Le cours

Résumé en cinq points

L'optique géométrique est un modèle de rayons, valable tant que les dimensions en jeu sont grandes devant la longueur d'onde. Sinon, il y a diffraction.
Les lois de Snell-Descartes gouvernent réflexion et réfraction. La réflexion totale apparaît seulement du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent, au delà de l'angle limite défini par $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{n_2}{n_1}$ .
Dans les conditions de Gauss, rayons paraxiaux, un système centré est approximativement stigmatique et aplanétique. C'est ce qui autorise les formules de conjugaison.
Pour une lentille mince, Descartes donne $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ avec $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ , Newton donne $\overline{FA}\times\overline{F'A'} = -f'^2$ . Une image réelle d'un objet réel sur un écran exige $D \geqslant 4f'$ .
Les dispositifs réels se modélisent par des lentilles et un capteur :
- œil : vergence variable et capteur fixe ;
- appareil photographique : focale fixée et lentille mobile ;
- fibre à saut d'indice : guidage par réflexion totale, ouverture numérique $\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ et dispersion intermodale.

Pourquoi ce chapitre

C'est souvent le premier chapitre de physique de l'année. Il demande peu d'outils mathématiques et beaucoup de rigueur. Son vrai sujet est la notion de modèle. On part du rayon lumineux, qui n'existe pas, et on en tire des prédictions vérifiables sur un banc d'optique.

Il fixe aussi les réflexes de calcul algébrique, grandeurs orientées et mesures algébriques, utiles toute l'année. Aux concours, il donne des exercices de conjugaison, des constructions graphiques et des questions de modélisation de dispositifs réels : œil, appareil photographique, fibre optique. C'est enfin un chapitre très expérimental.

1Sources lumineuses

1.1Source ponctuelle monochromatique

Définition 1.1Source ponctuelle monochromatique

Une source ponctuelle a des dimensions négligeables devant les distances du montage. Elle est monochromatique si elle n'émet qu'une seule fréquence.

Remarque

C'est une idéalisation : aucune source réelle ne l'est rigoureusement.

La fréquence $\nu$ ne change pas quand la lumière change de milieu, la longueur d'onde si.

Propriété 1.2Longueur d'onde dans un milieu

Dans le vide, $\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}$ avec $c = 3{,}00 \times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ .
Dans un milieu d'indice $n$ , $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ .

1.2Spectre et couleur

Définition 1.3Spectre

Le spectre d'une source est la répartition de sa puissance lumineuse selon la longueur d'onde.

Caractériser une source, c'est donner son spectre.

Exemple 1.4Allures de spectres

Une lampe spectrale donne un spectre de raies.
Une lampe à incandescence donne un spectre continu.
Un laser donne une raie très fine.

Ordres de grandeur du visible dans le vide :

de $400 \unite{nm}$ pour le violet à $800 \unite{nm}$ pour le rouge ;
le vert vers $550 \unite{nm}$ ;
en dessous, l'ultraviolet, au dessus, l'infrarouge.

2Le modèle de l'optique géométrique

2.1Définition du modèle

Définition 2.1Rayon lumineux

Le modèle décrit la lumière par des rayons. Un rayon est une courbe orientée le long de laquelle se propage l'énergie lumineuse.

Propriété 2.2Propriétés des rayons

Dans un milieu homogène et isotrope, les rayons sont des droites.
Les rayons sont indépendants : deux rayons qui se croisent ne se perturbent pas.

Définition 2.3Indice d'un milieu transparent

L'indice d'un milieu transparent vaut $n = \dfrac{c}{v}$ , où $v$ est la vitesse de propagation dans le milieu. On a toujours $n \geqslant 1$ .

Exemple 2.4Ordres de grandeur de l'indice

air : $1{,}000$ ;
eau : $1{,}33$ ;
verre ordinaire ou cœur d'une fibre en silice : environ $1{,}5$ ;
diamant : $2{,}4$ .

2.2Limites du modèle

Le modèle est valable quand les dimensions des objets rencontrés par la lumière sont grandes devant la longueur d'onde. Quand une ouverture a une taille comparable à $\lambda$ , la lumière diffracte.

Propriété 2.5Diffraction par une fente

L'angle de diffraction par une fente de largeur $a$ est de l'ordre de $\dfrac{\lambda}{a}$ .

Exemple 2.6

Une fente de $0{,}1 \unite{mm}$ éclairée à $600 \unite{nm}$ diffracte sur environ $6 \times 10^{-3} \unite{rad}$ , ce qui est visible à quelques mètres.

L'optique géométrique ne décrit pas non plus :

les interférences ;
la polarisation ;
l'émission et l'absorption quantiques.

3Réflexion et réfraction

3.1Lois de Snell-Descartes

À l'interface entre deux milieux transparents d'indices $n_1$ et $n_2$ , un rayon incident donne naissance à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté.

