Le cours

Résumé en cinq points

On décrit la lumière par une grandeur scalaire, ce qui est légitime tant que la polarisation ne joue aucun rôle.
Une source classique émet des trains d'ondes de durée finie, avec des phases aléatoires. Le temps de cohérence et la largeur spectrale sont reliés par $\Delta f\,\Delta t \sim 1$ , soit une longueur de cohérence de l'ordre de $\lambda^2/\Delta\lambda$ .
Le retard de phase entre deux points vaut $2\pi$ fois le chemin optique divisé par la longueur d'onde dans le vide.
Les rayons sont orthogonaux aux surfaces d'onde. Entre deux points conjugués, tous les rayons ont le même chemin optique.
Un détecteur mesure la moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire, jamais cette grandeur elle-même. Son temps de réponse est immense devant la période optique.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre installe quatre idées qui commandent tout le reste de l'optique de MP :

on décrit la lumière par une grandeur scalaire unique, sans se préoccuper de la nature vectorielle du champ électromagnétique ;
ce qu'un détecteur mesure n'est jamais cette grandeur, mais la moyenne temporelle de son carré, l'intensité ;
le déphasage entre deux points ne dépend que du chemin optique qui les sépare ;
une source réelle n'émet pas une sinusoïde éternelle, mais des trains d'ondes de durée finie, ce qui limite la cohérence et donc la possibilité d'observer des interférences.

Sans ce dernier point, on ne comprend ni pourquoi deux lampes ne donnent jamais de franges, ni pourquoi les franges en lumière blanche disparaissent au bout de quelques ordres.

1Émission de la lumière

1.1Modèle des trains d'ondes

Une source lumineuse classique est constituée d'un très grand nombre d'atomes. Chaque atome, porté dans un état excité, se désexcite et émet un paquet d'onde de durée finie.

Définition 1.1Train d'ondes

Un train d'ondes est le paquet d'onde de durée finie émis par un atome lors de sa désexcitation. Ces émissions sont indépendantes les unes des autres. La phase d'un train d'ondes n'a aucune relation avec celle du train précédent ni avec celle d'un autre atome.

La lumière émise par une source classique n'est donc pas une sinusoïde de phase bien définie sur des durées longues. La phase se réinitialise de façon aléatoire toutes les durées de l'ordre de $\tau$ .

Définition 1.2Temps et longueur de cohérence

Le temps de cohérence est la durée $\tau$ de l'ordre de laquelle la phase se réinitialise. La longueur de cohérence est la distance parcourue par la lumière pendant ce temps : $l_c = c\,\tau.$

1.2Relation entre temps de cohérence et largeur spectrale

Un train d'ondes de durée finie n'est pas monochromatique.

Propriété 1.3Relation durée et largeur spectrale

Résultat admis. L'analyse de Fourier relie la durée du signal à sa largeur spectrale : $\Delta f\,\Delta t \sim 1.$ Le programme demande de l'utiliser pour relier le temps de cohérence à la largeur spectrale.

En repassant en longueur d'onde, la relation $\Delta f = c\,\Delta\lambda/\lambda^2$ donne :

un temps de cohérence de l'ordre de $\dfrac{\lambda^2}{c\,\Delta\lambda}$ ;
une longueur de cohérence de l'ordre de $\dfrac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$ .

À retenir

Forme à retenir, plus parlante : $l_c \sim \dfrac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$ .

1.3Ordres de grandeur exigibles

Exemple 1.4Lumière blanche

Le spectre visible s'étend d'environ $400$ à $800 \unite{nm}$ , donc $\Delta\lambda \sim 300 \unite{nm}$ pour $\lambda \sim 550 \unite{nm}$ . La longueur de cohérence est de l'ordre du micromètre, soit quelques longueurs d'onde. Le temps de cohérence est de l'ordre de $10^{-14} \unite{s}$ . C'est pour cela qu'on n'observe que quelques franges colorées en lumière blanche.

Exemple 1.5Raie d'une lampe spectrale

Pour une raie fine de largeur de l'ordre de $0{,}01 \unite{nm}$ autour de $600 \unite{nm}$ , la longueur de cohérence est de quelques centimètres et le temps de cohérence de l'ordre de $10^{-10} \unite{s}$ .

