Énergie échangée par un système au cours d'une transformation

Résumé en cinq points

1Transformation thermodynamique

1.1Définition et méthode

Première étape de toute résolution : définir un système adapté au problème. Il y a souvent plusieurs choix possibles, et le bon choix simplifie tout.

1.2Détermination de l'état final

L'état final est imposé par les contraintes extérieures. Il faut savoir l'écrire avant tout calcul.

1.3Vocabulaire des transformations

Le préfixe « iso » porte sur le système, le préfixe « mono » porte sur le milieu extérieur.

2Travail des forces de pression

2.1Travail élémentaire

Schéma de référence : un gaz est enfermé dans un cylindre de section $S$ fermé par un piston mobile sans frottement. L'extérieur exerce sur le piston la pression $P_{\text{ext}}$.

C'est cette forme que l'on utilise pour intégrer le long d'un chemin dans un diagramme de Clapeyron.

2.2Calcul par découpage et sommation

On découpe la transformation en étapes infinitésimales, on écrit le travail élémentaire, puis on somme le long du chemin suivi. Il n'y a qu'une seule variable, le volume : l'intégration est une intégrale simple. Trois résultats sont à savoir refaire.

Seuls l'état initial et l'état final interviennent, bien que le travail ne soit pas une fonction d'état. C'est une particularité du cas monobare.

Dans une détente isotherme, le gaz fournit du travail à l'extérieur, $W$ est négatif, ce qui est cohérent.

2.3Interprétation géométrique dans le diagramme de Clapeyron

Pour une transformation quasi statique, on trace $P$ en fonction de $V$. Le travail reçu vaut $-\int P\,\dd V$ : son opposé est l'aire algébrique comprise entre la courbe et l'axe des volumes.

• Détente : on parcourt la courbe vers la droite, l'aire sous la courbe est le travail fourni par le système, et $W$ est négatif.
• Compression : on va vers la gauche et $W$ est positif.

Sur un cycle fermé, le travail total reçu est, au signe près, l'aire enfermée par le cycle.

• Sens horaire : le travail reçu est négatif, le système fournit du travail, c'est un cycle moteur.
• Sens trigonométrique : le travail reçu est positif, c'est un cycle récepteur.

Cette règle se retient en comparant l'aire sous la branche de détente et l'aire sous la branche de compression.

2.4Autres travaux

Le programme se concentre sur les forces de pression, mais un système peut recevoir du travail autrement.

3Transferts thermiques

3.1Définition

Comme le travail, il dépend du chemin suivi : on note $\delta Q$ et jamais $\dd Q$. Un système ne possède ni travail ni chaleur, il possède de l'énergie interne.

3.2Les trois modes de transfert

Le programme demande de les distinguer qualitativement.

Dans une situation réelle, les trois modes coexistent presque toujours. Une tasse de café chaud perd de l'énergie par conduction à travers la paroi, par convection dans l'air au-dessus, et par rayonnement.

3.3Transformation adiabatique

C'est ce qui justifie de traiter la propagation du son ou une compression rapide dans un cylindre comme adiabatique, bien que les parois ne soient pas isolantes.

3.4Thermostat

Savoir identifier un thermostat dans une situation expérimentale est une capacité exigible.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Distinguer isotherme et monotherme, isobare et monobare, avec un exemple de transformation monobare non isobare.
2. Établir $\delta W = - P_{\text{ext}}\,\dd V$ à partir du travail de la force pressante sur un piston.
3. Calculer le travail reçu dans une transformation isochore, dans une transformation monobare, et dans une détente isotherme quasi statique d'un gaz parfait.
4. Montrer sur un exemple que le travail dépend du chemin suivi.
5. Interpréter géométriquement le travail dans un diagramme de Clapeyron, y compris le signe pour un cycle.
6. Distinguer conduction, convection et rayonnement, avec un exemple pour chacun.
7. Justifier qu'une transformation rapide peut être considérée comme adiabatique.
8. Identifier un thermostat dans une situation expérimentale décrite, et dire ce qu'il impose.

