Exo du jour · Maths · Nombres de module 1 et trigonométrie

Quels polynômes complexes gardent le cercle unité ?

Énoncé

Déterminer tous les $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que

|z|=1 \Rightarrow |P(z)|=1

Sur le cercle : $\bar z=1/z$ , car $z\bar z=|z|^2=1$
$\tilde P$ , coefficients conjugués dans l'ordre inverse : $z^n\,\overline{P(z)}=\tilde P(z)$
Sur tout le cercle : $P\tilde P=z^n\,|P(z)|^2=z^n$ , donc $P\tilde P=z^n$ partout
$P$ divise $z^n$ : $P=az^n$ avec $|a|=1$ (en $z=1$ )

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.