Exemple 1.6Laser hélium néon

La largeur spectrale est bien plus faible. La longueur de cohérence va de quelques dizaines de centimètres à plusieurs mètres selon le laser.

AttentionDoublet du sodium

Les deux raies proches, à $589{,}0$ et $589{,}6 \unite{nm}$ , sont séparées de $0{,}6 \unite{nm}$ . Ce n'est pas une largeur de raie mais un écart entre deux raies, et il produit un phénomène différent : des brouillages périodiques, étudiés dans le chapitre sur les interférences.

1.4Sources usuelles

Lampe à incandescence : spectre continu et large, faible cohérence.
Lampe spectrale : raies discrètes correspondant aux transitions atomiques du gaz utilisé (sodium, mercure, cadmium).
Laser : source très directive, très monochromatique et de grande cohérence, mais dont la faible étendue impose souvent d'élargir le faisceau.

2Le modèle scalaire

2.1Ce qu'on remplace et à quelle condition

La lumière est une onde électromagnétique, décrite par deux champs vectoriels.

Définition 2.1Modèle scalaire

Dans le modèle scalaire, on remplace cette description par une unique fonction scalaire $s(M, t)$ , sans dimension physique précise, proportionnelle à une composante du champ électrique. Le programme demande d'utiliser une grandeur scalaire pour décrire un signal lumineux.

Cette simplification est légitime tant que la polarisation ne joue aucun rôle, notamment quand les ondes superposées ont des polarisations parallèles. Elle ne permet pas de traiter les phénomènes de polarisation eux-mêmes.

2.2Ondes de référence

Définition 2.2Onde plane progressive monochromatique

Une onde plane progressive monochromatique s'écrit $s(M, t) = s_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vect{OM} + \varphi_0).$ L'amplitude est uniforme, les surfaces d'égale phase sont des plans perpendiculaires au vecteur d'onde. Le module du vecteur d'onde vaut $k = 2\pi n/\lambda_0$ , où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide.

Définition 2.3Onde sphérique divergente

Une onde sphérique divergente est issue d'une source ponctuelle. Les surfaces d'égale phase sont des sphères centrées sur la source. L'amplitude décroît en $1/r$ , ce qui traduit la conservation de la puissance à travers des sphères de surface croissante, puisque l'intensité varie comme le carré de l'amplitude.

Propriété 2.4Longueur d'onde dans un milieu d'indice $n$

La longueur d'onde dans un milieu d'indice $n$ vaut $\lambda_0/n$ , la fréquence étant inchangée lors du passage d'un milieu à un autre.

AttentionPoint souvent mal retenu

La fréquence est une caractéristique de la source, la longueur d'onde dépend du milieu.

3Chemin optique, déphasage et surfaces d'onde

3.1Retard de phase dû à la propagation

Définition 3.1Chemin optique

Le chemin optique de $S$ à $M$ , noté $(SM)$ , est l'intégrale de $n\,\dd s$ le long du rayon : $(SM) = \int_S^M n\,\dd s.$ La durée de propagation est $(SM)/c$ .

Si la source émet $s(S, t) = s_0\cos(\omega t)$ , alors en $M$ le signal vaut, à l'atténuation près, $s_0 \cos\!\Big(\omega\Big(t - \frac{(SM)}{c}\Big)\Big).$

Propriété 3.2Retard de phase

Le retard de phase de $M$ par rapport à $S$ vaut $\frac{\omega\,(SM)}{c} = \frac{2\pi\,(SM)}{\lambda_0}.$ Une différence de chemin optique d'une longueur d'onde correspond à un déphasage de $2\pi$ .

C'est la relation centrale de tout le cours d'interférences. La longueur d'onde au dénominateur est toujours celle du vide, puisque l'indice est déjà contenu dans le chemin optique.

3.2Surfaces d'onde et théorème de Malus

Définition 3.3Surface d'onde

Une surface d'onde relative à une source ponctuelle $S$ est le lieu des points $M$ pour lesquels le chemin optique $(SM)$ prend une valeur donnée. C'est une surface d'égale phase.

Théorème 3.4Théorème de Malus

Résultat admis. Après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, les rayons issus d'une même source ponctuelle restent orthogonaux aux surfaces d'onde.

