Exo du jour · Physique · Cinématique du point · X-ENS · MP · 2026

Mécanique du point : l'insecte atteint-il le bout du fil ?

Énoncé

Un fil infiniment élastique, de longueur initiale $L_0=1$ m, est fixé à un mur ; son autre extrémité s'éloigne à $V_0=1$ m/s.

Un insecte part du mur et avance sur le fil à $v=1$ mm/s par rapport au fil.

Au bout de combien de temps atteint-il l'extrémité ?

Fraction parcourue : $\varphi=x/L$ , fixe pour un point du fil
Avec $L=L_0+V_0t$ : $\dot x=\dot\varphi\,L+\varphi\,\dot L$ , d'où $\dot\varphi\,L=v$
Intégration : $\varphi(t)=\dfrac{v}{V_0}\ln\left(1+\dfrac{V_0t}{L_0}\right)$
$\varphi=1$ : $\ln(1+t)=1000$ , d'où $t=\left(e^{1000}-1\right)$ s

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.