Le cours

Résumé en cinq points

Un circuit du premier ordre obéit à $\dfrac{\dd x}{\dd t} + \dfrac{x}{\tau} = f(t)$ , avec $\tau = RC$ ou $\tau = L/R$ .
La condition initiale vient d'une continuité : $u$ pour un condensateur, $i$ pour une bobine.
La réponse à un échelon s'écrit $x(t) = x(\infty) + \big(x(0) - x(\infty)\big)\,\e^{-t/\tau}$ . Trois données suffisent : valeur initiale, valeur finale, constante de temps.
Le régime transitoire dure quelques $\tau$ , on retient $5\tau$ . Le régime permanent continu se lit avec un condensateur ouvert et une bobine en court-circuit.
Charger un condensateur à travers une résistance dissipe exactement autant d'énergie qu'il en stocke, indépendamment de $R$ .

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre est le premier où l'on écrit une équation différentielle à partir d'un montage physique, où on la résout, et où on confronte la solution à un relevé expérimental. La technique est courte : une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.

Les réflexes associés :

identifier la constante de temps sans résoudre ;
utiliser une condition initiale issue d'une propriété de continuité ;
distinguer ce qui disparaît et ce qui reste.

Ces réflexes se retrouvent ensuite dans les circuits du second ordre, en filtrage, en mécanique avec la chute avec frottement fluide, et en thermodynamique. Aux concours, une question de premier ordre sert souvent d'entrée en matière : elle doit être traitée vite et sans faute.

1Mise en équation

1.1Méthode générale

Soit un circuit RC série alimenté par un générateur de tension $e(t)$ , la sortie étant prise aux bornes du condensateur. On note $u$ la tension aux bornes du condensateur, en convention récepteur, et $i$ l'intensité dans la maille.

Circuit RC série, tension u aux bornes du condensateur en convention récepteur

Propriété 1.1Équation du circuit RC série

La tension $u$ vérifie $\frac{\dd u}{\dd t} + \frac{u}{\tau} = \frac{e(t)}{\tau},$ avec la constante de temps $\tau = RC$ .

Démonstration

Loi des mailles : $e = Ri + u$ . Relation du condensateur : $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ . En substituant, on obtient $RC\,\frac{\dd u}{\dd t} + u = e(t).$ On divise par $RC$ .

Définition 1.2Forme canonique

On écrit toujours l'équation sous forme canonique : coefficient 1 devant la dérivée, coefficient $1/\tau$ devant le terme d'ordre 0, $\frac{\dd x}{\dd t} + \frac{x}{\tau} = f(t).$

Propriété 1.3Équation du circuit RL série

Pour un circuit RL série, la loi des mailles donne $e = L\,\dfrac{\dd i}{\dd t} + Ri$ , soit $\frac{\dd i}{\dd t} + \frac{i}{\tau} = \frac{e(t)}{L},$ avec $\tau = \dfrac{L}{R}$ .

RemarqueHomogénéité

La constante de temps $\tau$ est homogène à un temps : $\begin{aligned} [RC] &= \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\cdot\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}} \\ &= \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}} = \mathrm{s}, \\ \left[\frac{L}{R}\right] &= \frac{\mathrm{V\,s\,A^{-1}}}{\mathrm{V\,A^{-1}}} = \mathrm{s}. \end{aligned}$

À retenir

Circuit RC : $\tau = RC$ . Circuit RL : $\tau = L/R$ .

1.2Circuits à deux mailles

Le programme demande de savoir traiter un circuit comportant une ou deux mailles. La méthode ne change pas.

MéthodeMettre en équation un circuit à deux mailles

Écrire les lois des nœuds et des mailles.
Éliminer les inconnues intermédiaires.
Aboutir à une équation du premier ordre en la grandeur cherchée.

Raccourci : remplacer la partie du circuit vue par le condensateur par son modèle de Thévenin équivalent.

Propriété 1.4Constante de temps par le modèle de Thévenin

Hypothèses

un seul condensateur dans le circuit ;
le reste du circuit est formé de résistances et de sources.

Alors $\tau = R_{\text{eq}}\,C$ , où $R_{\text{eq}}$ est la résistance équivalente vue par le condensateur quand on éteint les sources :

les sources de tension sont remplacées par des fils ;
les sources de courant sont remplacées par des coupures.

1.3Ordres de grandeur

Exemple 1.5Constantes de temps

$R = 1 \unite{k\Omega}$ et $C = 100 \unite{nF}$ : $\tau = 0{,}1 \unite{ms}$ .
$R = 10 \unite{k\Omega}$ et $C = 1 \unite{\mu F}$ : $\tau = 10 \unite{ms}$ .
$L = 100 \unite{mH}$ et $R = 1 \unite{k\Omega}$ : $\tau = 0{,}1 \unite{ms}$ .