Conséquences pratiques :

deux points situés sur une même surface d'onde sont en phase ;
le chemin optique entre deux surfaces d'onde successives est le même quel que soit le rayon emprunté.

On calcule une différence de marche en repérant une surface d'onde commune et en ne comptant que ce qui la sépare du point d'observation.

3.3Effet d'une lentille mince

Dans l'approximation de Gauss, une lentille convergente transforme :

l'onde sphérique issue d'un point objet en une onde sphérique convergeant vers le point image ;
une onde plane en une onde sphérique convergeant vers un point du plan focal image.

Propriété 3.5Égalité des chemins optiques entre points conjugués

Hypothèses

lentille convergente mince ;
approximation de Gauss ;
deux points conjugués.

Alors le chemin optique qui les sépare est le même pour tous les rayons.

Une lentille introduit un retard, plus grand au centre où le verre est plus épais, mais ce retard compense exactement la différence de longueur géométrique. On peut donc placer une lentille de projection dans un montage interférentiel sans modifier la différence de marche entre les deux voies.

Le programme demande aussi de savoir associer les deux descriptions d'une image : rayons qui convergent, et surfaces d'onde qui se referment sur le point image.

4Détecteurs et intensité

4.1Pourquoi on ne mesure jamais s

La fréquence de la lumière visible est de l'ordre de $5 \times 10^{14} \unite{Hz}$ . Aucun détecteur ne possède un temps de réponse aussi court. Tout détecteur intègre donc le signal sur une durée très grande devant la période optique.

4.2Définition de l'intensité

Définition 4.1Intensité lumineuse

L'intensité lumineuse est la puissance reçue par unité de surface. Le programme admet qu'on la relie à la moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire, prise sur une durée grande devant la période optique : $I \propto \langle s^2 \rangle.$

On choisit la constante de proportionnalité la plus commode, souvent $2$ , de sorte que l'intensité d'une onde d'amplitude $s_0$ vaille $s_0^2$ . Les mots intensité et éclairement s'emploient indifféremment à ce niveau.

Exemple 4.2Ordres de grandeur

Éclairement solaire au sol : de l'ordre de $1 \unite{kW.m^{-2}}$ .
Laser de travaux pratiques de $1 \unite{mW}$ concentré sur $1 \unite{mm^2}$ : de l'ordre de $10^3 \unite{W.m^{-2}}$ également, d'où l'interdiction de regarder dans le faisceau.

4.3Temps de réponse des détecteurs

Œil : de l'ordre de $0{,}1 \unite{s}$ , ce qui correspond à la persistance rétinienne.
Capteur photographique numérique : de la milliseconde à la seconde selon le temps de pose choisi.
Photodiode : de la nanoseconde à la microseconde.
Photorésistance : de l'ordre de la dizaine de millisecondes.

Ces valeurs sont à citer. Elles expliquent deux choses :

un détecteur ne peut suivre les oscillations optiques ;
si le déphasage entre deux ondes varie rapidement devant le temps de réponse, le détecteur en moyenne l'effet et les franges disparaissent. C'est la véritable définition de l'incohérence.

4.4Capacité expérimentale

Le programme demande de mettre en œuvre des expériences utilisant un capteur photographique numérique. On photographie une figure d'interférences, on vérifie que le capteur travaille dans sa zone de réponse linéaire et qu'il n'est pas saturé, puis on exploite le profil d'intensité le long d'une ligne de pixels pour mesurer un interfrange ou un contraste.

AttentionPrécautions

Désactiver les corrections automatiques d'image.
Contrôler le temps de pose.
Vérifier l'absence de saturation.
Étalonner l'échelle spatiale.

Méthodes

MéthodeCalculer un déphasage

Passer par le chemin optique.
Écrire $2\pi$ multiplié par la différence de chemin optique, divisé par la longueur d'onde dans le vide.
Ne jamais faire entrer l'indice deux fois, une fois dans le chemin optique et une fois dans la longueur d'onde.

MéthodeCalculer une différence de marche

Repérer une surface d'onde commune aux deux voies.
Ne calculer que la partie utile du trajet.
Devant une lentille, invoquer l'égalité des chemins optiques entre points conjugués plutôt que de calculer la traversée du verre.

MéthodeEstimer une longueur de cohérence

Appliquer $l_c \sim \lambda^2/\Delta\lambda$ .
Comparer à la différence de marche du montage.

