Champ magnétique et ses actions

Résumé en cinq points

1Champ magnétique

1.1Sources et ordres de grandeur

Le champ magnétique $\vec{B}$ est un champ vectoriel, en teslas. Ses sources sont les courants électriques et les aimants permanents, dont le magnétisme provient aussi de courants à l'échelle atomique.

1.2Cartes de champ

Lecture d'une carte :

• là où les lignes sont resserrées, le champ est intense ;
• là où elles s'écartent, il est faible ;
• là où elles sont parallèles et régulièrement espacées, il est uniforme ;
• les sources se repèrent là où les lignes convergent.

Allures à savoir tracer :

• Aimant droit : les lignes sortent par le pôle nord, bouclent dans l'espace, rentrent par le pôle sud et se referment dans l'aimant.
• Spire circulaire : elles traversent la spire selon son axe et se referment à l'extérieur, carte voisine de celle d'un aimant droit très court.
• Solénoïde : elles sont parallèles à l'axe et très serrées à l'intérieur, où le champ est quasi uniforme, très lâches à l'extérieur.

Dispositifs produisant un champ quasi uniforme :

• un solénoïde long, dans sa partie centrale ;
• deux bobines plates identiques coaxiales, parcourues par le même courant dans le même sens et séparées d'une distance égale à leur rayon, dites bobines de Helmholtz.

1.3Symétries et invariances

Le champ magnétique est un vecteur axial, ce qui inverse les règles par rapport au champ électrostatique.

1.4Lien entre champ et intensité

Le champ créé est proportionnel à l'intensité. Les expressions sont fournies, il faut les exploiter numériquement, avec $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI :

• fil rectiligne infini : $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ;
• centre d'une spire de rayon $R$ : $B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$ ;
• intérieur d'un solénoïde de $n$ spires par unité de longueur : $B = \mu_0 n I$.

1.5Moment magnétique

Par analogie de comportement, on associe à un aimant un moment magnétique dirigé du pôle sud vers le pôle nord à l'intérieur de l'aimant. Ordre de grandeur pour un aimant usuel de quelques centimètres : environ $1 \unite{A.m^2}$.

2Actions d'un champ magnétique

2.1Force de Laplace

2.2Couple sur une spire rectangulaire

Une spire rectangulaire parcourue par $I$ tourne autour d'un axe passant par les milieux de deux côtés opposés, dans un champ uniforme et stationnaire orthogonal à cet axe. Les deux côtés parallèles à l'axe subissent deux forces de Laplace opposées de droites d'action distinctes.

Positions d'équilibre et stabilité :

• le couple s'annule quand $\vec{m}$ est colinéaire à $\vec{B}$ ;
• la position où $\vec{m}$ est parallèle à $\vec{B}$ et de même sens est stable, tout écart engendrant un couple de rappel ;
• la position antiparallèle est instable.

2.3Champ tournant

Deux bobines d'axes orthogonaux alimentées par des courants déphasés d'un quart de période, ou trois bobines à $120^\circ$ alimentées en triphasé, créent en leur centre un champ de norme constante dont la direction tourne à la pulsation des courants. Une aiguille aimantée placée au centre s'aligne sur ce champ et tourne à la même vitesse angulaire. C'est l'effet moteur d'un champ tournant, principe du moteur synchrone.

3Lois de l'induction

3.1Flux magnétique

3.2Loi de Faraday

Deux façons de faire varier le flux, qui correspondent aux deux parties suivantes :

• faire varier le champ à travers un circuit fixe ;
• déplacer un circuit dans un champ stationnaire.

Le point de vue dépend du référentiel, mais la force électromotrice est la même.

3.3Loi de Lenz

C'est une loi de modération, qualitative, mais très efficace pour vérifier un signe. Exemples :

• un aimant que l'on approche d'une spire y crée un courant dont le champ propre repousse l'aimant : il faut fournir du travail pour l'approcher ;
• un circuit mobile dans un champ voit apparaître des forces de Laplace qui freinent son mouvement ;
• un courant qui croît dans une bobine engendre une force électromotrice qui s'oppose à cette croissance, d'où la continuité du courant dans une bobine.

4Circuit fixe dans un champ variable

4.1Auto-induction

Pour un solénoïde long de $N$ spires, de section $S$ et de longueur $l$, l'expression fournie est $$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}.$$ Une bobine de laboratoire de mille spires a une inductance de quelques dizaines de millihenrys au plus.

