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Exo du jour · Maths · Anneaux et corps · X-ENS · MP · 2026

Structures algébriques usuelles : anneau fini et (ab−1)b = 0 ?

Énoncé

Soit AA un anneau fini et a,b∈Aa,b\in A tels que (ab−1)b=0(ab-1)b=0.

Montrer que

b(ab−1)=0b(ab-1)=0

Les étapes clés

  1. Hypothèse réécrite : ab2=bab^2=b, puis akbk+1=ba^k b^{k+1}=b
  2. Puissances de bb qui se répètent : bN+p=bNb^{N+p}=b^N, p≥1p\ge1
  3. D'où b=bp+1=bmb=b^{p+1}=b^m avec m=p+1≥2m=p+1\ge2
  4. Conclusion : ab=(ab2)bm−2=bm−1ab=(ab^2)b^{m-2}=b^{m-1}, donc b(ab)=bm=bb(ab)=b^m=b

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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