Loi 3.1Lois de Snell-Descartes

Première loi : les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d'incidence, plan qui contient le rayon incident et la normale à l'interface au point d'incidence.
Deuxième loi, réflexion : l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence, les deux rayons étant de part et d'autre de la normale.
Troisième loi, réfraction : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ , les angles étant mesurés par rapport à la normale.

En passant dans un milieu plus réfringent le rayon se rapproche de la normale, dans un milieu moins réfringent il s'en écarte.

MéthodeSchéma à savoir tracer

Tracer une interface horizontale et la normale verticale en pointillés au point d'incidence.
Tracer le rayon incident oblique dans le milieu 1.
Tracer le rayon réfléchi symétrique dans le milieu 1.
Tracer le rayon réfracté dans le milieu 2, qui se rapproche de la normale si $n_2 > n_1$ .

3.2Réflexion totale

Supposons $n_1 > n_2$ . La loi de la réfraction donne $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\,\sin i_1,$ avec un facteur supérieur à 1. Il n'existe donc pas de rayon réfracté dès que $\dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ .

Définition 3.2Angle limite

L'angle limite $i_{\text{lim}}$ est défini par $\sin i_{\text{lim}} = \frac{n_2}{n_1}.$ Pour $i_1 > i_{\text{lim}}$ , toute l'énergie repart dans le milieu 1 : c'est la réflexion totale.

Elle n'est possible que dans ce sens de passage, du plus réfringent vers le moins réfringent.

Exemple 3.3Angles limites

Verre d'indice $1{,}5$ vers air : $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{1}{1{,}5}$ , soit $i_{\text{lim}} \approx 42^\circ$ .
Eau vers air : $i_{\text{lim}} \approx 49^\circ$ .

4Stigmatisme et approximation de Gauss

4.1Stigmatisme rigoureux et approché

Définition 4.1Stigmatisme

Un système optique est stigmatique pour un couple de points $A$ et $A'$ si tout rayon issu de $A$ émerge en passant par $A'$ . On dit alors que $A'$ est l'image de $A$ .

Le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique pour tout point de l'espace.

En pratique on se contente d'un stigmatisme approché : les rayons issus de $A$ émergent dans une tache de petite dimension autour de $A'$ . Le critère est lié au détecteur. Si la tache est plus petite qu'un pixel du capteur, ou que le grain de la rétine, l'image est perçue nette.

À retenir

Le stigmatisme approché est relatif au détecteur : ce n'est pas une propriété absolue du système.

4.2Miroir plan

Propriété 4.2Image par un miroir plan

Le miroir plan donne d'un point objet $A$ un point image $A'$ symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir. Si $A$ est réel, $A'$ est virtuel, et réciproquement.

L'image d'un objet étendu est symétrique de l'objet et de même taille, mais elle inverse la chiralité. Cela explique l'inversion gauche-droite apparente d'un texte lu dans un miroir.

MéthodeConstruire l'image par un miroir plan

Tracer deux rayons issus de $A$ .
Les réfléchir.
Prolonger les rayons réfléchis en arrière du miroir.

4.3Conditions de l'approximation de Gauss

Définition 4.3Approximation de Gauss

On se place dans l'approximation de Gauss quand les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique et rencontrent le système près de l'axe. On parle de rayons paraxiaux. Concrètement on diaphragme le faisceau et on limite le champ.

Propriété 4.4Conséquences de l'approximation de Gauss

Dans ces conditions, tout système centré est :

approximativement stigmatique pour tout point de l'espace ;
aplanétique : l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe est un plan perpendiculaire à l'axe.

Ces deux propriétés rendent possibles les formules de conjugaison.

Sur le plan mathématique, l'approximation de Gauss revient à remplacer $\sin i$ et $\tan i$ par $i$ . Les lois de Snell-Descartes deviennent linéaires : $n_1 i_1 = n_2 i_2$ .

5Lentilles minces

5.1Vocabulaire et propriétés

Définition 5.1Lentille mince

Une lentille mince est un système centré dont l'épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure des faces et devant les distances de conjugaison. On la caractérise par son centre optique $O$ , son axe optique, et sa distance focale image $f'$ , mesure algébrique de $\overline{OF'}$ .

Propriété 5.2Rayons particuliers

Tout rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
Tout rayon incident parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer principal image $F'$ .
Tout rayon incident passant par le foyer principal objet $F$ émerge parallèle à l'axe.
Tout faisceau incident parallèle entre lui converge, après la lentille, en un point du plan focal image, appelé foyer secondaire image. On le trouve en traçant le rayon particulier de ce faisceau qui passe par $O$ .

Définition 5.3Vergence

La vergence est $V = \dfrac{1}{f'}$ , en dioptries (symbole $\delta$ ), avec $f'$ en mètres.

