Le cours

Résumé en cinq points

Un système asservi compare en permanence une image de sa sortie à une consigne adaptée, et un correcteur élabore la commande à partir de l'écart. Il sert en poursuite ou en régulation.
Le modèle de première année est le système linéaire continu invariant, décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. La linéarité est une hypothèse valable dans un domaine limité.
La transformée de Laplace remplace la dérivation par une multiplication par $p$ dans les conditions de Heaviside. Les théorèmes de la valeur initiale, de la valeur finale et du retard sont donnés sans démonstration.
La fonction de transfert est le rapport $S(p)/E(p)$ à conditions initiales nulles. Sa forme canonique $\dfrac{K}{p^\alpha}\cdot\dfrac{N(p)}{D(p)}$ , avec $N(0) = D(0) = 1$ , donne le gain, la classe et l'ordre.
Les pôles gouvernent la nature de la réponse, et un SLCI est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative.

Pourquoi ce chapitre

Un système asservi mesure ce qu'il produit et corrige sa commande pour suivre ce qu'on lui demande. C'est le principe du régulateur de vitesse, de la direction assistée, du bras de robot, du thermostat. Pour prévoir et régler le comportement d'un tel système, il faut un modèle mathématique de chaque constituant.

En première année, ce modèle prend la forme d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.
La transformée de Laplace les transforme en relations algébriques.
Chaque constituant est alors décrit par une fraction rationnelle, sa fonction de transfert.

Tout le reste de l'automatique de prépa repose sur cet outil : schémas-blocs, réponses temporelles et fréquentielles, stabilité, précision, rapidité, correction. Aux concours, les premières questions de la partie automatique consistent presque toujours à écrire des équations dans le domaine de Laplace et à en déduire une fonction de transfert sous forme canonique.

1Structure d'un système asservi

1.1Commande en boucle ouverte et en boucle fermée

Définition 1.1Boucle ouverte

Un système est commandé en boucle ouverte quand la commande est élaborée sans connaître l'effet produit.

Un grille-pain à minuterie en est l'exemple : il chauffe une durée fixée quel que soit l'état du pain. Ce mode de commande est simple, mais il ne corrige aucune erreur. Une perturbation, un changement de charge, une dérive d'un composant modifient la sortie sans que rien ne réagisse.

Définition 1.2Boucle fermée

Un système est commandé en boucle fermée, ou asservi, quand la sortie est mesurée et comparée en permanence à ce que l'on souhaite obtenir, l'écart servant à élaborer la commande.

Le régulateur de vitesse d'une voiture mesure la vitesse, la compare à la vitesse demandée, et augmente l'ouverture des gaz dans une côte. L'intérêt est de rendre la sortie peu sensible aux perturbations et aux imperfections du modèle. Le prix à payer est un risque d'instabilité, qu'il faudra maîtriser.

1.2Vocabulaire et constituants

Le programme fixe le vocabulaire suivant, à connaître exactement.

Définition 1.3Constituants d'un système asservi

La consigne est la grandeur d'entrée qui exprime ce que l'on veut obtenir, par exemple une vitesse souhaitée en kilomètres par heure.
La grandeur de sortie, ou grandeur asservie, est la grandeur physique que l'on pilote, par exemple la vitesse réelle du véhicule.
La perturbation est une entrée non commandée qui agit sur la sortie, par exemple la pente de la route ou le vent.
Le capteur mesure la grandeur de sortie et la convertit en un signal comparable à la consigne.
Le comparateur calcule l'écart entre la consigne, convertie dans la même unité que la mesure, et la mesure. Il est représenté par un cercle muni de signes plus et moins.
Le correcteur élabore, à partir de l'écart, un signal de commande. C'est lui que l'on règle pour obtenir les performances voulues.
La commande est le signal envoyé à la partie opérative, préactionneur et actionneur.
La chaîne directe, ou chaîne d'action, va de l'écart à la sortie. Elle contient le correcteur, le préactionneur, l'actionneur, les transmetteurs et l'effecteur.
La chaîne de retour, ou chaîne de réaction, va de la sortie au comparateur. Elle contient le capteur et son éventuel conditionneur.

Le comparateur ne peut comparer que des grandeurs de même nature. Si la consigne est une vitesse et le capteur délivre une tension, il faut en amont un adaptateur, ou transducteur de consigne, qui convertit la vitesse souhaitée en tension.

Attention

Pour que l'écart soit nul exactement quand la sortie vaut la consigne, le gain de l'adaptateur doit être égal au gain du capteur. C'est une question fréquente aux concours.

1.3Poursuite et régulation

On distingue deux usages d'un système asservi.

En poursuite, ou asservissement au sens strict, la consigne varie au cours du temps et la sortie doit la suivre. Exemples : un radar de poursuite, un robot suivant une trajectoire, une table de machine-outil.
En régulation, la consigne est constante et le système doit maintenir la sortie à cette valeur malgré les perturbations. Exemples : un thermostat de chauffage, une régulation de niveau d'eau, un régulateur de vitesse sur autoroute.

