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Exo du jour · Physique · Mouvement d'un référentiel par rapport à un autre

Quelle forme prend l'eau d'un cylindre qui tourne ?

Énoncé

Un cylindre vertical de rayon RR, rempli d'eau à moitié (hauteur d'eau HH au repos), tourne autour de son axe à la vitesse angulaire ω\omega constante.

Quelle forme prend la surface de l'eau une fois l'équilibre atteint, et de combien monte-t-elle au bord ?

Coupe verticale d'un cylindre à moitié plein d'eau au repos, surface plate, tournant autour de son axe vertical
Figure : Cylindre de rayon RR au repos, eau de hauteur HH, rotation ω\omega autour de l'axe

Les étapes clés

  1. Référentiel du cylindre, goutte immobile : poids mgmg et centrifuge mω2rm\omega^2 r
  2. Surface perpendiculaire à la pesanteur apparente : dzdr=ω2rg\frac{dz}{dr}=\frac{\omega^2 r}{g}
  3. Pente proportionnelle à rr, hauteur proportionnelle à r2r^2 : paraboloïde, niveau HH à mi-hauteur de hh
  4. h=ω2R22gh=\frac{\omega^2R^2}{2g}, bord qui monte de ω2R24g\frac{\omega^2R^2}{4g} si ω2R24g<H\frac{\omega^2R^2}{4g}<H

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Le corrigé détaillé

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.

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