Une lentille convergente a $f' > 0$ , une lentille divergente $f' < 0$ .
Les foyers $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$ : la mesure algébrique $\overline{OF}$ vaut $-f'$ .

5.2Nature de l'image

Définition 5.4Objet et image, réel ou virtuel

Un objet est réel si la lumière diverge effectivement de lui, virtuel si les rayons incidents convergent vers lui sans l'atteindre.
Une image est réelle si les rayons émergents convergent en un point : elle se recueille alors sur un écran.
Elle est virtuelle si seuls leurs prolongements se coupent : elle n'est visible qu'à l'œil.

5.3Formules de conjugaison

Propriété 5.5Formules de Descartes

Hypothèses

lentille mince, dans l'approximation de Gauss ;
origine au centre optique ;
grandeurs en mesures algébriques sur l'axe orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Alors $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},$ et le grandissement transversal vaut $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.$

Propriété 5.6Formules de Newton

Hypothèses

lentille mince, dans l'approximation de Gauss ;
origines aux foyers ;
grandeurs en mesures algébriques sur l'axe orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Alors $\overline{FA}\times\overline{F'A'} = -f'^2,$ et $\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'}.$

Exemple 5.7Vérification : objet à $2f'$

Pour un objet réel placé à la distance $2f'$ avant une lentille convergente, $\overline{OA} = -2f'$ . On trouve $\overline{OA'} = 2f'$ et $\gamma = -1$ . L'image est réelle, renversée, de même taille.

À retenir

Le montage symétrique, $\gamma = -1$ , est le point de repère pour vérifier un calcul.

5.4Condition de formation d'une image réelle

Soit un objet réel et un écran placé à la distance $D > 0$ de l'objet. On cherche où placer une lentille convergente de distance focale $f'$ pour former l'image sur l'écran.

Propriété 5.8Condition $D \geqslant 4f'$

Hypothèses

objet réel, écran à la distance $D > 0$ de l'objet ;
lentille convergente de distance focale $f'$ .

Alors une position de la lentille existe si et seulement si $D \geqslant 4f'$ .

Pour $D > 4f'$ , il y a deux positions de la lentille, symétriques par rapport au milieu : c'est la méthode de Bessel.
Pour $D = 4f'$ , la position est unique et $\gamma = -1$ .

Démonstration

Posons $x = \overline{OA}$ . Alors $\overline{OA'} = D + x$ , et la relation de conjugaison conduit à l'équation du second degré $x^2 + Dx + Df' = 0.$ Son discriminant vaut $D^2 - 4Df' = D\,(D - 4f').$ Il existe donc une solution si et seulement si $D \geqslant 4f'$ .

5.5Constructions graphiques

MéthodeConstruire l'image d'un point hors de l'axe

Pour un point objet $B$ hors de l'axe, tracer deux des trois rayons particuliers.
Leur intersection, ou celle de leurs prolongements, donne $B'$ .
Déduire $A'$ de $B'$ par aplanétisme.

Construction d'une image par une lentille convergente

Le tracé illustre un objet réel entre $F$ et $2F$ : les rayons se croisent à droite de la lentille et donnent une image réelle, renversée et agrandie.

Pour un objet à l'infini vu sous un diamètre apparent $\alpha$ , l'image se forme dans le plan focal image et sa taille vaut environ $\abs{f'}\,\alpha$ .

6Modèles de dispositifs optiques

6.1L'œil

On modélise l'œil par une lentille mince convergente de vergence variable, le cristallin, et un capteur plan fixe, la rétine, situé à distance fixe derrière la lentille. Comme la distance lentille-capteur est imposée, la mise au point se fait en changeant la vergence. C'est l'accommodation.

Définition 6.1Punctum remotum et proximum

Le punctum remotum est le point le plus éloigné vu net, le punctum proximum le plus proche.

Exemple 6.2Œil emmétrope

Remotum à l'infini, proximum à environ $25 \unite{cm}$ , soit une plage d'accommodation de l'ordre de $4 \unite{\delta}$ .
Limite de résolution angulaire d'environ une minute d'arc, soit $3 \times 10^{-4} \unite{rad}$ . Deux points vus sous un angle plus petit sont perçus confondus.

6.2L'appareil photographique

Modèle : une lentille convergente de focale $f'$ réglable en position et un capteur plan. La mise au point se fait ici en déplaçant la lentille, la focale étant fixée par l'objectif choisi.

Définition 6.3Profondeur de champ

Un point est vu net tant que sa tache image reste plus petite qu'un diamètre de tolérance lié à la taille du pixel. La profondeur de champ est l'intervalle de distances objet donnant une image acceptable.

MéthodeConstruire la profondeur de champ

Tracer, depuis les bords du diaphragme, le cône de lumière qui intercepte sur le capteur un disque du diamètre de tolérance.
Remonter ce cône de part et d'autre du plan de mise au point.