Le même système peut fonctionner dans les deux modes. Les performances attendues ne sont pas les mêmes : suivre une rampe pour la poursuite, rejeter un échelon de perturbation pour la régulation.

1.4Exemple, asservissement de position d'un axe

Exemple 1.4Axe de machine

Un axe de machine est entraîné par un moteur à courant continu, un réducteur et un système vis-écrou. La consigne est une position en millimètres. Un adaptateur la convertit en une tension. Un codeur monté sur le moteur, suivi d'un conditionneur, fournit une image de la position réelle.

Le comparateur calcule l'écart, le correcteur élabore une tension de commande, un hacheur module l'énergie envoyée au moteur, le moteur convertit, le réducteur et la vis transmettent, la table se déplace. Les efforts de coupe de l'outil sur la pièce constituent la perturbation. On retrouve ainsi, superposées, la chaîne d'information et la chaîne de puissance vues au chapitre d'analyse, reliées par une boucle.

2Systèmes linéaires continus et invariants

2.1Définitions

Le modèle de connaissance utilisé en première année est celui des systèmes linéaires continus et invariants, abrégés SLCI.

Définition 2.1Système continu

Un système est continu si les grandeurs d'entrée et de sortie sont définies à tout instant, par opposition aux systèmes échantillonnés, qui ne les connaissent qu'à des instants discrets.

Définition 2.2Système invariant

Un système est invariant si ses caractéristiques ne changent pas au cours du temps. Une même entrée appliquée aujourd'hui ou demain donne la même sortie, décalée du même temps.

Une fusée dont la masse diminue en brûlant son carburant n'est pas invariante.

Définition 2.3Système linéaire

Un système est linéaire s'il vérifie le principe de superposition. Si l'entrée $e_1$ produit la sortie $s_1$ et l'entrée $e_2$ la sortie $s_2$ , alors pour tous réels $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , l'entrée $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ produit $\lambda_1 s_1 + \lambda_2 s_2$ .

Conséquence pratique : doubler l'entrée double la sortie, et la réponse à une somme d'entrées, consigne plus perturbation, est la somme des réponses.

Attention

Aucun système réel n'est rigoureusement linéaire. Saturation d'un amplificateur ou d'un moteur, seuil dû au frottement sec, jeu dans un engrenage, hystérésis sont des non-linéarités. Le modèle linéaire est valable dans un domaine limité autour d'un point de fonctionnement. La linéarisation et l'étude des non-linéarités sont travaillées en deuxième année. En première année, il faut savoir dire que l'hypothèse de linéarité est une hypothèse, et l'énoncer.

2.2Causalité

Définition 2.4Système causal

Un système est causal si sa sortie à un instant ne dépend que des valeurs de l'entrée aux instants antérieurs ou égaux. L'effet ne précède pas la cause.

Tous les systèmes physiques sont causaux. Deux conséquences sont utilisées.

Les signaux étudiés sont supposés nuls pour $t < 0$ , on dit qu'ils sont causaux, ce qui justifie l'usage de la transformée de Laplace définie à partir de 0.
Une fonction de transfert physiquement réalisable a un degré de numérateur inférieur ou égal au degré de son dénominateur.

Un dérivateur pur, de fonction de transfert $Kp$ , n'est qu'un modèle idéal valable dans une bande de fréquences.

2.3Modélisation par équations différentielles

Un SLCI mono-entrée mono-sortie est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

$\begin{aligned} &a_n \frac{\dd^n s}{\dd t^n} + \dots + a_1 \frac{\dd s}{\dd t} + a_0 s(t)\\ &= b_m \frac{\dd^m e}{\dd t^m} + \dots + b_1 \frac{\dd e}{\dd t} + b_0 e(t), \end{aligned}$

avec $m \leqslant n$ pour un système causal. Les coefficients dépendent des paramètres physiques : masses, raideurs, résistances, inductances.

Ces équations viennent des lois de la physique, c'est pourquoi on parle de modèle de connaissance, par opposition au modèle de comportement, qui est identifié à partir d'essais sans chercher à expliquer les phénomènes.

Exemple 2.5Moteur à courant continu

Avec $u$ la tension d'alimentation, $i$ l'intensité, $\omega$ la vitesse de rotation, $C_m$ le couple moteur, $R$ la résistance de l'induit, $L$ son inductance, $J$ le moment d'inertie ramené sur l'arbre moteur, $f$ un coefficient de frottement visqueux et $K$ la constante de couple, on écrit quatre équations.

Équation électrique : $u(t) = R\,i(t) + L\dfrac{\dd i}{\dd t} + e(t)$ .
Force contre-électromotrice : $e(t) = K\omega(t)$ .
Couple moteur : $C_m(t) = K\,i(t)$ .
Équation mécanique : $J\dfrac{\dd \omega}{\dd t} = C_m(t) - f\omega(t) - C_r(t)$ , où $C_r$ est un couple résistant, perturbation.

3Transformée de Laplace

3.1Définition

Le programme précise que l'utilisation des transformées de Laplace ne nécessite aucun prérequis et que leur présentation se limite aux énoncés et aux propriétés strictement nécessaires.