Mesure de $L$ :

• on étudie la réponse indicielle d'un circuit RL série, de constante de temps $L/R$ ;
• ou la résonance d'un circuit RLC série, dont la pulsation propre donne $L$ si la capacité est connue.

4.2Bilan énergétique de l'auto-induction

4.3Inductance mutuelle et transformateur

Mesure de $M$ : on alimente un enroulement en régime sinusoïdal et on mesure la tension à vide aux bornes de l'autre. En écartant ou en inclinant les bobines, on constate que $M$ diminue dès que le couplage n'est plus total.

Pour un transformateur parfait, la puissance reçue au primaire est intégralement transmise au secondaire, ce qui impose $$\frac{i_2}{i_1} = \mp\frac{N_1}{N_2}.$$ La tension est élevée et le courant abaissé, ou l'inverse.

Applications à citer :

• le transport de l'électricité à très haute tension, qui réduit les pertes par effet Joule dans les lignes ;
• les alimentations électroniques ;
• la charge sans contact.

5Circuit mobile dans un champ stationnaire

5.1Rails de Laplace

Deux rails parallèles horizontaux distants de $a$ sont reliés par une résistance $R$ ou un générateur. Une barre conductrice de masse $m$ glisse sans frottement perpendiculairement aux rails, sa position étant repérée par $x$. Le champ $\vec{B}$ est uniforme, stationnaire et orthogonal au plan des rails.

On oriente le circuit, ce qui fixe la normale et le signe du flux : $\Phi = Bax$. La loi de Faraday donne $$e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} = -Bav, \quad v = \frac{\dd x}{\dd t}.$$

5.2Bilan énergétique et conversion

On multiplie l'équation mécanique par $v$ et l'équation électrique par $i$, puis on additionne. Les deux termes de couplage se compensent exactement : $$\begin{aligned} P_{\text{Laplace}} + e i &= iaBv \\ &\quad + (-Bav)\,i = 0. \end{aligned}$$

Selon le sens des échanges, le dispositif est :

• moteur : on alimente le circuit et la barre accélère ;
• générateur : on tire la barre et l'on récupère du courant.

La loi de Lenz confirme que la force de Laplace s'oppose au mouvement imposé de l'extérieur.

5.3Spire en rotation et alternateur

Une spire plane d'aire $S$ tourne à la vitesse angulaire $\omega$ constante autour d'un axe orthogonal à un champ uniforme $\vec{B}$. Le flux vaut $\Phi = BS\cos(\omega t)$, donc $$e = BS\omega\sin(\omega t).$$ La force électromotrice est sinusoïdale : c'est le principe de l'alternateur. Le couple de Laplace s'oppose à la rotation, il faut donc fournir du travail mécanique pour l'entretenir quand un courant circule.

5.4Freinage par induction et courants de Foucault

D'après la loi de Lenz, ils créent des forces qui s'opposent au mouvement relatif, d'où un freinage sans contact ni usure. Applications :

• freinage des poids lourds et des trains ;
• amortissement d'une aiguille de mesure ;
• détection de métaux.

Ces courants dissipent de l'énergie par effet Joule, recherchée dans une plaque à induction, subie dans le noyau d'un transformateur, que l'on feuillette pour les limiter.

5.5Moteur à courant continu à entrefer plan

On analyse ce moteur par analogie avec les rails de Laplace, les conducteurs du rotor jouant le rôle de la barre et le champ de l'aimant permanent celui du champ uniforme.

Applications : essuie-glaces, lève-vitres, outillage portatif.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Tracer les cartes de champ d'un aimant droit, d'une spire et d'un solénoïde, et y repérer les zones de champ fort et uniforme.
2. Utiliser les plans de symétrie et d'antisymétrie d'une distribution de courants pour prévoir la direction du champ, sur l'exemple du fil infini.
3. Définir un moment magnétique et établir l'expression du couple $\vec{\Gamma} = \vec{m} \wedge \vec{B}$ sur une spire rectangulaire, avec discussion de la stabilité.
4. Énoncer la loi de Faraday et la loi de Lenz, et prédire le sens du courant induit quand on approche un aimant d'une bobine.
5. Établir l'inductance mutuelle de deux solénoïdes coaxiaux en influence totale et la loi des tensions du transformateur.
6. Traiter complètement les rails de Laplace : équation électrique, équation mécanique, puis bilan énergétique montrant la conversion.
7. Expliquer l'origine des courants de Foucault et citer deux applications, l'une recherchée et l'autre subie.
8. Analyser le moteur à courant continu à entrefer plan et écrire son bilan de puissance.