MéthodeDiscuter un détecteur

Comparer son temps de réponse à la durée caractéristique de variation du signal.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Décrire le modèle d'émission par trains d'ondes et expliquer pourquoi la phase d'une source classique est aléatoire.
Relier temps de cohérence et largeur spectrale, puis en déduire la longueur de cohérence en fonction de $\lambda$ et de $\Delta\lambda$ .
Citer les ordres de grandeur de temps et de longueur de cohérence pour la lumière blanche, une raie de lampe spectrale et un laser.
Définir le chemin optique et écrire le retard de phase entre deux points.
Énoncer le théorème de Malus et s'en servir pour calculer une différence de marche.
Expliquer pourquoi le chemin optique entre deux points conjugués ne dépend pas du rayon choisi, et ce que cela permet dans un montage interférentiel.
Définir l'intensité comme moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire et justifier cette définition par les temps de réponse des détecteurs.
Citer les temps de réponse de l'œil, d'une photodiode et d'un capteur numérique.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Grandeur scalaire s(M, t) décrivant la lumière, proportionnelle à une composante du champ électrique. Modèle exigible, valable quand la polarisation ne joue aucun rôle.
Onde plane progressive monochromatique s = s₀ cos(ωt − k·OM + φ₀), avec k = 2πn/λ₀. Onde sphérique d'amplitude en 1/r. Exigibles.
Longueur d'onde dans un milieu d'indice n : λ = λ₀/n, la fréquence étant conservée. Exigible.
Chemin optique (SM) = ∫ n ds, durée de propagation (SM)/c, retard de phase φ(M) − φ(S) = 2π(SM)/λ₀. Exigible avec démonstration, c'est le cœur du chapitre.
Surfaces d'onde, lieux d'égal chemin optique depuis la source. Théorème de Malus, rayons orthogonaux aux surfaces d'onde. Admis.
Effet d'une lentille mince dans l'approximation de Gauss : onde sphérique issue d'un point objet transformée en onde sphérique convergeant vers l'image, onde plane transformée en onde sphérique convergeant vers un point du plan focal. Exigible.
Chemin optique indépendant du rayon entre deux points conjugués. Admis, utilisation exigible.
Modèle d'émission par trains d'ondes de durée τ, phase aléatoire d'un train à l'autre. Exigible qualitativement.
Relation Δf × Δt ~ 1 entre durée d'un train et largeur spectrale. Admise, utilisation exigible. Conséquence l_c = cτ ~ λ²/Δλ.
Ordres de grandeur : lumière blanche τ ~ 10⁻¹⁴ s et l_c ~ 1 µm, raie de lampe spectrale τ ~ 10⁻¹⁰ s et l_c ~ quelques cm, laser hélium-néon l_c de quelques dizaines de cm à plusieurs mètres. Exigibles.
Intensité I proportionnelle à la moyenne temporelle de s², sur une durée grande devant la période optique. Admise, définition exigible. Pour s = s₀ cos(ωt + φ), I = s₀² avec la convention usuelle du facteur 2.
Temps de réponse : œil 0,1 s, capteur numérique de la ms à la s, photodiode de la ns à la µs. Exigibles.
Hors programme signalé : nature vectorielle et polarisation, calcul de Fourier du spectre d'un train d'ondes, expression de l'intensité en fonction du champ électrique, cohérence partielle et fonction de corrélation.

Clés de démonstration

Retard de phase. La source émet s₀ cos(ωt). Le signal met (SM)/c pour arriver, donc en M il vaut s₀ cos(ω(t − (SM)/c)) = s₀ cos(ωt − 2π(SM)/λ₀), puisque ω/c = 2π/λ₀. L'astuce : écrire la durée de parcours avec le chemin optique, ce qui absorbe l'indice.

Longueur d'onde dans un milieu. La fréquence est fixée par la source, la vitesse vaut c/n, donc λ = v/f = λ₀/n. L'astuce : ne jamais partir de λ, toujours de f.

Amplitude en 1/r. La puissance émise traverse une sphère de rayon r, de surface 4πr², donc I ∝ 1/r². Comme I ∝ amplitude², l'amplitude décroît en 1/r. L'astuce : conservation de la puissance, pas de calcul d'onde.