Propriété 6.4Influence des réglages

Fermer le diaphragme allonge la profondeur de champ, mais réduit l'éclairement et impose une exposition plus longue.
Allonger l'exposition augmente la lumière reçue, mais fait apparaître un flou de bougé sur les sujets mobiles.
Augmenter la focale agrandit l'image, réduit le champ observé et diminue la profondeur de champ.

6.3La fibre optique à saut d'indice

Une fibre à saut d'indice est formée d'un cœur cylindrique d'indice $n_1$ entouré d'une gaine d'indice $n_2$ avec $n_2 < n_1$ . La lumière est guidée par réflexions totales successives sur l'interface cœur-gaine.

Propriété 6.5Cône d'acceptance

Hypothèses

fibre à saut d'indice, $n_2 < n_1$ ;
rayon entrant par la face d'entrée depuis l'air, avec un angle $\theta$ par rapport à l'axe.

Alors le rayon est guidé si $\sin\theta \leqslant \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.$ La quantité $\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ est appelée ouverture numérique. Les rayons acceptés forment un cône de demi-angle au sommet $\theta_{\max} = \arcsin(\text{ON})$ .

Démonstration

Le rayon est réfracté dans le cœur avec un angle $i$ tel que $\sin\theta = n_1 \sin i$ . Il rencontre l'interface cœur-gaine sous l'angle $90^\circ - i$ , et il est guidé si $\sin(90^\circ - i) \geqslant \frac{n_2}{n_1},$ c'est-à-dire $\cos i \geqslant \dfrac{n_2}{n_1}$ . En combinant, on obtient la condition de guidage ci-dessus.

Propriété 6.6Dispersion intermodale

Hypothèses

fibre à saut d'indice de longueur $L$ ;
rayon le plus rapide suivant l'axe, rayon le plus lent arrivant juste à l'angle limite.

Alors l'étalement temporel vaut $\delta t = \frac{n_1 L}{c\,n_2}\,(n_1 - n_2).$

Démonstration

Le rayon le plus rapide parcourt $L$ en $\dfrac{n_1 L}{c}$ . Le rayon le plus lent a une longueur de trajet $\dfrac{L}{\cos i}$ , avec $\cos i = \dfrac{n_2}{n_1}$ , donc sa durée vaut $\dfrac{n_1^2 L}{n_2 c}$ . La différence des deux durées donne $\delta t$ .

Exemple 6.7Ordre de grandeur

Avec $n_1 = 1{,}50$ et $n_2 = 1{,}48$ sur $L = 1 \unite{km}$ , $\delta t$ vaut environ $70 \unite{ns}$ . Deux impulsions émises à moins de $70 \unite{ns}$ d'intervalle arrivent confondues, ce qui plafonne le débit. D'où l'usage de fibres à gradient d'indice ou monomodes sur les liaisons longues.

6.4Systèmes à plusieurs lentilles

On traite un système de deux lentilles en cascade. L'image donnée par la première sert d'objet pour la seconde, en respectant sa nature réelle ou virtuelle. Le grandissement total est le produit des grandissements. On modélise ainsi une lunette, un microscope ou un viseur.

Méthodes

MéthodeÉviter les erreurs de signe

Orienter l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière.
Ne manipuler que des mesures algébriques.

Attention

Une erreur de signe est l'erreur numéro un du chapitre.

MéthodeAborder un calcul d'optique

Faire un schéma à l'échelle approximative.
Construire l'image graphiquement.
Vérifier que le calcul confirme le dessin.

MéthodeSystème de plusieurs lentilles

Écrire la chaîne des conjugaisons dans l'ordre.
Nommer les images intermédiaires.

MéthodeDevant un dispositif réel

Identifier ce qui est fixe et ce qui est réglable.
Pour l'œil, le capteur est fixe et la vergence varie. Pour l'appareil photographique, c'est l'inverse.

MéthodeQuestion de guidage

Vérifier que l'on va bien du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent.

