Linéarisation, réduction et validation des modèles

Exercice 1. Réservoir d'une station de traitement ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une cuve de section $A = 0{,}5~\mathrm{m^2}$ est alimentée par un débit $q_e$ et se vide par un orifice, avec $q_s = k\sqrt{h}$ et $k = 0{,}02~\mathrm{m^{5/2}/s}$.

On travaille à $q_{e0} = 0{,}01~\mathrm{m^3/s}$.

Déterminer $h_0$, puis la fonction de transfert $\Delta H/\Delta Q_e$.

Refaire à $q_{e0} = 0{,}02~\mathrm{m^3/s}$.

Quelle variation $\Delta h$ garde l'erreur de linéarisation sous 10 % ?

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Technique linéarisation autour d'un point et domaine de validité.

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1. Équilibre : $h_0 = (q_{e0}/k)^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25\ \mathrm{m}$.
2. Linéarisation : $A\,d\Delta h/dt = \Delta q_e - (k/(2\sqrt{h_0}))\,\Delta h$, d'où $\Delta H/\Delta Q_e = K/(1 + \tau p)$.
3. $K = 2\sqrt{h_0}/k = 50\ \mathrm{s/m^2}$, et $\tau = A K = 25\ \mathrm{s}$.
4. À $q_{e0} = 0{,}02\ \mathrm{m^3/s}$ : $h_0 = 1\ \mathrm{m}$, $K = 100\ \mathrm{s/m^2}$, $\tau = 50\ \mathrm{s}$. Le système est deux fois plus lent.
5. Rapport ordre $2$ sur ordre $1$ : $|\Delta h|/(4 h_0) \leq 0{,}1$ donne $|\Delta h| \leq 0{,}4 h_0 = 0{,}1\ \mathrm{m}$ au premier point.

piège : Prendre $K = h_0/q_{e0} = 25\ \mathrm{s/m^2}$, rapport des grandeurs totales. C'est faux d'un facteur $2$, car la caractéristique n'est pas une droite passant par l'origine.

Exercice 2. Bras de robot soumis à la pesanteur ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Un bras de moment d'inertie $J = 0{,}2~\mathrm{kg\cdot m^2}$ autour d'un axe horizontal a une masse $m = 2~\mathrm{kg}$, un centre de gravité à $\ell = 0{,}3~\mathrm{m}$ et un frottement visqueux $f = 0{,}1~\mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}$.

On prend $g = 9{,}81~\mathrm{m/s^2}$.

Linéariser autour de $\theta_0 = 60^\circ$ mesuré depuis la verticale descendante, puis comparer à $\theta_0 = 0^\circ$ et $\theta_0 = 90^\circ$.

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1. Modèle : $J \theta'' + f \theta' = C - m g \ell \sin \theta$, avec $m g \ell = 5{,}886\ \mathrm{N{\cdot}m}$.

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Exercice 3. Réduction d'un modèle de moteur et charge ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Un axe a pour fonction de transfert $$H(p) = \frac{5}{(1 + 2p)(1 + 0{,}1p)(1 + 0{,}02p)}.$$ Proposer un modèle réduit, comparer les $t_{5\%}$ en réponse indicielle et justifier en fréquence.

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1. Pôles : $-0{,}5$, $-10$ et $-50\ \mathrm{rad/s}$. …

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Exercice 4. Pôle négligé et marge de phase ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit CCINP

Un axe de machine-outil a pour FTBO réelle $$\frac{K}{p\,(1 + 0{,}05p)(1 + 0{,}005p)}.$$ Un bureau d'études l'a réglé sur le modèle réduit $$\frac{K}{p\,(1 + 0{,}05p)}$$ pour $M_\varphi = 45^\circ$.

Chiffrer l'erreur commise, puis refaire l'analyse quand on multiplie $K$ par 4 pour gagner en précision.

