Variables aléatoires discrètes

Exercice 1. La loi géométrique est la seule sans mémoire ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

$X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}^*$, avec $P(X > n) > 0$ pour tout $n$, et $P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)$ pour tous $n$, $k$ dans $\mathbb{N}$. Montrer que $X$ suit une loi géométrique.

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Technique équation fonctionnelle sur les queues.

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1. Posons $u_n = P(X > n)$. Comme $(X > n + k) \subset (X > n)$, l'hypothèse s'écrit $u_{n+k} = u_n u_k$, avec $u_0 = 1$.
2. Par récurrence, $u_n = q^n$ avec $q = u_1 > 0$.
3. Les événements $(X > n)$ décroissent vers le vide, donc $u_n$ tend vers $0$ par continuité décroissante. Ainsi $q \neq 1$, et $q \in ]0, 1[$.
4. Pour $n \geq 1$, $P(X = n) = u_{n-1} - u_n = q^{n-1}(1 - q)$. Donc $X \sim G(1 - q)$.

piège : Oublier de justifier que $q < 1$, ou oublier l'inclusion qui simplifie la probabilité conditionnelle.

Exercice 2. Poisson conditionnée par une somme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

$X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ sont indépendantes.

Déterminer la loi de $X$ sachant $(X + Y = n)$.

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1. Par les fonctions génératrices, $X + Y \sim P(\lambda + \mu)$, donc $P(X + Y = n) > 0$.

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Exercice 3. Points fixes d'une permutation aléatoire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Pour $n \geq 2$, $\sigma$ est uniforme dans $S_n$ et $N$ compte ses points fixes.

Calculer $E(N)$ et $V(N)$.

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1. $N = \sum X_i$, où $X_i$ indique $(\sigma(i) = i)$. …

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Exercice 4. Amincissement d'une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

$N \sim \mathcal{P}(\lambda)$, $(B_i)$ est une suite i.i.d. de Bernoulli de paramètre $p \in ]0, 1[$, indépendante de $N$, et $$K = \sum_{i=1}^{N} B_i.$$

Déterminer la loi de $K$ et montrer que $K$ et $N - K$ sont indépendantes.

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Exercice 5. Le collectionneur de vignettes ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · D'après un écrit CCINP MP

Une collection compte $n$ vignettes, chaque achat en donne une uniforme, indépendamment.

$T_n$ est le nombre d'achats pour la compléter, $Y_k$ le nombre d'achats pour passer de $k - 1$ à $k$ vignettes distinctes, et on admet $Y_1, \ldots, Y_n$ indépendantes.

Calculer $E(T_n)$, majorer $V(T_n)$, montrer que $$P\left(\left|\frac{T_n}{n \ln n} - 1\right| \geq \varepsilon\right)$$ tend vers $0$.

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1. $Y_k \sim G(p_k)$ avec $p_k = (n - k + 1)/n$, et $T_n = Y_1 + \cdots + Y_n$.

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Exercice 6. Somme d'un nombre aléatoire de variables ★★★

Approfondissement · 50 min · D'après un écrit CCINP MP

$N$ et les $X_i$ sont à valeurs dans $\N$, les $X_i$ sont i.i.d., et la famille $(N, X_1, X_2, \ldots)$ est indépendante.

On pose $$S = \sum_{i=1}^{N} X_i.$$

Montrer que $G_S = G_N \circ G_X$ sur $[-1, 1]$, puis que $E(S) = E(N)E(X_1)$ si $N$ et $X_1$ sont dans $L^1$.

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Exercice 7. Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass ★★★

Approfondissement · 45 min · Type écrit Mines

$f$ est continue sur $[0, 1]$ et $$\begin{aligned} B_n(f)(x) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, x^k (1 - x)^{n-k} \\ &\quad f\left(\frac{k}{n}\right). \end{aligned}$$

Montrer que $B_n(f)$ converge uniformément vers $f$.

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1. Pour $x \in ]0, 1[$, $S_n \sim B(n, x)$, et pour $x \in \{0, 1\}$, $S_n = nx$. …

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Exercice 8. Extinction d'une population ★★★

Approfondissement · 60 min · Type oral Centrale

Chaque individu a un nombre d'enfants de loi $(p_k)$ sur $\N$, de fonction génératrice $G$, avec $0 < p_0 < 1$, et $$m = \sum k p_k,$$ éventuellement infini.

$Z_0 = 1$ et $$Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} X_{n,i},$$ où les $X_{n,i}$ sont i.i.d. de loi $(p_k)$, et on admet $Z_n$ indépendante de $(X_{n,i})_{i \geq 1}$.

Montrer que la probabilité d'extinction $q$ est le plus petit point fixe de $G$ sur $[0, 1]$, et que $q = 1$ si et seulement si $m \leq 1$.

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1. L'exercice 6 donne $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$. …

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Exercice classique. Cycles d'une permutation aléatoire : lois, moments exponentiels et concentration ★★★

Classique du chapitre

Soit $n\geq 2$ et $\sigma$ une permutation tirée uniformément dans $S_n$. On note $C_n$ son nombre de cycles (points fixes compris). On admet le théorème du cours : $C_n$ a la même loi que $B_1+\dots+B_n$, où les $B_k$ sont indépendantes de lois $\mathcal B(1/k)$.

1. Déterminer la fonction génératrice de $C_n$. En déduire $\mathbb P(C_n=n)$ et $\mathbb P(C_n=1)$.
2. Calculer $\mathbb E\left(2^{C_n}\right)$.
3. Donner la loi de $C_4$ et vérifier la valeur de $\mathbb E(C_4)$.
4. Montrer que pour tout $\varepsilon>0$, $\mathbb P\left(\left|\dfrac{C_n}{\ln n}-1\right|\geq\varepsilon\right)\longrightarrow 0$ quand $n\to+\infty$. On pourra utiliser $\ln(n+1)\le H_n\le 1+\ln n$ et $\mathbb V(C_n)\le H_n$.

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1. Par indépendance, $G_{C_n}(x)=\prod_{k=1}^n\frac{x+k-1}{k}=\frac{x(x+1)\cdots(x+n-1)}{n!}$. …

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