Définition 3.1Transformée de Laplace

À une fonction causale $f$ , nulle pour $t < 0$ , on associe sa transformée de Laplace $F(p) = \int_0^{+\infty} f(t)\,\e^{-pt}\,\dd t,$ où $p$ est une variable complexe. On note $F(p) = \mathcal{L}[f(t)]$ .

On admet que, pour les fonctions rencontrées, cette intégrale converge pour $\operatorname{Re}(p)$ assez grand et que deux fonctions causales continues ayant même transformée sont égales. La correspondance entre $f$ et $F$ est donc biunivoque, ce qui permet de raisonner indifféremment dans le domaine temporel ou dans le domaine de Laplace, dit aussi domaine symbolique. Par convention, une fonction du temps est notée en minuscule et sa transformée en majuscule.

3.2Propriétés utiles

Propriété 3.2Propriétés de la transformée

Linéarité : $\mathcal{L}[af + bg] = aF(p) + bG(p)$ .
Dérivation : $\mathcal{L}\left[\dfrac{\dd f}{\dd t}\right] = pF(p) - f(0^+)$ .
Intégration : la primitive nulle en 0 de $f$ a pour transformée $F(p)/p$ .
Théorème du retard : si $f$ est retardée de $T$ , sa transformée est multipliée par $\e^{-Tp}$ , soit $\mathcal{L}[f(t-T)] = \e^{-Tp}F(p)$ .
Amortissement : $\mathcal{L}[\e^{-at}f(t)] = F(p+a)$ .

Plus généralement, dériver $n$ fois revient à multiplier par $p^n$ , en retranchant des termes de conditions initiales. Si toutes les conditions initiales sont nulles, on dit que le système est dans les conditions de Heaviside, et dériver revient simplement à multiplier par $p$ .

Théorème 3.3Théorème de la valeur initiale

$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{p \to +\infty} pF(p).$

Théorème 3.4Théorème de la valeur finale

Hypothèses

la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers l'infini existe.

Alors $\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{p \to 0} pF(p).$

Le programme indique que les théorèmes de la valeur finale, de la valeur initiale et du retard sont donnés sans démonstration.

Attention

La condition du théorème de la valeur finale est essentielle. Pour une fonction sinusoïdale, la limite en $p$ peut exister alors que $f$ n'a pas de limite, et le théorème donne un résultat faux. En pratique, il s'applique à la sortie d'un système stable soumis à une entrée qui a une limite.

3.3Transformées usuelles

Les signaux canoniques du programme ont des transformées simples, à connaître.

Propriété 3.5Transformées usuelles

Impulsion de Dirac $\delta(t)$ : transformée $1$ .
Échelon unitaire $u(t)$ , égal à 1 pour $t \geqslant 0$ : transformée $1/p$ . Un échelon d'amplitude $E_0$ a pour transformée $E_0/p$ .
Rampe de pente $a$ , $a\,t\,u(t)$ : transformée $a/p^2$ .
Plus généralement $t^n u(t)$ : transformée $n!/p^{n+1}$ .
Exponentielle $\e^{-at}u(t)$ : transformée $1/(p+a)$ .
Sinus $\sin(\omega t)u(t)$ : transformée $\omega/(p^2+\omega^2)$ .
Cosinus $\cos(\omega t)u(t)$ : transformée $p/(p^2+\omega^2)$ .

Le programme précise en outre que la résolution d'équations différentielles et les transformées inverses de Laplace ne sont pas au programme de sciences industrielles. On n'attend donc pas de décomposition en éléments simples. Les allures des réponses des systèmes du premier et du deuxième ordre sont connues sous forme de résultats, étudiés dans un chapitre ultérieur.

4Fonction de transfert

4.1Définition

On transforme l'équation différentielle d'un SLCI dans les conditions de Heaviside. Chaque dérivée devient une multiplication par $p$ , et l'on obtient $\begin{aligned} &(a_n p^n + \dots + a_1 p + a_0)\,S(p)\\ &= (b_m p^m + \dots + b_1 p + b_0)\,E(p). \end{aligned}$

Définition 4.1Fonction de transfert

La fonction de transfert du système est le rapport $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{b_m p^m + \dots + b_0}{a_n p^n + \dots + a_0}.$

C'est une fraction rationnelle en $p$ , qui ne dépend que du système, pas de l'entrée. Elle contient toute l'information de l'équation différentielle.

Attention

Erreur fréquente : écrire une fonction de transfert sans conditions initiales nulles. Avec des conditions initiales non nulles, la sortie contient des termes supplémentaires qui ne s'écrivent pas comme $H(p)E(p)$ .

4.2Pôles et zéros

Définition 4.2Pôles et zéros

Les zéros de $H$ sont les racines du numérateur, les pôles sont les racines du dénominateur. Ils peuvent être réels ou complexes conjugués.

Les pôles gouvernent la nature de la réponse libre du système.

À un pôle réel $p_1$ correspond un terme en $\e^{p_1 t}$ .
À un couple de pôles complexes conjugués correspond un terme oscillant, amorti ou non.
Un pôle nul correspond à un intégrateur.

Théorème 4.3Stabilité

Un SLCI est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative.