Les résultats à connaître

• Force de Laplace élémentaire, dF = I dl ∧ B pour un élément filiforme, où B est le champ extérieur et non le champ propre. Admise.
• Résultante sur une barre rectiligne de longueur L parcourue par I dans un champ extérieur uniforme et stationnaire, F = I L ∧ B. Exigible avec démonstration.
• Puissance de la force de Laplace sur une barre en translation, P = F · v. Exigible.
• Couple sur une spire rectangulaire tournant autour de l'axe passant par les milieux de deux côtés opposés, dans un champ uniforme et stationnaire orthogonal à l'axe, Γ = m ∧ B, et P = Γ ω avec Γ projeté sur l'axe. Exigible avec démonstration.
• Équilibres d'un moment magnétique. L'équilibre est stable si m est parallèle à B et de même sens, instable s'il est de sens contraire. Exigible, étendu à la boussole par analogie.
• Champ tournant. Deux bobines identiques d'axes orthogonaux, parcourues par des courants de même amplitude en quadrature, créent un champ de norme constante qui tourne à la pulsation ω. Exigible, surtout expérimental.
• Flux d'un champ uniforme à travers un contour plan orienté, Φ = B S cos α. Exigible.
• Loi de Faraday, e = − dΦ/dt, avec e orientée dans le sens du contour. Loi expérimentale admise, à appliquer en précisant les conventions.
• Loi de Lenz. Énoncé qualitatif exigible, traduction du signe moins de Faraday.
• Inductance d'un solénoïde long, L = µ₀ N² S/l, à retrouver à partir du champ fourni. Ordre de grandeur exigible.
• Énergie stockée dans une bobine, ½ L i². Exigible avec démonstration par un bilan de puissance.
• Inductance mutuelle de deux solénoïdes coaxiaux longs en influence totale, |M| = µ₀ n₁ n₂ S l, et M² = L₁ L₂. Exigible avec démonstration. L'égalité M₁₂ = M₂₁ est admise.
• Équations de deux circuits couplés en régime sinusoïdal forcé. Exigibles.
• Transformateur idéal, u₂/u₁ = ± N₂/N₁. Exigible avec démonstration. La relation des intensités découle du bilan de puissance.
• Rails de Laplace et spire en rotation uniforme. Équations électrique et mécanique, bilan P_Laplace + e i = 0. Exigibles avec démonstration.
• Moteur à courant continu à entrefer plan, e = Φ₀ ω et Γ = Φ₀ i. Exigible par analogie avec les rails.
• Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : champ électromoteur, loi de Biot et Savart et théorème d'Ampère (les champs sont fournis), énergie potentielle d'un dipôle, inégalité générale M² ≤ L₁ L₂, circuit mobile dans un champ variable.

Clés de démonstration

Résultante sur une barre. On somme dF = I dl ∧ B le long de la barre. I est le même partout et B est uniforme, donc on les sort de la somme, et la somme des dl vaut le vecteur L. L'astuce est de citer l'uniformité, sans laquelle rien ne sort de l'intégrale.

Couple sur la spire rectangulaire. Soit a la longueur des côtés parallèles à l'axe et b celle des deux autres. Les côtés perpendiculaires à l'axe subissent des forces parallèles à l'axe, de moment nul par rapport à lui. Les deux autres subissent des forces opposées de norme I a B, dont les droites d'action sont séparées de b sin θ, où θ est l'angle entre n et B. Le moment vaut I a b B sin θ = m B sin θ. L'astuce est de reconnaître un couple, dont le moment ne dépend pas du point.

Champ tournant. Les bobines donnent B₀ cos(ωt) selon ux et B₀ sin(ωt) selon uy. La somme a pour norme B₀, car cos² + sin² = 1, et fait l'angle ωt avec ux. L'astuce est la quadrature.

Inductance d'un solénoïde. Le champ intérieur vaut µ₀ N i/l, le flux par spire vaut ce champ fois S, et il y a N spires en série. Donc Φ = µ₀ N² S i/l. L'astuce est le facteur N, qui intervient deux fois.

Énergie de la bobine. En convention récepteur, p = u i = L i di/dt, qui est la dérivée de ½ L i². L'astuce est d'identifier une dérivée exacte.

