration.
Si L_O est nul à chaque instant, le mouvement est rectiligne sur une droite passant par O. À savoir justifier.
Hors programme dans ce chapitre, à signaler : théorème du moment cinétique en un point mobile, théorème de König, moment d'inertie d'un solide continu et théorème du moment cinétique pour un solide (chapitre suivant), loi des aires et lois de Kepler (chapitre des forces centrales).

Clés de démonstration

Indépendance de L_Δ vis-à-vis du point de l'axe. On prend deux points O et O' de l'axe et on écrit OM = OO' + O'M. On obtient L_O = L_O' + OO' × m v. Le produit mixte (OO' × m v) · u est nul car OO' est colinéaire à u. L'astuce est la relation de Chasles suivie d'un produit mixte contenant deux vecteurs colinéaires.

Formule du bras de levier. On décompose OM = z u + r, avec r orthogonal à l'axe, et F = F_par + F_perp. Dans (OM × F) · u, tous les termes contenant u ou F_par disparaissent, il reste (r × F_perp) · u. Ce produit vectoriel a pour norme F_perp × d, où d est la distance de O à la droite d'action dans le plan orthogonal. L'astuce est de remarquer que seule la composante orthogonale de la force et la position projetée comptent.

Théorème du moment cinétique. On dérive le produit vectoriel en utilisant que O est fixe, donc dOM/dt = v. Le terme v × m v s'annule. Le terme OM × m a devient OM × Σ F par la deuxième loi de Newton. L'astuce est l'annulation du produit d'un vecteur par lui-même, et les deux hypothèses (point fixe, référentiel galiléen) sortent naturellement de la preuve.

Mouvement plan. Par construction du produit vectoriel, OM · L_O = 0 à chaque instant. Si L_O est un vecteur constant non nul, M reste dans le plan fixe passant par O et orthogonal à L_O. L'astuce est de lire la définition comme une équation de plan.

Mouvement rectiligne si L_O est nul. Alors v est colinéaire à OM à chaque instant, donc la direction de OM ne change pas. Le point reste sur une droite fixe passant par O. L'argument suppose M distinct de O, cas limite à mentionner.

Exemples et contre-exemples à connaître

Point en mouvement rectiligne uniforme passant à la distance b de O. On a ‖L_O‖ = m v b, constant. Un mouvement sans rotation peut donc avoir un moment cinétique non nul.
Point se dirigeant droit vers O. L_O = 0 même avec une grande vitesse. Le moment cinétique mesure la rotation « vue de O », pas l'intensité du mouvement.
Mouvement circulaire vu depuis un point de l'axe différent du centre. Le vecteur L_A n'est plus porté par l'axe, mais L_z est inchangé. Le vecteur dépend du point, le scalaire ne dépend pas du point sur l'axe.
Pendule conique. L_z est conservé mais le vecteur L_O tourne. C'est le contre-exemple type à « une composante conservée donc le vecteur est conservé ».
Force parallèle à l'axe. Tirer une porte vers le haut ne la fait pas tourner autour de ses gonds. Moment nul sans que la droite d'action ne coupe l'axe.
Couple de deux forces opposées non alignées. La résultante est nulle mais le moment ne l'est pas. La quantité de mouvement ne voit pas ce que le moment voit.
Bille tirée vers un trou par un fil. L est conservé, l'énergie cinétique ne l'est pas. Les deux conservations sont indépendantes.
Fil qui s'enroule sur un cylindre fixe. L'énergie cinétique est conservée, L ne l'est pas. C'est le contre-exemple symétrique du précédent.
Chute libre observée depuis un point de la verticale de chute. Le moment du poids est nul et L_O reste nul. Vue depuis un autre point, L_O varie. Le choix du point décide de la conservation.

Techniques du chapitre

Lire le signe sur le schéma. On oriente l'axe, on regarde dans quel sens la force tend à faire tourner, puis on calcule seulement la norme F_⊥ d. Mini-exercice : une clé de 30 cm, une force de 50 N dans le plan de rotation, inclinée de 60° par rapport au manche. Bras de levier d = 0,30 × sin 60° = 0,26 m, donc M = 13 N·m, positif si la force serre dans le sens direct.

Faire l'inventaire des moments nuls avant tout calcul. Le poids et la réaction d'un plan horizontal sans frottement (réaction purement normale) sont parallèles à un axe vertical. Tension d'un fil passant par un point de l'axe coupe l'axe. Mini-exercice : bille sur une table horizontale lisse, attachée à un fil passant par un trou O. Les trois forces ont un moment nul par rapport à l'axe vertical passant par O, donc L_z = m r² θ̇ est constant.