Résultat admis ici et exploité dans le chapitre sur les performances.

4.3Forme canonique, gain, classe, ordre

On écrit toujours une fonction de transfert sous forme canonique : $H(p) = \frac{K}{p^{\alpha}} \cdot \frac{1 + b'_1 p + \dots + b'_m p^m}{1 + a'_1 p + \dots + a'_q p^q},$ où les polynômes du numérateur et du dénominateur ont un terme constant égal à 1.

Définition 4.4Gain, classe, ordre

$K$ est le gain de la fonction de transfert. Si $\alpha = 0$ , c'est le gain statique, rapport de la sortie à l'entrée en régime permanent pour une entrée constante. Son unité est le rapport des unités de sortie et d'entrée, par exemple des radians par seconde par volt pour un moteur.
$\alpha$ est la classe, nombre d'intégrations pures, c'est-à-dire la multiplicité du pôle nul.
L'ordre est le degré du dénominateur complet, soit $\alpha + q$ .

Exemple 4.5Mise sous forme canonique

Soit $H(p) = \dfrac{6p + 12}{p^3 + 5p^2 + 4p}$ . On factorise $p$ au dénominateur, puis on divise pour faire apparaître des termes constants égaux à 1. $\begin{aligned} H(p) &= \frac{12(1 + 0{,}5p)}{4p(1 + 1{,}25p + 0{,}25p^2)}\\ &= \frac{3}{p}\cdot\frac{1 + 0{,}5p}{1 + 1{,}25p + 0{,}25p^2}. \end{aligned}$ Gain 3, classe 1, ordre 3.

4.4Fonctions de transfert élémentaires

Les modèles de base, repris dans les chapitres suivants, sont les suivants.

Définition 4.6Modèles de base

Gain pur : $H(p) = K$ .
Intégrateur : $H(p) = K/p$ . Exemple : la position angulaire en fonction de la vitesse de rotation.
Dérivateur : $H(p) = Kp$ , modèle idéal qui n'est pas réalisable seul, puisque le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur.
Premier ordre : $H(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ , avec $\tau$ la constante de temps, en secondes.
Deuxième ordre : $H(p) = \dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ , avec $\omega_0$ la pulsation propre, en radians par seconde, et $\xi$ le coefficient d'amortissement, sans dimension.
Retard pur : $H(p) = \e^{-Tp}$ , qui n'est pas une fraction rationnelle.

Correspondance avec la physique : le coefficient d'amortissement $\xi$ utilisé en automatique et le facteur de qualité $Q$ utilisé en physique sont liés par $Q = \dfrac{1}{2\xi}$ .

4.5Exemple complet, le moteur à courant continu

Exemple 4.7Fonction de transfert du moteur

On reprend les équations du moteur en négligeant l'inductance $L$ et le couple résistant. Dans le domaine de Laplace, conditions initiales nulles, $U(p) = R\,I(p) + K\,\Omega(p), \qquad Jp\,\Omega(p) = K\,I(p) - f\,\Omega(p).$

On élimine $I(p) = \dfrac{U(p) - K\Omega(p)}{R}$ . Il vient $(RJp + Rf + K^2)\,\Omega(p) = K\,U(p)$ , d'où $H(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K}{Rf + K^2}\cdot\frac{1}{1 + \frac{RJ}{Rf + K^2}\,p}.$

C'est un premier ordre, de gain statique $\dfrac{K}{Rf + K^2}$ et de constante de temps $\dfrac{RJ}{Rf + K^2}$ . Si l'on conserve $L$ , on trouve un deuxième ordre. Si l'on s'intéresse à la position $\theta$ , avec $\Omega = p\Theta$ , on ajoute un intégrateur, et la fonction $\Theta/U$ est de classe 1.

4.6Utiliser les théorèmes limites

Pour ce premier ordre soumis à un échelon de tension $U_0$ , $S(p) = H(p)\,U_0/p$ .

Valeur finale : $\lim_{p\to 0} pS(p) = K_s U_0$ , où $K_s$ est le gain statique. On retrouve le sens du gain statique.
Valeur initiale : $\lim_{p\to +\infty} pS(p) = 0$ . La vitesse ne saute pas.
Pente initiale, par le théorème de la valeur initiale appliqué à la dérivée : $\lim_{p\to +\infty} p^2 S(p) = K_s U_0/\tau$ , non nulle, ce qui caractérise un premier ordre.