Les constantes de temps de travaux pratiques vont typiquement de la microseconde à la dizaine de millisecondes, ce qui est observable à l'oscilloscope.

2Régime libre

Définition 2.1Régime libre

Le régime libre est l'évolution du circuit sans source, $e = 0$ , à partir d'une condition initiale non nulle. L'équation devient $\frac{\dd u}{\dd t} + \frac{u}{\tau} = 0.$

Propriété 2.2Solution du régime libre

La solution est $u(t) = u(0)\,\e^{-t/\tau}.$

Propriété 2.3Propriétés à connaître

La fonction décroît de façon monotone vers 0.
La tangente à l'origine coupe l'axe des abscisses à $t = \tau$ : c'est la construction graphique classique pour lire $\tau$ .
Au bout de $\tau$ , il reste 37 % environ de la valeur initiale ( $\e^{-1} \approx 0{,}37$ ).
Au bout de $3\tau$ , il reste 5 % ( $\e^{-3} \approx 0{,}05$ ).
Au bout de $5\tau$ , il reste moins de 1 % ( $\e^{-5} < 0{,}01$ ).

RemarqueInterprétation physique pour le circuit RC

Le condensateur, initialement chargé, se décharge dans la résistance. L'énergie initialement stockée est intégralement dissipée par effet Joule.

3Réponse à un échelon de tension

3.1Position du problème

Définition 3.1Échelon de tension

Un échelon de tension d'amplitude $E$ est une excitation nulle pour $t < 0$ et égale à $E$ pour $t > 0$ .

RemarqueRéalisation expérimentale

On le réalise avec un interrupteur, ou plus commodément avec un générateur basse fréquence délivrant un signal carré de période grande devant $\tau$ .

3.2Condition initiale

C'est l'étape la plus souvent ratée. On ne prend pas la condition initiale au hasard, on l'obtient par une propriété de continuité.

Propriété 3.2Continuité de la tension d'un condensateur

Hypothèses

condensateur idéal, $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ ;
intensité $i$ finie.

Alors la tension aux bornes du condensateur est continue : $u(0^+) = u(0^-)$ . Une discontinuité imposerait $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ infini.

Propriété 3.3Continuité de l'intensité dans une bobine

Hypothèses

bobine idéale, $u = L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ ;
tension $u$ finie.

Alors l'intensité traversant la bobine est continue : $i(0^+) = i(0^-)$ . Une discontinuité imposerait $u = L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ infini.

AttentionAucune autre grandeur n'est continue

Aucune autre grandeur n'est continue a priori. L'intensité dans un circuit RC peut sauter à l'instant de la fermeture.

3.3Résolution

On résout, pour $t > 0$ , avec $u(0) = u_0$ : $\frac{\dd u}{\dd t} + \frac{u}{\tau} = \frac{E}{\tau}.$

Propriété 3.4Réponse du circuit RC à un échelon

Hypothèses

circuit RC série, $\tau = RC$ ;
échelon d'amplitude $E$ ;
$u(0) = u_0$ .

Alors $u(t) = E + (u_0 - E)\,\e^{-t/\tau}.$

Démonstration

La solution générale est la somme :

de la solution générale de l'équation homogène, $A\,\e^{-t/\tau}$ ;
d'une solution particulière. Le second membre est constant, on cherche une solution particulière constante, qui vaut $E$ .

Donc $u(t) = A\,\e^{-t/\tau} + E$ . La condition initiale donne $A = u_0 - E$ .

Exemple 3.5Condensateur initialement déchargé

Cas usuel, $u_0 = 0$ : $u(t) = E\left(1 - \e^{-t/\tau}\right).$ La courbe part de 0 avec une tangente de pente $E/\tau$ , croît de façon monotone et tend vers $E$ .

Théorème 3.6Forme générale de la réponse à un échelon

Hypothèses

$x$ grandeur d'un système du premier ordre de constante de temps $\tau$ ;
système soumis à un échelon.

Alors $\begin{aligned} x(t) = {}&x(\infty)\\ &+ \big(x(0) - x(\infty)\big)\,\e^{-t/\tau}. \end{aligned}$

À retenir

Il suffit de déterminer trois choses : la valeur initiale par continuité, la valeur finale par l'étude du régime permanent, et la constante de temps par la structure du circuit.

