Équations différentielles linéaires

Exercice 1. Recollement en un point singulier ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Résoudre $$t y' - y = t^2$$ sur $\mathbb{R}$.

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Technique résoudre sur chaque demi-droite, puis imposer dérivabilité et équation en $0$.

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Résultat

les solutions sur $\R$ sont les fonctions $t \mapsto t^2 + \lambda t$, avec $\lambda \in \R$. Elles forment une droite affine et toutes valent $0$ en $0$.

1. Sur $\intoo{0}{+\infty}$ ou $\intoo{-\infty}{0}$, on a $y' - \frac{y}{t} = t$ (équation normalisée). Les solutions homogènes sont $t \mapsto \lambda t$ et $t \mapsto t^2$ est une solution particulière (propriété 2.6, solutions avec second membre).
2. Donc $\underline{y(t) = t^2 + \lambda t}$ pour $t > 0$ et $\underline{y(t) = t^2 + \mu t}$ pour $t < 0$. De plus $y(0) = 0$ (continuité en $0$).
3. On a $y'_d(0) = \lambda$ et $y'_g(0) = \mu$, donc $\underline{\lambda = \mu}$ (dérivabilité en $0$).
4. En $0$, l'égalité $0 \cdot y'(0) - y(0) = 0$ est vraie (équation au point de raccord). Donc $y(t) = t^2 + \lambda t$ sur $\R$ (droite affine) et $y(0) = 0$.

piège : Oublier de vérifier la dérivabilité ou l'équation au point de raccord, ou annoncer d'office deux constantes.

Exercice 5. Variation des constantes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit CCINP

Résoudre $$y'' + y = 1/\cos t$$ sur $]-\pi/2, \pi/2[$.

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1. $(\cos, \sin)$ est une base des solutions homogènes, de wronskien $\cos^2 + \sin^2 = 1$ (propriété 5.3, caractérisation des bases).

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Exercice 6. Série entière et seconde solution ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Écrit CCINP

Soit l'équation $$4t y'' + 2y' - y = 0.$$ Trouver ses solutions développables en série entière, puis résoudre sur $]0, +\infty[$.

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Exercice 2. Parité des solutions ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $q$ continue et paire sur $\mathbb{R}$ et $y$ solution de $$y'' + q y = 0.$$ Montrer que $y$ est paire si et seulement si $y'(0) = 0$, et impaire si et seulement si $y(0) = 0$.

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Exercice 9. Au plus un zéro si q ≤ 0 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Mines

Soit $q$ continue et négative sur $I$. Montrer qu'une solution non nulle de $$y'' + q y = 0$$ s'annule au plus une fois.

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1. Soit $f = y^2$. Alors $\underline{f'' = 2y'^2 + 2yy'' = 2y'^2 - 2qy^2 \geqslant 0}$ ($q \leqslant 0$), donc $f$ est convexe (propriété 5.5, caractérisation par la dérivée seconde).

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Exercice 8. Entrelacement des zéros ★★★

Approfondissement · 40 min · Khôlle difficile

Soit $(y_1, y_2)$ une base des solutions de $$y'' + p y' + q y = 0$$ sur $I$. Soient $a < b$ deux zéros de $y_1$ tels que $y_1$ ne s'annule pas sur $]a, b[$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $]a, b[$.

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1. $W$ est continu et ne s'annule pas (propriété 5.3, caractérisation des bases), donc $W(a)$ et $W(b)$ ont le même signe (valeurs intermédiaires).

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Exercice 3. Spirales du plan de phase ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Pour $a$ et $b$ réels avec $b \neq 0$, soit $A$ de lignes $(a, -b)$, $(b, a)$. Calculer $\exp(tA)$ et décrire les trajectoires de $X' = AX$.

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1. $A = aI + bJ$ avec $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (rotation d'angle $\pi/2$), et $aI$ commute avec $J$.

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Exercice 7. Système de taille 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit CCINP

Soit $A$ de lignes $(2, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$, $(1, 1, 2)$. Calculer $\exp(tA)$ et résoudre $X' = AX$ avec $X(0) = (1, 0, 0)$.

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1. $A = I + U$, avec $U$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. …

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Exercice 10. Réciproque de la formule de la somme ★★★

Approfondissement · 40 min · D'après un oral X-ENS

Soient $A$ et $B$ dans $M_n(\C)$ telles que $$\exp(t(A + B)) = \exp(tA) \exp(tB)$$ pour tout $t$ réel.

Montrer que $AB = BA$.

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Exercice 4. Stabilité et parties réelles des valeurs propres ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit CCINP

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable sur $\mathbb{C}$, de valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Montrer que toutes les solutions de $$X' = AX$$ tendent vers $0$ en $+\infty$ si et seulement si $\operatorname{Re} \lambda_k < 0$ pour tout $k$.

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1. Les solutions sont les $t \mapsto \exp(tA)X_0$ (théorème 4.1, solution du problème de Cauchy). …

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