Utiliser L_z = m r² θ̇ en cylindriques. Avec OM = r e_r + z e_z et v = ṙ e_r + r θ̇ e_θ + ż e_z, seul le produit r e_r × r θ̇ e_θ contribue à la composante sur e_z. Mini-exercice : un point monte le long d'une hélice de rayon R avec θ̇ = ω. On obtient L_z = m R² ω, sans que la montée intervienne.

Exploiter une conservation comme intégrale première. On écrit la constante avec les conditions initiales et on élimine θ̇. Mini-exercice : dans la situation du trou, on passe de r₀ à r₀/2. Alors r² θ̇ constant donne θ̇ multipliée par 4 et la vitesse orthoradiale multipliée par 2.

Calculer L avec le bras de levier de la quantité de mouvement. La norme de L_O vaut p fois la distance de O à la droite portant v. Mini-exercice : un électron à 10⁶ m/s passe à 10⁻¹⁰ m d'un noyau. Alors L = 9,1 × 10⁻³¹ × 10⁶ × 10⁻¹⁰ ≈ 9 × 10⁻³⁵ kg·m²/s, de l'ordre de la constante de Planck réduite.

Sommer algébriquement pour un système discret. Mini-exercice : deux masses m sur deux cercles coaxiaux de rayons a et 2a, la première à ω, la seconde à − ω/4. Total L_z = m a² ω − m (4a²) ω/4 = 0, alors que les deux masses tournent.

Contrôler par homogénéité et par comparaison avec la deuxième loi de Newton. Mini-exercice : le rapport L/M est un temps. Pour le pendule, projeter m a sur e_θ doit redonner la même équation que le théorème du moment cinétique divisé par l.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Point libre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un point de masse m se déplace à vitesse constante v₀ e_x sur la droite y = b du plan Oxy. Calculer L_O et commenter. Que vaut-il par rapport à un point de la trajectoire ?

Technique Calcul direct en cartésiennes, puis lecture en bras de levier.

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OM = v₀ t e_x + b e_y et p = m v₀ e_x.
L_O = m v₀ b (e_y × e_x) = − m v₀ b e_z, constant.
Le signe est négatif : vu depuis + e_z, le point passe au-dessus de O en allant vers la droite, donc il tourne en sens horaire autour de O.
La norme m v₀ b est p fois la distance de O à la droite. Aucune force, donc aucun moment, donc conservation, ce qui est cohérent.
Par rapport à un point de la trajectoire, OM et v sont colinéaires, le moment cinétique est nul.

piège : Affirmer que L_O est nul « puisque le mouvement est rectiligne ».

Exercice 2. Pédalier et points morts

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une manivelle de longueur l = 17 cm tourne autour d'un axe horizontal O. Le cycliste appuie verticalement sur la pédale avec F = 400 N. La manivelle fait l'angle θ avec l'horizontale, pédale vers l'avant. Exprimer le moment de la force par rapport à l'axe.

Technique Bras de levier et signe lu sur le dessin.

Voir le corrigé

On oriente l'axe de sorte que la rotation vers l'avant soit positive.
La droite d'action est la verticale passant par la pédale. Sa distance à O vaut l |cos θ|.
Pour θ entre − 90° et 90°, appuyer fait avancer, donc M_Δ = F l cos θ.
Maximum 68 N·m pour la manivelle horizontale. À 45°, 48 N·m.
Pour θ = ± 90°, manivelle verticale, la droite d'action passe par O et le moment est nul. Ce sont les points morts, franchis grâce à l'autre pédale et à l'inertie.
Si le pied poussait perpendiculairement à la manivelle, le moment vaudrait F l à tout instant. D'où l'intérêt des pédales automatiques qui permettent de tirer.

piège : Prendre le bras de levier égal à l, c'est-à-dire la distance au point d'application plutôt qu'à la droite d'action.

Exercice 3. Pendule amorti

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une bille de masse m glisse dans une gouttière circulaire verticale de rayon R et de centre O, sans frottement solide. Elle subit un frottement fluide − h v. Établir l'équation du mouvement en θ, angle avec la verticale descendante.

Technique Théorème du moment cinétique scalaire autour de l'axe horizontal passant par O.

Voir le corrigé

Axe orienté pour que θ croissant soit le sens direct. L_Δ = m R² θ̇.
La réaction de la gouttière est radiale, sa droite d'action passe par O, son moment est nul.
Le poids a pour moment − m g R sin θ.
Le frottement vaut − h R θ̇ e_θ appliqué en M. Son bras de levier vaut R, il s'oppose à la rotation, donc son moment est − h R² θ̇.
On obtient m R² θ̈ = − m g R sin θ − h R² θ̇, soit θ̈ + (h/m) θ̇ + (g/R) sin θ = 0.
Aux petits angles, oscillateur amorti de pulsation propre ω₀ = √(g/R) et de facteur de qualité Q = m ω₀/h.

piège : Oublier le moment du frottement, ou le compter avec le signe du poids.

