Introduction à la physique quantique

Exercice 1. Photons d'un laser ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un laser hélium-néon émet $1{,}0~\mathrm{mW}$ à $633~\mathrm{nm}$.

Combien de photons émet-il par seconde ?

Quelle force exerce-t-il sur un écran absorbant ?

La description ondulatoire est-elle légitime ?

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Technique Compter les photons avec $N = P/(h\nu)$, puis appliquer $p = h/\lambda$.

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1. Énergie d'un photon : $E = 1\,240/633 \approx 1{,}96\ \mathrm{eV}$, soit $3{,}14 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$.
2. Nombre de photons par seconde : $$N = 10^{-3}/3{,}14 \times 10^{-19} \approx 3{,}2 \times 10^{15}\ \mathrm{s}^{-1}.$$
3. Chaque photon absorbé cède $h/\lambda$. La force vaut donc $F = N h/\lambda = P/c \approx 3{,}3 \times 10^{-12}\ \mathrm{N}$. Elle est doublée sur un miroir parfait.
4. La distance moyenne entre photons vaut $c/N \approx 0{,}1\ \mathrm{\mu m}$. Un dispositif d'un mètre contient donc une dizaine de millions de photons à la fois. Leur caractère discret passe inaperçu, et le modèle ondulatoire est adapté.

piège : Écrire la force comme $P/c$ sans comprendre qu'elle vient de la quantité de mouvement des photons.

Exercice 3. Diffraction d'électrons par un cristal de nickel ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Des électrons accélérés sous $54~\mathrm{V}$ sont diffusés par la surface d'un cristal de nickel dont les rangées d'atomes sont espacées de $$d = 0{,}215~\mathrm{nm}.$$ On admet qu'un maximum apparaît dans la direction $\theta$ telle que $$d \sin \theta = \lambda.$$ Prévoir $\theta$ et commenter.

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1. $Ec = 54\ \mathrm{eV}$, très inférieure à $511\ \mathrm{keV}$ : on peut raisonner en non relativiste.

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Exercice 4. Neutrons thermiques et gaz de l'air ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Estimer la longueur d'onde d'un neutron d'énergie cinétique $\frac{3kT}{2}$ à $300~\mathrm{K}$.

Faire de même pour une molécule de diazote, et comparer à la distance moyenne entre molécules dans l'air à $1~\mathrm{bar}$.

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1. $3kT/2 \approx 6{,}2 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$, soit $0{,}039\ \mathrm{eV}$.

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Exercice 5. Interférences photon par photon ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Un dispositif de Young de longueur $1~\mathrm{m}$ est éclairé par une source à $600~\mathrm{nm}$, atténuée à $1{,}0 \times 10^{-12}~\mathrm{W}$.

Les photons traversent-ils le dispositif un par un ?

Comment interpréter l'apparition progressive des franges ?

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1. Énergie d'un photon : $3{,}3 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. …

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Exercice 2. Effet photoélectrique sur le sodium ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Le sodium a un travail d'extraction $W = 2{,}3~\mathrm{eV}$.

Déterminer la longueur d'onde seuil.

On l'éclaire à $400~\mathrm{nm}$ : quelle est l'énergie cinétique maximale des électrons ?

Que se passe-t-il à $650~\mathrm{nm}$ ?

En modèle ondulatoire, quel temps faudrait-il à un atome, de section $10^{-20}~\mathrm{m^2}$, pour accumuler $W$ sous un éclairement de $10^{-2}~\mathrm{W\cdot m^{-2}}$ ?

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1. Le seuil correspond à $hc/\lambda_s = W$, soit $\lambda_s = 1\,240/2{,}3 \approx 540\ \mathrm{nm}$.

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Exercice 6. Raies de Balmer et critique du modèle de Bohr ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

À partir du modèle de Bohr, calculer les longueurs d'onde des transitions de $n = 3$ et de $n = 4$ vers $n = 2$, ainsi que la limite de la série.

Calculer la vitesse sur l'orbite $n = 1$, puis comparer l'impulsion à l'indétermination imposée par Heisenberg.

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1. Transition de $3$ vers $2$ : $\Delta E = 13{,}6 \times (1/4 - 1/9) \approx 1{,}89\ \mathrm{eV}$, soit $\lambda \approx 656\ \mathrm{nm}$. …

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Exercice 9. Taille et stabilité de l'atome d'hydrogène ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Centrale

On assimile l'électron à une particule confinée dans une sphère de rayon $r$, avec $p \approx \frac{\hbar}{r}$.

Écrire son énergie $E(r)$, en déduire le rayon qui la minimise et l'énergie correspondante.

Pourquoi l'électron ne tombe-t-il pas sur le noyau ?

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1. E(r) = ħ²/(2mr²) − e²/(4πε₀r).

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Exercice 7. Couleur d'une molécule conjuguée ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

Les 8 électrons $\pi$ d'une chaîne conjuguée sont modélisés par un puits infini de longueur $L = 1{,}0~\mathrm{nm}$.

On admet le principe de Pauli, vu en chimie : deux électrons au plus par niveau.

Quelle est la longueur d'onde de la première absorption ?

Même question pour $L = 1{,}5~\mathrm{nm}$ et 12 électrons.

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Exercice 8. Énergies atomiques et énergies nucléaires ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Estimer par Heisenberg l'énergie de confinement d'un électron dans un atome ($L = 0{,}1~\mathrm{nm}$), puis celle d'un nucléon dans un noyau ($L = 5~\mathrm{fm}$).

Conclure.

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Exercice 10. Limite classique du puits ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Mines

Une bille de $1{,}0~\mathrm{g}$ se déplace à $1{,}0~\mathrm{cm\cdot s^{-1}}$ dans une boîte de $1{,}0~\mathrm{cm}$.

Estimer son nombre quantique $n$ et l'écart relatif entre deux niveaux voisins.

Vérifier le résultat par la longueur d'onde de de Broglie.

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