Longueur de cohérence. Un train dure τ, son spectre a une largeur Δf ~ 1/τ. Avec f = c/λ, |Δf| = cΔλ/λ², donc τ ~ λ²/(cΔλ) et l_c = cτ ~ λ²/Δλ. L'astuce : différentier f = c/λ, en gardant les valeurs absolues.

Intensité d'une onde monochromatique. La moyenne de cos²(ωt + φ) sur une période vaut 1/2, donc ⟨s²⟩ = s₀²/2. L'astuce : linéariser cos² = (1 + cos 2ωt)/2, le second terme est de moyenne nulle.

Exemples et contre-exemples à connaître

Lumière blanche, λ ≈ 550 nm et Δλ ≈ 300 nm : l_c ≈ 1 µm, deux longueurs d'onde environ. Voilà pourquoi on ne voit que quelques franges colorées.
Raie verte du mercure, 546 nm, largeur 0,01 nm : l_c ≈ 3 cm, τ ≈ 10⁻¹⁰ s. Ordre de grandeur des franges d'un Michelson.
Laser hélium-néon, Δf ≈ 1 GHz : τ ≈ 1 ns, l_c ≈ 30 cm, Δλ ≈ 1,3 pm. Une largeur spectrale invisible pour tout spectroscope.
Doublet du sodium, 589,0 et 589,6 nm : ce n'est pas une largeur de raie, c'est un écart entre deux raies. Il produit des brouillages périodiques, pas une perte définitive de contraste. Contre-exemple à « Δλ = 0,6 nm donc l_c = 0,58 mm ».
Deux lampes distinctes, ou deux points d'une même lampe, n'interfèrent jamais. La phase relative change toutes les 10⁻¹⁰ s, l'œil moyenne sur 0,1 s.
Lumière de 600 nm dans l'eau : λ = 451 nm, mais la couleur perçue reste orangée, car la couleur est liée à la fréquence.
Lame de verre de 1 mm et d'indice 1,5 sur un trajet : 833 longueurs d'onde de retard à 600 nm. Un objet transparent modifie fortement la phase sans modifier l'intensité.
Onde plane sur une lentille : après la lentille, la surface d'onde est une sphère centrée sur F'. Le rayon central a traversé plus de verre, le rayon marginal plus d'air, les chemins optiques sont égaux.
Un photorécepteur de 1 ns ne suit pas plus la lumière visible que l'œil : la période optique est de 2 × 10⁻¹⁵ s, cinq cent mille fois plus courte. Il suit en revanche un battement à 100 MHz que l'œil ne voit pas.

Techniques du chapitre

Technique 1, déphasage par le chemin optique. Mini-exercice : deux rayons issus de la même source atteignent M avec des chemins optiques 12,000 0 mm et 12,000 9 mm, λ₀ = 600 nm. Différence 0,9 µm, déphasage 2π × 0,9/0,6 = 3π, opposition de phase.

Technique 2, lame insérée. Mini-exercice : une lame d'épaisseur e et d'indice n remplace une épaisseur e d'air. Supplément de chemin optique (n − 1)e. Pour e = 10 µm et n = 1,5, 5 µm, soit 8,3 longueurs d'onde à 600 nm.

Technique 3, repérer une surface d'onde commune. Mini-exercice : onde plane inclinée de θ sur un écran percé de deux trous distants de a. Le plan d'onde passant par le premier trou est en avance sur le second de a sin θ. Aucun calcul de distance à la source n'est nécessaire.

Technique 4, cohérence par λ²/Δλ. Mini-exercice : diode laser de 650 nm, largeur 0,5 nm. l_c = 650²/0,5 nm = 0,85 mm. Un Michelson à e = 1 mm, différence de marche 2 mm, ne montre rien.

Technique 5, moyenne temporelle. Mini-exercice : s = a cos(ωt) + b cos(ωt + π/2). ⟨s²⟩ = a²/2 + b²/2 + 2ab⟨cos ωt cos(ωt + π/2)⟩ = a²/2 + b²/2, car le produit se moyenne à (1/2)cos(π/2) = 0. Deux ondes en quadrature ont des intensités qui s'ajoutent.

