Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › Exo du jour

Exo du jour · Physique · Cinématique du point

Mouvement borné : énergie cinétique moyenne ?

Énoncé

Un point matériel de masse mm est soumis à une force F⃗\vec F dans un référentiel galiléen.

Sa position r⃗\vec r et sa vitesse v⃗\vec v restent bornées en norme.

On note ⟨g⟩=lim⁡T→∞1T∫0Tg dt\langle g\rangle=\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T g\,dt la moyenne temporelle.

Montrer que

⟨Ec⟩=−12 ⟨F⃗⋅r⃗ ⟩\langle E_c\rangle=-\tfrac12\,\langle \vec F\cdot\vec r\,\rangle
point matériel sur une trajectoire fermée autour d'un point O, avec ses vecteurs position, vitesse et force
Figure : Point de masse mm en mouvement borné, position r⃗\vec r, vitesse v⃗\vec v, force F⃗\vec F

Les étapes clés

  1. On pose G=m r⃗⋅v⃗G=m\,\vec r\cdot\vec v
  2. Dérivée, avec ma⃗=F⃗m\vec a=\vec F : G˙=2Ec+F⃗⋅r⃗\dot G=2E_c+\vec F\cdot\vec r
  3. Mouvement borné : ∣⟨G˙⟩∣≤2mRVT→0|\langle\dot G\rangle|\le\frac{2mRV}{T}\to0
  4. Conclusion : ⟨Ec⟩=−12⟨F⃗⋅r⃗⟩\langle E_c\rangle=-\tfrac12\langle\vec F\cdot\vec r\rangle

Voir l'exo en vidéo ↗

Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

Essayer Sup et Spé+

Télécharger dans l'App Store