MéthodeMesurer une distance focale

Autocollimation avec un miroir plan accolé : l'objet est dans le plan focal objet quand son image se forme nette dans son propre plan avec un grandissement de $-1$ .
Méthode de Bessel pour plus de précision, en exploitant la condition $D \geqslant 4f'$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer les lois de Snell-Descartes et établir la condition de réflexion totale, avec l'angle limite.
Construire l'image d'un objet par un miroir plan, par une lentille convergente et par une lentille divergente, et donner la nature de l'image.
Retrouver les formules de Newton à partir de celles de Descartes, ou l'inverse, et vérifier la cohérence sur le cas du grandissement $-1$ .
Établir la condition $D \geqslant 4f'$ pour former l'image réelle d'un objet réel sur un écran, et en déduire la méthode de Bessel.
Énoncer les conditions de l'approximation de Gauss et expliquer pourquoi elles donnent un stigmatisme approché, en reliant le critère au détecteur.
Établir l'expression du cône d'acceptance d'une fibre à saut d'indice, puis celle de la dispersion intermodale, et faire l'application numérique.
Modéliser l'œil, donner les ordres de grandeur du punctum proximum, de la plage d'accommodation et de la limite de résolution angulaire, puis expliquer l'effet du diaphragme, de la focale et de la durée d'exposition sur une photographie.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Lois de Snell-Descartes. Rayons réfléchi et réfracté dans le plan d'incidence, angle réfléchi égal à l'angle incident, n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂. Lois expérimentales, exigibles sans démonstration.
Condition de réflexion totale. Si n₁ > n₂ et sin i₁ > n₂/n₁, il n'y a pas de rayon réfracté. Exigible avec démonstration.
Miroir plan. Stigmatisme rigoureux pour tout point, image symétrique de l'objet par rapport au plan. Exigible, construction à savoir faire.
Conditions de Gauss. Rayons peu inclinés et proches de l'axe. Conséquences : stigmatisme et aplanétisme approchés. Énoncé exigible, le lien avec le détecteur (tache image plus petite qu'un pixel) doit être expliqué.
Propriétés de la lentille mince. Rayon par O non dévié, rayon parallèle à l'axe passant par F', rayon par F émergeant parallèle, foyers secondaires dans les plans focaux. Admises.
Formules de Descartes. 1/OA' − 1/OA = 1/f' et γ = OA'/OA, mesures algébriques d'origine O. Exigibles, à savoir utiliser. La démonstration n'est pas exigible.
Formules de Newton. FA × F'A' = − f'² et γ = − F'A'/f' = f'/FA. Exigibles, à savoir relier à Descartes.
Condition d'image réelle d'un objet réel. Lentille convergente, distance objet-écran D, il faut D ≥ 4f'. Exigible avec démonstration.
Fibre à saut d'indice. Ouverture numérique ON = √(n₁² − n₂²), dispersion intermodale δt = n₁ L (n₁ − n₂)/(c n₂). Exigibles avec démonstration.
Œil. Lentille de vergence variable et capteur fixe. Ordres de grandeur exigibles : résolution angulaire 3 × 10⁻⁴ rad, plage d'accommodation 4 δ, punctum proximum 25 cm.
Appareil photographique. Lentille et capteur, construction géométrique de la profondeur de champ. Exigible.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : formules du dioptre sphérique et des miroirs sphériques, formules du prisme, aberrations, théorie de la diffraction.

Clés de démonstration

Réflexion totale. Écrire sin i₂ = (n₁/n₂) sin i₁. Si le membre de droite dépasse 1, aucun angle i₂ ne convient, donc pas de réfraction. L'astuce est de ne pas chercher i₂ mais d'examiner l'existence d'une solution.

Condition D ≥ 4f'. Poser x = OA, alors OA' = D + x. Descartes donne x² + Dx + Df' = 0. L'astuce est de tout ramener à une équation du second degré en x et de lire le discriminant D(D − 4f'), qui doit être positif.

Passage Descartes vers Newton. Écrire OA = OF + FA = − f' + FA et OA' = f' + F'A', injecter dans Descartes et réduire au même dénominateur. Tout se simplifie en FA × F'A' = − f'². L'astuce est la décomposition des mesures algébriques par la relation de Chasles.

Cône d'acceptance. Deux réfractions successives. Entrée dans le cœur, sin θ = n₁ sin i. Guidage à l'interface cœur-gaine, angle d'incidence 90° − i, donc cos i ≥ n₂/n₁. L'astuce est d'éliminer i grâce à sin² i + cos² i = 1.

Dispersion intermodale. Comparer la durée du trajet axial n₁L/c et celle du trajet le plus incliné, de longueur L/cos i avec cos i = n₂/n₁. L'astuce est de raisonner en durée, c'est-à-dire en chemin divisé par c/n₁, et non en longueur.

Exemples et contre-exemples à connaître

Montage symétrique OA = − 2f'. Image réelle à 2f', γ = − 1. C'est le point de repère pour vérifier tout calcul.
Objet entre F et O d'une lentille convergente. Image virtuelle, droite, agrandie : c'est la loupe. Montre qu'un objet réel peut donner une image virtuelle.
Objet réel devant une lentille divergente. Image toujours virtuelle, droite, réduite, située entre F' et O. Contre-exemple utile : une lentille divergente ne donne jamais d'image réelle d'un objet réel.
Objet au foyer objet. Image rejetée à l'infini, faisceau émergent parallèle. Base de l'autocollimation et de la lunette.
Objet virtuel. Un faisceau convergent qui arrive sur une lentille divergente peut donner une image réelle. Contre-exemple à « divergente donc image virtuelle ».
Miroir plan. Seul système rigoureusement stigmatique pour tous les points. Une lentille ne l'est qu'en conditions de Gauss.
Réflexion totale eau vers air. i_lim ≈ 49°. Un plongeur voit tout le ciel dans un cône de demi-angle 49°, c'est la fenêtre de Snell.
Trou très petit. Une fente de largeur comparable à λ diffracte, le modèle du rayon cesse d'être valable. Limite du modèle à citer.

