Le cours

Résumé en cinq points

Un oscillateur quasi-sinusoïdal est un filtre passe-bande du deuxième ordre bouclé sur un amplificateur. Le filtre fixe la fréquence, le gain doit dépasser légèrement la valeur critique pour que l'oscillation démarre sur le bruit.
C'est la saturation de l'amplificateur qui fixe l'amplitude, et c'est elle qui crée les harmoniques. La pureté spectrale augmente avec le facteur de qualité du filtre et se dégrade quand le gain augmente.
La condition de Nyquist-Shannon impose $f_e$ supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal.
En cas de violation, une composante de fréquence $f$ apparaît à la fréquence $f_e - f$ . Un filtre anti-repliement analogique placé avant l'échantillonneur est la seule parade.
La détection synchrone multiplie le signal par une référence synchrone puis filtre en passe-bas. Elle isole un signal de fréquence connue avec une bande équivalente de l'ordre de l'inverse de la constante de temps.

Pourquoi ce chapitre

Toute mesure physique finit en signal électrique, et ce signal est presque toujours numérisé. Ce chapitre couvre les trois étapes de cette chaîne :

produire un signal sinusoïdal propre, avec un oscillateur qui ne reçoit aucune excitation extérieure ;
l'acquérir, c'est-à-dire l'échantillonner, en comprenant ce que l'on perd si l'on échantillonne trop lentement ;
le traiter, avec la détection synchrone, technique qui permet d'extraire un signal noyé dans un bruit mille fois plus grand.

Ces trois compétences se retrouvent dans presque toutes les autres manipulations du programme, en optique comme en thermodynamique. Les épreuves d'évaluation des compétences expérimentales les sollicitent très souvent, et les questions d'oral portent surtout sur l'interprétation des spectres.

1Oscillateur quasi-sinusoïdal

1.1Principe du bouclage

Définition 1.1Oscillateur

Un oscillateur produit un signal périodique sans qu'aucun signal ne lui soit appliqué en entrée.

Le montage étudié associe deux blocs en boucle fermée :

un filtre passe-bande du deuxième ordre, sélectif, de fréquence centrale $f_0$ ;
un amplificateur, réalisé avec un amplificateur linéaire intégré, de gain réglable $A$ .

La sortie du filtre est envoyée à l'amplificateur, dont la sortie réalimente l'entrée du filtre. Le système ne comporte donc plus d'entrée.

Propriété 1.2Fonction de transfert du passe-bande du deuxième ordre

En notation complexe, avec $x = f/f_0$ : $H(\mathrm{j}x) = \frac{H_0}{1 + \mathrm{j}Q\left(x - \frac{1}{x}\right)},$ où $Q$ est le facteur de qualité et $H_0$ le gain au maximum. La bande passante à moins trois décibels vaut $\Delta f = f_0/Q$ .

1.2Condition de démarrage

En parcourant la boucle, un signal est multiplié par le gain de boucle $A\,H(\mathrm{j}x)$ . Pour qu'un signal se reproduise identique à lui-même après un tour, il faut que ce gain de boucle vaille 1, ce qui impose deux conditions simultanées.

Propriété 1.3Conditions d'oscillation

Condition de phase : l'argument du gain de boucle est nul modulo $2\pi$ . Comme l'argument du passe-bande s'annule exactement à $x = 1$ , la fréquence d'oscillation est imposée par le filtre : $f = f_0$ .
Condition de gain : le module vaut 1, soit $A H_0 = 1$ .

C'est le filtre qui fixe la fréquence, pas l'amplificateur.

En pratique, on règle le gain légèrement au-dessus de cette valeur critique. Le gain de boucle dépasse alors 1, le système linéaire est instable, et toute fluctuation à la fréquence $f_0$ est amplifiée à chaque tour de boucle. L'amplitude croît exponentiellement.

AttentionL'oscillateur démarre sur le bruit

Il existe toujours, dans un circuit réel, un bruit thermique large bande qui contient une composante à $f_0$ . Le filtre ne retient que celle-ci et la boucle l'amplifie jusqu'à ce qu'une non-linéarité intervienne.

1.3Rôle de la saturation et forme du signal

La croissance exponentielle ne peut pas se poursuivre indéfiniment. Elle s'arrête quand l'amplificateur sature, c'est-à-dire quand sa sortie atteint les tensions d'alimentation. Le gain effectif diminue alors, jusqu'à ce que le gain de boucle moyen vaille exactement 1. Le régime permanent s'installe à une amplitude fixée par la saturation, et non par les conditions initiales.

C'est pourquoi on parle d'oscillateur quasi-sinusoïdal, et non sinusoïdal. Le signal n'est pas une sinusoïde parfaite, puisque c'est justement une non-linéarité qui en fixe l'amplitude.