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Exercice 5. Doseur à tapis et retard de transport ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit CCINP

Une trémie dépose un produit sur un tapis qui avance à $0{,}5~\mathrm{m/s}$.

La balance de mesure est à $1{,}5~\mathrm{m}$.

Le procédé, normalisé, a pour fonction de transfert $$\frac{e^{-Tp}}{1 + 10p},$$ avec un correcteur P et un retour unitaire.

Calculer $T$, le gain limite de stabilité et le $K_p$ qui donne $M_\varphi = 45^\circ$.

Conclure sur la précision.

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1. Retard de transport : $T = 1{,}5/0{,}5 = 3\ \mathrm{s}$.

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Exercice 6. Recalage d'un premier ordre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Le modèle d'un moteur à courant continu en vitesse est $$\frac{16}{1 + 0{,}1p},$$ en $\mathrm{rad/s}$ par $\mathrm{V}$.

Un essai à $10~\mathrm{V}$ donne une vitesse finale de $150~\mathrm{rad/s}$, atteinte à 63 % à $0{,}12~\mathrm{s}$.

L'incertitude sur la vitesse mesurée est de 2 %.

Le modèle est-il validé ? Recaler.

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1. Valeur finale prévue : $160\ \mathrm{rad/s}$. …

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Exercice 7. Recalage d'un deuxième ordre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit e3a

Un axe de positionnement reçoit un échelon unitaire.

La mesure donne une valeur finale 2, un premier dépassement relatif de 20 % et une pseudo-période de $0{,}4~\mathrm{s}$.

Le modèle prévoyait $K = 2$, $\xi = 0{,}5$ et $\omega_0 = 20~\mathrm{rad/s}$.

Recaler $\xi$ et $\omega_0$.

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Exercice 9. Frottement sec et précision d'un axe ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral Centrale

Un axe asservi en position par un correcteur P, $K_p = 20~\mathrm{V/rad}$, reçoit un couple moteur $A\,u$ avec $$A = 0{,}5~\mathrm{N\cdot m/V}.$$ Un frottement sec de $0{,}05~\mathrm{N\cdot m}$ s'oppose au mouvement.

Le modèle linéaire, de classe 1 sans perturbation, prévoit un écart statique nul.

Les essais montrent des arrêts à quelques milliradians de la consigne.

Expliquer, puis discuter l'ajout d'une action intégrale.

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Exercice 8. Saturation en courant d'un variateur ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit Mines

Un asservissement de vitesse est modélisé en boucle fermée par $$\frac{d\Omega}{dt} = \frac{\Omega_c - \Omega}{\tau_{BF}},$$ avec $\tau_{BF} = 0{,}05~\mathrm{s}$.

Le moteur a une constante de couple $K_t = 0{,}1~\mathrm{N\cdot m/A}$, l'inertie ramenée vaut $J = 0{,}01~\mathrm{kg\cdot m^2}$, et le variateur limite le courant à $10~\mathrm{A}$.

On néglige les frottements.

Déterminer le domaine de validité du modèle linéaire, puis prévoir le $t_{5\%}$ pour un échelon de $20~\mathrm{rad/s}$.

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Exercice HP. Lyapunov pour un oscillateur amorti ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en MP

On considère $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ et le système $x'=Ax$ dans $\R^2$ (norme euclidienne).

1. Vérifier que $P=\begin{pmatrix}3/2&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}$ est symétrique définie positive et que $A^{\top}P+PA=-I_2$.

2. Calculer les valeurs propres de $P$. En déduire $\alpha$ tel que $V(x)=x^{\top}Px$ vérifie $V(x(t))\le e^{-\alpha t}V(x(0))$, puis une constante $C$ telle que $\|x(t)\|\le Ce^{-\alpha t/2}\|x(0)\|$ pour toute solution et tout $t\ge0$.

3. Soit $B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$. Montrer qu'il n'existe pas de matrices symétriques définies positives $P,Q$ avec $B^{\top}P+PB=-Q$.

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