Modélisation multiphysique

Exercice 1. Grandeurs d'un drone ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Un quadricoptère comporte une batterie, quatre variateurs, quatre moteurs et quatre hélices.

On veut prévoir son autonomie en vol stationnaire.

Donner la performance, les entrées, les sorties, des paramètres et le couple effort-flux de chaque interface.

Exercice 4. Diagnostiquer un modèle faux ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Figure de l'énoncé, à dessiner dans la version écrite : de gauche à droite, une source de tension $24~\mathrm{V}$ dont une borne n'est reliée à rien, un ampèremètre branché entre les deux bornes du moteur, le convertisseur moteur, une inertie, un amortisseur à une extrémité libre, puis un réducteur et un tambour.

Pour l'audio : un modèle de treuil électrique dessiné par un élève, avec trois branchements suspects.

Trouver les erreurs et corriger.

Exercice 2. Batterie réelle ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Une batterie de démarreur a une tension à vide de $12{,}6~\mathrm{V}$ et une résistance interne de $0{,}05~\Omega$.

Calculer la tension et la puissance utile pour $40~\mathrm{A}$, puis la puissance maximale prévue par le modèle.

Discuter.

Exercice 5. Moteur chargé et inductance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Un moteur à courant continu avec $$K = 0{,}08~\mathrm{N\cdot m/A}, \qquad R = 0{,}8~\Omega, \qquad L = 2~\mathrm{mH},$$ $$f = 2 \times 10^{-4}~\mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}, \qquad J = 3 \times 10^{-4}~\mathrm{kg\cdot m^2},$$ alimenté sous $24~\mathrm{V}$, entraîne un couple résistant de $0{,}4~\mathrm{N\cdot m}$.

Calculer le régime permanent, puis justifier l'omission de $L$ pour la vitesse.

Exercice 10. Vol stationnaire d'un drone ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit Mines ou Centrale

Un drone de $1{,}2~\mathrm{kg}$ a quatre hélices.

Chacune donne une poussée $b \times \omega^2$ ($b = 1{,}5 \times 10^{-5}~\mathrm{N\cdot s^2}$) et un couple résistant $a \times \omega^2$ ($a = 2{,}5 \times 10^{-7}~\mathrm{N\cdot m\cdot s^2}$).

Chaque moteur est à courant continu ($K = 0{,}01~\mathrm{N\cdot m/A}$, $R = 0{,}1~\Omega$, frottements négligés), derrière un hacheur idéal de rapport $\alpha$.

Batterie : $$E = 11{,}1~\mathrm{V}, \qquad r = 0{,}03~\Omega, \qquad 2{,}2~\mathrm{Ah}.$$

On prend $g = 9{,}81~\mathrm{m/s^2}$.

Trouver le point de fonctionnement et l'autonomie.

Exercice 3. Chaîne hydraulique et fuite interne ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Une pompe de cylindrée $10~\mathrm{cm^3/tr}$ tourne à $1\,500~\mathrm{tr/min}$ et alimente un vérin de section utile $25~\mathrm{cm^2}$ qui pousse $30~\mathrm{kN}$.

Pompe idéale : calculer débit, vitesse de tige, pression, couple de pompe, et vérifier la puissance.

Une fuite interne de $0{,}5~\mathrm{L/min}$ est ensuite mesurée sous cette pression.

La modéliser et recalculer la vitesse.

Exercice 6. Identification thermique et couplage ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Le bobinage d'un moteur reçoit une puissance de chauffe imposée de $15~\mathrm{W}$.

Sa température se stabilise $45~\mathrm{K}$ au-dessus de l'ambiance et atteint $63\,\%$ de cet écart en $12~\mathrm{min}$.

Identifier $R_{\mathrm{th}}$ et $C_{\mathrm{th}}$.

En service, les pertes Joule valent $15~\mathrm{W}$ à froid et la résistance croît de $0{,}4\,\%$ par kelvin.

Prévoir l'échauffement.

Exercice 7. Lâcher avec frottement sec ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit Mines ou Centrale

Un moteur ($K = 0{,}05~\mathrm{N\cdot m/A}$) absorbe à vide $0{,}30~\mathrm{A}$ à $100~\mathrm{rad/s}$ et $0{,}40~\mathrm{A}$ à $300~\mathrm{rad/s}$.

On modélise un frottement visqueux $f$ et un frottement sec $C_s$.

Lancé à $300~\mathrm{rad/s}$ puis lâché, il s'arrête en $1{,}2~\mathrm{s}$.

Identifier $f$, $C_s$ et $J$.

Exercice 8. Bras indéformable ou non ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Un bras de robot porte en bout un outil de $5~\mathrm{kg}$.

Sa raideur en bout vaut $2 \times 10^{5}~\mathrm{N/m}$.

L'outil subit $50~\mathrm{N}$, la précision demandée est $0{,}1~\mathrm{mm}$ et la commande a une bande passante de $10~\mathrm{Hz}$.

Le modèle indéformable est-il acceptable ?

Exercice 9. Arbre de transmission souple ★★★

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Au programme de : PT. Difficulté : 3/3. Durée indicative : 25 min.

Un moteur d'inertie $J_1 = 2 \times 10^{-3}~\mathrm{kg\cdot m^2}$ entraîne une charge $J_2 = 8 \times 10^{-3}~\mathrm{kg\cdot m^2}$ par un arbre long de raideur en torsion $k = 400~\mathrm{N\cdot m/rad}$.

Établir la pulsation propre du modèle à deux inerties et conclure pour une commande de bande passante $50~\mathrm{Hz}$.