Techniques du chapitre

Orienter avant de calculer. Axe dans le sens de la lumière, toutes les positions en mesures algébriques. Mini-exercice : lentille f' = 10 cm, objet réel à 30 cm. OA = − 30 cm, 1/OA' = 1/10 − 1/30 = 2/30, OA' = 15 cm, γ = 15/(− 30) = − 0,5. Image réelle, renversée, deux fois plus petite.

Dessiner avant de calculer. Mini-exercice : objet à 4 cm d'une lentille f' = 5 cm. Le rayon par O et le rayon parallèle émergeant par F' divergent, on prolonge en arrière et l'image est virtuelle. Le calcul donne OA' = − 20 cm, γ = + 5. Le dessin confirme le signe.

Chaîner les conjugaisons. Mini-exercice : deux lentilles convergentes f₁' = 10 cm et f₂' = 5 cm distantes de 25 cm, objet à 15 cm devant la première. Première image à 30 cm derrière L₁, soit 5 cm derrière L₂ : objet virtuel pour L₂ avec O₂A₁ = + 5 cm. Alors 1/O₂A' = 1/5 + 1/5, O₂A' = 2,5 cm. Grandissement total (− 2) × (0,5) = − 1.

Choisir Newton quand les foyers sont donnés. Mini-exercice : objet 2 cm avant F, f' = 8 cm. FA = − 2, donc F'A' = − 64/(− 2) = 32 cm derrière F', et γ = f'/FA = − 4.

Passer par les angles pour un objet à l'infini. Mini-exercice : la Lune vue sous 9 × 10⁻³ rad par un objectif f' = 500 mm. Image dans le plan focal, taille f'α = 4,5 mm.

Vérifier le sens du passage pour une réflexion totale. Mini-exercice : rayon dans l'air arrivant sur du verre sous 80°. Aucune réflexion totale possible, on va vers le plus réfringent. Réfraction sous sin i₂ = 0,985/1,5, soit 41°.

Identifier le réglable et le fixe. Mini-exercice : pourquoi un appareil photographique réglé sur l'infini a-t-il son capteur dans le plan focal ? Parce que la focale est fixée et que seule la distance lentille-capteur se règle. Pour l'œil, c'est l'inverse.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Profondeur apparente

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un objet est au fond d'un bassin de profondeur h = 1,0 m, eau d'indice n = 1,33. Un observateur le regarde presque à la verticale. À quelle profondeur apparente le voit-il ?

Technique Loi de la réfraction linéarisée dans les conditions de Gauss.

Voir le corrigé

Un rayon issu de l'objet arrive sur la surface à la distance x de la verticale, sous l'angle i tel que tan i = x/h. Il sort dans l'air sous l'angle r tel que n sin i = sin r.
Pour des angles petits, n i = r. Le prolongement du rayon émergent coupe la verticale à la profondeur h' telle que tan r = x/h', soit h' = x/r.
On élimine x : h' = h i/r = h/n = 0,75 m.
L'image est virtuelle, plus proche de la surface que l'objet. Le point A' ne dépend pas de x tant que l'on reste paraxial, c'est un stigmatisme approché.

Construction de l’image virtuelle d’un objet immergé.

Le rayon sortant de l'eau s'écarte de la normale. Son prolongement vers l'arrière rencontre la verticale en A′, au-dessus de A : on retrouve graphiquement h′ < h. Les pointillés ne représentent pas un trajet réel de lumière.

piège : Écrire n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ avec les angles pris par rapport à la surface au lieu de la normale.

Exercice 2. Lame à faces parallèles

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un rayon arrive sous l'incidence i = 45° sur une lame de verre d'indice n = 1,5 et d'épaisseur e = 1,0 cm, plongée dans l'air. Montrer que le rayon émergent est parallèle au rayon incident et calculer son décalage latéral.

Technique Deux réfractions successives, géométrie du triangle.

Voir le corrigé

Première face : sin i = n sin r, d'où sin r = 0,471 et r = 28,1°.
Seconde face : l'angle d'incidence interne vaut r par parallélisme des faces, donc n sin r = sin i', soit i' = i. Le rayon ressort parallèle.
Le trajet interne a pour longueur e/cos r. Le décalage, mesuré perpendiculairement au rayon, vaut d = (e/cos r) sin(i − r).
Application : sin(16,9°) = 0,291, cos r = 0,882, d = 0,33 cm.
Cas limites : d tend vers 0 quand i tend vers 0, et d tend vers e quand i tend vers 90°.

piège : Oublier que le décalage se mesure perpendiculairement au rayon et non le long de la face.