3.4Régime transitoire et régime permanent

Définition 3.7Régimes transitoire et permanent

Le régime transitoire est la partie de l'évolution qui dépend des conditions initiales et qui s'éteint.
Le régime permanent, ou régime établi, est ce qui subsiste une fois le transitoire éteint. Ici le régime permanent est constant, $u = E$ , $i = 0$ .

Sur un relevé expérimental, on distingue les deux visuellement :

le transitoire est la partie courbe où le signal évolue ;
le régime permanent est le plateau horizontal atteint ensuite.

Propriété 3.8Durée du régime transitoire

La durée du régime transitoire est de l'ordre de quelques $\tau$ . La convention usuelle est $5\tau$ , correspondant à un écart à la valeur finale inférieur à 1 % de l'écart initial.

Remarque

C'est un ordre de grandeur, pas une durée exacte, puisqu'une exponentielle ne s'annule jamais rigoureusement.

AttentionDemi-période trop courte

Pour observer un transitoire complet avec un signal carré, il faut une demi-période grande devant $\tau$ , au moins $5\tau$ . Sinon on observe un régime périodique établi dans lequel le condensateur n'a le temps ni de se charger ni de se décharger complètement.

3.5Mesurer la constante de temps

MéthodeTrois méthodes à connaître

Tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote au bout du temps $\tau$ .
Lecture à 63 % : l'instant où la grandeur a parcouru 63 % de son écart total correspond à $t = \tau$ ( $1 - \e^{-1} \approx 0{,}63$ ).
Régression : on trace $\ln\abs{x(t) - x(\infty)}$ en fonction de $t$ , on doit obtenir une droite de pente $-1/\tau$ .

La régression est la méthode la plus fiable car elle exploite tous les points et elle valide en même temps le caractère exponentiel.

4Bilan énergétique

4.1Charge d'un condensateur

Reprenons le circuit RC soumis à un échelon $E$ , condensateur initialement déchargé.

Charge à travers R : tangente à l'origine et lecture de τ à 63 %

Propriété 4.1Bilan de puissance

Multiplions la loi des mailles par $i$ : $E\,i = R\,i^2 + u\,i.$

Le terme de gauche est la puissance fournie par la source.
Le premier terme de droite est la puissance dissipée par effet Joule.
Le second est la dérivée de l'énergie stockée dans le condensateur.

Propriété 4.2Rendement de la charge

Hypothèses

circuit RC soumis à un échelon $E$ ;
condensateur initialement déchargé.

Alors la moitié exactement de l'énergie fournie par la source est dissipée dans la résistance, quelle que soit la valeur de $R$ .

Démonstration

Intégrons de 0 à l'infini.

L'énergie finalement stockée vaut $\frac{1}{2}CE^2$ .
L'énergie totale fournie par la source vaut $E\,Q$ , où $Q = CE$ est la charge finalement transférée, soit $CE^2$ .
L'énergie dissipée par la résistance est donc $CE^2 - \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}CE^2$ .

Vérification par le calcul direct, avec $i = \dfrac{E}{R}\,\e^{-t/\tau}$ : $\begin{aligned} \int_0^{\infty} R\,i^2\,\dd t &= R\left(\frac{E}{R}\right)^2\frac{\tau}{2} \\ &= \frac{1}{2}CE^2. \end{aligned}$

À retenir

On ne peut pas charger un condensateur par une source de tension constante avec un rendement supérieur à 50 %.

Prendre $R$ plus petite ne change rien : cela rend seulement la dissipation plus brève et plus intense.

4.2Régime libre

Propriété 4.3Bilan de la décharge

Dans une décharge, l'énergie initialement stockée, $\frac{1}{2}Cu_0^2$ , est entièrement dissipée par effet Joule. Le condensateur est le seul réservoir et la résistance le seul terme dissipatif.

5Capacité numérique, méthode d'Euler

Le programme demande de savoir simuler la réponse d'un système du premier ordre à une excitation de forme quelconque.

Définition 5.1Méthode d'Euler explicite

On part de l'équation sous forme résolue, $\dfrac{\dd u}{\dd t} = f(t, u)$ , ici $f(t, u) = \frac{e(t) - u}{\tau}.$ On discrétise le temps par un pas $h$ , avec $t_k = kh$ . La méthode d'Euler explicite approche la dérivée par le taux d'accroissement : $u_{k+1} = u_k + h\,f(t_k, u_k).$

Mise en œuvre en Python : on définit tau, le pas h, un tableau de temps, une fonction e(t), et on remplit une liste u par une boucle. On initialise u[0] avec la condition initiale physique.

import numpy as np
tau, h = 1e-3, 1e-5            # h = tau / 100
t = np.arange(0, 6 * tau, h)
def e(t):
    return 5.0                 # échelon de 5 V
u = np.zeros(len(t))
u[0] = 0.0                     # condition initiale physique
for k in range(len(t) - 1):
    u[k + 1] = u[k] + h * (e(t[k]) - u[k]) / tau

AttentionChoix du pas

Il faut $h$ très petit devant $\tau$ , en pratique $h$ de l'ordre de $\tau/100$ ou moins. Si $h$ est trop grand, la solution numérique s'écarte de la solution exacte, et pour $h > 2\tau$ elle diverge en oscillant. C'est un artefact purement numérique.