À retenir

On obtient des informations sur la réponse temporelle sans jamais la calculer, ce qui est exactement ce que le programme attend.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Identifier d'abord la structure du système asservi : consigne, sortie, perturbation, capteur, comparateur, correcteur, avant toute mise en équation.
Écrire les équations physiques de chaque constituant, puis passer dans le domaine de Laplace en supposant les conditions initiales nulles, et le dire.
Éliminer les variables intermédiaires algébriquement, puis mettre le résultat sous forme canonique.
Lire gain, classe et ordre sur la forme canonique, jamais sur la forme développée.
Vérifier l'unité du gain et celle des constantes de temps, et la cohérence physique des signes.
Avant d'appliquer le théorème de la valeur finale, s'assurer que la limite temporelle existe.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Nommer et placer sur un schéma les constituants d'un système asservi, et distinguer poursuite et régulation sur un exemple.
Expliquer pourquoi le gain de l'adaptateur de consigne doit être égal au gain du capteur.
Définir un système linéaire, continu, invariant et causal, et donner un exemple de non-linéarité.
Donner la définition de la transformée de Laplace et les transformées de l'impulsion, de l'échelon, de la rampe, de l'exponentielle et du sinus.
Énoncer les théorèmes de la dérivation, du retard, de la valeur initiale et de la valeur finale, avec la condition d'application de ce dernier.
Passer d'une équation différentielle à une fonction de transfert, puis la mettre sous forme canonique et donner gain, classe, ordre, pôles et zéros.
Établir la fonction de transfert d'un moteur à courant continu.
Déterminer la valeur finale et la pente initiale d'une réponse indicielle à l'aide des théorèmes limites.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Structure d'un système asservi. Consigne, adaptateur de consigne, comparateur, correcteur, commande, chaîne directe, sortie, perturbation, capteur, chaîne de retour. Vocabulaire exigible.
Poursuite et régulation. Consigne variable que la sortie doit suivre, ou consigne constante maintenue malgré les perturbations. Exigible.
Gain de l'adaptateur. Égal au gain du capteur, pour que l'écart soit nul quand la sortie vaut la consigne. Exigible, à justifier.
SLCI. Linéaire (superposition), continu, invariant. Hypothèse valable autour d'un point de fonctionnement. Exigible.
Causalité. La sortie ne dépend que du passé et du présent de l'entrée. Conséquence, degré du numérateur au plus égal à celui du dénominateur. Exigible.
Transformée de Laplace d'une fonction causale. F(p) = ∫₀^∞ f(t) e^−pt dt. Définition exigible, aucun calcul de transformée inverse.
Linéarité, dérivation L[df/dt] = pF(p) − f(0⁺), intégration F(p)/p. Exigible.
Théorèmes du retard, de la valeur initiale et de la valeur finale. Donnés sans démonstration. La valeur finale exige que la limite temporelle existe.
Transformées usuelles. 1, 1/p, 1/p², n!/pⁿ⁺¹, 1/(p + a), ω/(p² + ω²), p/(p² + ω²), et F(p + a) pour e^−at f(t). Exigible.
Fonction de transfert. H(p) = S(p)/E(p) dans les conditions de Heaviside. Exigible.
Forme canonique (K/p^α) × N(p)/D(p) avec N(0) = D(0) = 1. Gain K, classe α, ordre égal au degré total du dénominateur. Exigible.
Pôles et zéros. Racines du dénominateur et du numérateur. Exigible.
Stabilité. Un SLCI est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative. Admis ici, exploité plus tard.
Hors programme en sciences industrielles de première année : transformée inverse, décomposition en éléments simples, résolution d'équations différentielles par Laplace.

Clés de démonstration

Transformée de l'échelon. ∫₀^∞ e^−pt dt = 1/p pour Re(p) > 0. L'astuce est que e^−pt tend vers zéro à l'infini dès que la partie réelle de p est positive.

Transformée de l'exponentielle. ∫₀^∞ e^{−(p + a)t} dt = 1/(p + a). L'astuce est de regrouper les deux exponentielles en une seule.

Dérivation. Intégrer par parties ∫₀^∞ f'(t) e^−pt dt. Le terme tout intégré vaut −f(0⁺), l'intégrale restante vaut pF(p). L'astuce est de dériver e^−pt, ce qui fait sortir p.

De l'équation différentielle à H(p). Transformer terme à terme, conditions initiales nulles. Chaque dérivée k-ième devient pᵏ, on factorise S(p) et E(p). L'astuce est de dire explicitement « conditions de Heaviside » avant de diviser.

Sens du gain statique. Pour un échelon E₀, la valeur finale vaut lim p H(p) E₀/p = H(0) E₀ quand α = 0 et le système est stable. Le gain K est donc le rapport sortie sur entrée en régime permanent. L'astuce est de multiplier par p avant de faire tendre p vers 0.

Gain de l'adaptateur. L'écart vaut K_a × consigne − K_c × sortie. Il est nul pour sortie égale à consigne si et seulement si K_a = K_c. L'astuce est d'écrire l'écart avant de raisonner sur le correcteur.

Exemples et contre-exemples à connaître

Grille-pain à minuterie. Boucle ouverte, aucune mesure de l'état du pain.
Régulateur de vitesse. Régulation, la pente de la route est la perturbation.
Table de machine-outil suivant une trajectoire. Poursuite.
Système s = 3e + 2. Affine, pas linéaire. Doubler l'entrée ne double pas la sortie.
Fusée qui brûle son carburant. Masse variable, système non invariant.
Dérivateur pur Kp. Modèle non causal seul, valable seulement dans une bande de fréquences.
Moteur à courant continu, Ω/U du premier ordre en négligeant L, du deuxième ordre avec L, et Θ/U de classe 1.
Retard pur e^−Tp d'un tapis transporteur. Fonction de transfert qui n'est pas une fraction rationnelle.
Sortie sinusoïdale ou divergente. Le théorème de la valeur finale donne un nombre faux si on l'applique sans vérifier que la limite existe.