Technique 6, ordre de grandeur des détecteurs. Mini-exercice : peut-on photographier des franges dont le déphasage dérive de 2π par seconde ? Avec 10 ms de pose, le déphasage varie de 0,06 rad pendant la pose, oui. Avec 1 s de pose, non, tout est moyenné.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Cohérence de trois sources

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour une lampe à incandescence (400 à 800 nm), une lampe à cadmium (raie rouge à 644 nm, largeur 0,001 3 nm) et un laser (Δf = 1 MHz), calculer temps et longueur de cohérence.

Technique Δf ~ 1/τ et l_c = λ²/Δλ.

Voir le corrigé

Lumière blanche : λ ≈ 550 nm, Δλ ≈ 400 nm, l_c ≈ 0,76 µm, τ = l_c/c ≈ 2,5 × 10⁻¹⁵ s. Une période optique et demie.
Cadmium : l_c = 644²/0,001 3 nm = 3,2 × 10⁸ nm = 32 cm, τ ≈ 1,1 × 10⁻⁹ s. Cette raie a longtemps servi d'étalon de longueur.
Laser stabilisé : τ ~ 1/Δf = 1 µs, l_c = 300 m.
Classement : plus le spectre est fin, plus la cohérence est longue. La différence de marche maximale d'un montage doit rester en dessous de l_c.

piège : Utiliser 300 nm ou 400 nm pour Δλ de la lumière blanche et discuter le facteur. L'ordre de grandeur suffit, la relation est un « de l'ordre de ».

Exercice 2. Retard de phase à travers une cuve

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un faisceau de 633 nm traverse une cuve de longueur L = 10 cm. On la remplit d'air, indice 1,000 29, puis on la vide. Variation de chemin optique, de déphasage, nombre de longueurs d'onde.

Technique Chemin optique nL, différence (n − 1)L.

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Cuve pleine, (SM) = nL. Cuve vide, L. Différence (n − 1)L = 2,9 × 10⁻⁴ × 0,1 = 29 µm.
Déphasage 2π × 29/0,633 = 2π × 45,8, soit 288 rad.
En comptant les franges qui défilent dans un interféromètre, 46 franges donnent n − 1 à 2 % près, ce qui est le principe de la mesure de l'indice d'un gaz.
Réciproquement, avec une cuve deux fois plus longue, on gagne un facteur 2 en sensibilité.

piège : Écrire le déphasage avec λ dans l'air au lieu de λ₀, ce qui compte l'indice deux fois.

Exercice 3. Intensité et amplitude d'une onde sphérique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une source ponctuelle isotrope rayonne P = 10 W. Intensité à 1 m et à 10 m. Rapport des amplitudes. Comparer à un laser de 1 mW sur un disque de 1 mm de diamètre.

Technique Conservation de la puissance à travers une sphère.

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I(r) = P/(4πr²), soit 0,80 W/m² à 1 m et 8,0 × 10⁻³ W/m² à 10 m.
I ∝ s₀², donc les amplitudes sont dans le rapport 10, cohérent avec s₀ ∝ 1/r.
Laser : surface 7,9 × 10⁻⁷ m², I = 1,3 × 10³ W/m², soit mille fois plus que la lampe de 10 W à un mètre. D'où le danger pour l'œil.
Une onde plane conserve son amplitude, une onde sphérique la perd en 1/r. Loin de la source, sur une petite zone, l'onde sphérique est localement plane.

piège : Dire que l'intensité décroît en 1/r. C'est l'amplitude qui décroît en 1/r, l'intensité en 1/r².

Exercice 4. Fréquence conservée et longueur d'onde

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une onde de 500 nm dans l'air pénètre dans un verre d'indice 1,52, qu'elle traverse sur 2,0 mm. Fréquence, longueur d'onde dans le verre, nombre de longueurs d'onde contenues dans la lame, durée de traversée.

Technique Partir de f, puis λ = λ₀/n.

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f = c/λ₀ = 6,0 × 10¹⁴ Hz, inchangée dans le verre.
λ = 500/1,52 = 329 nm.
Nombre de longueurs d'onde : e/λ = ne/λ₀ = 3,04 mm/500 nm = 6 080. Le chemin optique divisé par λ₀ compte les longueurs d'onde.
Durée ne/c = 1,0 × 10⁻¹¹ s.

piège : Répondre que la couleur devient ultraviolette dans le verre. La longueur d'onde change, la fréquence et la couleur perçue restent.