Analyse des spectres, capacité exigible. Le spectre du signal de sortie comporte une raie dominante à $f_0$ , accompagnée d'harmoniques aux fréquences $2f_0$ , $3f_0$ et suivantes. Trois observations sont à savoir commenter :

juste au-dessus du seuil de démarrage, le signal ne sature que faiblement, les harmoniques sont de très faible amplitude, le signal est presque sinusoïdal ;
pour un gain nettement supérieur au seuil, le signal s'écrête et devient presque carré, le spectre s'enrichit fortement en harmoniques ;
plus le facteur de qualité $Q$ du filtre est grand, plus le filtre atténue les harmoniques lors de leur passage dans la boucle, donc plus le signal est pur.

À retenir

La sélectivité du filtre fixe la pureté spectrale.

Définition 1.4Taux de distorsion harmonique

Le taux de distorsion harmonique est le rapport entre la valeur efficace de l'ensemble des harmoniques et celle du fondamental. Il se lit directement sur la fonction de transformée de Fourier de l'oscilloscope numérique.

RemarqueSaturation symétrique

Si l'amplificateur sature symétriquement, le signal obtenu est impair sur une demi-période, ce qui rend les harmoniques de rang pair très faibles et fait dominer les harmoniques impaires. C'est une observation courante.

1.4Mise en œuvre

MéthodeRéaliser et étudier l'oscillateur

Réaliser le filtre passe-bande, par exemple un circuit RLC série avec prélèvement aux bornes de la résistance, ou un pont de Wien. Mesurer d'abord sa fréquence centrale et son facteur de qualité en boucle ouverte, en régime forcé.
Fermer la boucle avec un amplificateur non inverseur à gain réglable.
Augmenter progressivement le gain, repérer le seuil de démarrage et comparer à la valeur prévue.
Comparer la fréquence d'oscillation à la fréquence centrale mesurée en boucle ouverte.
Visualiser le spectre et suivre l'évolution du taux de distorsion quand on augmente le gain.

AttentionPrécautions

Alimenter l'amplificateur linéaire intégré avant tout.
Ne pas dépasser la fréquence limite imposée par le produit gain-bande passante du composant, sans quoi le déphasage supplémentaire décale la fréquence d'oscillation.
Utiliser des masses communes.

2Échantillonnage et condition de Nyquist-Shannon

2.1Échantillonnage

Définition 2.1Échantillonnage

Échantillonner un signal, c'est en relever la valeur à des instants régulièrement espacés de $T_e$ , appelée période d'échantillonnage. La fréquence d'échantillonnage vaut $f_e = 1/T_e$ . Le signal continu est remplacé par une suite de nombres.

L'opération est destructive. Entre deux échantillons, l'information est perdue. La question est de savoir dans quelles conditions elle est récupérable.

2.2Condition de Nyquist-Shannon

Théorème 2.2Condition de Nyquist-Shannon

Hypothèses

le spectre du signal ne contient aucune composante au-dessus d'une fréquence $f_{\max}$ ;
la fréquence d'échantillonnage vérifie $f_e > 2 f_{\max}$ .

Alors le signal peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons.

Définition 2.3Fréquence de Nyquist

La fréquence de Nyquist est $f_e/2$ . Toute composante du signal située au-dessus de cette fréquence pose problème.

Interprétation en termes de spectre : l'échantillonnage rend le spectre du signal périodique, de période $f_e$ . Si le spectre initial est contenu dans l'intervalle allant de zéro à $f_e/2$ , les motifs répétés ne se recouvrent pas et un filtrage passe-bas les sépare. Sinon ils se recouvrent, et le mélange est irréversible.

2.3Repliement de spectre

Quand la condition est violée, une composante de fréquence $f$ supérieure à $f_e/2$ apparaît dans le signal échantillonné à une fréquence différente, dite fréquence apparente.

Propriété 2.4Fréquence apparente

Pour $f$ comprise entre $f_e/2$ et $f_e$ , la fréquence apparente vaut $f_{\text{app}} = f_e - f.$ De façon générale, la fréquence apparente est l'écart entre $f$ et le multiple de $f_e$ le plus proche.

Le phénomène s'appelle repliement de spectre, ou aliasing. Le spectre se replie autour de $f_e/2$ comme autour d'un miroir.

Mise en évidence expérimentale, capacité exigible. On applique à un oscilloscope numérique, ou à une carte d'acquisition, un signal sinusoïdal de fréquence $f$ réglable, en fixant la fréquence d'échantillonnage :

en augmentant $f$ depuis une valeur faible, on observe d'abord une sinusoïde correcte ;
quand $f$ dépasse $f_e/2$ , la fréquence lue sur l'écran diminue alors que celle du générateur augmente ;
pour $f = f_e$ , le signal affiché devient une constante.

Exemple 2.5Fréquences apparentes

Avec $f_e = 10 \unite{kHz}$ :

un signal à $9 \unite{kHz}$ apparaît à $1 \unite{kHz}$ ;
un signal à $5{,}2 \unite{kHz}$ apparaît à $4{,}8 \unite{kHz}$ .