RemarqueOrigine du seuil

En régime libre, le schéma s'écrit $u_{k+1} = (1 - h/\tau)\,u_k$ . La suite change de signe à chaque pas dès que $h > \tau$ , et diverge dès que $h > 2\tau$ .

MéthodeValidation

Comparer la solution numérique à la solution analytique dans le cas de l'échelon, où on la connaît.
Une fois la méthode validée, l'utiliser pour une excitation quelconque (rampe, sinusoïde, signal échantillonné), pour laquelle la solution analytique n'est pas forcément accessible.

6Capacité expérimentale

Acquisition d'un régime transitoire. Le montage type comprend :

un générateur basse fréquence délivrant un signal carré d'amplitude $E$ , de fréquence choisie telle que la demi-période dépasse $5\tau$ ;
un circuit RC ou RL ;
un oscilloscope numérique ou une carte d'acquisition.

AttentionMasse de l'oscilloscope

La masse de l'oscilloscope et celle du générateur sont reliées entre elles, il faut donc placer les points de mesure de façon à ne pas court-circuiter un dipôle.

RemarqueRésistances parasites

La résistance de sortie du générateur, de l'ordre de $50 \unite{\Omega}$ , s'ajoute à $R$ : il faut en tenir compte si $R$ est petite.
La résistance d'entrée de l'oscilloscope, de l'ordre de $1 \unite{M\Omega}$ , se met en parallèle sur le condensateur, ce qui modifie $\tau$ si $R$ est très grande.

MéthodeExploitation

Relever $\tau$ par les trois méthodes de la mesure de la constante de temps.
Comparer à $RC$ ou $L/R$ calculés à partir des valeurs nominales.
Discuter l'écart au regard des tolérances des composants, souvent 5 % sur une résistance et 10 à 20 % sur un condensateur.

Méthodes

MéthodeRésoudre un circuit du premier ordre soumis à un échelon

Écrire l'équation sous forme canonique et identifier $\tau$ , avant de résoudre.
Déterminer $x(0)$ par continuité de $u$ pour un condensateur ou de $i$ pour une bobine, jamais autrement.
Déterminer $x(\infty)$ en régime permanent continu : condensateur équivalent à un interrupteur ouvert, bobine équivalente à un fil.
Utiliser la forme $x(t) = x(\infty) + \big(x(0) - x(\infty)\big)\,\e^{-t/\tau}$ plutôt que de refaire le calcul complet.

MéthodeCircuit à deux mailles

Chercher le modèle de Thévenin vu par le composant réactif.
La constante de temps s'obtient directement.

MéthodeVérifier un résultat

Vérifier l'homogénéité.
Vérifier la valeur en 0.
Vérifier la valeur en l'infini.
Vérifier le signe de la pente initiale.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC série, puis dans un circuit RL série, et l'écrire sous forme canonique.
Justifier la continuité de la tension d'un condensateur et de l'intensité d'une bobine, et dire ce qui n'est pas continu.
Résoudre la réponse à un échelon avec condition initiale quelconque, et tracer l'allure avec la tangente à l'origine.
Donner la durée du régime transitoire et justifier le critère à $5\tau$ .
Faire le bilan énergétique de la charge d'un condensateur et démontrer le rendement de 50 %.
Expliquer comment mesurer $\tau$ sur un relevé expérimental, par trois méthodes, et dire laquelle est la plus fiable.
Écrire le schéma de la méthode d'Euler explicite pour ce circuit et discuter le choix du pas.
Traiter un circuit à deux mailles en passant par le modèle de Thévenin vu par le condensateur.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Équation canonique. dx/dt + x/τ = second membre, avec τ = RC pour un circuit RC série et τ = L/R pour un circuit RL série. Exigible avec démonstration, circuit à une ou deux mailles.
Régime libre. x(t) = x(0) exp(− t/τ), décroissance monotone, tangente à l'origine coupant l'axe des temps en τ. Exigible avec démonstration.
Réponse à un échelon. x(t) = x(∞) + (x(0) − x(∞)) exp(− t/τ). Exigible avec démonstration, solution homogène plus solution particulière constante.
Continuité. u aux bornes d'un condensateur et i dans une bobine sont continues, tant que courant et tension restent bornés. Exigible, à savoir interpréter et utiliser. Rien d'autre n'est continu a priori.
Régime permanent continu. Condensateur équivalent à une coupure, bobine à un fil. Exigible.
Durée du régime transitoire. Quelques τ, convention 5τ pour moins de 1 % d'écart. Exigible en ordre de grandeur.
Bilan énergétique de la charge sous échelon. Énergie fournie CE², stockée ½ CE², dissipée ½ CE², indépendante de R. Exigible avec démonstration.
Constante de temps d'un circuit à deux mailles. τ = R_éq C avec R_éq la résistance de Thévenin vue par le condensateur. Exigible, découle du modèle de Thévenin du chapitre précédent.
Méthode d'Euler explicite. x_k+1 = x_k + h f(t_k, x_k), pas h petit devant τ. Capacité numérique exigible.
Mesure de τ. Tangente à l'origine, lecture à 63 %, régression sur le logarithme. Capacité expérimentale exigible.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : transformée de Laplace, impédances complexes en régime transitoire, réponse impulsionnelle. Le régime sinusoïdal forcé relève du chapitre suivant.