Exercice 5. Malus et onde plane inclinée

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une onde plane monochromatique arrive sous l'incidence θ₀ sur un écran percé de deux trous S₁ et S₂ distants de a. On observe dans le plan focal d'une lentille de focale f', au point M repéré par l'angle θ des rayons émergents. Différence de marche entre les deux voies. Position du point de différence de marche nulle.

Technique Deux surfaces d'onde, l'une en amont, l'autre en aval, et les points conjugués.

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Amont : la surface d'onde incidente passant par S₁ est un plan. S₂ est en avance ou en retard de a sin θ₀ selon le côté.
Aval : les rayons émergeant sous l'angle θ convergent en M, foyer secondaire. Par la propriété des points conjugués, à partir du plan d'onde perpendiculaire à ces rayons, les chemins jusqu'à M sont égaux. Il reste la projection de S₁S₂, a sin θ.
δ = a(sin θ − sin θ₀), avec des angles orientés dans le même sens.
δ = 0 pour θ = θ₀, dans la direction de l'onde incidente. Sur l'écran, ce point est en X = f' tan θ₀ ≈ f' θ₀.
Avec a = 0,5 mm, f' = 1 m et θ₀ = 10⁻³ rad, la figure entière est décalée de 1 mm par rapport au foyer principal.

piège : Calculer des distances de la source aux trous alors que l'onde est plane. Une onde plane n'a pas de source à distance finie, seul le plan d'onde compte.

Exercice 6. Deux lasers et un battement

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Deux lasers indépendants de fréquences f₁ et f₂ avec f₁ − f₂ = 10 MHz éclairent une photodiode de temps de réponse 1 ns, puis un œil. Écrire s = s₀ cos(2πf₁t) + s₀ cos(2πf₂t + φ). Qu'observe chaque détecteur ? On suppose la phase φ stable sur la durée d'observation.

Technique Moyenne temporelle sur la durée de réponse du détecteur.

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s² = s₀²[cos²(2πf₁t) + cos²(2πf₂t + φ) + 2 cos(2πf₁t) cos(2πf₂t + φ)]. Le produit se transforme en somme : cos(2π(f₁ + f₂)t + φ) + cos(2π(f₁ − f₂)t − φ).
Sur 1 ns, les termes à f₁, f₂, f₁ + f₂, tous vers 10¹⁴ Hz, sont moyennés. Le terme à f₁ − f₂ = 10 MHz, de période 100 ns, ne l'est pas. La photodiode voit I(t) = 2I₀[1 + cos(2π(f₁ − f₂)t − φ)], un battement à 10 MHz.
Sur 0,1 s, ce terme est lui aussi moyenné. L'œil voit 2I₀, la somme des intensités.
Conclusion : « ondes quasi synchrones » signifie |f₁ − f₂| petit devant l'inverse du temps de réponse. En pratique, seuls deux faisceaux issus d'un même laser réalisent cette condition avec un φ stable.

piège : Affirmer que deux ondes de fréquences différentes n'interfèrent jamais. Elles interfèrent, mais le détecteur doit être assez rapide pour le voir.

Exercice 7. Capteur numérique et mesure d'interfrange

Approfondissement · Type écrit Centrale

Une figure de franges est photographiée sur un capteur dont les pixels mesurent 4,8 µm. Le profil d'une ligne montre 21 maxima sur 1 200 pixels. La réponse du capteur est proportionnelle à l'intensité jusqu'à saturation. Interfrange, incertitude, précautions. Que devient le contraste mesuré si le capteur sature au niveau des franges brillantes ?

Technique Étalonnage spatial et linéarité.

Voir le corrigé

21 maxima délimitent 20 interfranges sur 1 200 × 4,8 µm = 5,76 mm, i = 0,288 mm.
Incertitude sur la position de chaque maximum, un pixel environ, soit 2 pixels sur 1 200, 0,2 %. L'incertitude sur la taille du pixel domine souvent.
Précautions : temps de pose fixant l'absence de saturation, désactivation des corrections automatiques de gamma et de balance qui détruisent la linéarité, prise d'une image noire pour soustraire le fond.
En saturation, les maxima sont écrêtés à la même valeur, I_max mesurée est trop faible, le contraste (I_max − I_min)/(I_max + I_min) est sous-estimé. On garde la position des franges, on perd leur profil.

piège : Diviser 5,76 mm par 21. Compter les intervalles.