Le même phénomène explique l'effet stroboscopique et les roues qui semblent tourner à l'envers dans un film, la fréquence d'échantillonnage étant celle des images.

2.4Filtre anti-repliement et ordres de grandeur

Comme aucun signal réel n'a un spectre rigoureusement borné, on place toujours, avant l'échantillonneur, un filtre passe-bas analogique de fréquence de coupure inférieure à $f_e/2$ . Il s'appelle filtre anti-repliement. Il élimine physiquement ce qui serait replié. Un filtrage numérique après échantillonnage serait inutile, puisque le mal serait déjà fait.

RemarqueOrdres de grandeur

L'audio numérique échantillonne à $44{,}1 \unite{kHz}$ , pour une bande utile allant jusqu'à environ $20 \unite{kHz}$ .
Une carte d'acquisition de travaux pratiques travaille de quelques kilohertz à quelques centaines de kilohertz.
Un oscilloscope numérique courant atteint le gigaéchantillon par seconde.
Pour obtenir un tracé visuellement correct et non seulement reconstructible, on prend une dizaine de points par période, donc $f_e$ de l'ordre de dix fois la fréquence du signal.

3Détection synchrone

3.1Problème posé

On cherche à mesurer un signal sinusoïdal de très faible amplitude, de fréquence $f_0$ connue, noyé dans un bruit d'amplitude bien plus grande. Un simple filtre passe-bande ne suffit pas :

sa bande passante ne peut pas être réduite arbitrairement, le facteur de qualité accessible étant limité ;
la fréquence centrale dérive avec la température.

3.2Principe

Le signal à analyser s'écrit $s(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) + b(t)$ , où $b$ est le bruit. On le multiplie par un signal de référence $r(t) = R\cos(2\pi f_0 t)$ , rigoureusement synchrone du signal utile, généralement issu du même générateur que celui qui excite le système étudié.

La linéarisation du produit des deux cosinus donne $\begin{aligned} s(t)\,r(t) ={}& \frac{AR}{2}\cos\varphi \\ &+ \frac{AR}{2}\cos(4\pi f_0 t + \varphi) \\ &+ b(t)\,r(t). \end{aligned}$

Le premier terme est continu et contient l'information cherchée. Le deuxième oscille à $2f_0$ . Le troisième est le bruit translaté en fréquence autour de $f_0$ .

On applique alors un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_c$ très basse, typiquement de l'ordre du hertz ou moins, avec une constante de temps $\tau$ de l'ordre de la seconde. Il ne reste que $u = \frac{AR}{2}\cos\varphi.$

3.3Pourquoi le bruit disparaît

Seules les composantes du bruit situées dans une bande de largeur de l'ordre de $f_c$ autour de $f_0$ produisent, après multiplication, un terme basse fréquence capable de traverser le filtre. Tout le reste est rejeté. La chaîne se comporte donc comme un filtre passe-bande centré sur $f_0$ dont la largeur équivalente est de l'ordre de $1/\tau$ , indépendamment de la valeur de $f_0$ .

Avec $\tau$ de l'ordre de la seconde et $f_0$ de quelques kilohertz, la bande équivalente est de l'ordre du hertz, ce qui correspondrait à un facteur de qualité de plusieurs milliers, impossible à réaliser avec un filtre analogique ordinaire. Le gain en rapport signal sur bruit est du même ordre.

À retenir

Plus $\tau$ est grand, meilleur est le rejet du bruit, mais plus la mesure est lente : c'est le compromis central de la méthode.

3.4Mesure de l'amplitude et de la phase

La sortie dépend à la fois de $A$ et de $\varphi$ . Deux solutions :

ajuster manuellement la phase de la référence pour maximiser la sortie. Le maximum vaut $AR/2$ et donne $A$ . La valeur du déphasage introduit donne $\varphi$ ;
utiliser deux voies en parallèle, l'une avec la référence en cosinus, l'autre avec la référence en sinus, décalée d'un quart de période.

MéthodeDétection à deux voies en quadrature

Obtenir $X$ proportionnel à $A\cos\varphi$ et $Y$ proportionnel à $A\sin\varphi$ .
Déduire $A$ de la racine de $X^2 + Y^2$ .
Déduire $\varphi$ de l'arc tangente de $Y/X$ .

Cette méthode ne demande aucun réglage.

3.5Mise en œuvre

Capacité exigible : mettre en œuvre un protocole de détection synchrone. Éléments à maîtriser :

un multiplieur analogique, ou une multiplication numérique après acquisition des deux voies ;
une référence rigoureusement synchrone du signal utile ;
un filtre passe-bas de constante de temps grande devant la période $1/f_0$ , réglée selon le compromis bruit contre temps de réponse ;
attendre plusieurs constantes de temps avant de lire la valeur.