Techniques du chapitre

Mettre sous forme canonique. Factoriser p^α, puis diviser par les termes constants. Mini-exercice : H = (4p + 2)/(p² + 2p). H = (2(1 + 2p))/(2p(1 + 0,5p)) = (1/p)(1 + 2p)/(1 + 0,5p). Gain 1, classe 1, ordre 2.

Transformer un signal retardé. Multiplier par e^−Tp. Mini-exercice : échelon de 24 V appliqué à t = 0,5 s. Transformée 24 e^−0,5p/p.

Utiliser l'amortissement. Remplacer p par p + a. Mini-exercice : e^−2t sin(3t) u(t). Transformée 3/((p + 2)² + 9).

Valeur finale d'une réponse indicielle. Calculer lim p S(p) en p → 0 après avoir vérifié la stabilité. Mini-exercice : H = 4/(1 + 2p), échelon 3. Valeur finale 12.

Pente initiale. lim p² S(p) quand p tend vers l'infini. Mini-exercice : même système, p² × 4 × 3/(p(1 + 2p)) tend vers 12/2 = 6 par seconde.

Vérifier les unités du gain. Rapport des unités de sortie et d'entrée, divisé par des secondes à chaque intégration. Mini-exercice : X/U = 2 × 10⁻³/(p(1 + 0,05p)) a un gain en m·s⁻¹·V⁻¹.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Régulateur de vitesse d'une voiture

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Le conducteur règle 110 km/h. Un calculateur mesure la vitesse par un capteur sur la roue et commande l'ouverture du papillon des gaz par un moteur électrique. Nommer consigne, sortie, perturbations, capteur, comparateur, correcteur, actionneur. Poursuite ou régulation ?

Technique Repérer d'abord ce que l'on veut et ce que l'on mesure.

Voir le corrigé

Consigne, la vitesse souhaitée 110 km/h. Sortie, la vitesse réelle du véhicule.
Perturbations, la pente, le vent, la charge du véhicule.
Capteur, le capteur de rotation de roue, qui délivre un signal image de la vitesse.
Comparateur et correcteur, réalisés par le calculateur, qui calcule l'écart puis la commande.
Actionneur, le moteur du papillon, puis le moteur thermique et la transmission dans la chaîne directe.
Consigne constante sur autoroute, c'est une régulation.

piège : Prendre la pente pour une entrée de commande. Elle n'est pas choisie, c'est une perturbation.

Exercice 2. Adaptateur de consigne d'une régulation de niveau

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un capteur de niveau délivre 2,0 V par mètre d'eau. La consigne h_c est donnée en mètres et convertie en tension par un adaptateur de gain K_a. Quelle valeur de K_a choisir ? Par erreur, K_a = 2,2 V/m et h_c = 1,5 m. Pour quel niveau l'écart est-il nul ?

Technique Écrire l'écart.

Voir le corrigé

Écart ε = K_a h_c − 2,0 h, en volts.
On veut ε = 0 pour h = h_c, donc K_a = 2,0 V/m, gain du capteur.
Avec K_a = 2,2 V/m, ε = 0 pour 2,0 h = 2,2 × 1,5 = 3,3 V, soit h = 1,65 m.
La boucle annule l'écart, pas l'erreur réelle. Elle stabilise le niveau 15 cm trop haut.

piège : Croire qu'une boucle fermée corrige une erreur d'étalonnage de l'adaptateur.

Exercice 3. Linéaire, invariant, causal

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Classer les relations entrée-sortie : a) s(t) = 3e(t) + 2, b) s(t) = e(t)², c) s(t) = e(t − 0,1), d) s(t) = t e(t), e) s(t) = e(t + 1).

Technique Tester la superposition, un décalage de l'entrée, puis la dépendance au futur.

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a) Entrée nulle, sortie 2. Un système linéaire répond 0 à 0, donc non linéaire. Invariant et causal.
b) Doubler e quadruple s, non linéaire. Invariant, causal.
c) Linéaire, invariant, causal. C'est un retard pur de 0,1 s.
d) Linéaire. Retarder e de T donne (t)e(t − T), différent de s(t − T) = (t − T)e(t − T), non invariant. Causal.
e) Linéaire, invariant, mais la sortie à t dépend de l'entrée à t + 1, non causal, irréalisable.

piège : Déclarer a) linéaire parce que sa courbe est une droite. Affine n'est pas linéaire.

Exercice 4. Transformées de signaux d'essai

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer les transformées de Laplace de : a) un échelon de 5 V retardé de 2 s, b) une rampe de pente a qui s'arrête à T et reste ensuite constante, c) e^−t cos(4t) u(t).

Technique Linéarité, théorème du retard, amortissement.

