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MPSI · Maths · semaine 41

Géométrie affine

Sous-espaces affines, repères, droites et plans, parallélisme, barycentres et équations de sous-espaces affines dans R2 et R3.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un sous-espace affine est un point plus un sous-espace vectoriel. La direction est unique, le point ne l'est pas.
  2. L'intersection de deux sous-espaces affines est vide ou un sous-espace affine dirigé par l'intersection des directions. Deux sous-espaces parallèles sont confondus ou disjoints.
  3. L'ensemble des solutions de u(x)=au(x)=a est vide ou un sous-espace affine dirigé par Ker⁡u\Ker u. C'est le principe « solution particulière plus solution générale de l'équation homogène ».
  4. Un sous-espace affine se décrit par un paramétrage ou par des équations. En dimension nn, un hyperplan demande une équation et un sous-espace de dimension n−mn-m en demande mm.
  5. En repère orthonormé seulement, les coefficients de l'équation d'un hyperplan donnent un vecteur normal. La distance d'un point à cet hyperplan s'obtient en divisant la valeur absolue du premier membre de l'équation écrite avec un second membre nul par la norme de ce vecteur. Applications affines, produit vectoriel et barycentres restent hors programme.
Pourquoi ce chapitre

Au collège et au lycée, on manipule des points, des droites et des plans sans cadre algébrique. L'algèbre linéaire fournit ce cadre.

À retenir

Un sous-espace affine est un sous-espace vectoriel translaté : sa description demande un point et une direction.

Ce point de vue unifie des situations qui semblaient étrangères les unes aux autres :

  • l'ensemble des solutions d'un système linéaire ;
  • l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire ;
  • l'ensemble des polynômes interpolateurs de degré borné.

Ces ensembles sont des sous-espaces affines, décrits par une solution particulière plus la solution générale du problème homogène.

L'apport concret pour les concours est double :

  • passer d'une représentation paramétrique à un système d'équations et réciproquement ;
  • calculer des distances dans le cadre euclidien.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021). La géométrie affine occupe la partie « Sous-espaces affines d'un espace vectoriel » du chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires. Elle s'appuie sur la partie consacrée aux formes linéaires et aux hyperplans.