AttentionRéférence synchrone

C'est la condition impérative. Une dérive de fréquence entre le signal et la référence détruit la mesure, puisque le terme utile cesse d'être continu.

Applications classiques :

mesure d'un flux lumineux très faible, le faisceau étant haché mécaniquement à quelques centaines de hertz, ce qui fournit à la fois la modulation et la référence ;
mesure de déphasage introduit par un quadripôle ;
mesure de faibles variations de résistance ou de capacité.

Méthodes

MéthodeAnalyser un oscillateur

Séparer nettement ce qui fixe la fréquence, le filtre, de ce qui fixe l'amplitude, la saturation.
Pour un spectre de signal produit par un oscillateur, commenter la raie fondamentale, le rang des harmoniques présentes, et relier leur importance au réglage du gain et au facteur de qualité.

MéthodeDevant un signal numérisé surprenant

Vérifier d'abord la fréquence d'échantillonnage.
Une fréquence lue qui diminue quand la vraie fréquence augmente signe un repliement.

MéthodeCalculer une détection synchrone

Écrire le produit signal par référence.
Le linéariser.
Le terme continu est le signal, le terme à $2f_0$ part au filtrage.

MéthodeVérifier la cohérence des ordres de grandeur

Comparer les temps en jeu : période du signal, période d'échantillonnage, constante de temps du filtre.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Expliquer comment un filtre passe-bande bouclé sur un amplificateur produit un signal sans excitation extérieure, et préciser ce qui fixe la fréquence.
Écrire les deux conditions portant sur le gain de boucle et en déduire la fréquence d'oscillation.
Expliquer le rôle de la saturation dans la stabilisation de l'amplitude et dans l'apparition des harmoniques.
Décrire l'évolution du spectre de l'oscillateur quand on augmente le gain, puis quand on augmente le facteur de qualité.
Énoncer la condition de Nyquist-Shannon et calculer la fréquence apparente d'un signal repliée pour des valeurs numériques données.
Décrire un protocole expérimental mettant en évidence le repliement, et expliquer le rôle du filtre anti-repliement.
Établir l'expression de la sortie d'une détection synchrone à partir du produit signal-référence.
Expliquer le compromis entre rejet du bruit et temps de réponse, et décrire la détection à deux voies en quadrature.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme de PC traite ce chapitre de façon exclusivement expérimentale. Ici, « exigible » signifie savoir l'établir ou l'utiliser pour interpréter une mesure.

Passe-bande du deuxième ordre. H = H₀/(1 + jQ(x − 1/x)) avec x = f/f₀. Le gain est maximal et le déphasage nul à x = 1. La bande passante vaut f₀/Q. Acquis de PCSI, exigible.
Condition d'oscillation. Le gain de boucle A H(jx) doit valoir 1, donc argument nul et module égal à 1. Exigible.
Fréquence d'oscillation. Le filtre la fixe : f = f₀ si l'amplificateur ne déphase pas. Exigible.
Seuil de démarrage. L'oscillation démarre si et seulement si A H₀ > 1 strictement. Exigible.
Équation différentielle de la boucle. En régime linéaire, s'' + (ω₀/Q)(1 − A H₀) s' + ω₀² s = 0. Méthode classique des écrits, fondée sur le critère de stabilité de PCSI.
Stabilisation par saturation. La non-linéarité fixe l'amplitude, pas les conditions initiales. Exigible qualitativement.
Harmoniques impaires. Un signal vérifiant s(t + T/2) = −s(t) ne contient que des harmoniques de rang impair. Exigible pour commenter un spectre.
Taux de distorsion harmonique. Valeur efficace des harmoniques divisée par celle du fondamental. Définition exigible.
Condition de Nyquist-Shannon. Reconstitution exacte si f_e > 2 f_max. Admise, à utiliser.
Fréquence apparente. f_app = |f − k f_e|, avec k l'entier le plus proche de f/f_e. Elle est comprise entre 0 et f_e/2. Exigible.
Oscilloscope numérique. Le nombre N de points est fixé, donc f_e = N divisé par la durée affichée. La FFT couvre 0 à f_e/2 avec une résolution égale à l'inverse de la durée d'acquisition. Exigible en pratique.
Sortie d'une détection synchrone. u = k A R cos φ/2, où k est la constante du multiplieur (souvent 0,1 V⁻¹). Exigible avec démonstration.
Bande équivalente. De l'ordre de 1/τ autour de f₀, indépendante de f₀. Exigible en ordre de grandeur.
Détection en quadrature. Deux sorties proportionnelles à A cos φ et à A sin φ, au signe près selon la référence. Exigible.
Hors programme, à signaler : critère de stabilité de Nyquist, formule d'interpolation de Shannon, peigne de Dirac, densité spectrale de bruit, boucle à verrouillage de phase.

