Exo du jour · Maths · Groupes, anneaux et corps

Nombres de Fermat : un facteur commun ?

Énoncé

On pose

F_n=2^{2^n}+1

Montrer que les $F_n$ sont deux à deux premiers entre eux, et en déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers.

Idée clé : $F_0F_1\cdots F_{n-1}=F_n-2$
Récurrence avec $A=2^{2^n}$ : $(A-1)(A+1)=A^2-1$ , et $A^2=2^{2^{n+1}}$
Diviseur commun $d$ de $F_m$ et $F_n$ , $m<n$ : $d\mid F_n-2$ et $d\mid F_n$ , donc $d\mid 2$
$F_n$ impairs, donc $d=1$ : les facteurs premiers $p_n$ de $F_n$ sont distincts, donc il y a une infinité de nombres premiers

Le corrigé détaillé : accès Sup et Spé+

Chaque étape en formule, justifiée, avec le théorème du cours.