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a) 5 e^−2p/p.
b) Le signal vaut a t u(t) − a(t − T) u(t − T). Transformée a(1 − e^−Tp)/p².
c) cos(4t) donne p/(p² + 16). Remplacer p par p + 1 donne (p + 1)/((p + 1)² + 16).
Contrôle par la valeur finale sur b) : p × a(1 − e^−Tp)/p², quand p tend vers 0, e^−Tp ≈ 1 − Tp, limite aT, qui est bien le palier.

piège : Écrire a/p² − aT e^−Tp/p, c'est-à-dire retrancher un échelon d'amplitude aT retardé de T. Ce signal chute brutalement à zéro à l'instant T puis repart en rampe de pente a, au lieu de rester au palier aT. Il faut retrancher la rampe entière retardée, a(t − T) u(t − T), de transformée a e^−Tp/p².

Exercice 5. De l'équation différentielle à la forme canonique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

2 d²s/dt² + 6 ds/dt + 4s = 8e + 2 de/dt. Fonction de transfert, forme canonique, gain, classe, ordre, pôles, zéros, ω₀ et ξ.

Technique Conditions de Heaviside, factorisation des termes constants.

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(2p² + 6p + 4) S(p) = (2p + 8) E(p).
H(p) = 8(1 + 0,25p)/(4(1 + 1,5p + 0,5p²)) = 2(1 + 0,25p)/(1 + 1,5p + 0,5p²).
Gain 2, classe 0, ordre 2.
Zéro −4. Pôles, racines de 2(p + 1)(p + 2), soit −1 et −2.
1/ω₀² = 0,5, ω₀ = √2 ≈ 1,41 rad/s. 2ξ/ω₀ = 1,5, ξ = 0,75√2 ≈ 1,06. ξ > 1 est cohérent avec deux pôles réels.

piège : Lire le gain 8/2 = 4 sur la forme développée. Le gain se lit après avoir mis les termes constants à 1.

Exercice 6. Classe et ordre d'une fonction de transfert de chaîne

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

H(p) = (10p + 20)/(2p⁴ + 4p³ + 2p²). Forme canonique, gain, classe, ordre, pôles et zéros. Unité du gain si l'entrée est en volts et la sortie en radians.

Technique Factoriser la plus grande puissance de p.

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Dénominateur 2p²(p² + 2p + 1) = 2p²(1 + p)².
Numérateur 20(1 + 0,5p).
H(p) = (10/p²)(1 + 0,5p)/(1 + p)².
Gain 10, classe 2, ordre 4.
Pôles 0 double et −1 double. Zéro −2.
Deux intégrations, le gain est en rad·V⁻¹·s⁻².

piège : Donner un ordre 2 en oubliant les deux pôles nuls. L'ordre compte tout le dénominateur.

Exercice 7. Moteur à courant continu avec inductance

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Moteur de R = 1,0 Ω, L = 2,0 mH, K = 0,10 N·m/A, J = 1,0 × 10⁻³ kg·m², f = 1,0 × 10⁻⁴ N·m·s/rad, couple résistant nul. Établir Ω/U, la mettre sous forme canonique et calculer ses paramètres.

Technique Transformer les quatre équations et éliminer I.

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U = (R + Lp) I + KΩ et (Jp + f)Ω = KI.
I = (Jp + f)Ω/K, donc K U = ((R + Lp)(Jp + f) + K²) Ω.
H(p) = K/(LJ p² + (RJ + Lf)p + Rf + K²).
Rf + K² = 1,01 × 10⁻². Gain K/(Rf + K²) ≈ 9,9 rad·s⁻¹·V⁻¹.
Coefficient en p (RJ + Lf)/(Rf + K²) ≈ 0,099 s, coefficient en p² LJ/(Rf + K²) ≈ 1,98 × 10⁻⁴ s².
ω₀ ≈ 71 rad/s, ξ ≈ 3,5. Pôles ≈ −10,3 s⁻¹ et −490 s⁻¹.
Le pôle en −10,3 donne une constante mécanique d'environ 0,1 s, l'autre une constante électrique d'environ 2 ms. Négliger L redonne un premier ordre de constante RJ/(Rf + K²) ≈ 0,099 s.

piège : Oublier le terme Lf dans le coefficient en p. Ici il est petit, mais pas nul.

Exercice 8. Théorèmes limites, avec et sans précaution

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Échelon de 2 V. a) H₁ = 5/(1 + 0,2p), valeur finale, valeur initiale, pente initiale. b) H₂ = 3/(p(1 + 0,5p)), que donne le théorème de la valeur finale ? c) H₃ = 1/(1 − p), même question.

Technique Vérifier l'existence de la limite avant de conclure.

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a) S = 10/(p(1 + 0,2p)). Valeur finale lim pS en 0 = 10. Valeur initiale lim pS à l'infini = 0. Pente initiale lim p²S = 10/0,2 = 50 par seconde.
b) pS = 6/(p(1 + 0,5p)) tend vers l'infini en 0. La sortie n'a pas de limite finie, elle croît comme une rampe. Système de classe 1, cohérent.
c) pS = 2/(1 − p) tend vers 2. Mais H₃ a un pôle +1, instable, la sortie diverge. Le théorème ne s'applique pas, 2 est faux.

piège : Appliquer la valeur finale à un système instable. Le calcul donne un nombre qui ne correspond à rien.