Clés de démonstration

Condition d'oscillation. On ouvre la boucle par la pensée et on injecte une sinusoïde de fréquence f. Après un tour, elle est multipliée par le complexe A H(jx), qui doit valoir 1 pour qu'elle se reproduise à l'identique. L'astuce est d'exiger qu'un signal s'entretienne lui-même, ce qui donne deux équations réelles.

Équation différentielle et démarrage. On écrit H = H₀ (jω/(Qω₀)) / (1 + jω/(Qω₀) + (jω)²/ω₀²), on remplace jω par la dérivation et on pose e = A s. Le coefficient de s' devient négatif dès que A H₀ > 1, et les solutions croissent en exp(σt) avec σ = ω₀(A H₀ − 1)/(2Q). L'astuce est de reconnaître un oscillateur dont l'amortissement est devenu négatif.

Stabilisation de l'amplitude. Le gain effectif est le rapport des amplitudes des fondamentaux en sortie et en entrée de l'amplificateur. Quand la sortie sature, il diminue lorsque l'amplitude augmente, et l'amplitude se fige quand le gain de boucle revient à 1. L'astuce est de raisonner sur le seul fondamental, puisque le filtre atténue les harmoniques.

Harmoniques impaires. On coupe l'intégrale du coefficient de Fourier de rang n en deux demi-périodes. La seconde reproduit la première avec un signe moins venu de la symétrie et un facteur (−1)ⁿ venu du décalage nπ. Les deux moitiés s'ajoutent pour n impair et s'annulent pour n pair.

Repliement. Aux instants n T_e, les phases de cos(2πft + φ) et de cos(2π(f − k f_e)t + φ) diffèrent de 2πkn. Les deux signaux ont donc les mêmes échantillons, et la parité du cosinus permet de prendre la valeur absolue en changeant le signe de la phase. L'astuce : un multiple entier de f_e est invisible pour l'échantillonneur.

Sortie de la détection synchrone. On utilise cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]/2 avec a = ω₀t + φ et b = ω₀t. On obtient un terme constant en cos φ et un terme à 2f₀, que le passe-bas élimine. L'astuce est de linéariser, puis de trier les termes par fréquence.

Largeur équivalente. On suit une composante du bruit de fréquence f₀ + Δ. Après multiplication, elle donne des termes à |Δ| et à 2f₀ + Δ. Seul le premier franchit le filtre, si |Δ| est inférieur à environ 1/(2πτ), d'où une bande de l'ordre de 1/τ.

Exemples et contre-exemples à connaître

Pont de Wien (R et C série, puis R et C parallèle) : H₀ = 1/3, Q = 1/3, f₀ = 1/(2πRC), seuil A = 3. Filtre peu sélectif, le signal perd vite sa pureté au-dessus du seuil.
RLC série, sortie sur R : H₀ = R/(R + r), avec r la résistance de la bobine, et Q = √(L/C)/(R + r). Filtre sélectif, signal pur, mais r déplace le seuil.
Signal carré : harmoniques impaires d'amplitude relative 1/n, taux de distorsion √(π²/8 − 1), environ 48 %. C'est la limite d'un oscillateur très saturé.
Sinusoïde échantillonnée à f_e = f : tous les échantillons sont égaux, l'écran affiche une constante.
Sinusoïde à f = f_e/2 exactement : échantillons alternativement égaux à plus et moins A cos φ, tous nuls si φ = π/2. D'où l'inégalité stricte de Shannon.
Oscilloscope à 2 500 points : passer de 1 ms/div à 20 ms/div divise f_e par 20. Tourner la base de temps peut créer un repliement.
Parasite à 50 Hz dans une détection à 1 kHz : il se retrouve à 950 et 1 050 Hz et le passe-bas l'élimine, même cent fois plus grand que le signal.
Référence carrée : ses harmoniques 3f₀, 5f₀… rendent la détection sensible au bruit à ces fréquences, avec des poids 1/3, 1/5…
Référence issue d'un second générateur « à la même fréquence » : un écart de 0,01 Hz fait osciller la sortie avec une période de 100 s.

Techniques du chapitre

Identifier H₀ et Q, puis écrire le seuil. Mini-exercice : RLC série, R = 200 Ω, r = 50 Ω, sortie sur R. H₀ = 0,8, seuil A = 1,25, soit R₂/R₁ = 0,25 pour un non inverseur.

Estimer l'atténuation d'un harmonique. |H(nf₀)|/H₀ = 1/√(1 + Q²(n − 1/n)²), environ 1/(Q(n − 1/n)) si Q est grand. Mini-exercice : Q = 20, rang 3, Q × 8/3 ≈ 53, soit environ 34 dB d'atténuation relative.

Calculer une fréquence apparente. Retrancher le multiple de f_e le plus proche, prendre la valeur absolue. Mini-exercice : f_e = 8 kHz, f = 21 kHz. Le multiple le plus proche est 24 kHz, f_app = 3 kHz, bien inférieur à 4 kHz.