Les résultats à connaître

• Travail élémentaire des forces de pression. δW = − P_ext dV, où P_ext est la pression exercée par l'extérieur sur la partie mobile de la frontière. Convention receveur, valable pour toute transformation. Exigible avec démonstration.
• Cas mécaniquement quasi statique. P = P_ext à chaque instant, donc δW = − P dV. Exigible, et l'hypothèse doit être énoncée.
• Transformation isochore. W = 0. Exigible.
• Transformation monobare. W = − P_ext (V_f − V_i). Exigible avec démonstration.
• Isotherme quasi statique d'un gaz parfait. W = n R T ln(V_i/V_f) = n R T ln(P_f/P_i). Exigible avec démonstration.
• Diagramme de Clapeyron. Pour un chemin quasi statique, |W| est l'aire sous la courbe, et pour un cycle l'aire enfermée. Un cycle horaire est moteur (W < 0), un cycle trigonométrique est récepteur (W > 0). Exigible.
• W et Q dépendent du chemin suivi, ce ne sont pas des fonctions d'état. Exigible, à montrer sur un exemple.
• Isotherme implique monotherme. Monotherme et quasi statique implique isotherme. Mêmes énoncés pour isobare et monobare. Exigible avec justification.
• État final. Une paroi mobile impose l'équilibre mécanique. Un thermostat derrière une paroi diatherme impose T_f = T_thermostat. Une paroi rigide impose V_f = V_i. Exigible.
• Adiabaticité. Q = 0, par calorifugeage ou par une durée courte devant le temps caractéristique des transferts thermiques. Exigible qualitativement.
• Thermostat. Sa température reste fixe car sa capacité thermique est très grande devant celle du système. Identification exigible.
• Conduction, convection et rayonnement. Distinction qualitative exigible.
• Hors de ce chapitre, à signaler si un énoncé les utilise. Le premier principe relève du chapitre suivant, la loi de Laplace d'un chapitre ultérieur. La loi de Fourier et la diffusion thermique sont vues en seconde année. La loi de Stefan est hors programme.

Clés de démonstration

δW = − P_ext dV. Seule la face du piston, de section S, est mobile. L'extérieur exerce une force P_ext S dirigée vers le gaz, et le piston avance de dx vers l'extérieur, donc δW = − P_ext S dx. L'astuce est de reconnaître dV = S dx : la géométrie disparaît, et le résultat vaut pour toute frontière déformable.

Travail monobare. On somme les δW le long du chemin réel. P_ext constante sort de l'intégrale, et la somme des dV vaut V_f − V_i. L'astuce est de ne jamais utiliser la pression du système, non définie pendant une transformation brutale.

Isotherme quasi statique d'un gaz parfait. Le quasi statique donne P_ext = P = n R T/V à chaque instant. T constante sort de l'intégrale, et ∫ dV/V = ln(V_f/V_i). L'astuce est de justifier le passage de P_ext à P avant d'utiliser l'équation d'état.

Signe du travail sur un cycle. On découpe le cycle en une branche aller, vers les grands volumes, et une branche retour. L'aller donne moins l'aire sous sa courbe, le retour plus l'aire sous la sienne. La somme vaut moins l'aire enfermée si l'aller est au-dessus, donc si le cycle est horaire.

Monotherme et quasi statique implique isotherme. Quasi statique signifie que le système est à chaque instant en équilibre, y compris thermique, avec l'extérieur. Cet extérieur est un thermostat de température T₀, donc le système est à T₀ à chaque instant. L'astuce est de lire une transformation quasi statique comme une suite d'états finaux.