Clés de démonstration

Équation du circuit RC. Loi des mailles e = Ri + u, relation i = C du/dt, substitution. L'astuce est de choisir comme inconnue la grandeur continue, u pour un condensateur, i pour une bobine.

Résolution de l'échelon. Solution générale de l'équation homogène A exp(− t/τ), solution particulière constante égale à la valeur du second membre multipliée par τ. La constante A est fixée par la condition initiale. L'astuce est de chercher la solution particulière constante avant tout.

Continuité de u sur un condensateur. Si u sautait de Δu à l'instant t₀, alors i = C du/dt serait infini, ce que ni le générateur ni la résistance ne peuvent fournir. L'astuce est un raisonnement par l'absurde sur une grandeur bornée.

Bilan à 50 %. Multiplier la loi des mailles E = Ri + u par i, reconnaître d(½ Cu²)/dt, intégrer de 0 à l'infini. Le terme de source vaut E fois la charge finale CE. L'astuce est d'intégrer l'égalité des puissances plutôt que de calculer chaque énergie séparément.

Constante de temps à deux mailles. Éteindre la source, remplacer le reste du circuit par sa résistance équivalente vue des bornes du condensateur. L'astuce est de reconnaître que le condensateur ne voit qu'un dipôle de Thévenin.

Exemples et contre-exemples à connaître

Décharge d'un condensateur dans une résistance. Exponentielle pure, toute l'énergie ½ Cu₀² finit en chaleur. Point de départ de toute la méthode.
Charge sous échelon depuis l'état déchargé. u croît vers E, i saute de 0 à E/R puis décroît. Contre-exemple à « tout est continu », l'intensité dans un RC ne l'est pas.
Établissement du courant dans un RL. i continue, part de 0, u_L saute à E puis décroît. Symétrique du cas précédent.
Ouverture d'un circuit inductif sans chemin de secours. La continuité de i impose un courant que rien ne peut conduire, d'où une surtension et un arc. C'est l'usage des diodes de roue libre.
Transfert de charge entre deux condensateurs à travers une résistance. La moitié ou une partie de l'énergie est perdue, indépendamment de R. Contre-exemple à « R petite donc pertes faibles ».
Signal carré de demi-période très petite devant τ. On n'observe pas de plateau mais un triangle de faible amplitude, le condensateur intègre. Contre-exemple au réflexe « signal carré donc exponentielles complètes ».
Méthode d'Euler avec un pas h > 2τ. La suite numérique diverge en oscillant alors que la solution exacte décroît. Artefact numérique à savoir expliquer.
Circuit RC alimenté par un GBF de résistance de sortie 50 Ω avec R = 100 Ω. La constante de temps vaut 150 Ω × C, pas 100 Ω × C. Rappel que la source réelle a une résistance.

Techniques du chapitre

Mettre sous forme canonique. Diviser par le coefficient de la dérivée, lire τ. Mini-exercice : 3 du/dt + 600 u = 1 200 donne du/dt + 200 u = 400, τ = 5 ms, valeur finale 2 V.

Méthode des trois valeurs. x(0) par continuité, x(∞) par le régime permanent, τ par la structure, puis écrire directement x(t). Mini-exercice : RL série sous E, i(0) = 0, i(∞) = E/R, τ = L/R, donc i = (E/R)(1 − exp(− t/τ)).

Grandeur non continue. La calculer à partir de la grandeur continue et de la loi des mailles, jamais par une continuité supposée. Mini-exercice : RC sous échelon, u(0⁺) = 0 donc i(0⁺) = (E − 0)/R = E/R, alors que i(0⁻) = 0.

Thévenin vu du condensateur. Mini-exercice : E, R₁ en série, puis C en parallèle avec R₂. Sources éteintes, R₁ et R₂ en parallèle, τ = R₁R₂C/(R₁ + R₂), u(∞) = E R₂/(R₁ + R₂).

Bilan d'énergie par intégration. Intégrer l'égalité des puissances plutôt que chaque terme. Mini-exercice : décharge, ∫ R i² dt avec i = (u₀/R) exp(− t/τ) vaut (u₀²/R) τ/2 = ½ Cu₀².

Lire τ sur un relevé. Tangente à l'origine jusqu'à l'asymptote, ou instant à 63 % de l'écart total. Mini-exercice : sur une charge, u passe de 0 à 5 V, on relève t = 2,1 ms quand u = 3,15 V, donc τ ≈ 2,1 ms.

Schéma d'Euler. Écrire l'équation résolue en la dérivée, puis la récurrence. Mini-exercice : du/dt = (e(t) − u)/τ donne u_k+1 = u_k + (h/τ)(e(t_k) − u_k), avec h = τ/100 et u₀ fixé par la continuité.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Décharge et durée de vie d'un signal

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Condensateur C = 1,0 µF chargé sous u₀ = 10 V, déchargé dans R = 10 kΩ. Expression de u(t), instant où u vaut 1 V, énergie dissipée.

Technique Régime libre.

Voir le corrigé

Loi des mailles u = Ri avec i = − C du/dt, courant sortant du condensateur. Donc du/dt + u/τ = 0, τ = RC = 10 ms.
u(t) = 10 exp(− t/τ) V.
u = 1 V pour exp(− t/τ) = 0,1, t = τ ln 10 ≈ 2,3τ = 23 ms.
Énergie dissipée ½ Cu₀² = 50 µJ, tout ce qui était stocké.

piège : Erreur de signe entre i et du/dt selon l'orientation, qui donne une exponentielle croissante. Vérifier que la solution décroît.

Exercice 2. Établissement du courant dans une bobine

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

E = 6 V, R = 60 Ω, L = 30 mH, interrupteur fermé à t = 0. Déterminer i(t) et la tension u_L(t) aux bornes de la bobine, tracer les allures.

Circuit RL série, tension de la bobine en convention récepteur

Sur le schéma, i entre par la borne vers laquelle pointe u_L : la loi des mailles s'écrit E = Ri + u_L.

Technique Méthode des trois valeurs pour i, loi des mailles pour u_L.

Voir le corrigé

τ = L/R = 0,5 ms. i(0⁺) = i(0⁻) = 0 par continuité. i(∞) = E/R = 0,1 A, bobine équivalente à un fil.
i(t) = 0,1 (1 − exp(− t/τ)) A.
u_L = E − Ri = 6 exp(− t/τ) V. Elle saute de 0 à 6 V à la fermeture puis s'annule.
Allures, i croît avec une tangente initiale de pente E/L = 200 A/s, u_L décroît depuis E.

Établissement du courant et disparition de la tension inductive

Les grandeurs sont normalisées pour comparer leurs évolutions malgré leurs unités différentes. À t = 0, i/I∞ vaut 0 tandis que u_L/E vaut 1 ; leur somme reste égale à 1, conformément à E = Ri + u_L.

piège : Prendre u_L(0⁺) = 0 par « continuité ». Seule l'intensité est continue dans une bobine.

Exercice 3. Échelon avec condition initiale non nulle

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Circuit RC série, condensateur initialement chargé à u₀ = − E/2, on applique E à t = 0. Déterminer u(t) et l'instant où u s'annule.

Technique Forme générale de la réponse à un échelon.

Voir le corrigé

u(0⁺) = − E/2, u(∞) = E, τ = RC.
u(t) = E + (− E/2 − E) exp(− t/τ) = E − (3E/2) exp(− t/τ).
u = 0 quand exp(− t/τ) = 2/3, soit t = τ ln(3/2) ≈ 0,41 τ.
Intensité initiale i(0⁺) = (E − u(0⁺))/R = 3E/(2R), plus grande que dans la charge depuis zéro.

piège : Écrire E(1 − exp(− t/τ)) par réflexe. Cette formule suppose u(0) = 0.

Exercice 4. Circuit à deux mailles

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Source E en série avec R₁, puis condensateur C en parallèle avec R₂. Condensateur déchargé, fermeture à t = 0. Équation vérifiée par u, constante de temps, valeur finale, intensité débitée par la source à t = 0⁺ et en régime permanent.

Technique Lois de Kirchhoff puis vérification par Thévenin.

Voir le corrigé

Loi des nœuds, i₁ = i_C + i₂ avec i_C = C du/dt et i₂ = u/R₂. Loi des mailles E = R₁i₁ + u.
E = R₁C du/dt + (R₁/R₂ + 1) u, soit du/dt + u/τ = E/(R₁C) avec τ = R₁R₂C/(R₁ + R₂).
u(∞) = E R₂/(R₁ + R₂), diviseur de tension en régime permanent, condensateur ouvert.
Thévenin vu de C, e = E R₂/(R₁ + R₂) et r = R₁R₂/(R₁ + R₂), on retrouve τ = rC et u(∞) = e.
i₁(0⁺) = E/R₁ car u(0⁺) = 0 court-circuite R₂. En régime permanent i₁ = E/(R₁ + R₂).

piège : Prendre τ = R₁C ou (R₁ + R₂)C. Le condensateur voit R₁ et R₂ en parallèle une fois la source éteinte.

Exercice 5. Charger en plusieurs étapes

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Condensateur C chargé à travers R par une source de tension. Première méthode, un échelon de 0 à E. Seconde méthode, un échelon de 0 à E/2, attente du régime permanent, puis un échelon de E/2 à E. Comparer les énergies dissipées.

Technique Bilan intégré sur chaque étape.

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Un seul échelon, énergie fournie E × CE = CE², stockée ½ CE², dissipée ½ CE².
Première étape, échelon E/2 depuis zéro, dissipation ½ C(E/2)² = CE²/8.
Seconde étape, c'est un échelon d'amplitude E/2 depuis l'état u = E/2. En posant v = u − E/2, v vérifie la même équation avec échelon E/2 depuis zéro, dissipation encore CE²/8.
Total dissipé CE²/4, moitié du cas direct. Énergie stockée toujours ½ CE².
Généralisation, N étapes égales dissipent CE²/(2N). Une charge très progressive tend vers un rendement de 1.

piège : Croire que la dissipation dépend de R. Elle dépend de l'amplitude des sauts, pas de la vitesse du transitoire.

Exercice 6. Transfert entre deux condensateurs

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

C₁ chargé sous U₀, relié à t = 0 par une résistance R à C₂ déchargé. Tension finale commune, constante de temps, énergie perdue.

Technique Conservation de la charge et équation sur la différence de tensions.

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Charge totale conservée sur les armatures reliées, C₁U₀ = (C₁ + C₂) U_f, donc U_f = C₁U₀/(C₁ + C₂).
Courant i de C₁ vers C₂, i = − C₁ du₁/dt = C₂ du₂/dt, loi des mailles u₁ − u₂ = Ri.
d(u₁ − u₂)/dt = − i/C₁ − i/C₂ = − (u₁ − u₂)/(RC_s) avec 1/C_s = 1/C₁ + 1/C₂. Donc τ = RC₁C₂/(C₁ + C₂).
Énergie initiale ½ C₁U₀², finale ½ (C₁ + C₂) U_f² = ½ C₁²U₀²/(C₁ + C₂).
Perte ½ U₀² C₁C₂/(C₁ + C₂), indépendante de R. Pour C₁ = C₂, la moitié est perdue.

piège : Écrire une conservation de l'énergie. Ce qui se conserve est la charge, l'énergie part en chaleur dans R, et dans le cas limite R → 0 dans les fils ou en rayonnement.

Exercice 7. Ouverture d'un circuit inductif

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

E = 12 V, R = 10 Ω et bobine L = 0,10 H en série, avec une résistance R' = 10 kΩ en parallèle sur la bobine. Régime permanent établi, on ouvre l'interrupteur à t = 0. Courant dans la bobine, tension à ses bornes juste après l'ouverture, énergie dissipée dans R'.

Technique Continuité de i, puis régime libre dans la maille restante.

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Avant l'ouverture, bobine équivalente à un fil, R' court-circuitée, i₀ = E/R = 1,2 A.
Après l'ouverture, la maille est réduite à L et R'. Continuité, i(0⁺) = 1,2 A. Équation L di/dt + R'i = 0, τ' = L/R' = 10 µs.
i(t) = 1,2 exp(− t/τ') A. Tension aux bornes de la bobine, en valeur absolue R'i₀ = 12 kV à t = 0⁺.
Énergie dissipée dans R', ½ Li₀² = 72 mJ, tout ce que la bobine stockait.
Cas limite R' → ∞, la tension tend vers l'infini, c'est l'arc à l'ouverture. Une diode en parallèle, de résistance très faible dans le sens passant, remplace avantageusement R'.

piège : Conclure qu'une résistance R' très grande protège mieux. C'est l'inverse, elle impose une surtension R'i₀ plus élevée.