Retrouver f_e sur un oscilloscope. Pour dix divisions, f_e = N/(10 × calibre). Mini-exercice : N = 10 000, 2 ms/div. Durée 20 ms, f_e = 500 kHz, fréquence de Nyquist 250 kHz.

Régler une FFT. Plage jusqu'à f_e/2, résolution égale à l'inverse de la durée. Mini-exercice : séparer 1 000 et 1 010 Hz exige une durée nettement supérieure à 0,1 s, par exemple 0,5 s. Avec 2 500 points, f_e = 5 kHz, ce qui convient.

Linéariser et trier. Mini-exercice : A cos(ω₀t + φ) × R sin(ω₀t) = (AR/2)[sin(2ω₀t + φ) − sin φ]. La moyenne vaut −(AR/2) sin φ.

Dimensionner τ. Il faut τ grand devant 1/f₀, une bande 1/τ assez étroite et une lecture après environ 5τ. Mini-exercice : hacheur à 200 Hz, τ = 0,3 s. Le résidu à 400 Hz est divisé par 2π × 400 × 0,3 ≈ 750, la bande vaut environ 3 Hz, on lit après 1,5 s.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Oscillateur à pont de Wien

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un pont de Wien (R = 10 kΩ, C = 10 nF) est bouclé sur un non inverseur de gain A = 1 + R₂/R₁, avec R₁ = 10 kΩ. Trouver la fréquence d'oscillation et R₂ au seuil. Décrire l'observation pour R₂ = 20,5 kΩ puis 30 kΩ.

Technique Condition sur le gain de boucle.

Voir le corrigé

L'amplificateur ne déphase pas, donc arg H = 0, x = 1 et f = 1/(2πRC) ≈ 1,6 kHz.
A H₀ = 1 donne A = 3, soit R₂ = 20 kΩ.
Pour 20,5 kΩ, le gain de boucle vaut 1,017. Démarrage lent, écrêtage faible, signal presque sinusoïdal.
Pour 30 kΩ, il vaut 1,33. Signal nettement écrêté, harmoniques impaires visibles, car Q = 1/3 les atténue peu.
Le seuil mesuré diffère de quelques pourcents, à cause de la tolérance des composants.

piège : Attribuer la fréquence à l'amplificateur, ou écrire A = H₀ au lieu de A = 1/H₀.

Exercice 2. Oscillateur à RLC et pureté spectrale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

RLC série : L = 0,10 H de résistance r = 20 Ω, C = 100 nF, sortie sur R = 100 Ω. Calculer f₀, H₀, Q et le gain de seuil. Comparer l'atténuation relative de l'harmonique 3 avec le pont de Wien.

Technique Identification de H₀ et Q.

Voir le corrigé

f₀ = 1/(2π√(LC)) ≈ 1,6 kHz.
H₀ = 100/120 ≈ 0,83, seuil A = 1,2.
Q = √(L/C)/(R + r) = 1 000/120 ≈ 8,3, bande passante d'environ 190 Hz.
Rang 3 : Q(3 − 1/3) ≈ 22, l'harmonique est divisée par 22 environ. Pour le Wien, le rapport vaut 1/√(1 + (8/9)²) ≈ 0,75, atténuation insignifiante.
Même fréquence, mais le RLC donne un signal bien plus pur. Le Wien doit travailler tout près du seuil, ce qu'on obtient en pratique par une régulation de gain hors programme.

piège : Oublier r. Avec un seuil calculé à A = 1, rien ne démarre.

Exercice 3. Fréquences apparentes et protocole

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une carte échantillonne à f_e = 10 kHz. On envoie des sinusoïdes à 3, 7, 12 et 18,5 kHz. Quelles fréquences lit-on ? Proposer un protocole et l'allure de f_app en fonction de f.

Technique Retrancher le multiple de f_e le plus proche.

Voir le corrigé

3 kHz est sous la fréquence de Nyquist de 5 kHz, on lit 3 kHz.
7 kHz donne 10 − 7 = 3 kHz, indiscernable du précédent.
12 kHz donne 2 kHz. 18,5 kHz donne 20 − 18,5 = 1,5 kHz.
Protocole : fixer f_e, balayer f de 0 à 3f_e, relever la fréquence lue aux curseurs ou par FFT, contrôler la vraie fréquence au fréquencemètre.
Courbe en dents triangulaires : pente +1 de 0 à f_e/2, pente −1 jusqu'à f_e, zéros aux multiples de f_e.

piège : Écrire f_app = f − f_e pour tout f > f_e/2, ce qui donne des valeurs négatives ou supérieures à f_e/2.

Exercice 4. Base de temps d'un oscilloscope

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un oscilloscope acquiert 2 500 points sur dix divisions. On observe une sinusoïde à 20 kHz aux calibres 100 µs/div, 5 ms/div et 50 ms/div. Donner f_e, le nombre de points par période et l'allure de l'écran.

Technique f_e = N divisé par la durée affichée.

Voir le corrigé

100 µs/div : durée 1 ms, f_e = 2,5 MHz, 125 points par période, 20 périodes. Tracé excellent.
5 ms/div : durée 50 ms, f_e = 50 kHz. Shannon est respecté (25 kHz > 20 kHz), mais avec 2,5 points par période le tracé est une bande de zigzags inexploitable.
50 ms/div : durée 0,5 s, f_e = 5 kHz. Comme 20 kHz = 4 f_e, f_app = 0 et l'écran affiche une quasi-constante. À 20,02 kHz, on verrait une fausse sinusoïde à 20 Hz.
Règle pratique : au moins dix points par période, donc au plus 250 périodes à l'écran.

piège : Croire f_e fixée par l'appareil. C'est le nombre de points qui l'est.

Exercice 5. Spectre d'un carré échantillonné

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un carré symétrique à 3 kHz, d'harmoniques d'amplitude relative 1/n pour n impair, est échantillonné à 20 kHz sans filtre. Quelles raies la FFT montre-t-elle entre 0 et 10 kHz ? Comment y remédier ?

Technique Repliement de chaque harmonique.

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Vraies raies : 3 kHz (amplitude 1) et 9 kHz (1/3).
15 kHz se replie à 5 kHz (1/5), 21 kHz à 1 kHz (1/7), 27 et 33 kHz toutes deux à 7 kHz. Les suivantes retombent sur 1, 3, 5, 7 ou 9 kHz.
Des raies à 1, 5 et 7 kHz, non multiples de 3 kHz, signent le repliement.
Un passe-bas du premier ordre coupant à 10 kHz ne divise l'harmonique à 15 kHz que par 1,8 et atténue déjà celle à 9 kHz.
Solution : f_e = 200 kHz et un filtre anti-repliement vers 50 kHz. Seules les harmoniques de rang supérieur à 33 se replient, faibles et fortement atténuées.

piège : Accuser le générateur, ou vérifier Shannon sur le seul fondamental.

Exercice 6. Dimensionner une détection synchrone

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Signal utile à 1 kHz d'amplitude A = 2 mV, parasite à 50 Hz d'amplitude 0,20 V. Référence synchrone et en phase, R = 5 V. Multiplieur de constante k = 0,1 V⁻¹ suivi d'un RC de constante τ. Calculer la sortie utile, le résidu à 2 kHz et le résidu du parasite pour τ = 0,1 s puis 1 s.

Technique Linéariser, puis atténuation 1/(2πfτ) loin de la coupure.

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u = kAR/2 = 0,1 × 0,002 × 5/2 = 0,5 mV.
Le terme à 2 kHz, de même amplitude, est divisé par 2π × 2 000 × 0,1 ≈ 1 260. Il reste 0,4 µV.
Le parasite donne k × 0,20 × 5 = 0,1 V, réparti en deux termes de 50 mV à 950 et 1 050 Hz. Avec τ = 0,1 s, ils sont divisés par 600 et 660 environ, soit 80 µV chacun. Leur somme atteint environ 160 µV crête, 32 % du signal. Avec τ = 1 s, on obtient environ 16 µV crête au total, 3 % du signal.
On lit après environ 5τ, l'écart à la valeur finale est alors inférieur à 1 %.
Le rapport parasite sur signal passe de 100 à l'entrée à environ 0,03 en sortie avec τ = 1 s. Le prix est le temps de mesure.

piège : Oublier le facteur 1/2, ne compter qu'un seul des deux termes du parasite, ou lire avant plusieurs constantes de temps.

Exercice 7. Déphasage par détection en quadrature

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un passe-bas RC coupant à 1 kHz reçoit E cos(ωt), E = 1 V, f = 1 kHz. Sa sortie est multipliée par R cos(ωt) et par R sin(ωt), R = 5 V, k = 0,1 V⁻¹, puis filtrée. Calculer X et Y, en déduire gain et déphasage.

Technique Deux voies en quadrature.

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À la coupure, H = 1/(1 + j). Sortie A cos(ωt + φ), A = 0,71 V, φ = −π/4.
X = kAR cos φ/2 ≈ 0,125 V.
Par la linéarisation de la section 4, Y = −kAR sin φ/2 ≈ +0,125 V.
√(X² + Y²) = kAR/2 ≈ 0,177 V, donc A ≈ 0,71 V et un gain de 0,71. Comme cos φ > 0 et sin φ < 0, φ = −π/4.
Étalonnage : l'entrée seule doit donner Y = 0 et X = kER/2 = 0,25 V. Cela fixe la convention de signe.

piège : Calculer arctan(Y/X) sans regarder les signes, et se tromper de π ou de signe.

Exercice 8. Références mal choisies

Approfondissement · Type oral Centrale

Premier cas : référence issue d'un second générateur, décalé en réalité de 0,01 Hz. Second cas : référence carrée synchrone d'amplitude R. Qu'obtient-on avec τ = 1 s ?