Exercice 3. Méthode de Bessel

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un objet et un écran sont distants de D = 1,00 m. On trouve deux positions d'une lentille convergente donnant une image nette, distantes de d = 60 cm. Déterminer f'. Que se passe-t-il si D est trop petit ?

Technique Équation du second degré en la position de la lentille.

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On pose x = OA, donc OA' = D + x. Descartes : 1/(D + x) − 1/x = 1/f'.
Réduction : x² + Dx + Df' = 0. Discriminant Δ = D² − 4Df'.
Si Δ > 0, deux racines x₁ et x₂, et leur écart vaut d = √Δ.
Donc f' = (D² − d²)/(4D) = (1 − 0,36)/4 = 0,16 m.
Si D < 4f', aucune image réelle. Si D = 4f', position unique, c'est la méthode de Silbermann, avec γ = − 1.
Les deux positions sont symétriques par rapport au milieu de l'objet et de l'écran, et les grandissements sont inverses l'un de l'autre.

piège : Utiliser des distances positives et perdre le signe de x, ce qui donne une équation fausse.

Exercice 4. Autocollimation

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un objet lumineux, une lentille convergente et un miroir plan accolé derrière la lentille. On déplace l'ensemble lentille-miroir jusqu'à voir l'image nette dans le plan de l'objet. Montrer que l'objet est alors dans le plan focal objet et que γ = − 1.

Technique Chaîne de trois conjugaisons.

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Si A est en F, la lentille envoie l'image à l'infini : faisceau parallèle incliné de α = AB/f' en valeur absolue.
Le miroir plan renvoie un faisceau parallèle symétrique, incliné de − α.
La lentille le fait converger dans son plan focal image, qui est le plan de l'objet, en un point de hauteur − f'α = − AB.
Donc A'B' = − AB, γ = − 1, indépendamment de la distance lentille-miroir.
Réciproque : si l'image nette est dans le plan de l'objet avec γ = − 1, l'objet est en F. C'est une méthode de mesure de f' rapide, précise à quelques pour cent.

piège : Croire que l'image se forme au foyer objet parce que la lumière revient en arrière. Après réflexion, la lumière traverse la lentille dans l'autre sens, F et F' échangent leurs rôles.

Exercice 5. Fibre à saut d'indice

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Cœur n₁ = 1,48, gaine n₂ = 1,46, longueur L = 1,0 km, entrée depuis l'air. Calculer l'ouverture numérique, l'angle maximal d'injection, l'étalement temporel d'une impulsion brève, et estimer le débit maximal.

Technique Réflexion totale et raisonnement en durée.

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Un rayon entrant sous θ est réfracté sous i avec sin θ = n₁ sin i. Il est guidé si son incidence 90° − i sur la gaine dépasse l'angle limite, soit cos i ≥ n₂/n₁.
Alors sin i ≤ √(1 − n₂²/n₁²), d'où sin θ ≤ √(n₁² − n₂²) = ON = 0,24, θ_max = 14°.
Trajet axial : durée n₁L/c. Trajet limite : longueur L/cos i = n₁L/n₂, durée n₁²L/(n₂c).
δt = (n₁L/c)(n₁/n₂ − 1) = 1,48 × 10³ × 0,0137/(3,0 × 10⁸) = 68 ns.
Deux impulsions séparées de moins de 68 ns se recouvrent. Le débit est limité à l'ordre de 1/δt, soit une dizaine de mégabits par seconde sur 1 km. D'où l'intérêt des fibres monomodes.

piège : Prendre l'angle d'incidence sur la gaine égal à i au lieu de 90° − i.

Exercice 6. Correction d'un œil myope

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Un œil myope a son punctum remotum à 50 cm et son punctum proximum à 10 cm. Quelle lentille correctrice, accolée à l'œil, lui permet de voir net à l'infini ? Où se trouve alors le nouveau punctum proximum ?

Technique La lentille correctrice doit donner de l'objet une image située dans la zone de vision nette.

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L'œil non accommodé voit net un objet à 50 cm. La lentille doit donner d'un objet à l'infini une image virtuelle à OA' = − 50 cm.
Objet à l'infini, image dans le plan focal image : f' = − 50 cm, vergence − 2 δ, lentille divergente.
Nouveau punctum proximum : l'image doit être à − 10 cm. Descartes : 1/OA = 1/OA' − 1/f' = − 10 + 2 = − 8 m⁻¹, OA = − 12,5 cm.
L'œil corrigé voit net de 12,5 cm à l'infini. La correction repousse légèrement le point proche.

piège : Chercher une lentille convergente parce que l'œil « ne voit pas bien loin ». L'œil myope est trop convergent, il faut le corriger par une divergente.