Exercice 8. Onde sphérique près de l'axe et surfaces d'onde

Approfondissement · Type oral Mines

Une source ponctuelle S est à la distance D d'un plan. On repère un point M du plan par ses coordonnées (x, y) depuis le pied de la perpendiculaire. Exprimer la phase en M pour x, y ≪ D. En déduire la forme des surfaces d'onde coupant le plan, puis la différence de phase entre deux sources S₁ et S₂ distantes de a parallèlement à Ox.

Technique Développement limité de la distance, lecture des surfaces d'onde.

Voir le corrigé

SM = √(D² + x² + y²) ≈ D + (x² + y²)/(2D). Phase en M : φ₀ + 2π[D + (x² + y²)/(2D)]/λ₀.
Les lignes d'égale phase dans le plan sont des cercles centrés sur le pied de la perpendiculaire, traces des sphères centrées en S. Entre deux cercles consécutifs, le rayon varie de sorte que r² croisse de 2Dλ₀.
Pour deux sources en x = ± a/2, S₂M − S₁M ≈ [(x − a/2)² − (x + a/2)²]/(2D) = − ax/D. La différence de phase vaut 2πax/(λ₀D), les lignes d'égale différence de phase sont des droites x = constante.
Ordre de grandeur : D = 1 m, λ₀ = 600 nm, le cercle de rayon 1 mm porte une phase supplémentaire de 2π × 0,83, moins d'une longueur d'onde. À l'échelle de quelques millimètres, l'onde sphérique est presque plane.
Cette différence de phase est celle des trous d'Young, obtenue ici sans aucune notion d'interférence, uniquement avec le chemin optique.

piège : Développer chaque racine séparément à l'ordre 2 puis soustraire. Il est plus sûr de factoriser la différence des carrés, S₂M² − S₁M² = −2ax, puis de diviser par S₁M + S₂M ≈ 2D.

Erreurs fréquentes

Écrire le déphasage avec la longueur d'onde dans le milieu après avoir déjà mis l'indice dans le chemin optique.
Confondre amplitude et intensité, en particulier pour la décroissance en 1/r, et oublier le facteur 1/2 de la moyenne du cos².
Prendre l'écart d'un doublet pour une largeur de raie, ou inversement. L'un donne des brouillages périodiques, l'autre une longueur de cohérence.
Oublier que le déphasage doit être stable sur le temps de réponse du détecteur. C'est la définition opératoire de la cohérence, et la raison pour laquelle on divise toujours une seule onde.
Chercher une source à distance finie pour une onde plane, ou négliger la propriété des points conjugués et se lancer dans le calcul de la traversée d'une lentille.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie 3.1 « Modèle scalaire des ondes lumineuses ». Elle met en place les outils nécessaires à l'étude des interférences, qui fait l'objet du chapitre suivant.

Modèle scalaire des ondes lumineuses

Résumé en cinq points

1Émission de la lumière

1.1Modèle des trains d'ondes

1.2Relation entre temps de cohérence et largeur spectrale

1.3Ordres de grandeur exigibles

1.4Sources usuelles

2Le modèle scalaire

2.1Ce qu'on remplace et à quelle condition

2.2Ondes de référence

3Chemin optique, déphasage et surfaces d'onde

3.1Retard de phase dû à la propagation

3.2Surfaces d'onde et théorème de Malus

3.3Effet d'une lentille mince

4Détecteurs et intensité

4.1Pourquoi on ne mesure jamais s

4.2Définition de l'intensité

4.3Temps de réponse des détecteurs

4.4Capacité expérimentale

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Cohérence de trois sources

Exercice 2. Retard de phase à travers une cuve

Exercice 3. Intensité et amplitude d'une onde sphérique

Exercice 4. Fréquence conservée et longueur d'onde

Exercice 5. Malus et onde plane inclinée

Exercice 6. Deux lasers et un battement

Exercice 7. Capteur numérique et mesure d'interfrange

Exercice 8. Onde sphérique près de l'axe et surfaces d'onde

Erreurs fréquentes

Au concours