Exercice 4. Fil tiré à travers un trou

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une bille de masse m = 0,10 kg décrit sur une table horizontale lisse un cercle de rayon r₀ = 0,50 m à v₀ = 1,0 m/s. Elle est retenue par un fil passant par un trou O au centre. Un opérateur tire lentement le fil jusqu'au rayon r₁ = 0,25 m. Calculer la nouvelle vitesse et le travail fourni.

Technique Conservation de L_z, puis théorème de l'énergie cinétique.

Voir le corrigé

Poids et réaction de la table sont verticaux, parallèles à l'axe. La tension est dirigée vers O. Tous les moments par rapport à l'axe sont nuls.
Donc m r v_θ se conserve : v_θ,1 = v₀ r₀/r₁ = 2,0 m/s.
Tirage lent : ṙ reste négligeable, le mouvement final est circulaire et v₁ = 2,0 m/s.
Seule la tension travaille, et le fil idéal transmet le travail de l'opérateur. W = ½ m (v₁² − v₀²) = 0,15 J.
Formule générale : W = ½ m v₀² ((r₀/r₁)² − 1), positive. Il faut fournir de l'énergie pour rapprocher la bille.

piège : Écrire que l'énergie cinétique se conserve parce que la tension est « centrale ». Elle a un moment nul mais un travail non nul, car la vitesse a une composante radiale.

Exercice 5. Perle sur tige tournante

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une tige horizontale tourne autour d'un axe vertical Oz à vitesse angulaire ω constante, imposée par un moteur. Une perle de masse m y glisse sans frottement, lâchée sans vitesse relative à la distance r₀. Déterminer r(t) et la composante orthoradiale de la réaction.

Technique Deuxième loi de Newton radiale, puis théorème du moment cinétique pour la réaction.

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Sans frottement, la réaction est orthogonale à la tige : R = R_θ e_θ + R_z e_z.
Projection radiale de la deuxième loi de Newton : m (r̈ − r ω²) = 0. Avec r(0) = r₀ et ṙ(0) = 0, on trouve r = r₀ ch(ωt).
L_z = m r² ω, donc dL_z/dt = 2 m r ṙ ω.
Poids et R_z sont parallèles à l'axe, moment nul. R_θ a pour bras de levier r, moment r R_θ.
Donc R_θ = 2 m ω ṙ = 2 m ω² r₀ sh(ωt).
Le moteur doit fournir un couple croissant pour maintenir ω. L_z n'est pas conservé.

piège : Conclure à la conservation de L_z parce qu'il n'y a « pas de frottement ». Une réaction sans frottement peut avoir un moment par rapport à l'axe.

Exercice 6. Pendule conique

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une masse m au bout d'un fil de longueur l attaché en O décrit un cercle horizontal à vitesse angulaire ω, le fil faisant l'angle α constant avec la verticale descendante. Calculer L_O, puis relier ω et α par le théorème du moment cinétique.

Technique Dérivée d'un vecteur tournant et moment du poids en O.

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Base cylindrique d'axe vertical ascendant passant par O. OM = l sin α e_r − l cos α e_z et v = l ω sin α e_θ.
L_O = m l² ω sin α (sin α e_z + cos α e_r). La composante verticale est constante, la composante horizontale tourne avec e_r.
dL_O/dt = m l² ω² sin α cos α e_θ.
La tension passe par O. Le poids donne OM × (− m g e_z) = m g l sin α e_θ.
Égalité : pour α non nul, ω² = g/(l cos α). Pour l = 1 m et α = 60°, ω ≈ 4,4 rad/s.
Seul L_z = m l² ω sin² α est conservé, car le poids et la tension ont un moment nul par rapport à l'axe vertical.

piège : Écrire dL_O/dt = 0 parce que le mouvement est uniforme.

Exercice 7. Point sur un cône

Approfondissement · Type écrit Centrale

Un point de masse m glisse sans frottement à l'intérieur d'un cône de révolution d'axe vertical, sommet O en bas, demi-angle α. On le lance horizontalement, tangentiellement, à la distance r₀ de l'axe avec la vitesse v₀. On admet que le contact est maintenu. Montrer que r reste compris entre deux valeurs et trouver la condition de mouvement circulaire.

Technique Conservation de L_z combinée à l'énergie mécanique.

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La réaction est normale à la surface, donc contenue dans le plan méridien qui contient l'axe. Sa droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle, moment nul. Le poids est parallèle à l'axe. Donc r² θ̇ = C = r₀ v₀.
Sur le cône, z = r/tan α, et v² = ṙ²/sin² α + r² θ̇².
Énergie par unité de masse : ½ ṙ²/sin² α + f(r) = f(r₀), avec f(r) = C²/(2r²) + g r/tan α.
Le mouvement exige f(r) ≤ f(r₀). La fonction f tend vers l'infini en 0 et en l'infini, avec un seul minimum. Donc r oscille entre r₀ et une autre racine. Le point n'atteint jamais le sommet si C est non nul.
Mouvement circulaire si r₀ est le minimum de f : f'(r₀) = 0, soit v₀² = g r₀/tan α.
Vérification par la deuxième loi de Newton : N sin α = m g et N cos α = m v₀²/r₀ redonnent la même relation.
Si v₀² > g r₀/tan α, le point monte d'abord, sinon il descend.

piège : Oublier le terme ż² dans l'énergie cinétique, ou croire la réaction de moment non nul parce qu'elle n'est pas horizontale.

Exercice 8. Fil qui s'enroule sur un cylindre

Approfondissement · Type oral Mines

Un cylindre vertical fixe de rayon a et d'axe passant par O est posé sur une table horizontale lisse. Un fil inextensible y est fixé et retient une masse m. La partie libre du fil, tangente au cylindre en T, a la longueur ℓ₀. On lance la masse avec v₀ orthogonale au fil, le fil s'enroule. Montrer que la vitesse reste constante mais que L_O varie. Calculer la durée d'enroulement.

Technique Puissance nulle, moment non nul, bras de levier égal à a.

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Le point T est instantanément fixe et M tourne autour de T. La vitesse est donc orthogonale au fil, la tension ne travaille pas et v = v₀.
OM = OT + TM, avec OT colinéaire à v. Donc L_O = TM × m v, de norme m v₀ ℓ. Il décroît avec ℓ.
La droite d'action de la tension est la droite MT, tangente au cylindre, donc à la distance a de l'axe. Moment − T a, non nul.
Le rayon de courbure de la trajectoire vaut ℓ, donc T = m v₀²/ℓ.
Théorème du moment cinétique : m v₀ dℓ/dt = − a m v₀²/ℓ, soit ℓ dℓ/dt = − a v₀.
D'où ℓ² = ℓ₀² − 2 a v₀ t et une durée d'enroulement ℓ₀²/(2 a v₀). Pour ℓ₀ = 1 m, a = 5 cm et v₀ = 1 m/s, on trouve 10 s.

piège : Transposer l'exercice 4 et conserver L_O. Ici la tension ne passe pas par O.

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème en un point mobile ou dans un référentiel non galiléen. Toujours écrire « O fixe dans le référentiel galiléen R ».
Confondre conservation de L_Δ et conservation du vecteur L_O. Une symétrie de révolution ne conserve qu'une composante, comme dans le pendule conique.
Mesurer le bras de levier jusqu'au point d'application au lieu de la droite d'action, ou donner un signe sans avoir orienté l'axe.
Déduire une conservation d'énergie d'une conservation de moment cinétique, ou l'inverse. Le trou et le cylindre montrent que les deux sont indépendantes.
Supposer nul le moment d'une réaction sans frottement. Il est nul seulement si sa droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle, ce que la perle sur tige tournante contredit.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), deuxième semestre, thème 2 « mouvements et interactions », partie 2.5 « Moment cinétique ». Elle couvre le moment cinétique d'un point matériel et d'un système discret de points, le moment d'une force et le bras de levier, le théorème du moment cinétique en un point fixe et les cas de conservation.

Moment cinétique

Résumé en cinq points

1Moment cinétique

1.1Par rapport à un point

1.2Par rapport à un axe orienté

1.3Système discret de points

1.4Ordres de grandeur

2Moment d'une force

2.1Par rapport à un point, par rapport à un axe

2.2Bras de levier

3Théorème du moment cinétique

3.1Énoncé

3.2Démonstration

3.3Le théorème n'apporte rien de nouveau, et pourtant

3.4Exemple, le pendule simple

4Conservation du moment cinétique

4.1Les cas de conservation

4.2Conséquences quand L⃗O\vec L_OLO​ est conservé

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Point libre

Exercice 2. Pédalier et points morts

Exercice 3. Pendule amorti

Exercice 4. Fil tiré à travers un trou

Exercice 5. Perle sur tige tournante

Exercice 6. Pendule conique

Exercice 7. Point sur un cône

Exercice 8. Fil qui s'enroule sur un cylindre

Erreurs fréquentes

4.2Conséquences quand $\vec L_O$ est conservé