Exercice 9. Axe de machine-outil

Approfondissement · Type écrit Mines-Ponts

Un moteur de modèle Ω_m/U = 10/(1 + 0,05p), en rad·s⁻¹·V⁻¹, entraîne par un réducteur de rapport 1/5 une vis à billes de pas 5 mm. Fonction de transfert X/U de la table, classe, ordre. Position sous 10 V constants. Un codeur de 500 points sur l'arbre moteur, compté par quatre, sert de capteur. Gain de l'adaptateur en incréments par millimètre ?

Technique Chaîner les gains, un intégrateur pour passer de vitesse à position.

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Vitesse de la vis Ω_m/5. Vitesse de la table (pas/2π) × Ω_m/5 = (0,005/(2π)) × 0,2 Ω_m.
Position X = vitesse/p. X/U = 10 × 0,2 × 0,005/(2π)/(p(1 + 0,05p)) ≈ 1,6 × 10⁻³/(p(1 + 0,05p)), gain en m·s⁻¹·V⁻¹.
Classe 1, ordre 2.
Sous 10 V, vitesse finale ≈ 16 mm/s. La position croît sans limite, en boucle ouverte la table part en butée.
Un tour moteur fait avancer la table de 0,2 × 5 = 1 mm. Le codeur compte 500 × 4 = 2 000 incréments par tour, donc 2 000 incréments par millimètre de table.
Adaptateur 2 000 incréments par millimètre.

piège : Oublier l'intégrateur et décrire la position par un premier ordre.

Exercice 10. Doseur sur tapis et retard pur

Approfondissement · Type oral Centrale

Une trémie dépose un débit massique sur un tapis de 2,0 m qui avance à 0,50 m/s. Une balance en bout de tapis mesure le débit. La trémie répond à sa commande comme un premier ordre de gain 3 kg·s⁻¹·V⁻¹ et de constante 1,5 s. Fonction de transfert débit mesuré sur commande. Valeurs initiale et finale pour un échelon de 2 V.

Technique Théorème du retard.

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Le transport dure 2,0/0,50 = 4,0 s, retard pur e^−4p.
H(p) = 3 e^−4p/(1 + 1,5p).
Ce n'est pas une fraction rationnelle, on ne parle pas de pôle pour le retard.
Valeur finale lim p H 2/p en 0 = 6 kg/s, le retard vaut 1 en p = 0.
Valeur initiale, e^−4p tend vers 0 pour p réel tendant vers l'infini, valeur 0. La balance ne voit rien pendant 4 s.

piège : Remplacer le retard par un premier ordre de constante 4 s. Ce dernier réagit dès l'instant initial.

Erreurs fréquentes

Lire le gain ou la classe sur la forme développée au lieu de la forme canonique.
Oublier de dire « conditions de Heaviside » avant d'écrire une fonction de transfert.
Appliquer le théorème de la valeur finale sans vérifier que la sortie a une limite.
Choisir un gain d'adaptateur différent de celui du capteur.
Confondre ordre et classe, ou oublier les pôles nuls dans l'ordre.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de sciences industrielles de l'ingénieur de MPSI-MP (2021), premier semestre. Elle couvre deux points du programme. D'abord, dans la compétence A3, « identifier la structure d'un système asservi », avec les grandeurs d'entrée et de sortie, le capteur, la chaîne directe, la chaîne de retour, la commande, le comparateur, la consigne, le correcteur, la perturbation, la poursuite et la régulation. Ensuite, dans la compétence B2, « établir un modèle de connaissance par des fonctions de transfert », avec les systèmes linéaires continus et invariants, la causalité, la modélisation par équations différentielles, les transformées de Laplace, la fonction de transfert, la forme canonique, le gain, l'ordre, la classe, les pôles et les zéros. Les schémas-blocs et les signaux canoniques font l'objet du chapitre suivant.

Systèmes asservis et fonction de transfert

Résumé en cinq points

1Structure d'un système asservi

1.1Commande en boucle ouverte et en boucle fermée

1.2Vocabulaire et constituants

1.3Poursuite et régulation

1.4Exemple, asservissement de position d'un axe

2Systèmes linéaires continus et invariants

2.1Définitions

2.2Causalité

2.3Modélisation par équations différentielles

3Transformée de Laplace

3.1Définition

3.2Propriétés utiles

3.3Transformées usuelles

4Fonction de transfert

4.1Définition

4.2Pôles et zéros

4.3Forme canonique, gain, classe, ordre

4.4Fonctions de transfert élémentaires

4.5Exemple complet, le moteur à courant continu

4.6Utiliser les théorèmes limites

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Régulateur de vitesse d'une voiture

Exercice 2. Adaptateur de consigne d'une régulation de niveau

Exercice 3. Linéaire, invariant, causal

Exercice 4. Transformées de signaux d'essai

Exercice 5. De l'équation différentielle à la forme canonique

Exercice 6. Classe et ordre d'une fonction de transfert de chaîne

Exercice 7. Moteur à courant continu avec inductance

Exercice 8. Théorèmes limites, avec et sans précaution

Exercice 9. Axe de machine-outil

Exercice 10. Doseur sur tapis et retard pur

Erreurs fréquentes