Exercice 7. Lunette astronomique

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Objectif f₁' = 100 cm, oculaire f₂' = 5 cm, réglage afocal. Déterminer la distance entre les lentilles, le grossissement et la plus petite séparation angulaire que l'œil peut résoudre à travers l'instrument.

Technique Foyer image de l'objectif confondu avec le foyer objet de l'oculaire.

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Objet à l'infini vu sous α, image intermédiaire dans le plan focal image de l'objectif, de taille f₁'α en valeur absolue.
Pour que l'image finale soit à l'infini, cette image doit être dans le plan focal objet de l'oculaire : F₁' = F₂, distance f₁' + f₂' = 105 cm.
L'oculaire renvoie l'image à l'infini sous l'angle α' = f₁'α/f₂' en valeur absolue. Grossissement G = − f₁'/f₂' = − 20, image renversée.
L'œil résout 3 × 10⁻⁴ rad. À travers la lunette, deux étoiles séparées de 3 × 10⁻⁴/20 = 1,5 × 10⁻⁵ rad sont distinguées, si l'objectif ne diffracte pas davantage.

piège : Confondre grossissement, rapport d'angles, et grandissement, rapport de tailles. Pour un système afocal, le grandissement n'a pas de sens pour un objet à l'infini.

Exercice 8. Hyperfocale d'un appareil photographique

Approfondissement · Type écrit Centrale

Objectif f' = 50 mm, diaphragme de diamètre d = f'/8, capteur dont la tolérance de netteté est un disque de diamètre ε = 30 µm. Mise au point à l'infini. À partir de quelle distance un objet est-il net ?

Technique Construction géométrique de la tache image par les rayons de bord du diaphragme.

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Mise au point à l'infini, capteur dans le plan focal image.
Un point à distance L, OA = − L, a son image en OA' = Lf'/(L − f') ≈ f' + f'²/L pour L ≫ f'.
L'image est donc derrière le capteur, à la distance Δ = f'²/L. Le cône de lumière issu du diaphragme est intercepté par le capteur avant son sommet.
Par les triangles semblables, le diamètre de la tache vaut ε' = d Δ/OA' ≈ d Δ/f' = d f'/L.
Netteté si ε' ≤ ε, soit L ≥ H = d f'/ε = f'²/(8ε) = 2,5 × 10⁻³/(2,4 × 10⁻⁴) ≈ 10 m.
Fermer le diaphragme, c'est réduire d, donc H, donc gagner en profondeur de champ, au prix d'une exposition plus longue.

piège : Chercher la position exacte de l'image alors que seule la taille de la tache sur le capteur compte.

Exercice 9. Microscope

Approfondissement · Type écrit Centrale

Objectif f₁' = 5 mm, oculaire f₂' = 25 mm, intervalle optique F₁'F₂ = 160 mm. Où placer l'objet pour une observation sans accommoder ? Calculer le grandissement de l'objectif et le grossissement commercial, l'œil ayant son punctum proximum à 25 cm.

Technique Newton pour l'objectif, angles pour l'oculaire.

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Observation sans accommoder : image finale à l'infini, donc image intermédiaire A₁B₁ dans le plan focal objet de l'oculaire, F₁'A₁ = 160 mm.
Newton pour l'objectif : F₁A = − f₁'²/F₁'A₁ = − 25/160 = − 0,16 mm. L'objet est juste avant F₁.
Grandissement de l'objectif : γ₁ = − F₁'A₁/f₁' = − 32.
L'oculaire donne de A₁B₁ une image à l'infini vue sous α' = A₁B₁/f₂' en valeur absolue.
À l'œil nu, à 25 cm, l'objet est vu sous α = AB/0,25. Grossissement commercial G = α'/α = 32 × 250/25 = 320.
Cas limite : si l'objet est en F₁, l'image intermédiaire part à l'infini et l'oculaire ne peut plus la reprendre.

piège : Placer l'objet exactement au foyer de l'objectif, ou oublier que l'image intermédiaire est renversée.

Erreurs fréquentes

Erreurs de signe. Une distance objet écrite positive alors que l'objet est réel, devant la lentille. Toujours OA < 0 pour un objet réel.
Réflexion totale dans le mauvais sens. Elle n'existe que du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent.
Confondre nature de l'image et signe du grandissement. Réelle ou virtuelle se lit sur le signe de OA', droite ou renversée sur le signe de γ.
Oublier de vérifier D ≥ 4f' avant de chercher une projection sur écran. Si l'énoncé donne D = 30 cm et f' = 10 cm, il n'y a pas de solution.
Raisonner sans schéma sur un système à deux lentilles, et oublier que l'image intermédiaire peut être un objet virtuel pour la seconde.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 1 « ondes et signaux », partie 1.1 « Formation des images ». Elle couvre les sources lumineuses, le modèle de l'optique géométrique, les lois de Snell-Descartes, la formation des images dans les conditions de Gauss et les modèles de quelques dispositifs optiques.