Inductance mutuelle. Le solénoïde 1 crée µ₀ n₁ i₁ à l'intérieur. Ce champ traverse les n₂ l spires du solénoïde 2, d'où Φ₂₁ = µ₀ n₁ n₂ S l i₁. Avec L₁ = µ₀ n₁² S l et L₂ = µ₀ n₂² S l, on obtient M² = L₁ L₂. L'astuce est de calculer le flux du champ connu, puis de conclure par réciprocité.

Transformateur. Le noyau impose le même flux φ par spire dans les deux enroulements. Sans résistance ni fuite, u₁ = N₁ dφ/dt et u₂ = ± N₂ dφ/dt. Le rapport élimine φ. L'astuce est de raisonner sur le flux par spire.

Rails et spire tournante. On multiplie l'équation mécanique par v, ou par ω, et l'équation électrique par i, puis on additionne. Les termes i a B v et e i = − B a v i s'annulent. L'astuce est d'écrire les deux équations avec la même orientation.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Spire en translation dans un champ uniforme. Le flux reste constant, il n'y a aucun courant. Contre-exemple à « mouvement dans un champ donc induction ».
2. Spire qui entre dans une zone de champ. Le courant n'existe que pendant l'entrée et la sortie, quand le flux varie.
3. Circuit ouvert. La force électromotrice existe mais le courant est nul, donc ni force de Laplace ni freinage.
4. Transformateur alimenté en continu. Le flux est constant, la tension au secondaire est nulle.
5. Anneau de Thomson. Un anneau d'aluminium enfilé sur une bobine alimentée en alternatif est éjecté. Fendu, il ne bouge plus, car aucun courant ne circule.
6. Boussole dans le champ terrestre. Elle s'aligne sur la composante horizontale, environ 2 × 10⁻⁵ T en France. Retournée de 180°, elle est en équilibre instable.
7. Aimant dans un tube de cuivre. Chute lente, à vitesse quasi limite. Dans un tube fendu sur toute sa longueur, le freinage diminue nettement.
8. Bobines de Helmholtz. Champ quasi uniforme sur une zone accessible, contrairement à l'intérieur d'un solénoïde.
9. Bobine sans noyau. Quelques millihenrys, même avec des centaines de spires. Un henry exige un noyau ferromagnétique.

Techniques du chapitre

Orienter puis écrire le flux avec son signe. Mini-exercice : spire carrée de 10 cm de côté, champ de 0,20 T à 60° de la normale orientée. Φ = 0,20 × 0,010 × cos 60° = 1,0 × 10⁻³ Wb. Inverser l'orientation change le signe de Φ et du courant positif.

Appliquer Faraday puis contrôler par Lenz. Mini-exercice : B = B₀(1 − t/τ) selon la normale d'une spire d'aire S. e = B₀ S/τ > 0. Le courant circule dans le sens positif et crée un champ selon la normale, qui compense la baisse du flux. Lenz est respecté.

Exploiter les symétries. Mini-exercice : spire circulaire d'axe Oz. Tout plan contenant Oz est plan d'antisymétrie, donc sur l'axe le champ est contenu dans tous ces plans, donc porté par Oz. Le plan de la spire est plan de symétrie, donc en ses points le champ lui est orthogonal.

Écrire deux équations couplées. Mini-exercice : barre de masse m tirée par une force F constante sur des rails fermés par R. Électrique : i = − B a v/R. Mécanique : m dv/dt = F − (aB)² v/R. Premier ordre de constante de temps τ = m R/(aB)².

Chercher le régime limite en annulant les dérivées. Mini-exercice : même situation, v_lim = F R/(aB)². Avec F = 0,10 N, R = 1,0 Ω, a = 0,10 m et B = 0,50 T, on trouve 40 m/s.

Faire un bilan de puissance. Mini-exercice : à cette vitesse, F v_lim = 4,0 W. Avec i = B a v_lim/R = 2,0 A, la puissance Joule vaut R i² = 4,0 W. Tout le travail fourni est dissipé.

Passer en complexes pour les circuits couplés. Mini-exercice : secondaire fermé sur lui-même. 0 = (R₂ + j L₂ ω) i₂ + j M ω i₁, donc i₂/i₁ = − j M ω/(R₂ + j L₂ ω). À haute fréquence, i₂ ≈ − (M/L₂) i₁, et le secondaire annule presque le flux.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

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