Technique Linéariser en gardant l'écart de fréquence.

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Premier cas : le produit contient (AR/2) cos(2π δf t − φ), avec δf = 0,01 Hz, et un terme à 2f₀.
Comme δf < 1/(2πτ) ≈ 0,16 Hz, le terme lent traverse le filtre. La sortie oscille entre plus et moins kAR/2 avec une période de 100 s. Aucune lecture stable.
Second cas : le carré est une somme de termes 4R/(nπ) cos(nω₀t), n impair, à signes alternés. Seul le fondamental donne un continu avec le signal, u = 2kAR cos φ/π.
Les harmoniques de la référence ramènent au continu le bruit proche de 3f₀, 5f₀, avec des poids 1/3, 1/5. Si le bruit y est concentré, on filtre en passe-bande avant de multiplier.

piège : Croire qu'une même fréquence affichée suffit. Le synchronisme exige une origine commune.

Exercice 9. Démarrage de l'oscillateur

Approfondissement · Type écrit Mines

Un passe-bande (H₀, Q, ω₀) est bouclé sur un amplificateur idéal de gain A. Établir l'équation différentielle de la sortie s du filtre, la condition de démarrage et le taux de croissance. Application : Wien, ω₀ = 10⁴ rad/s, A = 3,3, bruit initial 10 µV, saturation à 10 V.

Technique De la fonction de transfert à l'équation différentielle.

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La forme canonique donne s'' + (ω₀/Q) s' + ω₀² s = H₀ (ω₀/Q) e'.
Avec e = A s : s'' + (ω₀/Q)(1 − A H₀) s' + ω₀² s = 0.
Solutions en exp(σt) cos(ωt + ψ), σ = ω₀(A H₀ − 1)/(2Q), ω = ω₀√(1 − σ²/ω₀²). Croissance si et seulement si A H₀ > 1. Le cas A H₀ = 1 donne une amplitude fixée par les conditions initiales, irréalisable en pratique.
A H₀ − 1 = 0,1, donc σ = 10⁴ × 0,1 × 3/2 = 1 500 s⁻¹. Un facteur 10⁶ demande ln(10⁶)/σ ≈ 9 ms, une quinzaine de périodes.
Pendant la croissance, ω ≈ 0,989 ω₀. À saturation, le gain effectif ramène le gain de boucle à 1 et la fréquence revient à f₀.

piège : Écrire e = s/A. Le signe du terme en s', qui décide de tout, devient faux.

Exercice 10. Produit gain-bande de l'amplificateur

Approfondissement · Type oral Centrale

L'ALI a un produit gain-bande de 1 MHz. En non inverseur de gain 3, A = 3/(1 + jf/f_A), f_A ≈ 330 kHz. On le boucle sur un Wien à f₀ = 10 kHz. Où oscille le montage ? Comparer avec un RLC de facteur de qualité 10, en gardant le même amplificateur.

Technique Condition de phase avec un amplificateur qui déphase.

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L'amplificateur retarde de ψ = arctan(f/f_A) ≈ 0,03 rad.
Le filtre doit compenser : arg H = +ψ, soit Q(x − 1/x) = −tan ψ, d'où x < 1.
Avec x = 1 + δ, x − 1/x ≈ 2δ, donc δ ≈ −tan ψ/(2Q). Wien : δ ≈ −0,045, f ≈ 9,55 kHz. RLC : δ ≈ −0,0015, f ≈ 9,985 kHz.
Le module du gain de boucle est multiplié par cos²ψ, le seuil augmente de moins de 0,1 %.
Un filtre sélectif rend la fréquence insensible aux défauts de l'amplificateur. Il faut de toute façon rester loin de f_A.

piège : Se tromper de signe en composant les déphasages, ou croire que l'ALI n'agit que sur l'amplitude.

Erreurs fréquentes

Attribuer la fréquence à l'amplificateur et l'amplitude au filtre. C'est exactement l'inverse.
Viser A H₀ = 1 exactement : l'oscillation ne démarre pas, ou au hasard. À l'opposé, un gain trop fort donne un signal presque carré.
Appliquer f_app = f_e − f hors de l'intervalle allant de f_e/2 à f_e, au lieu de retrancher le multiple de f_e le plus proche.
Placer le filtre anti-repliement après l'échantillonnage, ou vérifier Shannon sur le seul fondamental d'un signal riche en harmoniques.
En détection synchrone, utiliser une référence non synchrone, oublier le facteur 1/2 et la constante du multiplieur, ou lire la sortie avant plusieurs constantes de temps.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « 2. Électronique », intitulée « Production, acquisition et traitement d'un signal électrique ». Le programme précise que cette partie est abordée de manière exclusivement expérimentale. La fiche présente donc les principes physiques strictement nécessaires à la compréhension des manipulations et à l'analyse des spectres, sans développement théorique supplémentaire.