Exercice 10. Stabilité de la méthode d'Euler

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP, capacité numérique

On simule le régime libre du/dt = − u/τ par la méthode d'Euler explicite de pas h. Exprimer u_k, discuter le comportement selon h.

Technique Reconnaître une suite géométrique.

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u_k+1 = u_k − (h/τ) u_k = (1 − h/τ) u_k, donc u_k = u₀ (1 − h/τ)^k.
Si h < τ, la raison est dans ]0, 1[, décroissance monotone, fidèle à l'exponentielle.
Si τ < h < 2τ, la raison est dans ]− 1, 0[, décroissance en changeant de signe à chaque pas, sans rapport avec la physique.
Si h > 2τ, la raison est inférieure à − 1, la suite diverge. Un pas trop grand crée une instabilité purement numérique.
Précision, pour h = τ/100, (1 − 0,01)¹⁰⁰ ≈ 0,366 contre exp(− 1) = 0,368, écart de 0,5 %.

piège : Attribuer les oscillations à un phénomène physique. Un circuit du premier ordre n'oscille jamais.

Exercice 8. Réponse à une rampe

Approfondissement · Type écrit Centrale

Circuit RC série, condensateur déchargé, tension d'entrée e(t) = kt pour t > 0. Déterminer u(t) et interpréter le régime établi.

Technique Solution particulière affine.

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Équation τ du/dt + u = kt.
Chercher u_p = αt + β. Alors τα + αt + β = kt, donc α = k et β = − kτ. u_p = k(t − τ).
u = k(t − τ) + A exp(− t/τ), u(0) = 0 donne A = kτ.
u(t) = k(t − τ) + kτ exp(− t/τ). Aux temps longs, u suit la rampe avec un retard τ, l'écart e − u tend vers kτ, c'est la tension constante aux bornes de R.
Contrôle numérique, la méthode d'Euler avec h = τ/100 reproduit cette solution à mieux de 1 %.

piège : Chercher une solution particulière constante alors que le second membre ne l'est pas. La forme de la solution particulière suit celle du second membre.

Exercice 9. Régime périodique sous signal carré

Approfondissement · Type oral Centrale

Circuit RC série alimenté par un signal carré valant E pendant T/2 puis 0 pendant T/2. Une fois le régime périodique établi, déterminer les valeurs extrêmes u_max et u_min de la tension du condensateur. Discuter les cas T ≫ τ et T ≪ τ.

Technique Écrire chaque demi-période comme un échelon et fermer le cycle.

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Poser q = exp(− T/(2τ)). Montée depuis u_min vers E pendant T/2, u_max = E + (u_min − E) q.
Descente depuis u_max vers 0 pendant T/2, u_min = u_max q.
Substitution, u_max = E(1 − q) + q² u_max, donc u_max = E/(1 + q) et u_min = Eq/(1 + q).
Amplitude crête à crête E(1 − q)/(1 + q). Si T ≫ τ, q → 0, u oscille entre 0 et E avec des exponentielles complètes.
Si T ≪ τ, q ≈ 1 − T/(2τ), amplitude ≈ ET/(4τ), petite, autour de la valeur moyenne E/2. Les exponentielles sont vues comme des segments, le signal est triangulaire, le circuit intègre.

piège : Prendre comme condition initiale u = 0 à chaque période. En régime périodique, la valeur initiale de chaque montée est u_min, non nulle.

Erreurs fréquentes

Condition initiale prise sur une grandeur non continue. Seules u du condensateur et i de la bobine se transmettent de 0⁻ à 0⁺.
Constante de temps lue avant la forme canonique. τ est le rapport du coefficient de la dérivée à celui de la grandeur, une fois le second membre isolé.
Valeur finale calculée en résolvant, alors que le régime permanent se lit directement, condensateur ouvert, bobine en fil.
Signe faux dans la relation i = C du/dt quand le courant sort du condensateur. Dessiner la flèche et respecter la convention récepteur.
Oublier la résistance de sortie du générateur ou la résistance d'entrée de l'oscilloscope dans τ, puis conclure à un composant défectueux.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 1 « ondes et signaux », partie 1.3 « Circuit linéaire du premier ordre ». Elle couvre le régime libre, la réponse à un échelon de tension, la durée du régime transitoire, les bilans d'énergie et la capacité numérique associée, la méthode d'Euler.