Adiabaticité par rapidité. Les transferts thermiques ont un temps caractéristique τ fixé par la taille et les matériaux. Si la durée de la transformation est très petite devant τ, l'énergie échangée est une faible fraction de ce qu'elle serait après un temps long. L'astuce est une comparaison de durées, pas un calcul.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Détente de Joule et Gay-Lussac. Un gaz se répand dans un compartiment vide à parois rigides. Le volume augmente et pourtant W = 0. C'est le contre-exemple définitif à W = − ∫ P dV hors du quasi statique.
2. Gaz chauffé dans une bouteille rigide. Isochore, W = 0, mais T et P augmentent. L'énergie entre uniquement par transfert thermique.
3. Eau qui bout dans une casserole ouverte. Isobare et isotherme, et pourtant l'eau reçoit un transfert thermique. Contre-exemple à « isotherme donc pas de chaleur ».
4. Piston libéré brutalement. Monobare et monotherme, mais ni isobare ni isotherme. L'exemple type de khôlle.
5. Pompe à vélo. On pompe vite, l'embout chauffe. Compression presque adiabatique, pas isotherme.
6. Mélange d'eau et de glace. Thermostat à 0 °C sous 1 bar tant que les deux phases coexistent. Il tient par le changement d'état, pas par une grande masse.
7. Piston lourd. Pour le gaz seul, la pression extérieure utile n'est pas la pression atmosphérique. Il faut inclure le piston dans le système, ou raisonner à l'équilibre final.
8. Cycle rectangle dans le plan (V, P). Son aire se lit à vue, (P₂ − P₁)(V₂ − V₁). Il sert à vérifier la règle du sens de parcours.
9. Vase Dewar. Un seul objet bloque les trois modes de transfert. Question de cours habituelle.

Techniques du chapitre

Écrire les trois lignes préalables. Mini-exercice : on libère d'un coup le piston, de masse négligeable, d'un cylindre métallique à l'air libre. Système : le gaz. Contraintes : P_atm et T_atm constantes. Nature : monobare, monotherme, brutale. Donc W = − P_atm ΔV, P_f = P_atm et T_f = T_atm.

Déterminer l'état final avant le travail. Mini-exercice : un gaz parfait est à 3,0 bar, 2,0 L et T₀, parois diathermes. On libère le piston sous 1,0 bar. T_f = T₀ et P_f = 1,0 bar, donc V_f = 6,0 L. Alors W = − 1,0 × 10⁵ × 4,0 × 10⁻³ = − 400 J.

Additionner les étapes. Mini-exercice : un gaz est chauffé dans une enceinte rigide, puis détendu contre l'atmosphère de 1,0 L à 1,5 L. La première étape donne 0, la seconde, monobare, − 1,0 × 10⁵ × 0,5 × 10⁻³ = − 50 J. Au total W = − 50 J, sans intégrale.

Exprimer P en fonction de V seul avant d'intégrer. Mini-exercice : un chemin quasi statique rectiligne va de (1,0 L, 1,0 bar) à (3,0 L, 2,0 bar). W est l'opposé de l'aire du trapèze : − 1,5 × 10⁵ × 2,0 × 10⁻³ = − 300 J.

Lire le signe sur le diagramme. Mini-exercice : le cycle passe par (1 L, 1 bar), (3 L, 1 bar), (3 L, 2 bar), (1 L, 2 bar) dans cet ordre. La détente se fait en bas, la compression en haut, donc le sens est trigonométrique. W = − 200 J + 400 J = + 200 J, le cycle est récepteur.

Choisir le système pour que les forces extérieures soient constantes. Mini-exercice : un piston de masse M repose sur un gaz, sous l'atmosphère P₀. On prend le système gaz, piston et masse. Le poids et la force atmosphérique sont constants. Le travail reçu vaut − (P₀ + Mg/S) ΔV_gaz, car l'énergie cinétique du piston est nulle au début et à la fin.

Comparer des durées pour justifier l'adiabaticité. Mini-exercice : une onde sonore de 1 kHz dans l'air. Une compression dure 0,5 ms et s'étend sur environ 17 cm. Avec a = 2 × 10⁻⁵ m²·s⁻¹ et la loi d'échelle √(a t) donnée par l'énoncé, la chaleur se déplace d'environ 0,1 mm. L'échange thermique est négligeable.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes